精品解析：陕西省西安市西咸新区沣东新城第一初级中学2024-2025学年八年级下学期5月月考数学试题

试卷类型：A 八年级教学质量监测 数学 注意事项： 1．全卷满分120分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列人工智能软件图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，下面数轴上表示的是某不等式组的解集，则这个不等式组可以是（ ） A. B. C. D. 4. 下列分式是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　） A. B. C. D. 6. 小明用四张如图所示的纸片拼成一个大长方形，并据此写出一个多项式的因式分解，正确的是( ) A. x2＋2x＝x(x＋2) B. x2－2x＋1＝(x－1)2 C. x2＋2x＋1＝(x＋1)2 D. x2＋3x＋2＝(x＋2)(x＋1) 7. 是中国首款按照国际通行适航标准自行研制、具有自主知识产权的喷气式中程干线客机．2024年3月，开始执行第三条定期商业航线——“上海虹桥一西安咸阳”．已知两地的航线距离约为，的平均速度与普通客机的平均速度相比提高了约，航行时间节约了约．设客机的平均速度为，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 若关于的分式方程的解为负数，则的最小整数值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 在平面直角坐标系中，将点先向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到点，则点的坐标为______． 10. 如图，在中，，，线段的垂直平分线分别交，于点，，则的周长为______． 11. 一次函数的图象如图所示，当时，的取值范围是______． 12. 若分式的值为5，当，都扩大为原来的2倍时，所得分式的值为______． 13. 已知的三边长，，都是正整数，且满足，则边长的最大值是______． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 因式分解： ． 15. 分解因式： 16. 化简：． 17. 先化简，再求值：，其中x＝1． 18. 解分式方程：． 19. 如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，和的顶点均在格点上． （1）画出关于原点的中心对称图形． （2）若由绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为________． 20. 已知，求，的值． 21. 利用因式分解计算： （1）． （2）． 22. 已知关于的分式方程． （1）若该方程有增根，求的值． （2）若该方程的解为非负数，求的取值范围． 23. 阅读以下解题过程： 已知a，b，c为的三边长，且满足，试判断的形状． 错解：，① ，② ，③ 为直角三角形．④ （1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号______； （2）错误的原因是_______________________________________________________________； （3）本题正确的结论是____________________________________________________________． 24. 如图，为的角平分线，，于点，于点，连接交于点． （1）求证：垂直平分； （2）若，猜测与间有何数量关系？请说明理由． 25. 利用完全平方公式可以将多项式（）变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．运用多项式的配方法及平方差公式，能对一些多项式进行分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题，或求代数式的最大值、最小值等． 例如： ． 根据以上材料，解答下列问题． （1）用配方法将多项式化成的形式． （2）求证：不论，取任何实数，多项式的值总为正数． 26. 请根据以下素材，探索完成任务． 提出问题：买新能源车到底划不划算？ 素材1 某中学数学兴趣小组对市场上配置相近的A款燃油车和B款新能源车做对比调查．其中A、B两款车的有关数据如下： 车型 购车费用（万元） 购置税（万元） 年均保养费用（万元） 年均保险费用（万元） 预计10年后的车价（万元） A款燃油车 15 1.5 0.10 0.4 4.8 B款新能源车 18 0 0.05 0.5 2.0 素材2 总费用（以使用10年为例）购车费用预计10年后的车价购置税保养费用保险费用油费或电费． 素材3 每公里燃油车的油费比新能源车的电费多0.6元．当油费和电费均为200元时，新能源车的行驶路程是燃油车的4倍． 问题解决 任务1 （1）A款燃油车每公里油费是多少元？ 任务2 （2）设平均每年的行驶路程为万公里，A款燃油车使用10年的总费用为元，B款新能源车使用10年的总费用为元，分别求出和关于的表达式． 任务3 （3）每年行驶里程至少为多少万公里，购买B款新能源车更划算？（以使用10年为例） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 试卷类型：A 八年级教学质量监测 数学 注意事项： 1．全卷满分120分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列人工智能软件图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义．寻找对称中心、对称轴是解题的关键； 轴对称图形是指一个图形可以沿着一条直线（‌对称轴）‌折叠，‌使得直线两侧的图形能够完全重合；‌中心对称图形则是指一个图形可以绕着一个点（‌对称中心）‌旋转，‌使得旋转前后的图形互相重合．‌根据轴对称图形和中心对称的定义逐项判断即可． 【详解】A．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，也可找到一点旋转后与原图重合，是中心对称图形，故选项符合题意； B．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，也找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故选项不符合题意； C．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，可以找到一点旋转后与原图重合，是中心对称图形，故选项不符合题意； D．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，但找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故选项不符合题意； 故选：A． 2. 若分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题关键； 根据分式有意义的条件是分母不能为0，即可计算的取值范围． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得， 故答案为：B． 3. 如图，下面数轴上表示的是某不等式组的解集，则这个不等式组可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式组的解集．根据数轴上表示的不等式组的解集，可得答案． 【详解】解：观察数轴得：， ∴这个不等式组可以是． 故选：A 4. 下列分式是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是最简分式的定义，熟练掌握最简分式的定义是解题的关键； 最简分式是指分子和分母没有公因式的分式，对各选项逐一分析，判断是否存在可约分的公因式． 【详解】A．，分子分母有公因式，不是最简分式，故本选项不符合题意； B．，分子分母有公因式，不是最简分式，故本选项不符合题意； C．，分子分母有公因式，不是最简分式，故本选项不符合题意； D．分子与分母没有公因式，是最简分式，故本选项符合题意； 故选：D． 5. 下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解是指将几个单项式和的形式转化为几个单项式或多项式的积的形式，逐个判断即可，熟练掌握把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解是解题的关键． 【详解】解：、，是整式乘法，不是因式分解，不符合题意； 、，等式的左边不是一个多项式，等式右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，不符合题意； 、，符合因式分解的定义，是因式分解，符合题意； 、，等式右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，不符合题意； 故选：． 6. 小明用四张如图所示的纸片拼成一个大长方形，并据此写出一个多项式的因式分解，正确的是( ) A. x2＋2x＝x(x＋2) B. x2－2x＋1＝(x－1)2 C. x2＋2x＋1＝(x＋1)2 D. x2＋3x＋2＝(x＋2)(x＋1) 【答案】D 【解析】 【分析】表示出不同情况下大长方形的面积，即可得到结果． 【详解】小明用四张长方形或正方形纸片拼成一个大长方形，小亮根据小明的拼图过程，写出多项式x2+3x+2因式分解的结果为（x+1）（x+2），即x2＋3x＋2＝(x＋2)(x＋1)． 故选D． 【点睛】本题考查了利用图形进行多项式的因式分解，根据图形的面积关系得到因式分解是解题的关键． 7. 是中国首款按照国际通行适航标准自行研制、具有自主知识产权的喷气式中程干线客机．2024年3月，开始执行第三条定期商业航线——“上海虹桥一西安咸阳”．已知两地的航线距离约为，的平均速度与普通客机的平均速度相比提高了约，航行时间节约了约．设客机的平均速度为，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查列分式方程．根据题干可得，等量关系式为：普通客机所用的时间-所用时间，据此列出方程即可． 【详解】解：根据题意，得． 故选：D． 8. 若关于的分式方程的解为负数，则的最小整数值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解，分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，由分式方程的解为负数确定出a的范围即可解答． 【详解】解：解分式方程， 两边同乘得：， 展开化简得：， 移项合并同类项得：． 因为方程的解为负数， 所以， 解得． 又因为分母不能为，即，， 所以且， 解得且． 所以的取值范围是且， 则的最小整数值是． 故选：C． 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 在平面直角坐标系中，将点先向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到点，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查点的平移，根据平移规则：左减右加，上加下减，进行求解即可． 【详解】解：由题意，点的坐标为，即：； 故答案为： 10. 如图，在中，，，线段的垂直平分线分别交，于点，，则的周长为______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查中垂线的性质，根据中垂线的性质，推出的周长等于，即可得出结果． 【详解】解：∵线段的垂直平分线分别交，于点，， ∴， ∴的周长； 故答案为：8． 11. 一次函数的图象如图所示，当时，的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的图象与性质．直接根据一次函数的性质解答即可． 【详解】解：由函数图象可知，当时，． 故答案为：． 12. 若分式的值为5，当，都扩大为原来的2倍时，所得分式的值为______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查判断分式的值的变化情况，根据分式的基本性质，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴当，都扩大为原来的2倍时：； 故答案为：10 13. 已知的三边长，，都是正整数，且满足，则边长的最大值是______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了利用完全平方公式分解因式，三角形三边关系的应用．熟练掌握完全平方公式的应用，三角形三边关系的应用是解题的关键．由，可得，可求，由三角形三边关系可求，由是正整数，可得的最大值是，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴，， 解得，， ∵， ∴， ∵是正整数， ∴的最大值是， 故答案为：6． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 因式分解： ． 【答案】 【解析】 【分析】首先提取公因式m−n，进而利用平方差公式分解因式得出即可． 【详解】解： = =． 【点睛】本题主要考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练应用平方差公式是解题关键． 15. 分解因式： 【答案】 【解析】 【分析】先利用平方差公式因式分解，然后利用完全平方公式因式分解． 【详解】解： ． 16. 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 17. 先化简，再求值：，其中x＝1． 【答案】2x＋8，10． 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算进行化简，再代入求值． 【详解】解：原式＝ ＝3（x＋2）﹣（x﹣2） ＝2x＋8， 当x＝1时，原式＝2×1＋8＝10． 【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则和平方差公式是关键． 18. 解分式方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，先把分式方程化为整式方程，化简再解得，最后验根，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则， ∴， ∴， 则， ∴， 经检验：当时，，故是原分式方程的解． 19. 如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，和的顶点均在格点上． （1）画出关于原点的中心对称图形． （2）若由绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为________． 【答案】（1） 如图所示：即为所求； （2） 【解析】 【分析】本题考查作图中心对称，旋转的性质，熟练掌握中心对称的性质是解答本题的关键． （1）作出、、关于原点对称的的对应点、、，顺次连接即可； （2）根据旋转中心为两组对应点连线的垂直平分线的交点可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，根据旋转的性质：旋转中心到两对应点的距离相等； ∴旋转中心在线段、的中垂线上，即为图中点； 由图象可知，该点的坐标为． 故答案为：． 20. 已知，求，的值． 【答案】A的值为，的值2． 【解析】 【分析】此题主要考查了异分母分式加减法的运算法则，要熟练掌握，解答此题的关键是熟练掌握通分的方法，把异分母分式的加减法转化为同分母分式的加减法．此题还考查了二元一次方程组的求解方法，要熟练掌握． 首先根据通分的方法，把异分母分式的加减法转化为同分母分式的加减法，然后根据等号左右两边分式的分子相同，列出关于A、B的二元一次方程组，再解方程组，求出A、B的值是多少即可． 【详解】解： ， ∵ ∴， ∴， 解得． 答：A的值为，的值2． 21. 利用因式分解计算： （1）． （2）． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握提取公因式法和完全平方公式分解因式是解题关键． （1）先将原式变形为，再提取公因式，由此即可得； （2）先将原式变形为，再利用完全平方公式分解因式，由此即可得． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 22. 已知关于的分式方程． （1）若该方程有增根，求的值． （2）若该方程的解为非负数，求的取值范围． 【答案】（1）3 （2）且 【解析】 【分析】本题主要考查了根据分式方程的根的情况求参数，一元一次不等式，通过解方程求出方程的根是解题的关键． （1）先解方程求出方程的根，再根据方程有增根，即求出的方程的根满足分母为0建立方程求解即可； （2）根据方程的根为非负数，结合（1）所求建立不等式求解即可． 【小问1详解】 解：方程两边同乘以，得 ， 即， ∵该方程有增根， ∴， 解得， 将代入，得， 解得， 答：的值为3． 【小问2详解】 ∵该方程的解为非负数，， ∴，， 即，且， ∴， 解得， ∵原方程不能有增根， ∴，即， ∴， 解得， ∴且． 23. 阅读以下解题过程： 已知a，b，c为的三边长，且满足，试判断的形状． 错解：，① ，② ，③ 为直角三角形．④ （1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号______； （2）错误的原因是_______________________________________________________________； （3）本题正确的结论是____________________________________________________________． 【答案】（1）③ （2）不能确定是否为0 （3）等腰三角形或直角三角形 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，勾股定理的逆定理，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点，学会分类讨论． （1）观察可知，上述解题过程是第③步出现错误的． （2）上述解题过程是第③步出现错误的，原因是不能确定是否为0． （3）先把原式变形为，进而得到或，由此可得结论． 【小问1详解】 解：由观察可知，上述解题过程是第③步出现错误的． 故答案为：③． 【小问2详解】 上述解题过程是第③步出现错误的，原因是不能确定是否为0． 故答案为：不能确定是否为0． 【小问3详解】 解： 或 或， 为直角三角形或等腰三角形． 故答案为：等腰三角形或直角三角形． 24. 如图，为的角平分线，，于点，于点，连接交于点． （1）求证：垂直平分； （2）若，猜测与间有何数量关系？请说明理由． 【答案】（1） 证明：为的角平分线，，， ，， ， ∴， ， ， 点、都在的垂直平分线上， 垂直平分； （2）， 理由如下： ，平分，， ， ，， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）由为的角平分线，得到，推出和相等，得到，即可推出结论； （2）由已知推出，得到，在中，由推出，即可推出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 25. 利用完全平方公式可以将多项式（）变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．运用多项式的配方法及平方差公式，能对一些多项式进行分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题，或求代数式的最大值、最小值等． 例如： ． 根据以上材料，解答下列问题． （1）用配方法将多项式化成的形式． （2）求证：不论，取任何实数，多项式的值总为正数． 【答案】（1） ； （2） 证明： ， ∵， ∴， 不论，取任何实数，多项式的值总为正数． 【解析】 【分析】本题考查了配方法的应用，完全平方公式的运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合题干的过程，进行模仿配方，即可作答． （2）把整理得，因为，则，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 26. 请根据以下素材，探索完成任务． 提出问题：买新能源车到底划不划算？ 素材1 某中学数学兴趣小组对市场上配置相近的A款燃油车和B款新能源车做对比调查．其中A、B两款车的有关数据如下： 车型 购车费用（万元） 购置税（万元） 年均保养费用（万元） 年均保险费用（万元） 预计10年后的车价（万元） A款燃油车 15 1.5 0.10 0.4 4.8 B款新能源车 18 0 0.05 0.5 2.0 素材2 总费用（以使用10年为例）购车费用预计10年后的车价购置税保养费用保险费用油费或电费． 素材3 每公里燃油车的油费比新能源车的电费多0.6元．当油费和电费均为200元时，新能源车的行驶路程是燃油车的4倍． 问题解决 任务1 （1）A款燃油车每公里油费是多少元？ 任务2 （2）设平均每年的行驶路程为万公里，A款燃油车使用10年的总费用为元，B款新能源车使用10年的总费用为元，分别求出和关于的表达式． 任务3 （3）每年行驶里程至少为多少万公里，购买B款新能源车更划算？（以使用10年为例） 【答案】（1）；（2），；（3）当每年行驶里程至少为万公里，购买B款新能源车更划算 【解析】 【分析】（1）由这两款车的平均每公里的行驶费用间的关系，可得出A款燃油车平均每公里的加油费用为元，利用可行驶的总路程加油费（充电费）A款燃油车平均每公里的加油费用（B款新能源车平均每公里的充电费用），结合充电费和加油费均为元时新能源车可行驶的总路程是燃油车的倍，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出B款新能源车平均每公里的充电费用，再将其代入中，即可求出A款燃油车平均每公里的加油费用； （2）根据使用燃油车10年的总费用购车费用预计10年后的车价购置税保养费用保险费用，使用新能源车10年的总费用购车费用预计10年后的车价购置税保养费用保险费用，化简表达式，即可求解； （3）要使购买B款新能源车更划算，即，可以得到一元一次不等式，解之即可得出结论． 【详解】解：（1）设B款新能源车平均每公里的充电费用为元，则A款燃油车平均每公里的加油费用为元， 由题意得： 解得：， 经检验，是原分式方程的解且符合题意， （元）， 答：A款燃油车平均每公里油费用为元； （2）根据题意，得： ， ； （3）要使购买B款新能源车更划算，即， 即， 解得， 当每年行驶里程至少为万公里，购买B款新能源车更划算． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $