精品解析：2025年黑龙江省大庆市靓湖学校中考三模数学试题

大庆市靓湖学校2024-2025学年第二学期系列试题 九年级模拟考试数学试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 中国古代数学著作《九章算术》最早提到了负数，的倒数是（　　） A. B. C. D. 2. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式中，对任意实数a都成立的是（ ） A. B. C. D. 若，则 4. 如图为一个乐高积木示意图，这个几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 5. 老师在黑板上写出一个计算方差的算式： 根据上式还原得到的数据，下列结论不正确的是（ ） A. B. 平均数为8 C. 添加一个数8后方差不变 D. 这组数据的众数是6 6. 如图，用一根绳子检测一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量两条对角线就可以判断了．在如下定理中： ①两组对边分别相等的四边形是平行四边形， ②对角线相等的平行四边形是矩形， ③矩形的四个角都是直角， ④三个角都是直角的四边形是矩形，这种检测方法用到的数学根据是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 7. 如图，在 中， ，，， 是 的内切圆，连接 ，，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 8. 如图①，在 中， ，，这个直角三角形三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作直角边之比为的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形，图③是2次操作后的图形．如果图①中的直角三角形的周长为12，那么10次操作后的图形中所有正方形的面积和为（ ） A. 225 B. 250 C. 275 D. 300 9. 定义：如果（ ，），那么x叫做以a为底N的对数，记作．例如：因为，所以；因为，所以．则下列说法中：①；②若，则；③；④（ ，）．正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. “数缺形时少直观，形缺数时难入微．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．若关于x的方程有三个不相等的实数根，且三个实数根的和为正数，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 函数中自变量x的取值范围是________． 12. 已知某种新型感冒病毒的直径为米，将用科学记数法表示为______． 13. 一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力 的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力 方向的夹角 的度数为________________ 14. 有两把不同的锁和三把钥匙，其中两把钥匙恰好分别能打开这两把锁，第三把钥匙不能打开这两把锁．任意取出一把钥匙去开任意的一把锁，一次打开锁的概率是__________． 15. 关于x的方程的解是（a，m，b均为常数，），则方程的解是__________． 16. 若关于 的分式方程的解为正实数，则实数的取值范围是______． 17. 如图①，在正方形 中，点 是 的中点，点 是对角线 上一动点，设，，图②是 关于 的函数图象，且图象上最低点 的纵坐标为，则点 的横坐标为________． 18. 如图，已知矩形 ，，，平面内有一动点 ，且．连接，将线段绕点 逆时针旋转 ，使，得到线段．连接、，则的最小值为____． 三、解答题解答题（本大题共10小题，共66分） 19. 计算：． 20. 求满足不等式组的所有整数解的和． 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 图①中的大庆湿地观光塔．某直升飞机于空中 处探测到大庆湿地观光塔，此时飞行高度 约为，如图②，从直升飞机上看塔尖 的俯角，看塔底 的俯角，求大庆湿地观光塔的高度．(参考数据：，，) 23. 联合国《生物多样性公约》第十五次缔约方大会（COP15）在中国云南昆明召开，为了广泛宣传生物多样性工作，某中学组织学生结合所学知识，进行了生物知识竞赛活动．校方想了解该校七、八年级两个年级的竞赛情况，随机抽取了部分学生成绩进行分析，并将测试成绩绘制成两幅统计图． 请根据统计图中提供的信息，回答下列问题： （1）此次调查的样本容量是________，并补全条形统计图； （2）抽取的样本中，测试成绩的众数是________分，中位数是________分，表示测试成绩为分的扇形圆心角α的度数为________； （3）已知该校七、八年级共有学生人，若竞赛成绩在（含分和分）分视为“成绩良好”，请你估计该校七、八年级生物知识竞赛“成绩良好”的学生共有多少人？ 24. 在2025年央视春晚的舞台上，智能机器人扭秧歌带来了新年惊喜；某机器人模型店看准商机，购进了“灵巧”和“迅捷”两种机器人模型．已知每个“灵巧”模型的进价比“迅捷”模型多5元，同样花费200元，购进“迅捷”模型的数量比“灵巧”模型多2个． （1）“灵巧”和“迅捷”模型的进价各是多少元？ （2）该机器人模型店计划购进两种模型共120个，且每个“灵巧”模型的售价为35元，每个“迅捷”模型的售价为27元．设购进“灵巧”模型 个，销售这批模型的利润为元．若购进“灵巧”模型的数量不超过“迅捷”模型数量的，则购进“灵巧”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？ 25. 如图，在菱形中，对角线 ， 交于点O，过点A作 的垂线，垂足为点E，延长 到点F，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接 ，若菱形的面积为120，，求 的长． 26. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A，B两点，与反比例函数的图象在第二象限交于C，两点，交x轴于点E，若． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求四边形的面积； （3）直接写出的x的取值范围_____． 27. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AO是△ABC的角平分线．以O为圆心，OC为半径作⊙O． （1）求证：AB是⊙O的切线． （2）已知AO交⊙O于点E，延长AO交⊙O于点D，tanD=，求的值． （3）在（2）的条件下，设⊙O的半径为3，求AB的长． 28. 如图①，抛物线与 轴交于，两点，交 轴于点 ． （1）求抛物线的解析式． （2）点 是抛物线第四象限上一点，连接 交 于点 ，求当的值最大时点 的坐标． （3）平移抛物线使它的顶点为，如图②，点 是 轴上一个定点，以点 为直角顶点作，使点、 分别在 轴上和抛物线上，若在变化的过程中，直线与抛物线始终有唯一公共点，求 点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大庆市靓湖学校2024-2025学年第二学期系列试题 九年级模拟考试数学试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 中国古代数学著作《九章算术》最早提到了负数，的倒数是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了倒数的定义，根据两个数相乘积是1，则该两个数互为倒数，即可求解． 【详解】解： 的倒数是， 故选：B． 2. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，解题的关键是掌握中心对称图形与轴对称图形的概念． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】解：A.该选项图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； B. 该选项图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意； C. 该选项图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； D. 该选项图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 3. 下列各式中，对任意实数a都成立的是（ ） A. B. C. D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质与化简，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 利用二次根式有意义的条件和二次根式的性质即可判断． 【详解】解：A. ，该选项正确，符合题意； B.当 时，该选项不成立，不符合题意； C. 当 时，该选项不成立，不符合题意； D. 当时，取，此时成立，但在实数范围内无意义，故该选项不成立，不符合题意； 故选：A． 4. 如图为一个乐高积木示意图，这个几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查简单组合体的三视图，熟练掌握左视图即从左边看到的图形，正视图即从正面看到的图形，俯视图即从上面看到的图形是解题的关键． 根据左视图是从左边看到的图形求解即可． 【详解】解：从左边看这个几何体，看到的图形为： ． 故选：C． 5. 老师在黑板上写出一个计算方差的算式： 根据上式还原得到的数据，下列结论不正确的是（ ） A. B. 平均数为8 C. 添加一个数8后方差不变 D. 这组数据的众数是6 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了方差，平均数，众数．根据方差的公式可得该组数据为11，9，8，6，6，共5个数，平均数为8，再根据方差，众数的定义，即可求解． 【详解】解：根据题意得：该组数据为11，9，8，6，6，共5个数，平均数为8，故A、B选项正确，不符合题意； 添加一个数8后方差为 即添加一个数8后方差改变，故C选项错误，符合题意； 这组数据，6出现的次数最多， 即这组数据的众数是6，故D选项正确，不符合题意； 故选：C 6. 如图，用一根绳子检测一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量两条对角线就可以判断了．在如下定理中： ①两组对边分别相等的四边形是平行四边形， ②对角线相等的平行四边形是矩形， ③矩形的四个角都是直角， ④三个角都是直角的四边形是矩形，这种检测方法用到的数学根据是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】B 【解析】 【分析】依题意，用一根绳子检测一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需判定这个平行四边形是矩形即可，根据对角线相等的平行四边形是矩形可作出选择． 【详解】解：用一根绳子检测一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量两条对角线就可以判断了，这种检测方法用到的数学根据是对角线相等的平行四边形是矩形， 故选：B． 【点睛】本题考查矩形的判定，熟知矩形的判定方法是解答的关键． 7. 如图，在 中， ，，， 是 的内切圆，连接，，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形面积公式，勾股定理，三角形的内切圆的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据勾股定理可得的长，设 与的切点分别为D，E，F，连接，则，设 的半径为r，可证明四边形是正方形，可得，然后三角形的内切圆的性质，可得到 ，，从而得到，然后根据扇形面积公式解答即可． 【详解】解：在 中， ，，， ∴， 如图，设 与的切点分别为D，E，F，连接，则， 设 的半径为r， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵ 是 的内切圆， ∴， 分别平分， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∵ 分别平分， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积是． 故选：C 8. 如图①，在 中， ，，这个直角三角形三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作直角边之比为的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形，图③是2次操作后的图形．如果图①中的直角三角形的周长为12，那么10次操作后的图形中所有正方形的面积和为（ ） A. 225 B. 250 C. 275 D. 300 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意分别计算出图①、图②和图③的面积，得出规律即可求解． 【详解】解：∵∠ACB＝90°，AC：BC＝4：3， ∴设，则， 根据勾股定理得，， ∵， ∴， ∴ ， ， ， ∴图①中正方形面积和为：， 图②中所有正方形面积和，即1次操作后的图形中所有正方形的面积和为： ， 图③中所有正方形面积和，即2次操作后的图形中所有正方形的面积和为： ⋯ ∴n次操作后的图形中所有正方形的面积和为， ∴10次操作后的图形中所有正方形的面积和为：，故D正确． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了图形规律，直角三角形的性质、勾股定理、正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 9. 定义：如果（ ，），那么x叫做以a为底N的对数，记作．例如：因为，所以；因为，所以．则下列说法中：①；②若，则；③；④（ ，）．正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题以新定义题型为背景，主要考查了数的乘方的计算能力，解题的关键是理解定义． 根据定义理解，然后灵活应用定义变化，一一判断给出的说法是否正确即可． 【详解】解：①∵， ∴，该选项正确，符合题意； ②∵， ∴， 解得，该选项错误，不符合题意； ③由得，设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，该选项正确，符合题意； ④令，则， ∵， ∴，该选项正确，符合题意； ∴正确的选项有：①③④， 故选：C． 10. “数缺形时少直观，形缺数时难入微．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．若关于x的方程有三个不相等的实数根，且三个实数根的和为正数，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与直线的交点问题，解题的关键是掌握数形结合的思想． 根据题意得出，画出函数图象，求出函数的顶点坐标，利用函数图象分析函数图象和直线的交点问题即可得出答案． 【详解】解：如图所示， ∵ ∴ 画出函数图象如上， ∵关于的方程有三个不相等的实数根， ∴相当于直线与抛物线和抛物线组成的图形有三个不同的交点， ∴由函数图象可得，两个抛物线的顶点坐标分别为和， 当，且时，满足题意， 当时，直线与抛物线的两个交点关于其对称轴对称，则这两个交点的横坐标之和为3，直线与抛物线的交点的横坐标小于负3， ∴此时三个交点的横坐标之和小于0，不符合题意； 当时，同理可得直线与抛物线的两个交点的横坐标之和为负3，直线与抛物线的交点横坐标大于3， ∴此时三个交点的横坐标之和大于0，符合题意； 综上，， 故选：A． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 函数中自变量x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了函数自变量的取值范围，二次根式和分式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握二次根式被开方数为非负数，分式的分母不能为0． 利用二次根式和分式有意义的条件即可解答此题． 【详解】解：根据二次根式和分式的意义可得， ， 解得，， 故答案为：． 12. 已知某种新型感冒病毒的直径为米，将用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：． 故答案为： ． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 13. 一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力 的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力 方向的夹角 的度数为________________ 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，掌握平行线的性质、直角三角形的性质是解题的关键．根据三角形的外角性质求出，再根据平行线的性质解答即可． 【详解】解：如图所示， 解：在中，，， 则， ， ， 故答案为：． 14. 有两把不同的锁和三把钥匙，其中两把钥匙恰好分别能打开这两把锁，第三把钥匙不能打开这两把锁．任意取出一把钥匙去开任意的一把锁，一次打开锁的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意画树状图，然后求解即可． 【详解】解：根据题意画树状图如下， ∴共有6种等可能的结果，其中一次打开锁共有2种等可能的结果， ∵， ∴一次打开锁的概率为． 故答案为： 【点睛】本题考查了列举法求概率．解题的关键在于正确的画树状图． 15. 关于x的方程的解是（a，m，b均为常数，），则方程的解是__________． 【答案】 【解析】 【分析】把后面一个方程中的看作整体，相当于前面一个方程中的x求解． 【详解】解：∵关于x的方程的解是（a，m，b均为常数，）， ∴方程变形为， 即此方程中或， 解得或． 故方程的解为． 故答案为． 【点睛】此题考查利用换元法解一元二次方程，注意要根据方程的特点灵活选用合适的方法．解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 16. 若关于的分式方程的解为正实数，则实数 的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】此题考查解分式方程．利用解分式方程的一般步骤解出方程，根据题意列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：， 去分母得：， 解得：， ∵分式方程的解为正实数， ∴ 且， ∴且， 解得：且． 故答案为：且 17. 如图①，在正方形 中，点是 的中点，点是对角线 上一动点，设，，图②是 关于的函数图象，且图象上最低点的纵坐标为，则点的横坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．连接， ，由正方形的性质可得，，，证明，得到，则可推出当、、三点共线时，有最小值，即此时 有最小值，最小值为 的长，在图②中，图象上最低点的坐标为，则；由勾股定理可得，则，即，再根据，，然后求出即可． 【详解】解：如图，连接，， 四边形是正方形。 ，，， 在和中， ， ， ， ， ， 当、、三点共线时，有最小值，即此时 有最小值，最小值为 的长， 图②中，图象上最低点的纵坐标为， ， 点是 的中点， ， 在中，由勾股定理可得 ， 正方形 的边长为 ， ， ， ， ， ， ， 点的横坐标为， 故答案为：． 18. 如图，已知矩形 ，，，平面内有一动点，且．连接，将线段绕点逆时针旋转 ，使，得到线段．连接、，则的最小值为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的性质与判定，三角函数，解题的关键在于能够连接 、，证明两对相似三角形求解；连接 、，先证明得得出，在 上取，证明得，故，求出 即可． 【详解】解：如图，连接 ， ∵四边形 是矩形，，， ∴，，，， ∵将线段绕点逆时针旋转 ，使， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在以 为圆心，为半径的圆上， 在 上取， ，， ， 即， ， 连接 ， ，， ， 的最小值为． 故答案为：． 三、解答题解答题（本大题共10小题，共66分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，二次根式的加减运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．先根据负整数指数幂、绝对值、二次根式的性质化简、零指数幂的运算法则计算，再合并即可． 【详解】解： ． 20. 求满足不等式组的所有整数解的和． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解不等式组，先求每一个不等式的解集，再确定不等式组的解集，然后找到所有整数解求和即可． 【详解】解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， 不等式组的解集为 不等式组的整数解有 ，0，1，2，3， 它们的和为． 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查分式的运算 ，二次根式的化简求值；先根据分式的运算法则再结合完全平方公式和平方差公式进行化简，再把代入计算即可． 【详解】解： ， ， ； 当时，原式． 22. 图①中的大庆湿地观光塔．某直升飞机于空中 处探测到大庆湿地观光塔，此时飞行高度 约为，如图②，从直升飞机上看塔尖的俯角，看塔底的俯角，求大庆湿地观光塔的高度．(参考数据：，，) 【答案】大庆湿地观光塔的高度约为米． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题， 延长交于点，则，根据题意可得：米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：延长交于点，则， 由题意得：米， 在中，， (米)， 在中，， (米)， (米)， 大庆湿地观光塔的高度约为米． 23. 联合国《生物多样性公约》第十五次缔约方大会（COP15）在中国云南昆明召开，为了广泛宣传生物多样性工作，某中学组织学生结合所学知识，进行了生物知识竞赛活动．校方想了解该校七、八年级两个年级的竞赛情况，随机抽取了部分学生成绩进行分析，并将测试成绩绘制成两幅统计图． 请根据统计图中提供的信息，回答下列问题： （1）此次调查的样本容量是________，并补全条形统计图； （2）抽取的样本中，测试成绩的众数是________分，中位数是________分，表示测试成绩为分的扇形圆心角α的度数为________； （3）已知该校七、八年级共有学生人，若竞赛成绩在（含分和分）分视为“成绩良好”，请你估计该校七、八年级生物知识竞赛“成绩良好”的学生共有多少人？ 【答案】（1）， 补全条形统计图如图所示： （2），， （3）人 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图，理解两个统计图中数量关系是正确解答的关键． （1）根据“分”的频数为，占调查人数的，可求出调查总人数，进而求出“分”的人数，并补全条形统计图； （2）根据中位数、众数的意义进行判断及扇形圆心角计算方法计算即可； （3）用该校七、八年级共有学生人乘以样本中“竞赛成绩在”所占的百分比即可． 【小问1详解】 解：（人），（人）， 故答案为：； 【小问2详解】 这名学生成绩出现次数最多的是，因此众数是分， 将这名学生的成绩从小到大排列处在中间位置的两个数分别是分和分，因此中位数是分，， 故答案为：，，； 【小问3详解】 （人） 答：该校七、八年级生物知识竞赛“成绩良好”的学生大约共有人． 24. 在2025年央视春晚的舞台上，智能机器人扭秧歌带来了新年惊喜；某机器人模型店看准商机，购进了“灵巧”和“迅捷”两种机器人模型．已知每个“灵巧”模型的进价比“迅捷”模型多5元，同样花费200元，购进“迅捷”模型的数量比“灵巧”模型多2个． （1）“灵巧”和“迅捷”模型的进价各是多少元？ （2）该机器人模型店计划购进两种模型共120个，且每个“灵巧”模型的售价为35元，每个“迅捷”模型的售价为27元．设购进“灵巧”模型个，销售这批模型的利润为元．若购进“灵巧”模型的数量不超过“迅捷”模型数量的，则购进“灵巧”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1）“灵巧”模型的进价为每个25元,“迅捷”模型的进价为每个20元 （2）购进“灵巧”模型个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润为元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，一元二次方程、分式方程的应用， （1）设“迅捷”模型进价为每个x元，可表示“灵巧”模型进价，再根据购进“迅捷”模型的数量比“灵巧”模型多2个，列出分式方程，求出解并检验即可； （2）购进“灵巧”模型a个，则购进“迅捷”模型个，总利润为，用含有a的关系式表示总利润w，然后根据购进“灵巧”模型的数量不超过“迅捷”模型数量的，得出不等式，求出a的取值范围，最后根据一次函数的性质得出最大值． 【小问1详解】 解：设“迅捷”模型进价为每个x元，则“灵巧”模型进价为每个元， 依题意得， ∴ 解得或（舍去）． 经检验，是原分式方程的解．． 答：“灵巧”模型的进价为每个25元,“迅捷”模型的进价为每个20元． 【小问2详解】 ∵购进“灵巧”模型a个，则购进“迅捷”模型个，总利润为 ． ∵购进“灵巧”模型的数量不超过“迅捷”模型数量的， ， 解得：． ，． ∴当时，（元）， 即购进“灵巧”模型个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润为元． 25. 如图，在菱形中，对角线 ， 交于点O，过点A作的垂线，垂足为点E，延长到点F，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接 ，若菱形的面积为120，，求 的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质，可证 ， ，再证，从而可证四边形是平行四边形，再根据，即可求证； （2）根据菱形的性质和“直角三角形斜边上的中线是斜边的一半”，可得，再根据菱形的面积公式“对角线之积的一半”，可得，从而，再根据勾股定理，可求，最后根据，即可求解． 【小问1详解】 证明： 菱形， ， ， ， ，即， ， ，即， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形； 【小问2详解】 解： 菱形， 与 互相平分， ， ， ， ， ， 菱形的面积为120， ， ， ， 在中，， ， ． 26. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A，B两点，与反比例函数的图象在第二象限交于C，两点，交x轴于点E，若． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求四边形的面积； （3）直接写出的x的取值范围_____． 【答案】（1）反比例函数的解析式为；一次函数的解析式为； （2）四边形的面积为 （3）或 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的应用，相似三角形的判定和性质． （1）先利用待定系数法求反比例函数解析式，然后结合相似三角形的判定和性质求得C点坐标，再利用待定系数法求函数关系式； （2）根据一次函数图象上点的坐标特征并结合待定系数法求得A点和E点坐标，然后用的面积减去 的面积求解； （3）根据图象，找到反比例函数的图处于一次函数图象上方的自变量的取值范围即可求解． 【小问1详解】 解：将代入中， ， 反比例函数的解析式为； 过点D作轴，过点C作轴， ∵， ， ， ， 将代入中， ， 解得： ， C点坐标为， 将，代入中， 可得， 解得：， 一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 将代入，得：， 解得：， 直线OC的解析式为， 由，设直线的解析式为， 将代入可得：， 解得：， 直线的解析式为， 当 时，， 解得：， E点坐标为， ， 在中，当 时，， 解得：， A点坐标为， ， ， ； 【小问3详解】 解：∵，， ∴当或时，反比例函数的图处于一次函数图象上方， ∴的x的取值范围是或． 故答案为：或． 27. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AO是△ABC的角平分线．以O为圆心，OC为半径作⊙O． （1）求证：AB是⊙O的切线． （2）已知AO交⊙O于点E，延长AO交⊙O于点D，tanD=，求的值． （3）在（2）的条件下，设⊙O的半径为3，求AB的长． 【答案】 （1）证明：作OF⊥AB于F ∵AO是∠BAC的角平分线，∠ACB=90º ∴OC=OF ∴AB是⊙O的切线 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）过O作OF⊥AB于F，由角平分线上的点到角两边的距离相等即可得证； （2）连接CE，证明△ACE∽△ADC可得= tanD＝； （3）先由勾股定理求得AE的长，再证明△BOF∽△BAC，得，设BO=y，BF=z，列二元一次方程组即可解决问题． 【详解】（1）略 （2）连接CE ∵AO是∠BAC的角平分线， ∴∠CAE=∠CAD ∵∠ACE所对的弧与∠CDE所对的弧是同弧 ∴∠ACE=∠CDE ∴△ACE∽△ADC ∴= tanD＝ （3）先在△ACO中，设AE=x, 由勾股定理得 (x＋3)²=(2x) ²＋3² ，解得x=2, ∵∠BFO=90°=∠ACO 易证Rt△BOF∽Rt△BAC 得， 设BO=y BF=z 即4z=9＋3y，4y=12＋3z 解得z=y= ∴AB=＋4= 考点：圆的综合题． 28. 如图①，抛物线与轴交于，两点，交 轴于点． （1）求抛物线的解析式． （2）点是抛物线第四象限上一点，连接 交 于点，求当的值最大时点的坐标． （3）平移抛物线使它的顶点为，如图②，点是 轴上一个定点，以点为直角顶点作，使点、 分别在轴上和抛物线上，若在变化的过程中，直线与抛物线始终有唯一公共点，求点的坐标． 【答案】（1） （2）的最大值为，此时； （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，等腰三角形的性质，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，勾股定理．作出恰当的辅助线是解题关键． （1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）过点作轴交 于点，过点 作轴交于点，设，则，则，当时，有最大值，此时； （3）由平移可得新抛物线的表达式为，设，由于直线与抛物线有且只有一个交点，亦可看成有两个重合的交点，故可由待定系数法得直线的表达式为，从而求出点的横坐标为作轴于点，如图（2）所示，利用“一线三垂”证明，得到比例式，设，即，整理可得，根据当 点运动时，上式中的值与点 的位置无关，从而，即 ，故得点的坐标． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴ 解得： 【小问2详解】 解：如图，过点作轴交 于点，过点 作轴交于点， ∴， ∴， ∴， 设直线的表达式为， 把，代入表达式，可得， 解得， 所以直线的表达式为， 当 时，， ∴ ∴， 设，， ∴， ∴ 当时，的最大值为，此时； 【小问3详解】 解： 平移抛物线使抛物线的顶点为， 平移后抛物线的， 所以新抛物线的表达式为， 设， 设直线的解析式为， 把代入可得， 可得， 所以直线的解析式为， 列方程，整理得 由于直线与抛物线有且只有一个交点， ，即， 可得， 故直线的表达式为， 再令 ，得， 解得． 作轴于点，如图所示， ， ， ， ， ， ， ， 设， 即， 整理可得， 当 点运动时，上式中的值与点 的位置无关， ，即 ， 故点的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $