3.4　一元一次方程的应用 同步练 2025-2026学年 湘教版（2024）七年级数学上册

3.4　一元一次方程的应用 第1课时　一元一次方程的应用(1)　　　　　　 　　　　　 　　　　　 1.某口罩厂有56名工人,每人每天可以生产600个口罩面或800个口罩耳绳,一个口罩面需要配两个耳绳,为使每天生产的口罩刚好配套,设安排x名工人生产口罩耳绳,则下面所列方程正确的是( ) A.2×600(56-x)=800x B.600(28-x)=800x C.600(56-x)=2×800x D.600(56-x)=800x 2.买两种布料共138 m,花了540元,其中蓝布料每米3元,黑布料每米5元,两种布料各买了多少米?设买蓝布料x m,列方程正确的是( ) A.3x+5(138-x)=540 B.5x+3(138-x)=540 C.3x+5(540-x)=138 D.5x+3(540-x)=138 3.小涵同学在某月的月历表上圈出了三个数a,b,c,并求出了它们的和为45,则这三个数在月历中的排列位置不可能是( ) 4.(数学文化)《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一.书中记载:“今有人共买鸡,人出九,盈十一;人出六,不足十六.问人数几何?”意思是:“有若干人共同出钱买鸡,如果每人出九钱,那么多了十一钱;如果每人出六钱,那么少了十六钱.问:共有几个人?”设共有x个人共同出钱买鸡,则下面所列方程正确的是( ) A.9x+11=6x-16 B.9x-11=6x+16 C.6x-11=9x+16 D.6x+11=9x-16 5.为了改善办学条件,学校购置了笔记本电脑和台式电脑共100台,已知笔记本电脑的台数比台式电脑的台数的还少5台,则购置的笔记本电脑有 台.  6.某足球联赛一个赛季共进行26轮比赛(即每队均需赛26场),其中胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分,某队在这个赛季中平的场数比负的场数多7场,结果得34分,则这个队在这一赛季中胜、平、负各多少场? 7.(跨学科融合)“曹冲称象”是流传很广的故事,如图所示.按照他的方法:先将象牵到大船上,并在船侧面标记水位,再将象牵出.然后往船上抬入20块等重的条形石,并在船上留3个搬运工,这时水位恰好到达标记位置,如果再抬入1块同样的条形石,船上只留1个搬运工,水位也恰好到达标记位置.已知搬运工体重均为120斤,设每块条形石的质量是x斤,则正确的是( ) A.依题意,得3×120=x-120 B.依题意,得20x+3×120=(20+1)x+120 C.该象的质量是5 040斤 D.每块条形石的质量是260斤 8.有一列数,按一定规律排成1,-3,9,-27,81,-243,…,其中某三个相邻数的和是 -1 701,那么这三个数中最小的一个是( ) A.-243 B.-2 187 C.729 D.-1 701 9.一个两位数,十位上的数字比个位上的数字的2倍大3,把这个两位数位置对调后组成的两位数比原数小45,则原来这个两位数为 .  10.如图所示为一块在电脑屏幕上出现的色块图,由6个颜色不同的正方形拼成的长方形,如果中间最小的正方形边长为1,则所拼成的长方形的面积是 .  11.某中学团委组织开展了一次书法比赛,为了表彰在书法比赛中表现优秀的学生,计划购买钢笔30支,毛笔20支,共需1 070元,其中每支毛笔比钢笔贵6元. (1)钢笔和毛笔的单价各为多少元? (2)后来校团委决定扩大表彰面,需要购买钢笔和毛笔共60支(每种笔的单价不变),张老师做完预算后,对财务处王老师说:“这次需要1 322元.”王老师算了一下,说:“你的钱数肯定算错了.”请你用学过的方程知识解释王老师为什么说他算错了. 12.(模型观念)欧拉是一位著名的数学家,他把他的一生都献给了人类的数学事业,在他一生岁数的那年,他发表了第一篇数学论文,并且获得了巴黎科学院奖金,此后过了7年,他成为彼得堡科学院的数学教授,在欧拉去世的前17年,他不幸双目失明了,但他继续在黑暗的世界里凭着他的记忆和心算进行数学研究,在这17年里,他写出了数学论文400篇,正好是他一生的岁数与他成为彼得堡学院数学教授时岁数之差的8倍.根据以上信息,请你算出数学家欧拉一生活了多少岁? 第2课时　一元一次方程的应用(2)　　　　　 　　　　 　　　　 1.一项工程,甲队独做需20天完成,乙队独做需30天完成,若甲队独做8天,乙队再做 3天,剩下的甲、乙两队合作,还需几天完成?设还需x天完成,依题意可列方程为( ) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 2.(2023枣庄)《算学启蒙》是我国较早的数学著作之一,书中记载一道问题:“良马日行二百四十里,驽马日行一百五十里,驽马先行一十二日,问良马几何追及之?”题意是:快马每天走240里,慢马每天走150里,慢马先走12天,试问快马几天可以追上慢马?若设快马x天可以追上慢马,则下列方程正确的是( ) A.240x+150x=150×12 B.240x-150x=240×12 C.240x+150x=240×12 D.240x-150x=150×12 3.小华从家里骑自行车到学校,每小时骑 15 km,可早到10 min,每小时骑12 km就会迟到5 min,则他家到学校的路程是 km.  4.检修一处住宅区的自来水管,甲单独完成需14天,乙单独完成需18天,丙单独完成需12天.前7天由甲、乙两人合作,但乙中途离开了一段时间,后2天由乙、丙合作完成,则乙中途离开的天数是 天.  5.小明和同学在“五一”假期去森林公园游玩,他们在溪流边的A码头租了一艘小艇逆流而上,划行速度约为4 km/h,到B地后沿原路返回,速度增加了50%,回到A码头比去时少花了20 min.则A,B两地之间的路程为 km.  6.一列火车匀速行驶经过一座桥,火车完全通过桥共用了50 s,整列火车在桥上的时间为30 s,已知桥长1 200 m,求火车的长度和速度. 7.(易错题)A,B两地相距450 km,甲、乙两车分别从A,B两地同时出发,相向而行.已知甲车速度为120 km/h时,乙车速度为 80 km/h,经过t h两车相距50 km,则t的值是( ) A.2或2.5 B.2或10 C.10或12.5 D.2或12.5 8.一项工程,由甲队单独做需12个月完工,由乙队单独做需15个月完工.现决定由两队合作,且为了加快进度,甲、乙两队都将提高工作效率.若甲队的工作效率提高40%,乙队的工作效率提高25%,则两队合作 个月可以完工.  9.某中学需要制作宣传栏,请来三名工人,已知甲单独做12天可完成,乙单独做20天可完成,丙单独做15天可完成.现在甲和乙合作了4天,余下的工作乙和丙两人合作完成.完成后,支付酬金4 000元,如果按各人完成的工作量计算报酬,那么乙应得 元.  10.A,B两地相距480 km,一列慢车从A地出发,每小时走60 km,一列快车从B地出发,每小时走105 km. (1)两车同时出发相向而行,x h相遇,可列方程为 .  (2)两车同时出发相背而行,x h后两车相距620 km,可列方程为 . (3)慢车出发1 h后快车从B地出发,同向而行,请问快车出发几小时后追上慢车? 11.某项工程的承包合同规定:15天内完成这项工程,否则每超过 1天罚款1 000元.由于甲单独做20天完成,乙单独做30天完成,为此甲、乙两人商定共同承包这项工程,并签订了承包合同. (1)在正常情况下,甲、乙两人能否履行承包合同?为什么? (2)在两人合作完成这项工程的75%时,因别处有急事,必须调走1人.为了能够履行承包合同,应该调走谁?请说明理由. 12.(模型观念)一项工程在规定的时间完成,若让甲工程队单独做要6天完成,每天需付工钱1.2万元;若让乙工程队单独做要9天完成,每天需付工钱0.6万元.招投标小组经过研究决定采取如下三套方案: 方案①:甲工程队单独完成;方案②:乙工程队单独完成;方案③:甲、乙两工程队合作 2天,剩下的由乙工程队单独做,恰好在规定时间 完成. (1)规定时间是多少天? (2)在不耽误工期的情况下,选择哪种方案省钱? 第3课时　一元一次方程的应用(3)　　　　　 　　　　 　　　　 1.甲组人数是乙组人数的2倍,从甲组抽调 8人到乙组,这时甲组剩下的人数恰好是乙组现有人数的一半多3.设乙组原有x人,则可列方程为( ) A.2x=x+3 B.2x=(x+8)+3 C.2x-8=x+3 D.2x-8=(x+8)+3 2.(跨学科融合)“朝三暮四”是一个源自《庄子·齐物论》的寓言故事,某数学老师将其内容改编成一道数学题:老翁计划早上给猴子的粮食是晚上的,猴子们很不满意,于是老翁进行了调整,从晚上的粮食中取 2 kg 放在早上投食,这样早上的粮食是晚上的,猴子们非常满意.问老翁给猴子每天的食物总量共多少千克?设原计划早上投食 3x kg,那么每天投食总量为7x kg.根据题意,你认为下列等式正确的是( ) A.3x+2=(4x-2) B.4x-3x=2 C.3x+2=4x D.3x+2= 3.某校七年级三个班级联合开展户外研学活动,此次活动由一班班长负责购买车票,票价每张20元. 团购优惠方案 ①全体人员均打8折; ②若打9折,有7人可以免票. 班长思考一会儿说,无论选择哪种方案所要付的车费是一样的,则七年级三个班级共有多少人( ) A.60人 B.61人 C.62人 D.63人 4.甲工程队原有400人,乙工程队原有 150人,现要抽调一定人数组成第三工程队,如果甲、乙两队抽调的人数比为2∶1,那么甲队剩下的人数是乙队剩下人数的 4倍,则甲队抽调了 人,乙队抽调了 人.  5.(教材P114例3改编)为保持水土,美化环境,某乡村中学准备在从校门口到柏油公路的这一段土路的两侧栽一些树,并要求土路两侧树的棵数相等,间距也相等,且首、尾两端均栽上树,现在学校已备好一批树苗,若间隔30 m栽一棵,则缺少22棵;若间隔 35 m栽一棵,则缺少14棵. (1)学校备好的树苗有多少棵?这段土路的长度是多少米? (2)某苗圃负责人了解到该中学想在校外土路两旁栽树的上述情况后,觉得两树间距太大,既不美观,又影响防风固沙的效果,决定无偿支援该中学300棵树苗.请问,这些树苗加上学校自己备好的树苗,间隔5 m栽一棵,是否够用. 6.(跨学科融合)古代有这样一个寓言故事:驴子和骡子一同走,它们驮着不同袋数的货物,每袋货物都是一样重,驴子抱怨负担太重,骡子说:“你抱怨什么?如果你给我一袋,那我所负担的就是你的两倍;如果我给你一袋,我们才恰好驮的一样多!”那么驴子原来所驮的货物有( ) A.5袋 B.6袋 C.7袋 D.8袋 7.某公司今年销售甲、乙两种运动鞋,第二季度这两种鞋共卖出 11 000双.第三季度甲种运动鞋卖出的数量比第二季度增加6%,乙种运动鞋卖出的数量比第二季度减少5%,且这两种鞋的总销量增加了2%. (1)第二季度甲、乙两种运动鞋各卖了多少双? (2)某制鞋厂组织工人生产甲、乙两种运动鞋.原计划安排的工人生产甲种运动鞋,现抽调其中的16人去生产乙种运动鞋,已知每位工人一天可生产甲种运动鞋6双或乙种运动鞋4双,若调配后每天制成的两种运动鞋数量相等,求该鞋厂工人的人数. 8.(模型观念)某蔬菜基地2023年收获大白菜24 000 kg,在收获前期共投入9 000元的成本,2023年大白菜的销售行情如下: 方式一:直接在蔬菜基地销售,每千克为m元: 方式二:在市场上每千克为n元,但平均每天只出售2 000 kg,且每天需人工费 300元,每天还需缴纳管理费等其他费用100元. (1)直接用m,n表示两种方式出售大白菜的纯收入; (2)若m=2,n=2.5,选择哪种方式出售获利较多?说明你的理由; (3)当n=3,m为何值时,两种方式获利一样. 专题聚焦八　列方程解应用题设未知数的技巧　　　　　 　　　　 　　　　 类型一　直接设未知数 1.某生态农业园种植的青椒除了运往市区销售外,还可以让市民亲自去生态农业园购买.已知 2023年 5月份该青椒在市区、园区的销售价格分别为 6元/千克、4元/千克,2023年5月份一共销售了3 000千克,总销售额为16 000元,2023年5月份该青椒在市区销售了多少千克? 2.一水池,单开进水管3 h可将空池注满,单开出水管4 h可将满池水放完.现对空水池先打开进水管2 h,然后打开出水管,使进水管、出水管一起开放,问再经过几小时可以将全池注满? 3.小明在课外阅读中对有关“自定义型题”有了一定的了解,他也尝试着自定义了“颠倒数”的概念:从左到右写下一个自然数,再把它按从右到左的顺序写一遍,如果两个数的位数相同,这样就得到了这个数的“颠倒数”,如348的颠倒数是843.请你探究,解决下列问题: (1)2 023的“颠倒数”为 .  (2)已知由“颠倒数”构成的等式12×□31=13□×21,能否找到一个数字填入空格,使这个等式成立?请你用列方程的方法解决. 类型二　间接设未知数 4.某工厂去年的总产值比总支出多500万元.由于今年总产值比去年增加15%,总支出比去年节约10%,因此,今年总产值比总支出多950万元.今年的总产值和总支出各是多少万元? 5.一个两位数,个位上的数字和十位上的数字的和为11,如果个位上的数字和十位上的数字位置互换,所得的新数比原数大9,求原来的两位数. 类型三　设辅助未知数 6.一片草地上的青草,到处长得一样密一样快,设所有的牛每天吃的草量相同,已知在草地上放牧 70头牛,则24天把草吃完,若放牧30头牛,则60天把草吃完,那么多少头牛96天能把草地上的草吃完? 7.某音乐厅五月初决定在暑假期间举办学生专场音乐会,入场券分为团体票和零售票,其中团体票占总票数的,若提前购票,则给予不同程度的优惠,在五月份内,团体票每张12元,共售出团体票的;零售票每张16元,共售出零售票的一半.如果在六月份内,团体票按每张16元出售,并计划在六月份内售出全部余票,那么零售票应按每张多少元定价才能使这两个月的票款收入持平? 类型四　利用整体设元法列方程 8.一个五位数的最高位上的数是5,若将这个5移至这个五位数的最右边,则所得的五位数比原数的多7 001,求原五位数. 9.一个六位数2abcde的3倍等于六位数 abcde9,求六位数2abcde的值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.4　一元一次方程的应用 第1课时　一元一次方程的应用(1)　　　　　　 　　　　　 　　　　　 1.某口罩厂有56名工人,每人每天可以生产600个口罩面或800个口罩耳绳,一个口罩面需要配两个耳绳,为使每天生产的口罩刚好配套,设安排x名工人生产口罩耳绳,则下面所列方程正确的是(A) A.2×600(56-x)=800x B.600(28-x)=800x C.600(56-x)=2×800x D.600(56-x)=800x 2.买两种布料共138 m,花了540元,其中蓝布料每米3元,黑布料每米5元,两种布料各买了多少米?设买蓝布料x m,列方程正确的是(A) A.3x+5(138-x)=540 B.5x+3(138-x)=540 C.3x+5(540-x)=138 D.5x+3(540-x)=138 3.小涵同学在某月的月历表上圈出了三个数a,b,c,并求出了它们的和为45,则这三个数在月历中的排列位置不可能是(D) 4.(数学文化)《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一.书中记载:“今有人共买鸡,人出九,盈十一;人出六,不足十六.问人数几何?”意思是:“有若干人共同出钱买鸡,如果每人出九钱,那么多了十一钱;如果每人出六钱,那么少了十六钱.问:共有几个人?”设共有x个人共同出钱买鸡,则下面所列方程正确的是(B) A.9x+11=6x-16 B.9x-11=6x+16 C.6x-11=9x+16 D.6x+11=9x-16 5.为了改善办学条件,学校购置了笔记本电脑和台式电脑共100台,已知笔记本电脑的台数比台式电脑的台数的还少5台,则购置的笔记本电脑有　16　台.  6.某足球联赛一个赛季共进行26轮比赛(即每队均需赛26场),其中胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分,某队在这个赛季中平的场数比负的场数多7场,结果得34分,则这个队在这一赛季中胜、平、负各多少场? 解:设这个队在这一赛季中负x场,则平(x+7)场,胜(26-x-x-7)场.根据题意,得 3×(26-x-x-7)+1×(x+7)=34, 解得x=6. 所以x+7=6+7=13(场), 26-x-x-7=26-6-6-7=7(场). 答:这个队在这一赛季中胜7场,平13场,负6场. 7.(跨学科融合)“曹冲称象”是流传很广的故事,如图所示.按照他的方法:先将象牵到大船上,并在船侧面标记水位,再将象牵出.然后往船上抬入20块等重的条形石,并在船上留3个搬运工,这时水位恰好到达标记位置,如果再抬入1块同样的条形石,船上只留1个搬运工,水位也恰好到达标记位置.已知搬运工体重均为120斤,设每块条形石的质量是x斤,则正确的是(B) A.依题意,得3×120=x-120 B.依题意,得20x+3×120=(20+1)x+120 C.该象的质量是5 040斤 D.每块条形石的质量是260斤 8.有一列数,按一定规律排成1,-3,9,-27,81,-243,…,其中某三个相邻数的和是 -1 701,那么这三个数中最小的一个是(B) A.-243 B.-2 187 C.729 D.-1 701 9.一个两位数,十位上的数字比个位上的数字的2倍大3,把这个两位数位置对调后组成的两位数比原数小45,则原来这个两位数为　72　.  10.如图所示为一块在电脑屏幕上出现的色块图,由6个颜色不同的正方形拼成的长方形,如果中间最小的正方形边长为1,则所拼成的长方形的面积是　143　.  11.某中学团委组织开展了一次书法比赛,为了表彰在书法比赛中表现优秀的学生,计划购买钢笔30支,毛笔20支,共需1 070元,其中每支毛笔比钢笔贵6元. (1)钢笔和毛笔的单价各为多少元? (2)后来校团委决定扩大表彰面,需要购买钢笔和毛笔共60支(每种笔的单价不变),张老师做完预算后,对财务处王老师说:“这次需要1 322元.”王老师算了一下,说:“你的钱数肯定算错了.”请你用学过的方程知识解释王老师为什么说他算错了. 解:(1)设钢笔的单价为x元,则毛笔的单价为(x+6)元. 根据题意,得30x+20(x+6)=1 070, 解得x=19.则x+6=25. 答:钢笔的单价为19元,毛笔的单价为25元. (2)设单价为19元的钢笔y支,则单价为25元的毛笔为(60-y)支. 根据题意,得19y+25(60-y)=1 322, 解得y=29, 因为钢笔的数量是正整数, 所以y=29不符合题意. 所以张老师肯定算错了. 12.(模型观念)欧拉是一位著名的数学家,他把他的一生都献给了人类的数学事业,在他一生岁数的那年,他发表了第一篇数学论文,并且获得了巴黎科学院奖金,此后过了7年,他成为彼得堡科学院的数学教授,在欧拉去世的前17年,他不幸双目失明了,但他继续在黑暗的世界里凭着他的记忆和心算进行数学研究,在这17年里,他写出了数学论文400篇,正好是他一生的岁数与他成为彼得堡学院数学教授时岁数之差的8倍.根据以上信息,请你算出数学家欧拉一生活了多少岁? 解:设数学家欧拉一生活了x岁. 根据题意,得8[x-(x+7)]=400, 解得x=76. 答:数学家欧拉一生活了76岁. 第2课时　一元一次方程的应用(2)　　　　　 　　　　 　　　　 1.一项工程,甲队独做需20天完成,乙队独做需30天完成,若甲队独做8天,乙队再做 3天,剩下的甲、乙两队合作,还需几天完成?设还需x天完成,依题意可列方程为(A) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 2.(2023枣庄)《算学启蒙》是我国较早的数学著作之一,书中记载一道问题:“良马日行二百四十里,驽马日行一百五十里,驽马先行一十二日,问良马几何追及之?”题意是:快马每天走240里,慢马每天走150里,慢马先走12天,试问快马几天可以追上慢马?若设快马x天可以追上慢马,则下列方程正确的是(D) A.240x+150x=150×12 B.240x-150x=240×12 C.240x+150x=240×12 D.240x-150x=150×12 3.小华从家里骑自行车到学校,每小时骑 15 km,可早到10 min,每小时骑12 km就会迟到5 min,则他家到学校的路程是　15　km.  4.检修一处住宅区的自来水管,甲单独完成需14天,乙单独完成需18天,丙单独完成需12天.前7天由甲、乙两人合作,但乙中途离开了一段时间,后2天由乙、丙合作完成,则乙中途离开的天数是 　3　天.  5.小明和同学在“五一”假期去森林公园游玩,他们在溪流边的A码头租了一艘小艇逆流而上,划行速度约为4 km/h,到B地后沿原路返回,速度增加了50%,回到A码头比去时少花了20 min.则A,B两地之间的路程为　4　km.  6.一列火车匀速行驶经过一座桥,火车完全通过桥共用了50 s,整列火车在桥上的时间为30 s,已知桥长1 200 m,求火车的长度和速度. 解:设火车的长度为x m. 根据题意,得=, 解得x=300. 所以火车的速度为=30(m/s). 答:火车的长度为300 m,速度为30 m/s. 7.(易错题)A,B两地相距450 km,甲、乙两车分别从A,B两地同时出发,相向而行.已知甲车速度为120 km/h时,乙车速度为 80 km/h,经过t h两车相距50 km,则t的值是(A) A.2或2.5 B.2或10 C.10或12.5 D.2或12.5 8.一项工程,由甲队单独做需12个月完工,由乙队单独做需15个月完工.现决定由两队合作,且为了加快进度,甲、乙两队都将提高工作效率.若甲队的工作效率提高40%,乙队的工作效率提高25%,则两队合作　5　个月可以完工.  9.某中学需要制作宣传栏,请来三名工人,已知甲单独做12天可完成,乙单独做20天可完成,丙单独做15天可完成.现在甲和乙合作了4天,余下的工作乙和丙两人合作完成.完成后,支付酬金4 000元,如果按各人完成的工作量计算报酬,那么乙应得　1 600　元.  10.A,B两地相距480 km,一列慢车从A地出发,每小时走60 km,一列快车从B地出发,每小时走105 km. (1)两车同时出发相向而行,x h相遇,可列方程为　.  (2)两车同时出发相背而行,x h后两车相距620 km,可列方程为　. (3)慢车出发1 h后快车从B地出发,同向而行,请问快车出发几小时后追上慢车? 解:(1)60x+105x=480 (2)60x+105x+480=620 (3)设快车出发y h后追上慢车, 根据题意,得105y=60(y+1)+480, 解得y=12, 答:快车出发12 h后追上慢车. 11.某项工程的承包合同规定:15天内完成这项工程,否则每超过 1天罚款1 000元.由于甲单独做20天完成,乙单独做30天完成,为此甲、乙两人商定共同承包这项工程,并签订了承包合同. (1)在正常情况下,甲、乙两人能否履行承包合同?为什么? (2)在两人合作完成这项工程的75%时,因别处有急事,必须调走1人.为了能够履行承包合同,应该调走谁?请说明理由. 解:(1)能履行承包合同.理由如下: 设甲、乙两人合作需x天完成, 根据题意,得(+)x=1, 解得x=12, 因为12<15, 所以甲、乙两人能履行承包合同. (2)设两人合作完成这项工程的75%用时y天, 根据题意,得(+)y=, 解得y=9. 所以剩下的由甲单独做需要的时间是 ÷=5(天). 剩下的由乙单独做需要的时间是 ÷=7.5(天), 而9+5=14<15,9+7.5=16.5>15, 故应调走乙,才能履行承包合同. 12.(模型观念)一项工程在规定的时间完成,若让甲工程队单独做要6天完成,每天需付工钱1.2万元;若让乙工程队单独做要9天完成,每天需付工钱0.6万元.招投标小组经过研究决定采取如下三套方案: 方案①:甲工程队单独完成;方案②:乙工程队单独完成;方案③:甲、乙两工程队合作 2天,剩下的由乙工程队单独做,恰好在规定时间 完成. (1)规定时间是多少天? (2)在不耽误工期的情况下,选择哪种方案省钱? 解:(1)设规定时间为x天, 根据题意,得2×(+)+(x-2)×=1, ++x-=1, 解得x=6, 答:规定的时间是6天. (2)方案①甲工程队单独做,刚好在规定时间6天完成,需要付工钱为6×1.2=7.2(万元), 方案②乙工程队单独做要9天,超过了规定时间,不选择方案②, 方案③甲工程队做了2天,乙工程队做了6天,需要付工钱为2×1.2+6×0.6=6(万元),6万元<7.2万元, 在不耽误工期的情况下,应该选择方案③省钱. 第3课时　一元一次方程的应用(3)　　　　　 　　　　 　　　　 1.甲组人数是乙组人数的2倍,从甲组抽调 8人到乙组,这时甲组剩下的人数恰好是乙组现有人数的一半多3.设乙组原有x人,则可列方程为(D) A.2x=x+3 B.2x=(x+8)+3 C.2x-8=x+3 D.2x-8=(x+8)+3 2.(跨学科融合)“朝三暮四”是一个源自《庄子·齐物论》的寓言故事,某数学老师将其内容改编成一道数学题:老翁计划早上给猴子的粮食是晚上的,猴子们很不满意,于是老翁进行了调整,从晚上的粮食中取 2 kg 放在早上投食,这样早上的粮食是晚上的,猴子们非常满意.问老翁给猴子每天的食物总量共多少千克?设原计划早上投食 3x kg,那么每天投食总量为7x kg.根据题意,你认为下列等式正确的是(A) A.3x+2=(4x-2) B.4x-3x=2 C.3x+2=4x D.3x+2= 3.某校七年级三个班级联合开展户外研学活动,此次活动由一班班长负责购买车票,票价每张20元. 团购优惠方案 ①全体人员均打8折; ②若打9折,有7人可以免票. 班长思考一会儿说,无论选择哪种方案所要付的车费是一样的,则七年级三个班级共有多少人(D) A.60人 B.61人 C.62人 D.63人 4.甲工程队原有400人,乙工程队原有 150人,现要抽调一定人数组成第三工程队,如果甲、乙两队抽调的人数比为2∶1,那么甲队剩下的人数是乙队剩下人数的 4倍,则甲队抽调了　200　人,乙队抽调了　100　人.  5.(教材P114例3改编)为保持水土,美化环境,某乡村中学准备在从校门口到柏油公路的这一段土路的两侧栽一些树,并要求土路两侧树的棵数相等,间距也相等,且首、尾两端均栽上树,现在学校已备好一批树苗,若间隔30 m栽一棵,则缺少22棵;若间隔 35 m栽一棵,则缺少14棵. (1)学校备好的树苗有多少棵?这段土路的长度是多少米? (2)某苗圃负责人了解到该中学想在校外土路两旁栽树的上述情况后,觉得两树间距太大,既不美观,又影响防风固沙的效果,决定无偿支援该中学300棵树苗.请问,这些树苗加上学校自己备好的树苗,间隔5 m栽一棵,是否够用. 解:(1)设学校备好的树苗为x棵, 根据题意,得 30(-1)=35(-1), 解得x=36.30×(-1)=840(m), 答:学校备好的树苗为36棵,这段土路的长度是840 m. (2)若间隔5 m栽树, 则共需树苗2(+1)=338(棵), 300+36=336(棵), 因为336<338,所以这些树苗不够用. 6.(跨学科融合)古代有这样一个寓言故事:驴子和骡子一同走,它们驮着不同袋数的货物,每袋货物都是一样重,驴子抱怨负担太重,骡子说:“你抱怨什么?如果你给我一袋,那我所负担的就是你的两倍;如果我给你一袋,我们才恰好驮的一样多!”那么驴子原来所驮的货物有(A) A.5袋 B.6袋 C.7袋 D.8袋 7.某公司今年销售甲、乙两种运动鞋,第二季度这两种鞋共卖出 11 000双.第三季度甲种运动鞋卖出的数量比第二季度增加6%,乙种运动鞋卖出的数量比第二季度减少5%,且这两种鞋的总销量增加了2%. (1)第二季度甲、乙两种运动鞋各卖了多少双? (2)某制鞋厂组织工人生产甲、乙两种运动鞋.原计划安排的工人生产甲种运动鞋,现抽调其中的16人去生产乙种运动鞋,已知每位工人一天可生产甲种运动鞋6双或乙种运动鞋4双,若调配后每天制成的两种运动鞋数量相等,求该鞋厂工人的人数. 解:(1)设第二季度甲种运动鞋卖了x双,则乙种运动鞋卖了(11 000-x)双, 根据题意,得 6%x-5%(11 000-x)=11 000×2%, 解得x=7 000.11 000-7 000=4 000(双). 答:第二季度甲种运动鞋卖了7 000双,乙种运动鞋卖了4 000双. (2)设该鞋厂有y名工人,则生产甲种运动鞋的人数为(y-16),生产乙种运动鞋的人数为(y+16), 根据题意,得6(y-16)=4(y+16), 解得y=60. 答:该鞋厂有60名工人. 8.(模型观念)某蔬菜基地2023年收获大白菜24 000 kg,在收获前期共投入9 000元的成本,2023年大白菜的销售行情如下: 方式一:直接在蔬菜基地销售,每千克为m元: 方式二:在市场上每千克为n元,但平均每天只出售2 000 kg,且每天需人工费 300元,每天还需缴纳管理费等其他费用100元. (1)直接用m,n表示两种方式出售大白菜的纯收入; (2)若m=2,n=2.5,选择哪种方式出售获利较多?说明你的理由; (3)当n=3,m为何值时,两种方式获利一样. 解:(1)方式一纯收入为(24 000m-9 000)(元); 方式二纯收入为(24 000n-13 800)(元). (2)方式二的出售获利较多.理由如下: 方式一:把m=2代入,24 000m-9 000=24 000×2-9 000=39 000(元); 方式二:把n=2.5代入,24 000n-13 800=24 000×2.5-13 800= 46 200(元). 因为39 000<46 200, 所以方式二的出售获利较多. (3)根据题意,得24 000m-9 000=24 000×3-13 800,解得m=2.8. 答:当n=3,m=2.8时,两种方式获利一样. 专题聚焦八　列方程解应用题设未知数的技巧　　　　　 　　　　 　　　　 类型一　直接设未知数 1.某生态农业园种植的青椒除了运往市区销售外,还可以让市民亲自去生态农业园购买.已知 2023年 5月份该青椒在市区、园区的销售价格分别为 6元/千克、4元/千克,2023年5月份一共销售了3 000千克,总销售额为16 000元,2023年5月份该青椒在市区销售了多少千克? 解:设在市区销售了x千克.根据题意,得 6x+4(3 000-x)=16 000, 解得x=2 000. 答:2023年5月份该青椒在市区销售了 2 000千克. 2.一水池,单开进水管3 h可将空池注满,单开出水管4 h可将满池水放完.现对空水池先打开进水管2 h,然后打开出水管,使进水管、出水管一起开放,问再经过几小时可以将全池注满? 解:设再经过x h可以将全池注满. 根据题意,得(x+2)-x=1, 解得x=4. 答:再经过4 h可以将全池注满. 3.小明在课外阅读中对有关“自定义型题”有了一定的了解,他也尝试着自定义了“颠倒数”的概念:从左到右写下一个自然数,再把它按从右到左的顺序写一遍,如果两个数的位数相同,这样就得到了这个数的“颠倒数”,如348的颠倒数是843.请你探究,解决下列问题: (1)2 023的“颠倒数”为　　　　.  (2)已知由“颠倒数”构成的等式12×□31=13□×21,能否找到一个数字填入空格,使这个等式成立?请你用列方程的方法解决. 解:(1)3 202 (2)能.理由如下: 设□表示的数为x. 根据题意,得12(100x+31)=21(130+x), 解得x=2. 即空格填入2,能使这个等式成立. 类型二　间接设未知数 4.某工厂去年的总产值比总支出多500万元.由于今年总产值比去年增加15%,总支出比去年节约10%,因此,今年总产值比总支出多950万元.今年的总产值和总支出各是多少万元? 解:设去年的总产值是x万元,则去年的总支出是(x-500)万元. 根据题意,得 (1+15%)x-(1-10%)(x-500)=950. 解得x=2 000. 所以(1+15%)x=2 300,(1-10%)(x-500)=1 350. 答:今年的总产值是2 300万元,总支出是 1 350万元. 5.一个两位数,个位上的数字和十位上的数字的和为11,如果个位上的数字和十位上的数字位置互换,所得的新数比原数大9,求原来的两位数. 解:设原数的个位上的数字为x,则原数的十位上的数字为(11-x). 根据题意,得 [10x+(11-x)]-[10(11-x)+x]=9, 解得x=6.11-x=5. 所以原来的两位数是56. 类型三　设辅助未知数 6.一片草地上的青草,到处长得一样密一样快,设所有的牛每天吃的草量相同,已知在草地上放牧 70头牛,则24天把草吃完,若放牧30头牛,则60天把草吃完,那么多少头牛96天能把草地上的草吃完? 解:设一头牛一天吃草量为a,草每天长出的量为b.根据原有的草量相同,可得 70×24a-24b=30×60a-60b,即b=a. 设x头牛96天能把草地上的草吃完. 根据题意,得96ax-96b=30×60a-60b, 将b=a代入,得 96ax-320a=30×60a-200a, 因为a≠0, 所以两边同除以a,得96x-320=30×60-200, 解得x=20. 答:20头牛96天能把草地上的草吃完. 7.某音乐厅五月初决定在暑假期间举办学生专场音乐会,入场券分为团体票和零售票,其中团体票占总票数的,若提前购票,则给予不同程度的优惠,在五月份内,团体票每张12元,共售出团体票的;零售票每张16元,共售出零售票的一半.如果在六月份内,团体票按每张16元出售,并计划在六月份内售出全部余票,那么零售票应按每张多少元定价才能使这两个月的票款收入持平? 解:设总票数a张,六月份零售票按每张x元定价. 根据题意,得12×a×+16×a×=16×a×+a×x, 化简,得a+a=a+ax, 因为总票数a>0, 所以两边同除以a,得+=+x, 解得x=19.2. 答:六月份零售票应按每张19.2元定价,才能使这两个月的票款收入持平. 类型四　利用整体设元法列方程 8.一个五位数的最高位上的数是5,若将这个5移至这个五位数的最右边,则所得的五位数比原数的多7 001,求原五位数. 解:设原五位数后四位组成的数是x,则原数为50 000+x,新数为10x+5. 根据题意,得 10x+5=(50 000+x)+7 001, 解得x=4 321. 即原五位数为54 321. 9.一个六位数2abcde的3倍等于六位数 abcde9,求六位数2abcde的值. 解:设五位数abcde为x, 因为六位数2abcde中的2在十万位上, 所以六位数2abcde可表示为2×100 000+x. 同理,得六位数abcde9可表示为10x+9, 根据题意,得(2×100 000+x)×3= 10x+9, 解得x=85 713. 所以六位数2abcde的值为2×100 000+x=285 713. 学科网（北京）股份有限公司 $$