3.4.1和、差、倍、分问题-课件-2026-2027学年湘教版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦一元一次方程的和差倍分问题及应用，通过轮船航行、投壶游戏等生活实例导入，衔接核心知识点与顺逆流、配套、工程等综合问题，构建从定义、等量关系到复杂问题的学习支架。 其亮点在于结合奶茶义卖、积分竞赛等情境培养数学眼光，通过例题解析和解题步骤发展数学思维（运算能力、推理意识），用方程模型表达现实问题强化数学语言（模型意识）。分层练习和系统小结帮助学生提升应用能力，为教师提供丰富教学素材和清晰思路。

湘教版数学七年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 7年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月7日 3.4.1和、差、倍、分问题 第3章 一次方程（组） 湘教版数学七年级上册3.4.1和、差、倍、分问题同步练习题 一、核心知识点回顾 1. 题型定义：和、差、倍、分问题是一元一次方程最基础的应用题类型，主要依托数量之间的和、差、倍数、比例分配关系列方程求解。 2. 常用核心等量关系： 和：大数 + 小数 = 总数；部分1 + 部分2 = 整体 差：大数 − 小数 = 相差数；小数 + 相差数 = 大数 倍：一倍量 × 倍数 = 几倍量 分：总量 × 所占份数 = 对应部分量 3. 解题通用步骤：审题找等量关系→设未知数（通常设一倍量、标准量为x）→列一元一次方程→解方程→检验作答。 4. 关键技巧：优先设标准量、一倍量为未知数，可最大程度简化方程；准确区分“多几倍、是几倍、少几倍”的文字表述。 5. 高频易错点：混淆“A比B多2倍”与“A是B的2倍”；和差关系颠倒大小数；分配问题漏算全部总量。 二、基础练习题（含答案解析） （一）选择题（每题4分，共20分） 1. 甲数为x，乙数是甲数的3倍，甲乙两数的和为40，列方程正确的是（） A. $$x+3=40$$ B. $$x+3x=40$$ C. $$3x-x=40$$ D. $$x+40=3x$$ 2. 一个数的4倍比它本身大18，设这个数为x，方程正确的是（） A. $$4x-x=18$$ B.$$4x+x=18$$ C. $$4x=18$$ D. $$x+18=4$$ 3. 两数之差为12，大数是小数的3倍，设小数为x，下列方程正确的是（） A. $$3x+x=12$$ B. $$3x-x=12$$ C. $$x+12=3$$ D. $$3x=12$$ 4. 共有80本书，分给甲乙两人，甲分得的数量是乙的4倍，则乙分得（） A. 16本 B. 20本 C. 64本 D. 40本 5. 某数的2倍与5的和是25，这个数是（） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 （二）填空题（每题4分，共20分） 1. 解决和倍、差倍问题，通常设________为未知数，方便列式计算。 2. 若乙数是甲数的5倍，设甲数为x，则乙数为________，甲乙两数和为________。 3. 一个数的3倍比它的2倍多9，这个数是________。 4. 甲乙两数和为60，甲数比乙数少10，则甲数是________。 5. 一堆货物共90吨，运走的是剩下的2倍，剩下货物________吨。 （三）解答题（共60分） 1.（20分）和倍问题：学校共有学生480人，男生人数是女生人数的2倍，求男、女生各有多少人？ 2.（20分）差倍问题：甲数比乙数大36，甲数是乙数的4倍，求甲、乙两数分别是多少？ 3.（20分）和差综合问题：两个数的和是58，差是16，求这两个数各是多少？ 三、参考答案与解析 选择题：1.B 2.A 3.B 4.A 5.B 解析：和、差、倍、分问题核心是找准标准量，根据“和相加、差相减、倍相乘”的关系搭建等量方程，优先设一倍量为x，简化运算，规避数量关系颠倒错误。 填空题： 1. 一倍量（标准量） 2. $$5x$$、$$6x$$ 3. 9 4. 25 5. 30 解答题： 1. 解：设女生有$$x$$人，则男生有$$2x$$人。 根据总人数列方程：$$x+2x=480$$ 合并同类项：$$3x=480$$，系数化为1：$$x=160$$ 男生人数：$$2\times160=320$$（人） 答：女生160人，男生320人。 2. 解：设乙数为$$x$$，则甲数为$$4x$$。 根据差值列方程：$$4x-x=36$$ 合并同类项：$$3x=36$$，解得：$$x=12$$ 甲数：$$4\times12=48$$ 答：甲数是48，乙数是12。 3. 解：设较小的数为$$x$$，则较大的数为$$x+16$$。 根据和为58列方程：$$x+(x+16)=58$$ 去括号合并：$$2x+16=58$$ 移项合并：$$2x=42$$，解得：$$x=21$$ 大数：$$21+16=37$$ 答：两个数分别是21和37。 总结：本节课核心掌握和、差、倍、分四类基础应用题的等量关系，学会设标准量列方程，熟练解决和倍、差倍、和差问题，是一元一次方程应用题的入门基础，为后续行程、工程、利润等复杂应用题铺垫解题思路。 探索新知 一艘轮船在甲、乙两个码头之间航行，顺水航行时需4h，逆水航行时需5h. 已知水流速度为2km/h，则轮船在静水中的航行速度是多少？ 思 考 小知识 轮船顺水航行的速度=轮船在静水中的航行速度+水流速度； 轮船逆水航行的速度=轮船在静水中的航行速度 – 水流速度. 设轮船在静水中的航行速度为x km/h ， 则 轮船顺水航行的速度为_______ km/h， 逆水航行的速度为_______ km/h. (x+2) (x-2) 轮船顺水航行的路程=轮船逆水航行的路程 在航行过程中，你还能找到什么等量关系？ 设轮船在静水中的航行速度为x km/h ，则 轮船顺水航行的速度为(x+2)km/h， 逆水航行的速度为(x-2) km/h. 甲 乙 顺水航行 逆水航行 甲 乙 顺水航行 逆水航行 轮船顺水航行的路程=轮船逆水航行的路程 4h 5h (x+2)km/h (x-2)km/h 4(x+2) 5(x-2) = 解得 x=18 . 因此，轮船在静水中的航行速度为18 km/h . 解:设经过 x min，两人首次相遇. 根据题意，得 350x+250x=400 解得 x= 答:经过 min，两人首次相遇. 1.运动场的跑道一圈长400 m. 小健练习骑自行车，平均每分钟骑350 m；小康练习跑步，平均每分钟跑250 m.两人从同一处同时反向出发，经过多少时间首次相遇? 练一练 例1 某房间里有4条腿的椅子和3条腿的凳子共16把，如果椅子腿数与凳子腿数的和为60，试问：有几张椅子和几把凳子？ 分析：题目中的等量关系： 椅子数＋凳子数＝16， 椅子腿数＋凳子腿数＝60 . 例1 某房间里有4条腿的椅子和3条腿的凳子共16把，如果椅子腿数与凳子腿数的和为60，试问：有几张椅子和几把凳子？ 解：设有x张椅子，则有(16-x)把凳子. 根据题意，得 4x+3(16-x)=60 . 解得 x=12 . 因此，凳子有 16-12=4 (把) . 答：有12张椅子，4把凳子. 1.儿子今年13岁，父亲今年40岁，是否有哪一年父亲的年龄恰好是儿子年龄的四倍？为什么？ 解：设 x 年后父亲的年龄恰好是儿子年龄的4倍. 根据题意，得 4（13 + x）= 40 + x. 解得 x = – 4. 即 4 年前父亲的年龄恰好是儿子年龄的4倍. 练一练 例2 三个作业队共同使用水泵排涝，如果三个作业队排涝的土地面积之比为 4∶5∶6，而这一次装运水泵和耗用的电力费用共计 120 元，三个作业队按土地面积比各应负担多少元？ 【分析】各个作业队应负担费用与排涝的土地面积成正比，且三个作业队各自应负担费用之和等于 120 元.由于共有土地 4 + 5 + 6 = 15 份，因而 120 元可由15份共同分担. 解：设每份土地排涝分担费用为 x 元，那么三个作业队应负担费用分别为 4x 元，5x 元，6x 元. 依据题意，得 4x + 5x + 6x = 120. 解方程，得 x = 8. 4x = 32，5x = 40，6x = 48. 答：三个作业队各应负担 32 元、40 元、48 元. 2. 质量为 45 克的某种三色冰淇淋中，咖啡色、红色和白色配料的比为 1∶2∶6，这种三色冰淇淋中，咖啡色、红色和白色配料分别是多少? 解：设咖啡色配料为 x 克，那么红色配料为 2x 克，白色配料为 6x 克. 依据题意，得 x + 2x + 6x = 45. 解方程，得 x = 5. 2x = 10，6x = 30. 答：咖啡色、红色和白色配料分别为 5克、10克、30克. 练一练 比例问题：就是把一个数按照一定的比分成若干份.一般需间接设元，设每一份为 x，再根据各部分之和等于总体列出方程. 方法总结 例3 某车间有 29 名工人生产螺栓和螺母，每人每小时平均能生产螺栓 15 个或螺母 21 个，应如何分配生产螺栓和螺母的工人，才能使螺栓和螺母正好配套(两个螺栓配三个螺母) ? 【分析】本题有两个等量关系值得关注， 一是总人数：生产螺母人数＋生产螺栓人数＝29； 二是零件的配套关系：螺栓数∶螺母数＝2∶3. 解：设安排 x 人生产螺栓，则 (29－x) 人生产螺母． 根据题意得 解得 x＝14. 29－x＝15. 答：安排 14 人生产螺栓，15 人生产螺母才能使螺栓 和螺母正好配套． 应用1 顺逆流问题 1. 一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了 ,从乙码头返 回甲码头逆流而行，用了,已知水流的速度是 ,则 甲、乙两码头之间的距离为____ . 60 中考考法 16 2. 有甲、乙两艘船，现同时由A地 顺流而下，乙船到B地时接到通知，须立即逆流而上到达C地 执行任务，甲船继续顺流航行.已知甲、乙两船在静水中的速 度都是，水流速度为 ，A，C两地间的距离 为.如果乙船由A地经B地再到达C地共用了 .问：乙 船到达C地时，甲船距离B地有多远？ 中考考法 17 【解】设乙船由B地到C地用了 ,则由A地到B地用了 . ①若C地在A,B两地之间，根据A地到B地的距离 地到C地 的距离 ,C两地之间的距离，得 ,解得 . 所以甲船距离B地 中考考法 18 ②若C地不在A,B两地之间，根据B地到C地的距离 地到B 地的距离 ,C两地之间的距离，得 , 解得 . 所以甲船距离B地 答：乙船到达C地时，甲船距离B地或 . 中考考法 19 航行问题的基本等量关系：①顺水速度=静水速度+ 水流速度；②逆水速度静水速度水流速度；③顺水速度 逆水速度水流速度 .此题C地可能在A,B两地之间，也可 能不在A,B两地之间，所以应分两种情况讨论. . . . . . . . . 中考考法 20 应用2 配套问题 3. 第13周七年级语文学科活动真精彩，操场上像欢腾的海洋呢 班和9班负责投壶游戏，彦宏妈妈、语晗妈妈等家长为准备 道具花费了不少心思.已知1个投壶和6支羽箭配成一套道具，其 中一个投壶15元，每支羽箭3元，两班在投壶道具上的经费是 132元，请问如何分配经费才能使购买的道具刚好配套？设用 元购买投壶，下面所列方程正确的是( ) C A. B. C. D. 中考考法 21 4. 为传递爱心、助力偏远山区儿童改 善学习与生活条件，某校六年级发起“奶茶暖冬·爱心助学”义 卖活动，售卖摊位设置阶梯定价，方案如下： 档位 购买数量 超大杯单价 普通杯单价 第一档 不超出5杯 12元/杯 8元/杯 第二档 超出5杯不超出15 杯的部分 10元/杯 6.8元/杯 第三档 超出15杯的部分 8.5元/杯 5.5元/杯 中考考法 22 （1）小薇同学购买了12杯普通杯奶茶，那么小薇同学需支 付的费用为_____元； 【点拨】小薇购买12杯普通杯奶茶，前5杯按8元/杯计价，后 7杯按6.8元/杯计价， 费用为 （元）. 中考考法 23 （2）七（2）班购买了杯超大杯奶茶， 杯普通杯奶茶 （其中， ），求七（2）班需支付的总费 用（用含, 的代数式表示）； 中考考法 24 【解】超大杯杯 ，费用为前5杯12元/杯，超 出部分10元/杯， 即 元. 普通杯杯 ，费用为前5杯8元/杯，第6至15杯6.8元/ 杯，超出15杯部分5.5元/杯， 即 元. 总费用为 元. 中考考法 25 （3）在售卖奶茶时需要搭配吸管，已知1杯普通杯配1根吸 管，1杯超大杯配2根吸管.若普通杯的数量是超大杯数量的 ， 且吸管的总数比两种奶茶的总数多30，若所有奶茶与吸管都 刚好配套，求超大杯、普通杯各有多少? 中考考法 26 设超大杯为杯，则普通杯为 杯， 吸管总数为 （根）， 奶茶总数为 （杯）， 根据吸管总数比奶茶总数多30，得 ， 即，解得 ， 普通杯数量为 （杯）， 答：超大杯30杯，普通杯50杯. 中考考法 27 应用3 工程问题 5. 甲、乙两人共同承包一项工程，甲单独做30天完成， 乙单独做20天完成，合同规定15天完成，否则每超过1天罚 款1 000元，甲、乙两人经商量后签订了该合同. 中考考法 28 （1）正常情况下，甲、乙两人能否履行该合同？为什么？ 【解】正常情况下，甲、乙两人能履行该合同.设甲、乙两人 合作完成此项工程需 天. 根据题意，得,解得 . 因为 ，所以正常情况下，甲、乙两人能履行该合同. 中考考法 29 （2）现两人合作完成了这项工程的 ，因别处有急事，必须 调走1人，问调走谁更合适？为什么？ 中考考法 30 设两人合作天完成这项工程的，则，解得 . 若调走甲，则乙还需 （天）； 若调走乙，则甲还需 （天）. 因为（天） 天， （天） 天， 所以调走甲更合适. 中考考法 31 应用4 几何图形问题 6. 如图，水平桌面上有个内部 装水的长方体箱子，箱内有一个 与底面垂直的隔板，且隔板左右 两侧的水面高度分别为 , ,今将隔板抽出，若此过程中 B A. B. C. D. 箱内的水量未改变，且不计箱子及隔板厚度，根据图中的数 据，隔板抽出后水面静止时，箱内的水面高度为 ( ) 中考考法 32 【点拨】设长方体的宽为,抽出隔板之后水面高度为 , 长方体的长为 ,由题意得 ,解得 . 中考考法 33 7. 如图是世博会中国国家馆的平面示意图， 其外框是一个大正方形，中间四个完全相同的 小正方形（阴影部分）是支撑展馆的核心筒， 标记了字母的五个完全相同的正方形是展厅，已知核心筒的 边长比展厅的边长的一半多 ,外框的边长刚好是核心筒边 长的6倍，则核心筒的边长为_____. 中考考法 34 【点拨】设展厅的边长为 ，则核心筒的边长 为 ，外框的边长为 即 ，根据题意， 得，解得 . .故核心筒的边长为 . 中考考法 35 应用5 积分问题 8. 某校组织知识竞赛活动，共设选择题 40道，各题分值相同.下表记录了5名参赛者的得分情况. 中考考法 36 参赛者 答对题数 答错题数 不答题数 得分 30 8 2 184 38 2 0 260 35 4 1 232 35 5 0 230 40 0 0 280 中考考法 （1）观察表格，答对一道题得___分，答错一道题得____分， 不答一道题得____分. 7 【点拨】根据参赛者 的答题及得分情况可知， 答对一道题得 （分）. 根据参赛者 的答题及得分情况可知， 答错一道题得 （分）. 根据参赛者 的答题及得分情况可知， 不答一道题得 （分）. 中考考法 38 （2）参赛者 有6道题答错，他得了196分，请问他答对了几 道题，不答几道题？ 【解】设参赛者答对了道题，则不答 道题， 即不答 道题. 根据题意，得 ， 解得，则 ， 所以他答对了31道题，不答3道题. 中考考法 39 （3）若参赛者有 道题不答，则他的得分为奇数，你认为 可能吗？请说明理由. 不可能.理由如下： 设参赛者答对了道题，则答错了 道题， 所以他的得分为 （分）. 因为和为非负整数，所以 为偶数. 所以 为偶数. 因此参赛者 的得分不可能为奇数. 中考考法 40 一元一次方程的应用 比例问题 和、差、倍、分问题 步骤 方法：采用间接设元法，通常设每一份为 x. 1.设未知数；2.找等量关系；3.列方程；4.解方程；5.检验作答 方法：设其中一个未知量为 x，用含 x 的代数式表示另一个未知量 课堂小结 $