1.1三角形中的线段和角（2） 教案 2025-2026学年苏科版数学八年级上册

1.1.2三角形中的线段和角 【教学目标】 1. 了解三角形的中线、角平分线、高的定义，会画三角形的中线、角平分线、高. 2. 能根据三角形的中线、角平分线、高的定义解决问题. 3. 知道三角形的中线、角平分线、高（或所在直线）分别交于同一点. 4. 在推理、操作中培养学生的几何直观能力. 【教学重点】 三角形的中线、角平分线、高的定义识记及辨析. 【教学难点】 能根据三角形的中线、角平分线、高的定义解决问题. 1、 创设情境： 三角形中有三条边、三个角这六大元素，上节课我们探究了三角形三边关系以及边角关系. 除此之外，三角形还有哪些重要线段呢？ 2、 探究新知： 活动一：三角形的中线、角平分线、高的定义 如图，在△ABC中，点D在BC边上运动. 在点D运动的过程中，有哪些位置是特殊的？ 可以从边和角两个方面去看. (1) 在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段，叫作三角形的中线. 如图，在△ABC中，点E在BC边上，且BE=CE， 线段AE是△ABC的中线. (2) 在三角形中，一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段，叫作三角形的角平分线. 如图，在△ABC中，点F在BC边上，且∠BAF=∠CAF， 线段AF是△ABC的角平分线. (3) 三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，连顶点与垂足之间的线段，叫作三角形的高线，简称三角形的高. 如图，在△ABC中，AG⊥BC，垂足为G，线段AG是 △ABC的边BC上的高. 活动二：探究三角形角平分线、中线、高线的位置关系 任意画一个三角形，并画出这个三角形的三条角平分线，你有什么发现？ 结论：三角形的三条角平分线交于一点. 思考：三角形的中线和高线是否也有这样的性质？画图试试看. 3、 例题精讲： 例1如图，分别是的高线和中线，若，求和的面积． 四、课堂练习： 1．如图所示，是的角平分线，是的角平分线．若，则的度数是（    ）   第1题 第2题 第4题 A． B． C． D． 2．如图，三角形中，，于点，若，，，则点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 3．作的边上的高，下列作法中，正确的是（　　） A． B． C． D． 4．如图，在中，是高，是角平分线，是中线，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（    ） A．中线、角平分线、高线 B．高线、中线、角平分线 C．角平分线、高线、中线 D．角平分线、中线、高线 6．在画三角形的三条重要线段：角平分线、中线和高线时，不一定画在三角形内部的是 . 7．四边形如图的面积是，E、F分别为的中点．图中阴影部分的面积是 cm2． 8．如图，在中，已知点D，E分别为的中点，且，则面积 ． 第7题 第8题 第9题 9．如图，已知分别为的边的中点，连接为的中线，连接．若，四边形的面积为20，则的边上的高为 ． 10．如图，为的中线，为的中线． (1)已知，的周长为，求的周长； (2)在中作边上的高； (3)若的面积为40，，则点到边的距离为多少？ 11．如图，在中，是边上的中线，的周长比 的周长多，的周长为，且，求的长． 12．画图并填空：如图，每个小正方形的边长为1个单位长度． (1)将向右平移6个单位长度，请在图中画出平移后的； (2)利用网格在图中画出的中线和高线； (3)的面积为________． 13．如图，在每个小正方形的边长都是1的方格纸中，的 顶点A，，都在小正方形的格点上，请按下列要求画出所求线段及点，要求所画线段的端点和所画的点均在格点上． (1)画出要求的线段： ①在边上取一点，连接，使； ②画出边上的高线； (2)求的面积； (3)画出要求的点：在方格纸中取一点，使． 14．如图，在三角形中，，为的中点，若三角形的面积为120平方厘米，则阴影部分的面积是多少平方厘米？ 15．三角形的一条中线能够将三角形的面积分成相等的两份，如图1，若是的中线，则有的面积等于的面积，若再取和的中点，，连接，，则的面积被分成相等的四份．请用四种不同的方法，将三角形的面积分成相等的四份（如图所示，画出示意图即可，不能与下图的方法相同）． 参考答案 三、例题精讲 解：∵分别是的高线和中线，， ∴， ． 4、 课堂练习 1．A 【分析】根据，是的角平分线，得出，根据是的角平分线，即可得出． 【详解】解：∵，是的角平分线， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形的角平分线，解题的关键是掌握三角形的角平分线将三角形的内角平均分为两份． 2．A 【分析】本题考查的是点到直线的距离，等面积法的应用，先求解，结合，从而可得答案. 【详解】解：在中，，根据三角形面积公式高， ． ，， ． ， ． ． 解得． 点到直线的距离是． 故选：A． 3．D 【分析】本题考查画三角形的高线，熟练掌握三角形的高的定义是解题的关键 根据三角形的高线的定义，进行判断即可． 【详解】解：作边上的高，是从顶点出发，引对边的垂线段， 据此，符合题意的是； 故选：D． 4．B 【分析】本题考查了中线、角平分线和中线的定义，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．分别根据三角形的中线意义和性质可判断B和D；根据三角形高的定义，直角三角形两锐角互余判断A；根据三角形角平分线的意义可判断C． 【详解】解：∵是中线， ∴，故D选项不正确，不符合题意； ∴，故B选项正确，符合题意； ∵是高， ∴， ∴，故A选项不正确，不符合题意； ∵是角平分线， ∴，故C选项不正确，不符合题意； 故选：B． 5．C 【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线和高线，轴对称的性质等知识点，熟知三角形角平分线、中线和高线的定义是解题的关键．根据三位同学的折纸示意图，结合三角形角平分线、中线和高线的定义求解． 【详解】解：由图①的折叠方式可知，， 所以是的角平分线． 由图②的折叠方式可知，， 因为， 所以， 所以， 所以是的高线． 由图③的折叠方式可知，， 所以是的中线． 故选：． 6．高线 【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的定义求解． 【详解】解：三角形的角平分线和中线都在三角形内部， 而锐角三角形的三条高在三角形内部， 直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部， 钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部． 故答案为：高线． 【点睛】考查了三角形的角平分线、中线和高：三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 7． 【分析】本题考查不规则图形的面积，正确作出辅助线是解题的关键． 连接，推导出，则，即可解答． 【详解】解：连接，如图 ∵E、F分别为的中点， ∴， ∴ ． 故答案为：18. 8．6 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，三角形中线平分三角形面积，据此可得，同理可得，则． 【详解】解：∵D是的中点， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， 故答案为：6． 9．8 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质、三角形的面积、三角形的高等知识点，掌握三角形的中线性质是解题的关键． 如图：连接，设，边上高长为h，由三角形中线的性质得，，即得，，进而得，，即得到，再根据四边形的面积为得，解得，即得到，最后根据三角形面积公式求解即可， 【详解】解：如图：连接，设，边上高长为h， ∵为的中线， ∴点F为的中点， ∴，， ∵点D是的中点， ∴，， ∵点E是的中点， ∴，， ∴， ∵四边形的面积为， ∴，解得， ∴， ∴，解得：， ∴的边上的高为8. 故答案为8. 10．(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了三角形的面积，三角形的中线、高线，解决此类题目最常用的是等底等高的三角形的面积相等，要熟练掌握． （1）根据中线的定义可得，然后表示出的周长，再把用表示，用表示，整理即可得解； （2）根据三角形高线的定义作出即可； （3）根据等底等高的三角形的面积相等用的面积表示出的面积，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】（1）解：为的中线， ， ， ， 的周长， ， 的周长； （2）解：如图，即为中边上的高， （3）解：设点到边的距离为 为的中线， 为的中线， ， ， ， ， 点到边的距离为． 11．的长为 【分析】本题考查了三角形的中线三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线，以及构造二元一次方程组解决问题． 根据中线的定义得到，再根据周长之差化简可得，结合已知计算即可，然后根据的周长为，且，得到，再构造二元一次方程组求解即可． 【详解】解：是边上的中线， ∴， ∵的周长比的周长多， ∴， ∵的周长为，且， ∴， ∴， 解得：， ∴的长为． 12．(1)见详解； (2)见详解； (3)4 【分析】本题考查了平移作图，中线、高线，利用网格求三角形的面积等知识．熟练掌握平移作图，中线、高线，利用网格求三角形的面积是解题的关键． （1）根据平移的性质作图即可； （2）根据中线、高线的定义作图即可； （3）根据三角形面积公式，计算求解即可． 【详解】（1）解：如图， （2）解：如图， （3）解：由题意知，的面积， 故答案为：4． 13．(1) 见解析见解析 (2)10 (3) 见解析 【分析】本题考查格点作图，利用网格求三角形面积，平行线的性质．掌握三角形的中线、高线的概率及性质是解题的关键． （1）①画出边上的中线即可；②过点A向的延长线作垂线，垂足为点E即可； （2）根据网格，利用割补法求解即可； （3）过点B作，直线与格线的交点是格点，即为所求的点F． 【详解】（1）解：如图所示：①线段即为所求；线段即为所求． ①∵点D是， ∴ 根据等底同高的两三角形面积相等得； ∵， ∴是边上的高线． （2）解：． （3）解：如图所示：点即为所求． ∵ ∴与的底边的高相等， ∴． 14．阴影部分的面积是32平方厘米． 【分析】本题考查了三角形的面积，一元一次方程的应用．连接，根据三角形中线的性质，求得和的面积都等于，和的面积相等，设和的面积都等于，利用的面积为，列式计算即可求解． 【详解】解：连接， ∵，的面积为120， ∴的面积为，的面积为， ∵为的中点， ∴和的面积都等于，和的面积相等， 设和的面积都等于， ∴的面积等于， ∵， ∴的面积等于， ∵的面积为， ∴， 解得， ∴阴影部分的面积是（平方厘米）． 15．见详解 【分析】本题主要考查三角形中线的性质，根据三角形面积公式同底等高面积相等即可，在三角形中分别找到对应边的中点，再与相对点连接，形成三角形，如此每个三角形均为上一次三角形面积的一半． 【详解】解：如图， 学科网（北京）股份有限公司 $$