精品解析：甘肃省渭源县第一中学2025-2026学年高三上学期开学质量检测数学试题

2025-2026年渭源县第一高级中学 高三数学开学质量检测卷 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 设集合，则的真子集的个数是（ ） A. 8 B. 7 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】写出集合，计算真子集个数. 【详解】，因为集合中有个元素，所以真子集个数为. 故选：D. 2. 在复平面内，复数z对应的点为，则的虚部是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的几何意义得，再由复数的乘法、除法运算即可求解. 【详解】因为在复平面内，复数z对应的点为， 所以， 所以的虚部是． 故选： D． 3. 已知偶函数的定义域为，且当时，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据偶函数的性质，结合条件求，再代入求值. 【详解】由偶函数的性质可知，，得， 即时，，. 故选：C 4. 已知双曲线（，）的顶点到渐近线的距离为实轴长的，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点到直线的距离公式列方程，结合离心率公式求解即可. 【详解】因为双曲线C的顶点到一条渐近线的距离为， 所以， 所以，所以，双曲线C的离心率. 故选：C. 5. 已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可. 【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得， 即a的范围是. 故选：B. 6. 抛掷一枚质地均匀的硬币3次，每一次抛掷的结果要么正面向上要么反面向上，记“第一次硬币正面向上”为事件，“三次试验恰有1次正面向上”为事件，“三次试验恰有2次正面向上”为事件，“三次试验全部正面向上或者全部反面向上”为事件，则下列说法错误的是（ ） A. 与不互斥 B. 与相互独立 C. 与相互独立 D. 与互斥但不对立 【答案】C 【解析】 【分析】先分析出事件包含的基本事件，再根据互斥事件，对立事件，独立事件的定义对四个选项一一进行判断，得到答案. 【详解】抛掷一枚质地均匀的硬币3次，共有（正正正），（正正反），（正反正），（反正正），（正反反），（反反正），（反正反），（反反反），共8种结果， 事件“第一次硬币正面向上”包含（正正正），（正正反），（正反反），（正反反），共4种结果， 事件“三次试验恰有1次正面向上”包含（正反反），（反反正），（反正反），共3种结果， 事件“三次试验恰有2次正面向上”包含（正正反），（正反正），（反正正），共3种结果， 事件“三次试验全部正面向上或者全部反面向上”包含（正正正），（反反反），共2种结果， 对于A选项，事件与事件可能同时发生，即（正反反），不是互斥事件，故A正确； 对于B选项，，，， 则与相互独立，故B正确； 对于C选项，，，则与不独立，故C错误； 对于D选项，和互斥但并事件不是全体事件，故它们不对立，故D正确. 故选：C. 7. 已知函数的部分图象如图所示，若，则（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图象求出函数的解析式，然后由得出的值，最后利用二倍角公式求出的值. 【详解】由题图可知相邻对称轴间的距离为，可得， 因此，， 当时，，，故，． 由可得， 由函数的最大值为3可得，因此， 由，得， ∴． 故选：A． 8. 已知，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据求出，从而可得的范围，即可得出的范围，再求和的值，即可得结果. 【详解】因为，，， 则， 可知，，则， 又因为， 可得， 所以. 故选：D. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. （多选）如图，在正方体中，E，F，M分别为所在棱的中点，P为下底面的中心，则（ ） A. 平面平面 B. C. D. 平面 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据空间中的线面平行及线线垂直，线面、面面垂直相互转化来分析判断. 【详解】即判断平面平面，如图①，由正方体可得，平面ABCD， 因为平面ABCD，所以，又，，平面， 则平面，又平面，则平面平面，A正确； 如图②，取中点为N，连接MN，PN，易得，平面，又平面， 则，结合，且MN，平面MNP，则平面， 又平面MNP，则，B正确； 如图③，连接，易得，则判断，即判断，又， 则是以为直角的直角三角形，则与不垂直，即MP与不垂直，C错误； 因为，，得，又平面，平面， 则平面，D正确． 故选：ABD. 10. 随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（ ）（若随机变量Z服从正态分布，） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据正态分布的原则以及正态分布的对称性即可解出. 【详解】依题可知，，所以， 故，C正确，D错误； 因为，所以， 因为，所以， 而，B正确，A错误， 故选：BC． 11. 设是一次随机试验中的两个事件，且，则（ ） A. 相互独立 B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用条件概率、独立事件、对立事件、互斥事件的概率公式计算逐项判断可得答案. 【详解】对于A，由题意可知，则， 因此，故A正确； 对于B，， ，故B正确； 对于C，，所以， 因此，故C错误； 对于D，，因此 ， 即，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 在的展开式中，的系数为___________． 【答案】8 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式，判断的组成情况. 【详解】对于，其展开式的通项为：， 易知，中不含项， 故令，则 要得到与，需要与（）中的相乘，即， 所以的系数为8. 故答案为：8 13. 若直线是曲线的一条切线，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】法一：利用导数的几何性质与导数的四则运算求得切点，进而代入曲线方程即可得解；法二：利用导数的几何性质与导数的四则运算得到关于切点与的方程组，解之即可得解. 【详解】法一：对于，其导数为， 因为直线是曲线的切线，直线的斜率为2， 令，即，解得， 将代入切线方程，可得， 所以切点坐标为， 因为切点在曲线上， 所以，即，解得. 故答案为：. 法二：对于，其导数为， 假设与的切点为， 则，解得. 故答案为：. 14. 某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种（用数字作答）． 【答案】64 【解析】 【分析】分类讨论选修2门或3门课，对选修3门，再讨论具体选修课的分配，结合组合数运算求解. 【详解】（1）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有种； （2）当从8门课中选修3门， ①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有种； ②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有种； 综上所述：不同的选课方案共有种. 故答案为：64. 四、解答题（共77分） 15. 已知椭圆的短轴长为4，离心率为过右焦点F的动直线与C交于A，B两点，点A，B在x轴上的投影分别为，在的左侧). （1）求椭圆C的方程； （2）若直线与直线交于点M，的面积为求直线的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）由题意可得出，解方程求出，即可求出椭圆方程； （2）首先设直线的方程，并与椭圆方程联立，利用韦达定理表示点的坐标，并利用坐标表示的面积，即可求解直线方程. 【小问1详解】 由题意可得：，解得：， 故，，， 所以椭圆C的方程为. 【小问2详解】 当直线斜率为0时，不符合题意，舍去. 当直线斜率不为0时，设直线方程为，设， 联立，得， 易知，则，. 易知，， 所以直线：①，直线：②， 联立①②， 所以， 因为， 所以， 解得， 故直线的方程为或. 16. 已知函数． （1）若在处的切线斜率为，求； （2）若恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，由计算可得； （2）依题意可得恒成立，令，，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最小值，即可得解. 【小问1详解】 因为， 所以，依题意，解得； 【小问2详解】 因为的定义域为， 又， 所以恒成立， 令，，则， 令，，则，所以在上单调递增， 又，， 所以使得，即，，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以， 即实数的取值范围为. 17. AI正在改变着我们的工作和生活.为了解不同学历人群对DeepSeek的使用情况，随机调查了200人，得到如下数据： 学历 使用情况 合计 经常使用 不经常使用 本科及以上 65 35 100 本科以下 50 50 100 合计 115 85 200 （1）依据的独立性检验，能否认为DeepSeek的使用情况与学历有关？ （2）某校组织“AI模型”知识竞赛，甲、乙两名选手在决赛阶段相遇，决赛阶段共有3道题目，甲、乙同时依次作答，3道试题作答完毕后比赛结束.规定：对同一道题目，若两人同时答对或同时答错，每人得0分；若一人答对而另一人答错，答对的得10分，答错的得分.比赛结束后，3道题的得分之和为该选手的最后总分.两人分别独立答题互不影响，每人每次的答题结果也互不影响，且甲正确回答每道题的概率为，乙正确回答每道题的概率为. （i）求甲的总分为10分的概率； （ii）求在甲的总分为10分的条件下，乙恰好回答对1道题的概率. 参考公式与数据：，其中. 临界值表 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）认为DeepSeek的使用情况与学历无关 （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）先假设DeepSeek的使用情况与学历无关，再根据卡方的计算式计算出卡方的结果，和6.635去比，根据独立性检验的理论即可做出判断； （2）（i）对于一道题而言，先分析甲得分的可能情况并求出概率，再根据重伯努利实验的概率计算式计算即可； （ii）由（i）可知甲获胜的概率，只须计算出比赛结束后甲得分是10分的同时乙恰好回答对1道题的概率，再按照条件概率的计算式计算即可. 【小问1详解】 零假设为：DeepSeek的使用情况与学历无关， 根据列联表中的数据，可得， 依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为成立，即认为DeepSeek的使用情况与学历无关； 【小问2详解】 （ⅰ）当甲，乙同时回答第道题时，甲得分为， ， ， ， 比赛结束甲的得分的取值为10的概率为： ， （ⅱ）设“比赛结束后甲总分是10分”，“比赛结束时乙恰好答对一道题”， 由（i）可得， ， 则， 所以比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率为． 18. 如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，二面角为，，，，，，． （1）求证：平面ADE； （2）求直线AC与平面CDEF所成角的正弦值； （3）求点F到平面ABCD的距离． 【答案】（1） 证明：∵四边形ABCD是矩形，∴， 平面BCF，平面BCF，所以平面BCF， ∵，平面BCF，平面BCF，所以平面BCF， ，∴平面平面ADE，∵平面BCF，∴平面ADE； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由线面平行的判定定理可得平面BCF，平面BCF，再由面面平行的判定定理和性质定理可得答案； （2）即为二面角的平面角，作于O，由线面垂直的判定定理可得平面ADE，平面CDEF，连结CO，直线AC与平面CDEF所成角为，求出正弦值即可； （3）由（2）得平面CDEF，又，可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，，∴即为二面角的平面角， ∴， 又，平面ADE， 所以平面ADE，作于O，因为平面ADE， 所以，又，平面CDEF， 所以平面CDEF，连结CO， 所以直线AC与平面CDEF所成角为， ，，所以． 直线AC与平面CDEF所成角的正弦值为； 【小问3详解】 由（2）得平面CDEF，又，所以距离，又由已知可得 ，，，所以． 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若在上单调递增，求a的取值范围； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出导函数得出切线斜率，再结合点斜式方程即可求出切线方程； （2）根据函数单调性得出导函数大于等于0，再应用参数分离构造，最后应用导数得出函数最值即可得出范围. 【小问1详解】 当时，，，，， 所以曲线在点处的切线方程，即. 【小问2详解】 因为在上单调递增，所以在区间上恒成立， 所以， 令，则， 令，则， 当时，，单调递增，， 所以，所以单调递增， ， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年渭源县第一高级中学 高三数学开学质量检测卷 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 设集合，则的真子集的个数是（ ） A. 8 B. 7 C. 4 D. 3 2. 在复平面内，复数z对应的点为，则的虚部是（　　） A. B. C. D. 3. 已知偶函数的定义域为，且当时，，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知双曲线（，）的顶点到渐近线的距离为实轴长的，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 抛掷一枚质地均匀的硬币3次，每一次抛掷的结果要么正面向上要么反面向上，记“第一次硬币正面向上”为事件，“三次试验恰有1次正面向上”为事件，“三次试验恰有2次正面向上”为事件，“三次试验全部正面向上或者全部反面向上”为事件，则下列说法错误的是（ ） A. 与不互斥 B. 与相互独立 C. 与相互独立 D. 与互斥但不对立 7. 已知函数的部分图象如图所示，若，则（    ） A. B. C. D. 8. 已知，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. （多选）如图，在正方体中，E，F，M分别为所在棱的中点，P为下底面的中心，则（ ） A. 平面平面 B. C. D. 平面 10. 随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（ ）（若随机变量Z服从正态分布，） A. B. C. D. 11. 设是一次随机试验中的两个事件，且，则（ ） A. 相互独立 B. C. D. 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 在的展开式中，的系数为___________． 13. 若直线是曲线的一条切线，则_________. 14. 某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种（用数字作答）． 四、解答题（共77分） 15. 已知椭圆的短轴长为4，离心率为过右焦点F的动直线与C交于A，B两点，点A，B在x轴上的投影分别为，在的左侧). （1）求椭圆C的方程； （2）若直线与直线交于点M，的面积为求直线的方程. 16. 已知函数． （1）若在处的切线斜率为，求； （2）若恒成立，求的取值范围． 17. AI正在改变着我们的工作和生活.为了解不同学历人群对DeepSeek的使用情况，随机调查了200人，得到如下数据： 学历 使用情况 合计 经常使用 不经常使用 本科及以上 65 35 100 本科以下 50 50 100 合计 115 85 200 （1）依据的独立性检验，能否认为DeepSeek的使用情况与学历有关？ （2）某校组织“AI模型”知识竞赛，甲、乙两名选手在决赛阶段相遇，决赛阶段共有3道题目，甲、乙同时依次作答，3道试题作答完毕后比赛结束.规定：对同一道题目，若两人同时答对或同时答错，每人得0分；若一人答对而另一人答错，答对的得10分，答错的得分.比赛结束后，3道题的得分之和为该选手的最后总分.两人分别独立答题互不影响，每人每次的答题结果也互不影响，且甲正确回答每道题的概率为，乙正确回答每道题的概率为. （i）求甲的总分为10分的概率； （ii）求在甲的总分为10分的条件下，乙恰好回答对1道题的概率. 参考公式与数据：，其中. 临界值表 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18. 如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，二面角为，，，，，，． （1）求证：平面ADE； （2）求直线AC与平面CDEF所成角的正弦值； （3）求点F到平面ABCD的距离． 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若在上单调递增，求a的取值范围； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $