14.3 角的平分线 第1课时 角的平分线的性质 课件2025-2026学年人教版数学八年级上册

人教版（2024） 八年级上册 14.3 角的平分线 第1课时 角的平分线的性质 第十四章 · 全等三角形 角的平分线的性质 知识目标 1.掌握用尺规作已知角的平分线的方法，明确作图步骤及原理。 2.理解角的平分线的定义，并能准确识别图形中的角平分线。 3.探索并证明“角的平分线上的点到角两边的距离相等”这一性质。 能力目标 1.通过动手操作尺规作图，提升空间想象能力和精确绘图技巧。 2.在探究活动中发现规律，从具体实例中抽象出一般性结论。 3.经历定理的证明过程，培养严谨的思维习惯和数学论证意识。 素质目标 1.激发学生对几何学习的兴趣，感受数学的对称美与实用性。 2.渗透“转化思想”、“分类讨论”等数学思维方法。 教学难点 教学重点 角平分线的尺规作图方法及其性质定理的理解与应用 理解点到角两边的距离的本质是垂线段的长度（易混淆为任意线段） 情景导入 1 合作探究 2 抽象概括 3 示范讲解 4 课堂练习 5 课堂小结 6 情景导入 合作探究 抽象概念 示范讲解 课堂练习 课堂小结 情景激趣 《村居》 草长莺飞二月天，拂堤杨柳醉春烟。 儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢。 风筝 提炼图形 情景导入 合作探究 抽象概念 示范讲解 课堂练习 课堂小结 情景激趣 回顾：角的平分线的概念 一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线. 几何语言： 所以 OB 平分∠AOC. O C B A 1 2 情景导入 合作探究 抽象概念 示范讲解 课堂练习 课堂小结 列举实例 动手试试 不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角. 你有什么办法？ 对折 再打开纸片 ，看看折痕与这个角有何关系？ A O B C 分析问题，寻找对应 在纸上画一个角，你能用哪些方法得到这个角的平分线吗？ 分组讨论 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 方法一：用量角器度量 方法三：用角平分仪 方法二：折纸 在黑板上画一个角，还能用对折的方法得到这个角的平 分线吗？ 分析问题，寻找对应 研究角的平分线上的点与角两边上的点所连线段的数量关系. 分组讨论 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 C A B O M N P 如图，OC 是∠AOB 的平分线，P 是 OC 上的任意一点，M，N 分别是 OA，OB 上的点，我们研究 PM 与 PN 的关系. 猜想图中当 OM 与 ON 满足什么关系时，PM = PN 要证：△OPM ≌△OPN 猜想：OM = ON 分析问题，寻找对应 研究角的平分线上的点与角两边上的点所连线段的数量关系. 分组讨论 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 C A B O M N P 如图，OC 是∠AOB 的平分线，P 是 OC 上的任意一点，M，N 分别是 OA，OB 上的点，我们研究 PM 与 PN 的关系. OP = OP，∠POM =∠PON， 在△OPM 和△OPN 中， 如果 OM = ON，那么△OPM ≌△OPN(SAS)， 就有 PM = PN. 分析问题，寻找对应 研究角的平分线上的点与角两边上的点所连线段的数量关系. 分组讨论 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 C A B O M N P 反过来，如图，M，N 分别是∠AOB 的边 OA，OB 上的点，OM = ON，点 P 在∠AOB 的内部，PM = PN. 连接 OP. OP = OP，OM = ON，PM = PN， 在△OPM 和△OPN 中， ∴△OPM ≌△OPN(SSS)，就有 ∠POM =∠PON. 即点 P 在∠AOB 的平分线上. 角的平分线的性质 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 知识点 尺规作已知角的平分线的方法 先在角的两边上分别作出与角的顶点距离相等的两点. 在角的内部作出与这两点距离相等的点. 以角的顶点为端点，作过这个点的射线. 角的平分线的性质 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 知识点 尺规作已知角的平分线的方法 作法：如图，已知∠AOB. (1) 以点 O 为圆心，适当长为半径作弧，交 OA 于点 M，交 OB 于点 N. A B O (2) 分别以点 M，N 为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB 的内部相交于点 C. M N C (3) 作射线 OC. 射线 OC 即为∠AOB 的平分线. 想一想为什么？ 分析问题，寻找对应 探究为什么大于MN的长为半径作弧？ 分组讨论 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 B M N A B O M N A 小于MN:没有交点 等于MN:交点不止1个 分析问题，寻找对应 给定一个平角，你能作出角的平分线. 分组讨论 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 已知：平角∠AOB. 求作：∠AOB的平分线. A B O 结论：作平角的平分线的方法就是过直线上一点作这条直线的垂线的方法. 分析问题，寻找对应 如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P1，P2，P3，···在 OC 上，过点 P1，P2，P3，...分别画 OA 与 OB 的垂线，垂足分别为 D1 与 E1、D2 与 E2、D3 与 E3... 分别比较 P1D1 与 P1E1、P2D2 与 P2E2、P3D3 与 P3E3...，你有什么发现？ 分组讨论 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 测量一下长度，填写表格 C A B O D1 E1 P1 D2 E2 P2 D3 E3 P3 D4 E4 P4 垂线 P1D1 P1E1 P2D2 P2E2 P3D3 P3E3 长度 测量发现，P1D1 = P1E1， P2D2 = P2E2， P3D3 = P3E3 角的平分线的性质 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等 已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD丄OA, PE丄OB,垂足分别为D，E. 求证：PD＝PE. A C B O D P E 1 2 证明：∵PD丄OA，PE丄OB,垂足分别为D，E， ∴∠PDO＝∠PEO＝90°. ∵∠1＝∠2, OP＝OP ∴△PDO≌△PEO ( AAS ). ∴PD＝PE (全等三角形的对应边相等). 角的平分线的性质 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 知识点 角的平分线的性质 角平分线上的点到角两边的距离相等. 如图，OC 是∠AOB 的平分线 几何语言： A O B P C D E P 是 OC 上一点， PD⊥OA 于点 D， PE⊥OB 于点 E， ∴PD = PE. 角的平分线的性质 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 知识点 角的平分线的性质 角平分线上的点到角两边的距离相等. A O B P C D E 应用定理需具备的条件： （1）角的平分线； （2）点在该平分线上； （3）垂直距离. 定理的作用： 证明线段相等 角的平分线的性质 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 证明几何命题的一般步骤 1. 明确命题中的已知和求证； 2. 根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； 3. 经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程. 例题讲解 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 例1 解 已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD, DE⊥AB, DF⊥AC,垂足分别为E,F. 求证：EB=FC. A B C D E F 证明：∵AD是∠BAC的平分线， DE⊥AB, DF⊥AC， ∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °. 在Rt△BDE 和 Rt△CDF中， DE=DF， BD=CD， ∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL). ∴ EB=FC. 例题讲解 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 例2 解 已知：如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD交于点O，且AO平分∠BAC， 求证：OB=OC． 证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，AO平分∠BAC， ∴OD=OE，∠BDO=∠CEO=90° 在△ BOD 和 △COE中， ∠BOD=∠COE， ∠BDO=∠CEO， OD=OE， ∴ △ BOD ≌ △COE (AAS). ∴ OB=OC. 对照练习 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 1.如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B.下列结论中不一定成立的是(　　) A．PA＝PB B．PO平分∠APB C．OA＝OB D．AB垂直平分OP D 对照练习 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 2.如图,在△ABC中,AD为其角平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,△ABC的面积是9 cm2,AB=5 cm,AC=4 cm,求DE的长. 解:∵在△ABC中, AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F, ∴DE=DF. ∵△ABC的面积是9 cm2,AB=5 cm,AC=4 cm, ∴DE=DF=2 cm,即DE的长是2 cm. 对照练习 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 3.已知:如图,P是OC上一点,PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E,F,G分别是OA,OB上的点,且PF=PG,DF=EG.求证:OC是∠AOB的平分线. 证明:∵PD⊥OA,PE⊥OB, ∴∠PDF=∠PEG=90°. 在Rt△PFD和Rt△PGE中, ∴Rt△PFD≌Rt△PGE(HL), ∴PD=PE. ∵P是OC上点,PD⊥OA,PE⊥OB, ∴OC是∠AOB的平分线. 对照练习 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 4.如图，在直线 MN 上求作一点 P，使点 P 在∠AOB 的内部，且点 P 到射线 OA 和 OB 的距离相等. 解：如图所示： 作∠AOB 的平分线与 MN 交于点 P，点 P 即为所求. A B O N M P 对应中考 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 1.（2025·四川资阳）如图，在射线BA,BC上，分别截取BM,BN，使BM-BN;再分别以点M和点N为圆心、大于线段MN一半的长为半径作圆弧，在∠ABC 内，两弧交于点D，作射线BD;过点D作DE //BC交BA于点E.若∠BDE=30°，则∠AED的度数是( ) A.30° B.45° C.60° D.75° [答案]C [分析]本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，尺规作图，由平行线的性质可求∠CBD=∠BDE=30°，由角平分线的定义得 ∠ABC=2∠CBD=60°，然后再根据平行线的性质可得∠AED的度数. [详解]:DE// BC,∠BDE=30°， ∴∠CBD=∠BDE=30°， 由作图可知，BD平分∠ABC， ∴ㄥABC=2∠CBD=60°. ∵DE // BC ∴∠AED=∠ABC=60° 对应中考 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 2.（2025·内蒙古）如图，直线AB//CD，点E，F分别在直线AB，CD上，连接EF，以点E为圆心，适当长为半径画弧，交射线EA于点M，交EF于点N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧(两弧半径相等)，两弧在∠AEF的内部相交于点H，画射线EH交CD于点G，若∠AEF=80°，则∠EGF的度数为( ) A.100° B.80° C.50° D.40° [答案]D [分析]本题考查角平分线的作图，平行线的性质，熟练掌握角平分线的作法和平行线的性质是解题的关键，由作图可知∠AEG=∠FEG，结合∠AEF=80°，求出∠AEG=∠FEG=∠AEF=40°，再利用平行线的性质即可求解， [详解]解:由作图可知∠AEG= ∠FEG, ∵∠AEF=80°， ∴∠AEG=∠FEG=∠AEF=40°, ∴∠EGF=∠AEG=40°. 课堂小结 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 我亲历了什么 我知道了什么 我会什么 推导角的平分线的性质 角的平分线的性质 尺规作已知角的平分线 课堂小结 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 知识点 尺规作已知角的平分线的方法 作法：如图，已知∠AOB. (1) 以点 O 为圆心，适当长为半径作弧，交 OA 于点 M，交 OB 于点 N. A B O (2) 分别以点 M，N 为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB 的内部相交于点 C. M N C (3) 作射线 OC. 射线 OC 即为∠AOB 的平分线. 课堂小结 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 知识点 角的平分线的性质 角平分线上的点到角两边的距离相等. 如图，OC 是∠AOB 的平分线 几何语言： A O B P C D E P 是 OC 上一点， PD⊥OA 于点 D， PE⊥OB 于点 E， ∴PD = PE. 课堂小结 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 知识点 角的平分线的性质 角平分线上的点到角两边的距离相等. A O B P C D E 应用定理需具备的条件： （1）角的平分线； （2）点在该平分线上； （3）垂直距离. 定理的作用： 证明线段相等 课堂小结 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 课后作业 A层：P52：习题14.3：1、2题. B层：P52：习题14.3：3题. 下 课 $$