江苏省南京师大附中新城初级中学2024-2025学年八年级上学期第一次月考数学练习卷

江苏省南京师大附中 新城初级中学八年级（上）第一次月考数学练习卷 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶，反映出不同时期的风俗习惯，早已融入我们的生活下面纹样的示意图中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是(    ) A. 如意纹 B. 冰裂纹 C. 盘长纹 D. 风车纹 2.根据下列条件分别作三角形，作出的三角形不一定全等的是． A. 已知两边及它们的夹角 B. 已知两个角和它们的夹边 C. 已知三条边 D. 已知三个角 3.如图，，，则下列判断正确的是(    ) A. 平分 B. 平分 C. 垂直平分 D. 与互相垂直平分 4.下列命题中，其逆命题是真命题的是(    ) A. 对顶角相等 B. 两直线平行，同位角相等 C. 全等三角形的对应角相等 D. 若，则 5.如图，，，添加下列条件，不能判定的是(    ) A. B. C. D. 6.如图，是正方形的对角线，为边上的动点不与端点重合，点在的延长线上，且，过点作于点，连结，若，，则的长为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 7.如图：，，，那么的长为          ． 8.已知等腰三角形的一条边等于，另一条边等于，那么这个三角形的周长是______． 9.若等腰三角形的一个外角是，则该等腰三角形的顶角是______度 10.如图，是等边三角形，是的平分线上一点，于点，线段的垂直平分线交于点，垂足为点若，则的长为______． 11.如图，在中，的垂直平分线交边于点，交于点，的垂直平分线交边于点，交于点、连接，若，，则的长为______． 12.如图，在中，是边上的一点，，，分别是，的中点若，则的长为          ． 13.如图，在中，，点在边上，，并与边交于点如果，，那么          ． 14.如图，是斜边上的高，将沿折叠，点恰好落在的中点处，则等于          ． 15.如图，正方形中，为上一点，过作于，延长至点使，延长、交于点，连接、，若为中点，，则的长为          ． 16.如图所示，在中，，于点，平分交于点，交于点，作交于点若，则的长为______． 三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 如图，在四边形中，，点在上，，求证： 18.本小题分 如图，线段，射线，为射线上一点，以为边作正方形，且、与点在两侧，已知平分，在线段取一点，使，直线与线段相交于点点与点、不重合． 求证：≌； 判断与的位置关系，并说明理由； 求的周长． 19.本小题分 如图，在平面直角坐标系中，其顶点坐标如下：，，， 作出关于轴对称的图形其中点，，分别和点，，对应，请写出点，，的坐标； 在轴上画出点，使最小请保留作图痕迹 20.本小题分 已知：如图，在▱中，、是对角线上的两点，且请判断与的关系，并说明理由． 21.本小题分 如图，在中，，点，，分别在，，上，且，． 求证：是等腰三角形； 用反证法证明不可能是直角三角形． 22.本小题分 如图，在正五边形中，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求作图保留作图痕迹． 如图，过点求作此正五边形的对称轴； 如图，点在上，且，在边上求作一点，使． 23.本小题分 如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，点落在点处，交于点，重合部分是，，点是对角线上一点，于点，于点． 求证：是等腰三角形 求的值 若，求的面积． 24.本小题分 如图，为等边三角形，，，相交于点，于点，，． 求证：； 求的长． 25.本小题分 如图，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且． 【问题发现】如图，当为的中点时，探究线段与的大小关系，请你直接写出结论：          ；填“”“”或“” 【类比探究】如图，当点为边上任意一点时，探究线段与的大小关系，并写出证明过程； 【拓展延伸】如图，已知是等边三角形的边的中点，，，分别为射线、射线上一动点，且，若，请求出的长． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：是轴对称图形，但不是中心对称图形，则不符合题意； 既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，则不符合题意； 是轴对称图形，也是中心对称图形，则不符合题意； 不是轴对称图形，但它是中心对称图形，则符合题意； 故选：． 把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此进行判断即可． 本题考查轴对称图形，中心对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键． 2.【答案】  3.【答案】  【解析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，线段垂直平分线的判定， 依据“”判定和全等，根据全等三角形性质得，再说明是线段的垂直平分线，即可判断． 【详解】解：在和中， ， ， 平分． 可知B正确； 不能说明平分，所以不正确； ， 是线段的垂直平分线， 所以，不正确． 故选：． 4.【答案】  【解析】解：、相等的角不一定是对顶角，故A不符合题意； B、同位角相等，两直线平行，正确，故B符合题意； C、对应角相等的三角形不一定全等，故C不符合题意； D、若，有可能小于，故D不符合题意． 故选：． 由对顶角的定义，全等三角形的判定方法，负数的偶次方是正数，即可判断． 本题考查命题与定理，非负数的性质：偶次方，对顶角，全等三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 5.【答案】  6.【答案】  【解析】解：连接，，如图所示：   四边形是正方形，是对角线， ，， 在和中， ， ≌， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ，， 在和中， ， ≌， ，， ， 是等腰三角形， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ， ， 故选：． 连接，，证明和全等得，，再证明是等腰直角三角形得，，进而可证明和全等，则，，由此可得出是等腰直角三角形，再由勾股定理得，进而可以解决问题． 此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． 7.【答案】  【解析】此题主要考查了全等三角形的性质，利用全等三角形的性质可得，再解即可，关键是掌握全等三角形的对应边相等． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 8.【答案】  【解析】解：是腰长时，三角形的三边分别为、、， ， 不能组成三角形， 是底边时，三角形的三边分别为、、， 能组成三角形， 周长， 综上所述，这个三角形的周长是． 故答案为：． 分是腰长和底边两种情况讨论求解即可． 本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，难点在于要分情况讨论． 9.【答案】  【解析】解：等腰三角形的一个外角是， 与这个外角相邻的内角为， 该等腰三角形的顶角是度． 故答案为：． 根据邻补角的定义求出与外角相邻的内角，再根据等腰三角形的性质解答． 本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，是基础题，等腰三角形的钝角只能是顶角． 10.【答案】  【解析】解：是等边三角形， ， 是角平分线上的一点， ， ， ， ， 线段的垂直平分线交于点， ，， ， ， 根据勾股定理得：， 即， 解得：，负值舍去， 故答案为：． 根据等边三角形以及角平分线得到，再由角直角三角形的性质求出，，根据勾股定理得：，即，求出结果即可． 本题考查了线段垂直平分线的定义，勾股定理，角直角三角形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 11.【答案】  【解析】解：垂直平分，垂直平分， ，， ， ， ， 设， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 由线段垂直平分线的性质推出，，得到，设，由勾股定理得到，求出，得到． 本题考查等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，关键是由线段垂直平分线的性质推出，，由勾股定理列出关于的方程． 12.【答案】  13.【答案】  14.【答案】  【解析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得到，从而得到，再由折叠的性质及三角形的外角性质得到，从而不难求得的度数． 【详解】在中，是斜边的中线， ， ， 是由折叠而成， ， ， ， ， ． 故答案为：． 15.【答案】  【解析】解：如图，过点作于点，过点作于，过作交延长线于． ， ，， ， ，， ， 在和中， ，，， ≌， 同理可证：在和中，，，， ≌， ，， ， ， ； ， ， 为的中点， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ，， ， ， ≌， ， ， ， ， ． 故答案为． 16.【答案】  【解析】解：， ． ， ． ． 平分， ． ，， ． ， 如图，过作于， 平分，，， 角平分线上的点到角两边的距离相等． ． ， ． ，， ． 在和中， ， ≌． ． ． 故答案为：． 根据已知利用角之间的关系得出，由等角对等边可得到，过作于，利用判定≌，从而得到即，所以就得到了． 此题主要考查学生对角平分线的性质及全等三角形的判定方法的理解及运用．正确作出辅助线是解答本题的关键． 17.【答案】证明：， ． ， ， ．   【解析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，理解平行线的性质是解答关键． 根据平行线的性质得到，结合已知得到，利用等腰三角形的等角对等边来求解． 18.【答案】证明：四边形为正方形， 平分，，， ， 又， ≌； 解：理由如下：如图，设与相交于点， ≌， ， ， ， ，， ， ， ； 解：过点作于点，则． ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ≌， ，， ≌， ， 即的周长为．  【解析】利用正方形的性质得到，，又由已知，即可证明≌； 如图，设与相交于点，证明，由，，得到，即可证明结论； 过点作于点，则证明四边形是矩形，则，证明≌，则，，又由≌得到，利用等量代换得到，即可得到答案． 此题考查了正方形的性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，添加辅助线构造全等是解题的关键． 19.【答案】如图，，，；   如图，点即为所求． ．  【解析】如图，关于轴对称的图形， 由图可知，，，； 如图所示，连接，与轴的交点即为所求点，此时最小． 找到点、、关于轴对称的对应点、、，顺次连接、、得到，再写出点，，的坐标； 连接，与轴的交点即为所求点． 此题考查了作图轴对称变换，轴对称最短路线问题，根据题意作出图形是解题的关键． 20.【答案】解：猜想，， 理由如下： 四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ≌， ，， ， 即， ， 且， 四边形是平行四边形， ，．  【解析】由四边形是平行四边形，即可得，，然后利用平行线的性质，求得，又由，即可证得≌，继而可得、即，可得，可得四边形是平行四边形，从而可得结论． 此题考查了平行四边形的性质与全等三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键． 21.【答案】见解析；   不可能，理由见解析．  【解析】证明：， ， 又， ， 在与中， ， ≌， ， 是等腰三角形； 解：不可能，理由如下： 假设是等腰直角三角形， 则， ， ， ， 不可能是等腰直角三角形． 根据，可知，再利用证明≌，得，即可证明结论； 假设是等腰直角三角形，则，由知，则假设不成立． 本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，证明≌是解题的关键． 22.【答案】【小题】 解：连接、、、，设和交于点，连接，则为正五边形的对称轴，如图所示： 五边形为正五边形， ，， ，，， ， ， 同理可得：， ， ， 垂直平分， 为正五边形的对称轴． 【小题】 解：连接、，设和交于点，连接交于点，连接并延长，交于点，则点为所求作的点，如图所示： 根据解析可知，为正五边形的对称轴， ， ，， ， ， ，， ， ， ， 即， ， ．   【解析】  连接、、、，设和交于点，连接即可；   连接、，设和交于点，连接交于点，连接并延长，交于点，则点为所求作的点． 23.【答案】证明：折叠 又长方形 是等腰三角形 设，则， 在中，由勾股定理可知：   【解析】此题主要考查翻折变换，等腰三角形的判定，勾股定理，三角形面积公式 根据折叠的性质及等腰三角形的判定求解 根据求解 设，则，，先根据勾股定理求得，再利用三角形面积公式求解 24.【答案】【小题】 证明：为等边三角形，，在和中， ．． 【小题】 解：，．．，．．，在中，又，．   25.【答案】【小题】 【小题】 证明如下：  如图，过点作，交于点，为等边三角形，，，，为等边三角形，，，，，  在和中， ； 【小题】 当点在线段的延长线上时，如图，作交于点，易得为等边三角形，，，为等边的边的中点，，，，，，，，  在与中，  ，；  当点在线段上时，如图，同理可证得 ，  综上所述，的长为或．   【解析】  【解法提示】为等边三角形，又为的中点，，，，，且，，，． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$