第一单元 问题解决策略：反思 课件2025-2026学年北师大版八年级数学上册

第一单元 问题解决策略：反思 知识点一：最短路线问题 1. (1)最短路线问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路线．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题； (2)几何体中最短路径基本模型： 圆柱 自学自研 长方体 阶梯 2. (1)(2025·揭阳揭西县期末)某校“灯谜节”的奖品是一个底面为等边三角形的灯笼(如图)，在灯笼的侧面上，从顶点A到顶点A′缠绕一圈彩带．已知此灯笼的高为50 cm，底面边长为40 cm，则这圈彩带的长度至少为( ) A．50 cm B．120 cm C．130 cm D．150 cm C (2)(2025·深圳宝安区期中)如图，圆柱形容器的底面周长是24 cm，高是17 cm，在外侧地面S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1 cm的点F处有一苍蝇，急于捕捉苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线长度是________cm. 20 知识点二：问题解决策略：反思 3. (1)解决问题之后，对解决问题的过程、方法及问题的变化等方面进行反思，可以加深对问题以及解决问题的思路、策略与方法的理解，从而形成更加深刻的解决问题的经验，提高解决问题的能力； (2)解决问题之后的反思，一般可以关注以下几个方面：反思解决问题的过程，强化解决问题的经验；比较解决问题的方法，形成多样的解决问题的方法；思考方法的本质，促进方法的运用；改变问题的条件，研究更多的问题； (3)一题多解，一法多用，一题多变． 4. (1)已知两数的和为4，则这两个数的积的最大值为______； (2)若一个长方形的周长为20 cm，则它面积的最大值为______cm2. 4 25 【典例导引】 5. 【例1】 如图，一个密封的圆柱形油罐底面的周长是10 m，高是15 m，一只壁虎在距底面3 m的点A处，油罐上底面与点A相对的点C处有食物，壁虎沿油罐的外侧面爬行到点C处捕食，它爬行的最短路程为多少米？ 导学导练 解：展开图如图： 在直角三角形ACD中，由勾股定理，得AC＝13 m． 答：它爬行的最短路程为13 m 【变式训练】 6. 直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为3 cm，高为10 cm.在其侧面从点A开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点B停止．求彩条的最短长度． 解：将长方体的侧面沿AB展开，取AB的中点C′，取A′B′的中点C，连接B′C′，AC， 则AC＋B′C′为所求的最短彩条长， 由题意得A′C＝B′C＝5 cm，AA′＝12 cm， 由勾股定理得AC＝13 cm， 同理可得B′C′＝13 cm， ∴AC＋B′C′＝26 cm. 答：所用彩条的最短长度是26 cm 7. 【例2】 如图，一条南北走向的高速公路经过县城C，村庄A位于高速公路西侧，村庄A和县城C之间有一大型水库．从A村修建了两条笔直公路通往高速公路，分别是公路AB和AD，AB＝10千米，BD＝6千米，AD＝8千米． (1)公路AD是否为村庄A到高速公路的最近道路？请通过计算说明理由； (2)通过无人机测得AC＝BC， 求村庄A到县城C的直线距离AC的长． 解：(1)公路AD为村庄A到高速公路的最近道路， 理由如下：∵82＋62＝102， ∴AD2＋BD2＝AB2， ∴△ABD是直角三角形，∠ADB＝90°， ∴AD⊥BD， ∴公路AD为村庄A到高速公路的最近道路　 (2)设AC＝x千米， 则CD＝BC－BD＝AC－BD＝(x－6)千米， 在Rt△ACD中，由勾股定理得AC2＝AD2＋CD2， 即x2＝82＋(x－6)2， 8. 小莹计划购买一台圆形自动扫地机，有以下6种不同的尺寸可供选择，直径(单位：cm)分别是：34，34.5，37，39.5，40，42.如图是小莹家衣帽间的平面示意图，扫地机放置在该房间的角落(鞋柜、衣柜与地面均无缝隙)，在没有障碍物阻挡的前提下，扫地机能从底座脱离后打扫全屋地面，小莹可选择的扫地机尺寸最多有几种？ 解：过点A，B分别作墙的垂线，交于点C， 则AC＝108－80＝28(cm)，BC＝80－59＝21(cm)， 在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝AB2， 即282＋212＝AB2， ∴AB2＝1 225， ∴AB＝35 cm. ∵扫地机能从角落自由进出， ∴扫地机的直径不大于AB的长， 即最大不超过35 cm， ∴小莹可选择的扫地机尺寸直径可以为34 cm，34.5 cm，共2种 由题意可得AD＝ eq \f(1,2)×10＝5(m)，CD＝15－3＝12(m)， 即村庄A到县城C的直线距离AC的长为 eq \f(25,3)千米 解得x＝ eq \f(25,3)， $$