1.3 勾股定理的应用 课件2025-2026学年北师大版八年级数学上册

1.3 勾股定理的应用 核心素养目标 1.学会用勾股定理及直角三角形的判别条件（即勾股定理的逆定理）解决简单的实际问题. 2.在实际问题中构造直角三角形，提高建模能力，进一步深化对构造法和代数计算法的理解. 探究新知 例1.装修工人李叔叔想要检测某块装修用砖的边AD和边BC是否分别垂直于底边AB. （1）如果李叔叔随身只带了卷尺.你能替他想办法完成任务吗？ （2）李叔叔量得边AD长是30厘米，边AB长是40厘米，点B，D之间的距离是50厘米.边AD垂直于边AB吗？ （3）小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺，他能有办法检验边AD是否垂直于边AB吗？ 探究新知 解：（1）能.办法：用卷尺量出AB，AD和BD的长度，计算AB2，AD2和BD2的值，若AB2＋AD2＝BD2，则根据勾股定理的逆定理可知∠BAD＝90°，即AD⊥AB.检测BC⊥AB同理. （2）∵AB2＋AD2＝402＋302＝2500，BD2＝2500， ∴AB2＋AD2＝BD2.∴∠BAD＝90°. ∴边AD垂直于边AB. 探究新知 （3）能.办法：在AB边上量一小段AE＝8cm，在AD边上量一小段AF＝6cm，AE2＋AF2＝82＋62＝102，这时只要量一下EF是否等于10cm即可.边BC同理. 【方法总结】判断线段的垂直关系，一般是把线段放在三角形中，利用勾股定理的逆定理证得直角，进而得到线段的垂直关系. 探究新知 例2.正方形纸片ABCD的边长为8cm，点E是边AD的中点，将这个正方形纸片翻折，使点C落到点C处，折痕交边AB于点G，交边CD于点F，你能求出DF的长吗？ 探究新知 解：如图.设DF的长为xcm，则由折叠的性质知FC＝EF ＝（8-x）cm.ED＝4cm,在直角三角形EDF中， 由勾股定理，得ED2＋DF2＝EF2， 即42＋x2＝（8-x＋1）2. 解得x＝3. ∴DF的长为3cm.. 探究新知 【方法总结】矩形中的折叠问题，关键在于利用折叠的性质得到线段相等，构造直角三角形，设未知数，利用勾股定理 ，建立方程解决问题. 例3.在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的大意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形.在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面.请问：这个水池水的深度和这根芦苇的长度各是多少？ 探究新知 解：如图.设这个水池水的深度AC是x尺，则这根芦苇的长度AD＝AB＝（x＋1）尺.在直角三角形ABC中，BC＝5尺.由勾股定理，得BC2＋AC2＝AB2，即52＋x2＝（x＋1）2.解得x＝12.∴x＋1＝13. 答：这个水池水的深度是12尺，这根芦苇的长度是13尺. 【方法总结】读懂题意，构造直角三角形，利用方程的思想建立方程是解决问题的关键． 知识点一：利用勾股定理进行测量 1. (1)测量直角三角形的边长：如果知道直角三角形的两条直角边的长度，可以使用勾股定理来计算斜边的长度．同样，如果知道斜边和一条直角边的长度，也可以计算出另一条直角边的长度； (2) 测量物体的高度或距离：如果想测量一棵树的高度，可以测量与树之间的距离以及树的影子的长度，然后使用勾股定理来计算树的高度； (3)验证一个三角形是否为直角三角形：在实际应用中，可以利用勾股定理来检验一个三角形是否为直角三角形．如果一个三角形的三边满足勾股定理，即a2＋b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形． 自学自研 2. 装修工人李叔叔想检测某块装修用砖的边AD和边BC是否分别垂直于底边AB. (1)如果李叔叔随身只带了卷尺，那么你能替他想办法完成任务吗？ (2)李叔叔测得边AD长30 cm，边AB长40 cm，点B，D之间的距离是50 cm.边AD垂直于边AB吗？ (3)如果李叔叔随身只带了一个长度为20 cm的刻度尺，那么他能检验边AD是否垂直于边AB吗？ 解：(1)能． 具体方法如下：用卷尺量出AD，BC，AB，AC和BD的长度， 通过勾股定理即可验证　 (2)∵AD2＋AB2＝BD2， ∴AD⊥AB　 (3)能． 方法：在AB上量一小段AE＝8 cm，在AD上量一小段AF＝6 cm， 这时再量一下EF的长度，若等于10 cm，则AD⊥AB 知识点二：利用勾股定理解决折叠问题 3. (1)在解决实际问题时，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案； (2)注意折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 4. 如图，正方形ABCD的边长为8，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH，若点E恰好是BC的中点，则线段CH的长为________． 3 知识点三：利用勾股定理解决数学文化问题 5. (1)通过挖掘勾股定理背后的深厚文化内涵，将其与数学相结合； (2)通过移、补、凑、合而面积不变的方式，利用勾股定理列方程解决数学文化中的实际问题． 6. 《九章算术》中一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其水面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AC生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部C恰好碰到岸边的C′处(如图)，水深和芦苇长各多少尺？ 则该问题的水深是______尺． 12 【典例导引】 7. 【例1】 如图，阴影部分是长方形，这个长方形的面积为________dm2. 0.51 导学导练 【变式训练】 8. 如图，阴影部分是半圆，这个半圆的面积为________cm2. 8π 9. 【例2】 在《九章算术》中有这样一道题：今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺．问折者高几何？译文：一根竹子原高一丈，从A处折断，其竹稍B恰好抵地，BC为3尺，试问：折断处离地面有多高？(注：1丈＝10尺) 解：由题意可得AC⊥BC，AC＋AB＝10， ∴∠ACB＝90°，AB＝10－AC， ∴AC2＋BC2＝AB2， 即AC2＋32＝(10－AC)2， 整理得，20AC＝91， 10. 如图所示，在平静的湖面上，有一株红莲，高出水面1 m，一阵风吹来，红莲吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2 m，求水深是多少？ 解：由题意得CD＝1 m， 设AC＝x m， 则AB＝AD＝(1＋x)m， 在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝AB2， 即x2＋22＝(1＋x)2， 11. 【例3】(2025·深圳福田区期中)如图，将长方形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F点处，未被覆盖的部分涂黑记为阴影部分，已知AD＝15，AB＝9. (1)求BF的长； (2)求阴影部分的面积． 解：(1)由折叠可知△ADE和△AFE关于AE成轴对称， ∴AF＝AD＝15， 在Rt△ABF中，由勾股定理可得BF＝12　 (2)∵BC＝AD＝15，BF＝12， ∴CF＝BC－BF＝3， 设DE＝x，则EF＝x，CE＝9－x. 在Rt△EFC中，由勾股定理得FC2＋CE2＝EF2， 即32＋(9－x)2＝x2， 解得x＝5，即DE＝5， ∴阴影部分的面积＝S长方形ABCD－2S△ADE＝135－75＝60 12. (2025·佛山南海区月考)如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC＝6 cm，BC＝8 cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE. (1)求△ADC的周长； (2)求CD的长． 解：(1)∵将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE， ∴DB＝AD， ∵AC＝6 cm，BC＝8 cm， ∴△ADC的周长＝AC＋AD＋CD＝AC＋BD＋CD＝AC＋CB＝14 cm (2)由题意得DB＝AD.设CD＝x cm， 则AD＝DB＝(8－x)cm， ∵∠C＝90°， 在Rt△ACD中，由勾股定理得AD2－CD2＝AC2， 即(8－x)2－x2＝36， 课堂小结 今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感受？   ∴折断处离地面 eq \f(91,20)尺 解得AC＝ eq \f(91,20)， 解得x＝ eq \f(3,2)， 故水深是 eq \f(3,2) m 解得x＝ eq \f(7,4)，即CD＝ eq \f(7,4) cm $$