4.2　线段、射线、直线 教案 2025-2026学年湘教版（2024）数学七年级上册

4.2　线段、射线、直线 第1课时　线段、射线、直线 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 了解从实物抽象出来的线段、射线、直线等概念,掌握基本事实:两点确定一条直线. 1.在现实情境中理解线段、射线、直线的概念,并会用不同的方式表示. 2.了解点和直线的位置关系. 3.直观感受平面上不重合的两条直线相交,且只有一个交点. 4.通过操作活动,了解“两点确定一条直线”的几何事实,积累数学活动经验. 重点:线段、射线和直线的概念及它们的区别与联系 难点:线段、射线和直线的表示方法及点与直线的位置关系. 1.给学生充分探寻直线的基本知识,线段、射线、直线的表示方法的素材和动手动脑、合作交流的时间与空间,鼓励学生在活动中感受概念的形成过程,获得数学体验.提醒学生结合生活经验、留心周围事物,借助实物来认识图形. 2.通过“按语句画图”的活动,鼓励学生大胆发表自己的见解与想法,充分调动学生的积极性,发展学生的创新能力,激发学生学习兴趣,引导学生自主探究与合作交流. (一)情境导入 我们在小学已经学过线段、射线和直线,它们可以分别和图中的哪个事物相对应?结合图片你能回忆起线段、射线和直线的哪些特征? 伸向远方的火车铁轨　　激光束　　木棒 解:铁轨对应直线,激光束对应射线,木棒对应线段. (二)新知初探 探究一:线段、射线与直线 问题1　线段有两个端点,想一想线段该如何表示? 解:线段用表示端点的两个大写字母表示,或用一个小写字母表示. 记作:线段AB(或线段BA)或线段a. 问题2　线段向一端无限延伸形成射线,射线有几个端点?射线该如何表示? 解:射线有一个端点,射线用它的端点和射线上的另一点来表示(表示端点的字母必须写在前面)或用一个小写字母表示.记作:射线OA(或射线d). 追问　:射线OA与射线AO有区别吗? 答:射线OA与射线AO端点不同,延伸方向不同. 问题3　线段向两端无限延伸形成直线,直线有端点吗?直线如何表示? 解:直线没有端点,直线用一个小写字母表示或用两个大写字母表示,如直线m、直线CE或直线EC. 追问　用两个大写字母表示直线时,这两个大写字母有顺序吗? 答:这两个大写字母没有顺序,可交换顺序. 小结: 直线、射线、线段三者的区别 类型 端点个数 延伸性 能否度量 线段 2个 不能延伸 可度量 射线 1个 向一个方向无限延伸 不可度量 直线 无端点 向两个方向无限延伸 不可度量 探究一意图说明 经过老师讲解,师生交流,引导学生从数学的角度了解线段、射线、直线的概念,掌握线段、射线、直线的表示方法以及归纳它们的区别与联系 探究二:点与直线、直线与直线的位置关系 如图所示是高压电线和几只麻雀. 问题1　如果将电线看作直线,把麻雀看作点,那么一个点与一条直线有几种位置关系? 答:两种位置关系,点在直线上和点在直线外. 追问　如图所示,根据点与直线的位置关系,你能完成下列填空吗? (1)直线a经过点　A、C　,但不经过点　B、D　.  (2)点A既在直线　a　上,又在直线　b　上.  (3)点B在直线　b　上,但在直线　a　外.  问题2　如图所示,说一说点A,B和直线l有哪些位置关系. 解:点A在直线l上,点B在直l外或者说:直线l经过点A,直线l不经过点B. 问题3　如图所示,说一说点O和直线a,b的位置关系?直线a与直线b有什么位置关系? 解:点O在直线a上,也在直线b上,直线a和b相交于点O. 小结 1.点和直线的位置关系有两种:点在直线上(直线经过点),点在直线外(直线不经过点) 2.当两条不同的直线有一个公共点时,称这两条直线相交,这个公共点叫做它们的交点. 探究二意图说明 1.通过生活中的实例抽象出点与直线,让学生进行自主学习,共同探索,加深对点与直线的位置关系的理解. 2.通过生活中的实例抽象出两条直线的相交关系,即两条直线只有一个公共点,进一步加深学生对相交线的理解,充分的展现了数学与生活的紧密联系,体现了数学的价值. 探究三:直线的基本事实 问题1　过一点O可以画几条直线?过两点A,B可以画几条直线? 解:过一点O可以画无数条直线,过两点A,B可以画一条直线. 问题2　如果你想将一根木条固定在墙上并使其不能转动,至少需要几个钉子?由此你得出什么结论? 解:2个,结论:两点确定一条直线. 追问　你能找出生活中应用“两点确定一条直线”原理的例子吗? 举例: (1)建筑工人砌墙时,会在两个墙角的位置分别插一根木桩,然后拉一条直的参考线. (2)植树时,只要定出两个树坑的位置,就能使同一行树坑在一条直线上. 小结: 1.过任意一点可以画无数条直线 2.经过两点有且只有一条直线,即“两点确定一条直线”. 探究三意图说明 将数学回归生活,利用生活经验使学生进一步理解“过两点有且只有一条直线”这一基本事实,并让学生学会用数学知识解释生活经验. 探究四:例题讲解 1.根据下列语言画出相应的图形. (1)线段AB; (2)延长线段AB和反向延长线段AB; (3)直线EF经过点C; (4)点A在直线l外. 解:(1)如图所示,线段AB即为所求; (2)如图所示延长线段AB,是指按从端点A到B的方向延长. 如图所示,反向延长线段AB,是指按从端点B到A的方向延长. (3)如图所示,直线EF经过点C,即点C在直线上, (4)如图所示点A在直线l外,即直线不经过点A. 2.如图所示,点A,B,C是直线l上的3个点. (1)图中共有几条线段?这些线段怎样表示? (2)图中共有几条射线?以点B为端点的射线如何表示? (3)直线l还可以怎样表示? 解:(1)图中共有3条线段,分别是线段AB(或线段BA)、线段AC(或线段CA)、线段BC(或线段CB). (2)由于每一个点都把直线分成了两条射线,所以图中共有6条射线.以点B为端点的射线是射线BA与射线BC. (3)直线l还可以表示为直线AB(或直线BA)、直线AC(或直线CA)、直线BC(或直线CB). 小结: (1)线段可以向一个方向延伸,也可以向两个方向延伸,单个方向延伸时,延伸方向不同,得到的射线就不同; (2)点与直线的位置关系:点在直线上,点在直线外. (3)射线的端点不同,射线就不同,每一个点把直线分成两条不同的射线. 探究四意图说明 引导学生通过读题画图,归纳总结线段、射线、直线的画法,并且能按照要求画出图形,能从复杂图形中识别出线段、射线和直线,巩固线段、射线和直线的表示法,培养学生的自主学习能力. (三)当堂达标 具体内容见名校课件. (四)课堂小结 1.线段、射线、直线的概念及表示方法. 2.线段、射线、直线的区别与联系 3.直线的性质 (1)两点确定一条直线; (2)两条直线相交只有一个交点. 　　这节课让学生从实际物体中抽象出线段、射线和直线,总结它们的表示法、联系及区别,对教材的处理与过渡较自然,再借助电线杆上的几只小麻雀的图片和生活图片,抽象出点与直线的位置关系和直线与直线的位置关系,再由实例得出“两点确定一条直线”的基本事实。让学生学会用数学知识解释生活中的问题,通过例题进一步巩固所学知识,同时注意学生图形语言和文字语言之间的转化,但在教学中只注重了老师的教,忽视学生的学,以后教学中还应该多让学生讲,这样的话效果会更好. 4.2　线段、射线、直线 第2课　时线段的长短比较和线段的基本事实 1.会比较线段的长短,理解线段的和、差,以及线段中点的意义. 2.掌握基本事实:两点之间线段最短. 3.理解两点间距离的意义,能度量和表达两点间的距离. 1.掌握用测量法与叠合法来比较线段的长短. 2.借助具体情境,了解“两点之间,线段最短”的性质. 3.会用直尺和圆规作一条线段,使它等于已知线段. 4.理解线段的和、差以及线段中点的意义,能用直尺和圆规作出线段的和、差,并能用符号语言表示出来,感受符号语言在描述图形中的重要作用. 重点:掌握比较线段长短的正确方法,线段中点的概念及表示方法,理解基本事实:“两点之间,线段最短”. 难点:线段的基本性质的理解及文字语言和符号语言的表述,理解线段的和、差及中点的意义,并会用刻度尺和圆规画出线段的和、差、倍、分. 从学生熟知的生活情景中提出问题,让学生有目的探索问题,自然地就把实际问题转化为数学问题——线段的大小比较.在比较方法的探索上,让学生大胆设想,教师适当引导就可以得出比较方法.让学生反复动手操作,熟练掌握方法,恰当引出“线段中点”的定义.让学生在动手中摸索并熟悉工具的运用,通过例题与练习让学生加深理解,并在思维上进行升华拓展. (一)情境导入 比较两名同学的身高,可以有几种比较方法?向大家说说你的想法. (二)新知初探 探究一:线段长短的比较 问题1　你们平时是如何比较两个同学的身高的?你能从比身高的方法中得到启示来比较两条线段的长短吗? 答:比较两个同学高矮的方法: (1)用卷尺分别度量出两个同学的身高,将所得的数值进行比较(度量法); (2)让两个同学站在同一平地上,脚底平齐,观看两人的头顶,直接比出高矮(叠合法). 问题2　做手工时,在没有刻度尺的条件下,如何从较长的木棒上截下一段,使截下的木棒等于另一根短木棒的长? 答:将两根木棒叠放在一起,一端对齐,从较短的那根对应的地方截取. 思考:画在黑板上的线段是无法移动的,在只有圆规和无刻度的直尺的情况下,请大家想想办法,如何再画一条与它相等的线段? 问题3　比较线段AB,CD的长短. 答:(1)度量法:分别测量线段AB,CD的长度,再进行比较; (2)叠合法:将点A与点C重合,再进行比较. 图形 线段AB与CD的关系 记做 AB小于CD AB<CD AB等于CD AB=CD AB大于CD AB>CD 探究一意图说明 1.学生通过亲身实践,感受知识的形成过程,培养学生的动手、动脑、动口能力.学生归纳两条线段的长短关系,进而向学生渗透分类的数学思想. 2.学生第一次应用直尺、圆规,必须予以充分重视.首先要教学生正确地使用圆规,然后要求学生明确对作图工具的规定,作完图要标注字母,写出结果,利于学生后期的尺规作图. 探究二:线段的基本事实—两点之间,线段最短 问题1　杭州湾跨海大桥是跨越杭州湾的便捷通道.大桥北起嘉兴市,跨越宽阔的杭州湾海域后止于宁波市,全长36 km .大桥建成后宁波至上海间的陆路距离缩短了约120 km .你知道这是根据什么原理吗? 答:连接两点之间的线段长度比折线长度短. 问题2　如图所示,从A地到B地有四条道路,除它们外能否再修一条从A地到B地的最短道路?如果能,请你联系以前所学的知识,在图上画出最短路线. 题图　　　解图 解:能.如图所示,线段AB为最短路线. 小结: (1)经过比较,我们可以得到一个关于线段的基本事实: 两点之间的所有连线中,线段最短.简单说成:两点之间,线段最短; (2)连接两点的线段的长度,叫作两点间的距离. 探究二意图说明 利用实际问题和生活经验归纳出关于线段的基本事实“两点之间,线段最短”培养学生观察、发现问题x和归纳总结的能力. 探究三:尺规作图与线段的和、差、倍、分 问题1:作一条线段等于已知线段. 已知:线段a,借助圆规和直尺作一条线段AB,使AB=a. 作法:第一步:用直尺画射线AF; 第二步:用圆规在射线AF上截取AB=a. 线段AB即为所求“(如图所示). 问题2　如图所示,已知线段a,借助圆规和直尺作一条线段使它等于2a. 作法: (1)作射线AD; (2)在AD上顺次截取AB=BC=a. 则AC就是所要求作的线段(如图所示). 问题3　(1)在直线上画出线段AB=a,再在AB的延长线上画线段BC=b,线段AC就是　a　与　b　的和,记作AC=　a+b　.  (2)如果在AB上画线段BD=b,那么线段AD就是　a　与　b　的差,记作AD=　a-b　.  问题4　如图所示:点B,C在线段AD上,完成填空. 则AB+BC=　AC　;AD-CD=　AC　;BC=　AC　-　AB　=　BD　-　CD　.  问题5　在一张纸上画一条线段,折叠纸片,使线段的端点重合,折痕与线段的交点位于线段的什么位置? 解:位于线段的中点. 小结:如图所示(1)所示,点B把线段AC分成相等的两条线段AB与BC,点B叫做线段AC的中点.类似地,还有线段的三等分点(如图所示(2)所示)、四等分点(如图所示(3)所示)等. 图(1)　　图(2)　　图(3) 几何语言:因为点B是线段AC的中点, 所以AB=CB=AC(或AC=2AB=2CB). 反之也成立:因为AB=CB=AC(或AC=2AB=2CB), 所以点B是线段AC的中点. 探究三意图说明 1.学生动手操作,观察猜想,寻找归纳线段之间的数量关系. 2.通过折叠纸片让学生发现线段的中点把线段分成相等的两部分,从而归纳出线段中点的概念,并让学生能根据语言描述画出相应的图形,再进行推理计算. 探究四:例题讲解 1.在一条笔直的公路l两侧,分别有A,B两个村庄,如图所示,现在要在公路上建一个汽车站C,使汽车站到两村的距离和最小,请在图中画出汽车站C的位置,并说明理由. 解: 如图所示,连接AB,交直线l于点C,点C就是建汽车站的位置. 理由:两点之间线段最短. 2.若AB=6 cm,点C是线段AB的中点,点D是线段CB的中点,求线段AD的长. 解:因为点C是线段AB的中点,所以AC=CB=AB=×6=3( cm). 因为点D是线段CB的中点,所以CD=CB=×3=1.5( cm). 所以AD=AC+CD=3+1.5=4.5( cm). 3.如图所示,B,C是线段AD上两点,且AB∶BC∶CD=3∶2∶5,E,F分别是AB,CD的中点,且EF=24,求线段AB,BC,CD的长. 解:设AB=3x,BC=2x,CD=5x,则BE=x,CF=x, 可列方程x+2x+x=24,解得x=4.所以AB=12,BC=8,CD=20. [方法归纳] 求线段的长度时,当题目中涉及线段长度的比例或倍分关系时,通常可以设未知数,运用方程思想求解. 探究四意图说明 通过问题的解决让学生进一步理解中点与线段和差倍分的意义.学生在独立自主解答问题的过程中,进一步巩固所学的知识,夯实基础,同时培养学生发现问题,解决问题的能力. (三)当堂达标 具体内容见名校课件. (四)课堂小结 1.线段的比较与性质 (1)比较线段:度量法和叠合法; (2)两点之间,线段最短. 2.利用尺规作线段的和、差、倍 3.线段长度的计算 (1)中点:把线段AB分成两条相等线段的点; (2)两点间的距离:连接两点间的线段的长度. 　　本节课是在学习线段、射线和直线的前提下进行学习,注重学生的主动探究与知识的发现与归纳,也注重数学知识和生活的紧密相接.数学来源于生活,用数学知识解释解决生活中的问题,从“两个人的身高问题”导入新课,让学生经历了“实际问题一数学问题一解决数学问题”的学习过程。整节课的设计中较多注重方法的获得与运用,强调学生的小组合作,激发学生主动积极参与,自觉探究问题并解决问题。学习尺规作图,通过动手画图等训练让学生慢慢熟悉图形符号语言,掌握文字语言与图形语言的转化,在实践中获得发展。本节课的学习,学生不仅学到知识,还提高了动手能力和语言表达能力. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$