2.4 一元一次不等式 暑假巩固练习2024-2025学年北师大版数学八年级下册

北师大版八年级下册 2.4 一元一次不等式 暑假巩固 一、解一元一次不等式 1.不等式﹣3x﹣2≥4的解集在数轴上表示为（　　） A. B. C. D. 2.不等式2x+5≥7的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 3.不等式2x+1＞3的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 4.当x 　    　时，式子的值不大于1． 5.若点（2，m﹣3）在第四象限，则实数m的取值范围是　        　． 6.解不等式： （1）4x＜10﹣x； （2）≥． 7.解不等式： （1）7x﹣2＜3（x+2）； （2）≥． 二、一元一次不等式的整数解 1.不等式的负整数解有（　　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.已知不等式-1的负整数解是关于x的方程的解，则a的值为（　　） A.﹣3 B.﹣2 C.2 D.3 3.不等式5﹣3a≥2a﹣6的非负整数解有（　　） A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 4.若关于x的不等式3x﹣2m＜x﹣m只有3个正整数解，则m的取值范围是 　    　． 5.如图，数轴表示一个不等式的解集，则该不等式的正整数解是 　     　． 6.求不等式≥的正整数解． 7.已知关于x的不等式3x﹣m+1＞0的最小整数解为2，求m的取值范围． 三、列一元一次不等式解决实际问题 1.小明原有60元，如图记录了他今天所有支出，其中饼干支出的金额被涂黑．若每包饼干的售价为3元，则小明可能剩下的钱数是（　　） A.1元 B.2元 C.3元 D.4元 2.莉莉在看一本120页的课外书，要在6天之内读完，开始两天每天只读12页，那么以后几天每天至少要读多少页才能在规定时间内读完（　　） A.24页 B.25页 C.28页 D.30页 3.铁路部门规定旅客免费携带行李箱的长、宽、高之和不超过160 cm，某厂家生产符合该规定的行李箱，已知行李箱的高为30 cm，长与宽的比为3∶2，则该行李箱的长的最大值为（　　） A.30 cm B.160 cm C.26 cm D.78 cm 4.在抗震救灾中，某抢险地段需实行爆破，操作人员点燃导火线后，要在炸药爆炸前跑到450 m以外的安全区域．已知导火线的燃烧速度是1.2 cm/s，操作人员跑步的速度是6 m/s，为了保证操作人员的安全，导火线的长度要超过 　      　cm． 5.某便民商店，在春节之际购进A，B两种不同的蔬菜礼盒共100盒，已知售出1盒A种蔬菜礼盒获利3元，售出1盒B种蔬菜礼盒获利5元，全部售完后，获利不低于420元，则购进A种蔬菜礼盒至多 　     　盒． 6.“蓉宝”是第31届世界大学生夏季运动会吉祥物，以熊猫为原型创作，手中握有“31”字样火焰的大运火炬．为纪念2023年第31届世界大学生夏季运动会在成都大学大运村成功举办，某公司决定购买甲，乙两种造型“蓉宝”共100个发放给公司员工，已知购买2个甲种造型“蓉宝”和1个乙种造型“蓉宝”共需85元；购买3个甲种造型“蓉宝”和2个乙种造型“蓉宝”共需140元． （1）求甲，乙两种造型“蓉宝”的单价分别为多少元； （2）若该公司决定购买以上两种造型“蓉宝”的总费用不超过2 600元，那么该公司最多可以购买甲造型“蓉宝”多少个？ 7.2022年某企业按餐厨垃圾处理费25元/吨、建筑垃圾处理费16元/吨的收费标准，共支付餐厨和建筑垃圾处理费5 200元．从2023年元月起，收费标准上调为：餐厨垃圾处理费100元/吨，建筑垃圾处理费30元/吨．若该企业2023年处理的这两种垃圾数量与2022年相比没有变化，就要多支付垃圾处理费8 800元． （1）该企业2022年处理的餐厨垃圾和建筑垃圾各多少吨？ （2）该企业计划2023年将上述两种垃圾处理总量减少到240吨，且建筑垃圾处理量不超过餐厨垃圾处理量的3倍，则2023年该企业最少需要支付这两种垃圾处理费共多少元？ 四、一元一次不等式与方程（组） 1.已知关于x的一元一次方程3x+2k＝x﹣5的解是正数，那么k的取值范围是（　　） A.k＜ B.k＞ C.k＜ D.k＞ 2.若不等式（a﹣1）x≤3的解集为x≥，则a的取值范围是（　　） A.a＜1 B.a＞1 C.a＞0 D.a≤1 3.关于x的不等式4（x﹣1）﹣3（x﹣a）＞1的解集为x＞﹣1，则a的值为（　　） A.2 B.﹣2 C.1 D.﹣1 4.在方程组中，若未知数x，y满足x+y＜0，则m的取值范围是 　    　． 5.若关于x的方程组的解满足x＞y，则p的取值范围是　      　． 6.在初中数学的学习中，参数的应用十分广泛，贯穿在初中数学的方方面面，已知字母a既是关于x的方程2x﹣﹣1的参数，也是关于y的多项式y|a|﹣y中的参数，请完成下列问题： （1）字母a是数轴上的一点且a点到1的距离不大于5，求a的取值范围； （2）在（1）的条件下，若关于x的方程2x﹣﹣1的解是整数，请求出所有符合条件的整数a的值； （3）在（1）,（2）的条件下，若关于y的多项式ay|a|﹣y又是一个三次二项式，请计算所有符合条件的a的积． 7.已知m是实数，关于x，y的方程组的解满足不等式2x﹣y＜19，求实数m的取值范围． 五、一元一次不等式与字母系数取值范围 1.已知关于x的不等式（2﹣a）x＞1的解集是x＜,则a的取值范围是（　　） A.a＞0 B.a＜0 C.a＜2 D.a＞2 2.若关于x，y的方程组的解满足x+y＜3，则m的所有非负整数之和为（　　） A.1 B.3 C.4 D.6 3.不等式ax+b＜0的解集如图所示，则下列各数中，是该不等式的解的是（　　） A. B.2 C. D.3 4.已知不等式（2a﹣4）x＜4﹣2a的解集为x＜﹣1，则a的取值范围是 　     　． 5.若不等式（a﹣1）x＜a﹣1的解集是x＞1，则a的取值范围是　     　． 6.先阅读，再解答：写出关于x的不等式（a﹣1）x＞1的解集． 解：利用不等式的性质，不等式两边都除以（a﹣1）； 因不知（a﹣1）的符号，所以应分情况讨论: ①当a﹣1＞0，即a＞1时，x＞； ②当a﹣1＜0，即a＜1时，x＜； ③当a﹣1＝0，即a＝1时，此不等式为0＞1，无解． 请根据以上解不等式的思想方法，解关于x的不等式（k+2）x＞5． 7.已知不等式8﹣5（x﹣2）＜4（x﹣1）+3的最小整数解也是关于x的方程2x﹣ax＝12的解，求此时4a的值． 北师大版八年级下册 2.4 一元一次不等式 暑假巩固（参考答案） 一、解一元一次不等式 1.不等式﹣3x﹣2≥4的解集在数轴上表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】﹣3x﹣2≥4， ﹣3x≥6， x≤﹣2． 在数轴上表示解集如图所示. 故选：C． 2.不等式2x+5≥7的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】2x+5≥7， 2x≥7﹣5， 2x≥2， x≥1， ∴该不等式的解集在数轴上表示如图所示. 故选：C． 3.不等式2x+1＞3的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】不等式2x+1＞3的解集为x＞1. 故选：C． 4.当x 　    　时，式子的值不大于1． 【答案】≥﹣1 【解析】由题意可得， ≤1， 解得x≥﹣1. 故答案为：≥﹣1． 5.若点（2，m﹣3）在第四象限，则实数m的取值范围是　        　． 【答案】m＜3 【解析】∵点（2，m﹣3）在第四象限， ∴m﹣3＜0，解得m＜3． 故答案为：m＜3． 6.解不等式： （1）4x＜10﹣x； （2）≥． 【答案】解 （1）4x＜10﹣x， 4x+x＜10， 5x＜10， x＜2. （2）≥， 2（x﹣1）≥3x， 2x﹣2≥3x， 2x﹣3x≥2， ﹣x≥2， x≤﹣2． 7.解不等式： （1）7x﹣2＜3（x+2）； （2）≥． 【答案】解 （1）7x﹣2＜3（x+2）， 去括号，得7x﹣2＜3x+6， 移项，得7x﹣3x＜6+2， 合并同类项，得4x＜8， 系数化为1，得x＜2. （2）≥， 去分母，得4（x﹣1）≥x﹣3+12， 去括号，得4x﹣4≥x﹣3+12， 移项，得4x﹣x≥4﹣3+12， 合并同类项，得3x≥13， 系数化为1，得x≥． 二、一元一次不等式的整数解 1.不等式的负整数解有（　　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【解析】， 去分母得2（x﹣9）+6＜3（3x+4）， 去括号得2x﹣18+6＜9x+12， 移项、合并同类项得﹣7x＜24， 不等式两边同除以﹣7得， ∴不等式的负整数解有﹣3，﹣2，﹣1共3个． 故选：C． 2.已知不等式-1的负整数解是关于x的方程的解，则a的值为（　　） A.﹣3 B.﹣2 C.2 D.3 【答案】A 【解析】解不等式得x＞﹣2， 故满足不等式的负整数解为x＝﹣1， 将x＝﹣1代入方程＝1，得﹣1﹣＝1， 解得a＝﹣3． 故选：A． 3.不等式5﹣3a≥2a﹣6的非负整数解有（　　） A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 【答案】A 【解析】5﹣3a≥2a﹣6， 移项得﹣3a﹣2a≥﹣6﹣5， 合并同类项得﹣5a≥﹣11， 系数化为1得a≤， 故其非负整数解为0，1，2． ∴不等式5﹣3a≥2a﹣6的非负整数解有3个． 故选：A． 4.若关于x的不等式3x﹣2m＜x﹣m只有3个正整数解，则m的取值范围是 　    　． 【答案】6＜m≤8 【解析】由3x﹣2m＜x﹣m得 x＜， 关于x的不等式3x﹣2m＜x﹣m只有3个正整数解， ∴3＜≤4， ∴6＜m≤8. 故答案为：6＜m≤8． 5.如图，数轴表示一个不等式的解集，则该不等式的正整数解是 　     　． 【答案】1 【解析】从图上可知不等式的解集为x＜2， 它的正整数解为1． 故答案为：1． 6.求不等式≥的正整数解． 【答案】解 ≥， 去分母得2（y+1）﹣3（y﹣1）≥y﹣1， 去括号得2y+2﹣3y+3≥y﹣1， 移项得2y﹣3y﹣y≥﹣1﹣2﹣3， 合并同类项得﹣2y≥﹣6， 系数化为1得y≤3， ∴原不等式的正整数解为1，2，3． 7.已知关于x的不等式3x﹣m+1＞0的最小整数解为2，求m的取值范围． 【答案】解 解不等式3x﹣m+1＞0，得x＞， ∵不等式的最小整数解为2， ∴1≤＜2， 解得4≤m＜7， 故m的取值范围是4≤m＜7． 三、列一元一次不等式解决实际问题 1.小明原有60元，如图记录了他今天所有支出，其中饼干支出的金额被涂黑．若每包饼干的售价为3元，则小明可能剩下的钱数是（　　） A.1元 B.2元 C.3元 D.4元 【答案】C 【解析】设买了x包饼干，根据题意可得 10+15+20+3x≤60， 解得x≤5， ∴0＜x≤5， ∵x为正整数， ∴x为1或2或3或4或5． 当x＝1时，剩下的钱是12元， 当x＝2时，剩下的钱是9元， 当x＝3时，剩下的钱是6元， 当x＝4时，剩下的钱是3元， 当x＝5时，剩下的钱是0元． 结合四个选项可知C符合题意． 2.莉莉在看一本120页的课外书，要在6天之内读完，开始两天每天只读12页，那么以后几天每天至少要读多少页才能在规定时间内读完（　　） A.24页 B.25页 C.28页 D.30页 【答案】A 【解析】设以后几天每天要读x页， 根据题意得12×2+（6﹣2）x≥120， 解得x≥24， ∴x的最小值为24， ∴以后几天每天至少要读24页才能在规定时间内读完． 3.铁路部门规定旅客免费携带行李箱的长、宽、高之和不超过160 cm，某厂家生产符合该规定的行李箱，已知行李箱的高为30 cm，长与宽的比为3∶2，则该行李箱的长的最大值为（　　） A.30 cm B.160 cm C.26 cm D.78 cm 【答案】D 【解析】设长为3a cm，宽为2a cm． 由题意得30+3a+2a≤160， 解得a≤26， ∴a的最大值为26，3a＝78， ∴该行李箱的长的最大值为78 cm. 4.在抗震救灾中，某抢险地段需实行爆破，操作人员点燃导火线后，要在炸药爆炸前跑到450 m以外的安全区域．已知导火线的燃烧速度是1.2 cm/s，操作人员跑步的速度是6 m/s，为了保证操作人员的安全，导火线的长度要超过 　      　cm． 【答案】90 【解析】设导火线的长度为x cm，可列不等式＞， 解得x＞90， 所以为了保证工作人员的安全，导火线的长度必须超过90 cm， 5.某便民商店，在春节之际购进A，B两种不同的蔬菜礼盒共100盒，已知售出1盒A种蔬菜礼盒获利3元，售出1盒B种蔬菜礼盒获利5元，全部售完后，获利不低于420元，则购进A种蔬菜礼盒至多 　     　盒． 【答案】40 【解析】设购进A种蔬菜礼盒x盒，则购进B种蔬菜礼盒（100﹣x）盒，根据题意可得 3x+5（100﹣x）≥420， 解得x≤40， 故购进A种蔬菜礼盒至多40盒． 6.“蓉宝”是第31届世界大学生夏季运动会吉祥物，以熊猫为原型创作，手中握有“31”字样火焰的大运火炬．为纪念2023年第31届世界大学生夏季运动会在成都大学大运村成功举办，某公司决定购买甲，乙两种造型“蓉宝”共100个发放给公司员工，已知购买2个甲种造型“蓉宝”和1个乙种造型“蓉宝”共需85元；购买3个甲种造型“蓉宝”和2个乙种造型“蓉宝”共需140元． （1）求甲，乙两种造型“蓉宝”的单价分别为多少元； （2）若该公司决定购买以上两种造型“蓉宝”的总费用不超过2 600元，那么该公司最多可以购买甲造型“蓉宝”多少个？ 【答案】解 （1）设甲种造型“蓉宝”的单价为x元，乙种造型“蓉宝”的单价为y元， 根据题意得 解得 故甲种造型“蓉宝”的单价为30元，乙种造型“蓉宝”的单价为25元. （2）设该公司可以购买甲种造型“蓉宝”m个，则购买乙种造型“蓉宝”（100﹣m）个， 根据题意得30m+25（100﹣m）≤2 600， 解得m≤20， ∴m的最大值为20． 故该公司最多可以购买甲种造型“蓉宝”20个． 7.2022年某企业按餐厨垃圾处理费25元/吨、建筑垃圾处理费16元/吨的收费标准，共支付餐厨和建筑垃圾处理费5 200元．从2023年元月起，收费标准上调为：餐厨垃圾处理费100元/吨，建筑垃圾处理费30元/吨．若该企业2023年处理的这两种垃圾数量与2022年相比没有变化，就要多支付垃圾处理费8 800元． （1）该企业2022年处理的餐厨垃圾和建筑垃圾各多少吨？ （2）该企业计划2023年将上述两种垃圾处理总量减少到240吨，且建筑垃圾处理量不超过餐厨垃圾处理量的3倍，则2023年该企业最少需要支付这两种垃圾处理费共多少元？ 【答案】解 （1）设该企业2022年处理的餐厨垃圾为x吨，建筑垃圾为y吨， 根据题意得 解得 故该企业2022年处理的餐厨垃圾为80吨，建筑垃圾为200吨. （2）设该企业2023年处理的餐厨垃圾为m吨，建筑垃圾为n吨，需要支付这两种垃圾处理费共a元， 根据题意得 解得m≥60， a＝100m+30n＝100m+30（240﹣m）＝70m+7 200， ∵a的值随m的增大而增大， ∴当m＝60时，a值最小，且a的最小值＝70×60+7 200＝11 400（元）， 故2023年该企业最少需要支付这两种垃圾处理费共11 400元． 四、一元一次不等式与方程（组） 1.已知关于x的一元一次方程3x+2k＝x﹣5的解是正数，那么k的取值范围是（　　） A.k＜ B.k＞ C.k＜ D.k＞ 【答案】A 【解析】解此方程得 x =， ∵方程的解是正数， ∴＞0， 解得k＜. 故选：A． 2.若不等式（a﹣1）x≤3的解集为x≥，则a的取值范围是（　　） A.a＜1 B.a＞1 C.a＞0 D.a≤1 【答案】A 【解析】∵不等式（a﹣1）x≤3的解集为x≥， ∴a﹣1＜0， ∴a＜1． 故选：A． 3.关于x的不等式4（x﹣1）﹣3（x﹣a）＞1的解集为x＞﹣1，则a的值为（　　） A.2 B.﹣2 C.1 D.﹣1 【答案】A 【解析】4（x﹣1）﹣3（x﹣a）＞1， 4x﹣4﹣3x+3a＞1， 4x﹣3x＞1+4﹣3a， x＞5﹣3a， ∵不等式的解集为x＞﹣1， ∴5﹣3a＝﹣1， ∴﹣3a＝﹣1﹣5， ∴﹣3a＝﹣6， ∴a＝2. 故选：A． 4.在方程组中，若未知数x，y满足x+y＜0，则m的取值范围是 　    　． 【答案】m＞2 【解析】 ①+②得3x+3y＝4﹣2m， ∴x+y＝， ∵x+y＜0， ∴＜0， 解得m＞2. 故答案为：m＞2． 5.若关于x的方程组的解满足x＞y，则p的取值范围是　      　． 【答案】p＞-6 【解析】解关于x的方程组 得 ∵x＞y， ∴p+5＞﹣p﹣7， 移项得2p＞﹣12， 解得p＞﹣6． 故答案为：p＞﹣6． 6.在初中数学的学习中，参数的应用十分广泛，贯穿在初中数学的方方面面，已知字母a既是关于x的方程2x﹣﹣1的参数，也是关于y的多项式y|a|﹣y中的参数，请完成下列问题： （1）字母a是数轴上的一点且a点到1的距离不大于5，求a的取值范围； （2）在（1）的条件下，若关于x的方程2x﹣﹣1的解是整数，请求出所有符合条件的整数a的值； （3）在（1）,（2）的条件下，若关于y的多项式ay|a|﹣y又是一个三次二项式，请计算所有符合条件的a的积． 【答案】解 （1）根据题意得|a﹣1|≤5， ∴﹣5≤a﹣1≤5， 解得﹣4≤a≤6. （2）由方程2x﹣﹣1得x＝， ∵2x﹣﹣1的解是整数，a为整数， ∴a+1＝﹣3或a+1＝﹣1或a+1＝1或a+1＝3， ∴符合条件的整数a的值为﹣4或﹣2或0或2. （3）∵关于y的多项式ay|a|﹣y是一个三次二项式， ∴|a|＝3， 解得a＝3或a＝﹣3， ∴所有符合条件的a的积为3×（﹣3）＝﹣9． 7.已知m是实数，关于x，y的方程组的解满足不等式2x﹣y＜19，求实数m的取值范围． 【答案】解 ②﹣①×2得3x＝6m+9，解得x＝2m+3， 把x＝2m+3代入①得2m+3+y＝﹣1，解得y＝﹣4﹣2m， ∴方程组的解为 ∵关于x，y的方程组的解满足不等式2x﹣y＜19， ∴2（2m+3）﹣（﹣4﹣2m）＜19， ∴4m+6+4+2m＜19， 解得m＜． 五、一元一次不等式与字母系数取值范围 1.已知关于x的不等式（2﹣a）x＞1的解集是x＜,则a的取值范围是（　　） A.a＞0 B.a＜0 C.a＜2 D.a＞2 【答案】D 【解析】∵关于x的不等式（2﹣a）x＞1的解集是x＜， ∴2﹣a＜0， 解得a＞2． 故选：D． 2.若关于x，y的方程组的解满足x+y＜3，则m的所有非负整数之和为（　　） A.1 B.3 C.4 D.6 【答案】D 【解析】 ①+②得6x+6y＝6m﹣6， 即x+y＝m﹣1， ∵x+y＜3， ∴m﹣1＜3， ∴m＜4， 则满足条件的m的所有非负整数值为0，1，2，3， 它们的和为0+1+2+3＝6. 故选：D． 3.不等式ax+b＜0的解集如图所示，则下列各数中，是该不等式的解的是（　　） A. B.2 C. D.3 【答案】A 【解析】由数轴可知不等式ax+b＜0的解集为x＜2， ∴不等式ax+b＜0的解可以是. 故选：A． 4.已知不等式（2a﹣4）x＜4﹣2a的解集为x＜﹣1，则a的取值范围是 　     　． 【答案】a＞2 【解析】∵不等式（2a﹣4）x＜4﹣2a的解集为x＜﹣1， ∴2a﹣4＞0， ∴a＞2． 故答案为：a＞2． 5.若不等式（a﹣1）x＜a﹣1的解集是x＞1，则a的取值范围是　     　． 【答案】a＜1 【解析】∵不等式（a﹣1）x＜a﹣1的解集是x＞1， ∴a﹣1＜0，解得a＜1． 故答案为：a＜1． 6.先阅读，再解答：写出关于x的不等式（a﹣1）x＞1的解集． 解：利用不等式的性质，不等式两边都除以（a﹣1）； 因不知（a﹣1）的符号，所以应分情况讨论: ①当a﹣1＞0，即a＞1时，x＞； ②当a﹣1＜0，即a＜1时，x＜； ③当a﹣1＝0，即a＝1时，此不等式为0＞1，无解． 请根据以上解不等式的思想方法，解关于x的不等式（k+2）x＞5． 【答案】解 利用不等式的性质，不等式两边都除以（k+2）， 因不知（k+2）的符号，所以应分情况讨论: ①当k+2＞0，即k＞﹣2时，x＞； ②当k+2＜0，即k＜﹣2时，x＜； ③当k+2＝0，即k＝﹣2时，此不等式为0＞5，无解． 7.已知不等式8﹣5（x﹣2）＜4（x﹣1）+3的最小整数解也是关于x的方程2x﹣ax＝12的解，求此时4a的值． 【答案】解 8﹣5（x﹣2）＜4（x﹣1）+3 去括号得8﹣5x+10＜4x﹣4+3， 移项得﹣5x﹣4x＜﹣4+3﹣8﹣10， 合并同类项得﹣9x＜﹣19， 系数化为1得， ∴不等式的最小整数解为x＝3， 将x＝3代入2x﹣ax＝12，得2×3﹣3a＝12， 解得a＝﹣2， ∴4a＝﹣2×4=﹣8+7=﹣1. 学科网（北京）股份有限公司 $$