精品解析： 陕西省西咸新区沣东新城第六初级中学2024-2025学年八年级下学期5月月考数学试题

八年级数学（北师大版） （试题卷） 注意事项：1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列式子中是分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式不能运用平方差公式进行因式分解的是（ ）． A. B. C. D. 3. 如果，，那么代数式与之间的关系是（ ） A. B. C. D. 4. 若把分式中的，都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ） A. 扩大为原来的3倍 B. 扩大为原来的9倍 C. 缩小为原来的 D. 不变 5. 若，则的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 6. 已知两实数的差为m，用它们“平均数的平方”，减去它们“平方的平均数”，得到的差用m可表示为（ ） A. B. C. D. 7. 秦始皇统一度量衡意义重大，这一举措极大地方便了生产与生活．如图1和2，欣欣通过两把不同刻度的直尺说明了其中的原因，并进行如下探究：将两把尺子有刻度的一侧紧贴，则由两幅图可得方程（ ） A. B. C. D. 8. 已知三个实数，，满足，，，则（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 9. 一辆汽车以千米每小时的速度行驶，从地到地需要小时，若该汽车的行驶速度在原来的基础上增加千米每小时，那么提速后从地到地需要的时间比原来减少（ ） A. B. C. D. 10. 已知实数满足，则的值是（ ） A. 7 B. 10 C. 8 D. 9 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 当________时，分式的值为0． 12. 如图，在中，的平分线与的垂直平分线交于点P，连接，若，，则的度数为____________． 13. 若关于的多项式能够被多项式整除，则常数的值为_____． 14. 已知关于x的分式方程． （1）若原分式方程有增根，则__________； （2）若原分式方程的解为非负数，则m的取值范围为__________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 已知不等式组的解集为，则的值等于多少？ 16. 解方程：． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 因式分解： （1）； （2）． 18. 先化简，再从2，，3中选择一个适当的数作为x的值代入求值． 五、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 19. 下面有3张卡片，其上分别写有相应的代数式，并且满足：（m，n为常数）． （1）求m，n的值； （2）若x为正整数，求证：代数式总能被5整除． 20. 如图，在中，，过点B作于点平分交于点E． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，求的长． 六、（本题满分12分） 21. 某公司计划购买A，B两种型号的机器人搬运材料，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运材料，且A型机器人搬运材料所用的时间与B型机器人搬运材料所用的时间相同． （1）求A，B两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料． （2）该公司计划采购A，B两种型号的机器人共20台，要求每小时搬运材料不得少于则至少购进A型机器人多少台？ 七、（本题满分12分） 22. ［阅读材料］ 将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解法．分组分解法有两种分法：一是“”分组．二是“”分组．两种分组的主要区别就在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用“”分组；若无法构成，则采用“”分组． 例如：； ． ［应用知识］ （1）因式分解：． （2）因式分解：． ［拓展应用］ （3）已知一三角形的三边长分别是，且满足：．试判断这个三角形的形状，并说明理由． 八、（本题满分14分） 23. 阅读下列材料，并解答问题： 将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母x＋1，可设； 则． ∵对于任意x上述等式成立， 解得：， ∴． 这样，分式就拆分成一个整式x－2与一个分式的和的形式． （1）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式为______； （2）已知整数x使分式的值为整数，求满足条件的整数x的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学（北师大版） （试题卷） 注意事项：1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列式子中是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的定义．对于两个整式A、B，其中B中含有字母，那么形如的式子叫做分式，据此求解即可． 【详解】解：式子，和中，分母都不含有字母，都不是分式， 只有，分母含有字母，是分式， 故选：D． 2. 下列各式不能运用平方差公式进行因式分解的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用平方差公式分解因式，解题的关键是掌握用平方差公式分解因式． 根据平方差公式进行计算，即可得到答案． 【详解】解∶A．符合平方差公式，能用平方差公式分解，但不符合题意； B．，  两平方项的符号相同，不能用平方差公式分解，符合题意； C． 符合平方差公式，能用平方差公式分解，但不符合题意； D．符合平方差公式，能用平方差公式分解，但不符合题意； 故选：B． 3. 如果，，那么代数式与之间的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了异分母分式的加减运算，首先求出，然后相加求解即可． 【详解】∵ ∴． 故选：B． 4. 若把分式中的，都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ） A. 扩大为原来的3倍 B. 扩大为原来的9倍 C. 缩小为原来的 D. 不变 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母同乘或同除以一个不为0的整式，分式的值不变． a，b都扩大为原来的3倍就是分别变成原来的3倍，变成和．用和代替式子中的a和b，看得到的式子与原来的式子的关系． 【详解】解：由题意得：， ∴分式的值缩小为原来的， 故选：C． 5. 若，则的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的求值，正确推出是解题的关键．先根据已知式子推出，再代入计算即可． 【详解】解；∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选C． 6. 已知两实数的差为m，用它们“平均数的平方”，减去它们“平方的平均数”，得到的差用m可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，完全平方公式，先设设小的实数为，大的实数为，结合题意得，然后去括号，合并同类项，即可作答． 【详解】解：依题意，设小的实数为，大的实数为， ∵用它们“平均数的平方”，减去它们“平方的平均数”， ∴ ． 故选：D． 7. 秦始皇统一度量衡意义重大，这一举措极大地方便了生产与生活．如图1和2，欣欣通过两把不同刻度的直尺说明了其中的原因，并进行如下探究：将两把尺子有刻度的一侧紧贴，则由两幅图可得方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，根据图中两把刻度尺A刻度尺上长度为24与B刻度尺上长度32相等，A刻度尺长度为9对应B刻度尺上长度为，列出方程即可． 【详解】解：根据图可知：， 即， 故选：A． 8. 已知三个实数，，满足，，，则（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，将各式进行正确的等量代换是解题的关键． 将代入中求得与0的大小关系，再将代入中求得与0的大小关系，然后将代入中解得的值即可． 【详解】解：三个实数，，满足，，， ，， ，， ，， ，， ， ， 综上，，，， 故选：B． 9. 一辆汽车以千米每小时的速度行驶，从地到地需要小时，若该汽车的行驶速度在原来的基础上增加千米每小时，那么提速后从地到地需要的时间比原来减少（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了代数式，分式的实际应用，根据题意求出全程，及提速后行驶的速度，相除即可得到提速后行驶的时间，原来行驶时间减去提速后行驶的时间，即得比原来减少的时间． 【详解】解：A地到B地的路程为千米，提速后的速度：千米每小时，提速后的时间：小时， ∴提速后从A地到B地比原来减少的时间：（小时）． 故选：B． 10. 已知实数满足，则的值是（ ） A. 7 B. 10 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了已知式子的值求代数式的值，整式的运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．利用已知条件将高次幂降次，得，整理得，即原式，再合并同类项，即可作答． 【详解】解：∵， 即， 则， ∴． 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 当________时，分式的值为0． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查分式值为0的条件，根据分式值为0分子为0，分母不为0直接求解即可得到答案； 【详解】解：∵分式的值为0， ∴，， ∴， 故答案为：2． 12. 如图，在中，的平分线与的垂直平分线交于点P，连接，若，，则的度数为____________． 【答案】##31度 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 根据线段的垂直平分线的性质得到，得到，根据角平分线的定义、三角形内角和定理列式计算即可． 【详解】解：∵是的平分线， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，， 故答案为：． 13. 若关于的多项式能够被多项式整除，则常数的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键．将多项式变形为，再结合整除的定义，得到，即可求解． 【详解】解： ， 多项式能够被多项式整除， ， ， 故答案为：． 14. 已知关于x的分式方程． （1）若原分式方程有增根，则__________； （2）若原分式方程的解为非负数，则m的取值范围为__________． 【答案】 ①. ②. 且 【解析】 【分析】（1）先化简，得，化简，将代入，即可求解； （2）先解分式方程，然后依据分式方程有解且解为非负数，建立不等式，解不等式即可． 此题主要考查了解分式方程，增根问题，及不等式的解法；掌握解分式方程要进行检验及分式方程有解且解为非负数的条件是解题关键． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∵原分式方程有增根， ∴， 把代入， 得， ， 故答案为：； （2）由（1）得原分式方程，去分母化简得：， 解得：， 由分式方程有解且解为非负数，且， 即：且 即：且 故答案为：且． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 已知不等式组的解集为，则的值等于多少？ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了含参数的一元一次不等式组、代数式求值等知识点．先求出两个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求其公共解，然后根据不等式组的解集列出求出a、b的值，再代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：由可得：， ∵该不等式组的解集为， ∴，解得：， ∴． 16. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，去分母，将分式方程转化为整式方程，求解后，进行检验即可，熟练掌握解分式方程的步骤，是解题的关键． 【详解】解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，合并，得：， 系数化1，得：； 检验，当时，， ∴是原方程的解． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． （1）先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解； （2）先提公因式，然后利用平方差公式因式分解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 先化简，再从2，，3中选择一个适当的数作为x的值代入求值． 【答案】，2 【解析】 【分析】本题主要考查了分式化简求值，分式有意义的条件，根据分式混合运算法则进行化简，然后代入数据求值即可． 【详解】解： • • ， ∵，，1 ∴当时，原式． 五、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 19. 下面有3张卡片，其上分别写有相应的代数式，并且满足：（m，n为常数）． （1）求m，n的值； （2）若x为正整数，求证：代数式总能被5整除． 【答案】（1）， （2） ∵ ， ，， ， ∵x为正整数， ∴为整数， ∴代数式总能被5整除． 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式及其应用，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则、合并同类项法则和几种常见的分解因式的方法． （1）把已知条件中的，，代入，利用多项式乘多项式法则展开，从而列出关于，的方程组，解方程组即可； （2）根据（1）中，，求出的值，利用提取公因式法分解因式，求出它的最大公约数即可． 【小问1详解】 解：，，， ， ， ， ， ， 由①得：， 把代入②得：， ； 【小问2详解】 略 20. 如图，在中，，过点B作于点平分交于点E． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即是等腰三角形； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理、含30度直角三角形的性质及等腰三角形的判定，熟练掌握勾股定理、含30度直角三角形的性质及等腰三角形的判定是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据“等角的余角相等”可得，进而问题可求证； （2）由题意易得，由（1）可得，然后可得，进而根据勾股定理可进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 六、（本题满分12分） 21. 某公司计划购买A，B两种型号的机器人搬运材料，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运材料，且A型机器人搬运材料所用的时间与B型机器人搬运材料所用的时间相同． （1）求A，B两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料． （2）该公司计划采购A，B两种型号的机器人共20台，要求每小时搬运材料不得少于则至少购进A型机器人多少台？ 【答案】（1）150，120 （2）17 【解析】 【分析】本题考查分式方程应用，一元一次不等式应用． （1）设B型机器人每小时搬运材料，则A型机器人每小时搬运材料，根据题意建立方程求出其解即可得； （2）设购进A型机器人台，根据每小时搬运材料不得少于列出不等式进行求解即可得． 【小问1详解】 解：设B型机器人每小时搬运材料，则A型机器人每小时搬运千克材料， ∴， 解得， 经检验，是所列方程的解， 当时，， 答：A型机器人每小时搬运材料，B型机器人每小时搬运材料； 【小问2详解】 解：设购进A型机器人台，则购进B型机器人台， ， 解得：， ∵是整数， ∴， ∴a的最小值为， 答：至少购进A型机器人17台． 七、（本题满分12分） 22. ［阅读材料］ 将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解法．分组分解法有两种分法：一是“”分组．二是“”分组．两种分组的主要区别就在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用“”分组；若无法构成，则采用“”分组． 例如：； ． ［应用知识］ （1）因式分解：． （2）因式分解：． ［拓展应用］ （3）已知一三角形的三边长分别是，且满足：．试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）这个三角形为等边三角形． 理由：， ， ， ， ． ， ， ， 这个三角形是等边三角形． 【解析】 【分析】本题考查了因式分解以及因式分解的应用． （1）利用“”分组，再利用提公因式法分解即可； （2）利用“”分组，先利用完全平方公式计算，再利用平方差公式分解即可； （3）整理后，利用“”分组，再利用完全平方公式分解得到，根据非负数的性质求解即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3）略 八、（本题满分14分） 23. 阅读下列材料，并解答问题： 将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母x＋1，可设； 则． ∵对于任意x上述等式成立， 解得：， ∴． 这样，分式就拆分成一个整式x－2与一个分式的和的形式． （1）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式为______； （2）已知整数x使分式的值为整数，求满足条件的整数x的值． 【答案】（1） （2）4或2或16或 【解析】 【分析】（1）仿照例题，列出方程组，求出a、b的值，把原式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式； （2）仿照例题，列出方程组，求出a、b的值，把原式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式，根据整除运算解答． 【小问1详解】 解：由分母，可设， 则， ∵对于任意x上述等式成立， ∴， 解得：， 拆分成， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由分母，可设， 则， ∵对于任意x上述等式成立， ，解得， 拆分成， ∵整数x使分式的值为整数， ∴为整数，即或 则满足条件的整数或2或16或， 故答案为：4或2或16或． 【点睛】本题考查的是分式的混合运算，掌握多项式乘多项式的运算法则、二元一次方程组的解法，读懂材料掌握方法是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $