第02讲 集合之间的关系（知识清单+4题型讲解练+强化训练）讲义-2025-2026学年高一数学考试满分全攻略同步备考系列（沪教版2020必修一）

第02讲 集合之间的关系 内容预览 知识清单 知识点01：子集 1 知识点02：真子集 2 题型归纳 题型01 判断两个集合的包含关系 3 题型02 根据集合的包含关系求参数 5 题型03 判断集合的子集（真子集）的个数 8 题型04 求集合的子集（真子集） 10 强化训练 14 知识清单 知识点01：子集 1．子集 定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 记法与读法 记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即 A⊆A； (2)对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C 2.一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B. 也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A＝B. 知识点02：真子集 1．真子集 定义 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集 记法与读法 记作A⊂B(或BA)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”) 图示 2.空集 定义 一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集 记法 ∅ 规定 空集是任何集合的子集，即∅⊆A 特性 (1)空集只有一个子集，即它本身，∅⊆∅；(2)A≠∅，则∅⊂A 3.性质： (1)反身性：任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A； (2)传递性：对于集合A，B，C，如果A⊂B，且B⊂C，那么A⊂C. 4．与子集、真子集个数有关的4个结论 假集合A中含有n个元素，则有 (1)A的子集的个数有2n个． (2)A的非空子集的个数有2n－1个． (3)的真子集的个数有2n－1个． (4)A的非空真子集的个数有2n－2个． 题型讲解 题型03 判断两个集合的包含关系 【例3】（24-25高一上·上海杨浦·开学考试）设高一（5）班全体学生的集合为（中有名男生，名女生），高一（5）班全体女生的集合为，则 . 【答案】真包含 【知识点】判断两个集合的包含关系 【分析】根据集合间的关系的定义判断两个集合之间的关系 【详解】由题意，根据真子集的定义，得到真包含. 故答案为：真包含. 【变式1】若集合，集合与集合之间的关系为　　 A． B． C． D． 【分析】当时，该集合为有理数集，当时，该集合包含无理数，即可判断答案． 【解答】解：当时，； 当时，中元素为无理数，即． 故选：． 【变式2】下列关于集合的符号表述中，正确的是（　　） A．{﹣1}∈{﹣1，2} B． C．1⊆[0，1] D．∅⊂{0} 【分析】由已知结合元素与集合，集合与集合关系检验各选项即可判断． 【解答】解：{﹣1}⊆{﹣1，2}，A错误； ，B错误； 1∈[0，1]，C错误； ∅⊆{0}，D正确． 故选：D． 【变式3】下列各式中，正确的个数是　　 ①，1，；②，1，，1，；③，1，； ④；⑤，；⑥． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】利用集合之间的关系是包含与不包含、元素与集合之间的关系是属于与不属于的关系及其的意义即可判断出正误． 【解答】解：①集合之间的关系是包含与不包含，因此，1，，不正确，应该为，1，； ②，1，，1，，正确； ③，1，，正确； ④不含有元素，因此； ⑤，与的元素形式不一样，因此不正确； ⑥元素与集合之间的关系是属于与不属于的关系，应该为，因此不正确． 综上只有：②，③正确． 故选：． 题型02 根据集合的包含关系求参数 【例1】（24-25高一上·上海·期中）若集合，，，则a的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】根据题意结合包含关系分析求解即可. 【详解】因为集合，，， 可知，所以a的取值范围是. 故答案为：. 【变式1】（24-25高一上·上海松江·期中）已知集合，集合，若，则实数 ． 【答案】0 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】由，得到，再结合集合元素互异性即可求解. 【详解】因为， 所以．解得（舍，集合元素互异性）或0． 故答案为：0 【变式2】（24-25高一上·上海·期中）已知全集，集合，，且，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】利用子集的含义求解即可. 【详解】因为，又因为，所以. 故答案为：. 【变式3】（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）设，集合，则 【答案】2 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】利用子集可得或，求解即可. 【详解】因为，，所以或， 方程组无解，解方程组，得， 所以. 故答案为：. 【变式4】（24-25高一上·上海·阶段练习）若集合，且则的所有可能的值组成的集合为 . 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】由题意算出，由分别计算即可. 【详解】， ①若； ②； ③. 故答案为：. 【变式5】（24-25高一上·上海·阶段练习）设是实数，集合，，若，则的取值集合是 ． 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】先求解集合中的一元二次方程可得，由，分，，三种情况讨论，即得解. 【详解】由题意，集合， 若，且集合中至多有一个元素， 当时，即时，满足题意； 当时，即，即时，满足题意； 当时，即，即时，满足题意； 综上，的取值集合是. 故答案为：. 题型03 判断集合的子集（真子集）的个数 【例3】（24-25高一上·上海·期中）已知集合，则集合A的真子集的个数为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】利用真子集定义即可求得集合A的真子集的个数. 【详解】集合中有3个元素，则集合A的真子集的个数为 故选：A 【变式1】集合A＝{1，2，3}，则集合A共有 　　个子集． 【分析】根据集合的子集个数公式计算即可． 【解答】解：由题意，集合A中有3个元素，则集合A共有23＝8个子集． 故答案为：8． 【点评】本题考查集合子集个数的应用，属于基础题． 【变式2】（24-25高一上·上海松江·阶段练习）若，则符合条件的集合M有 个． 【答案】8 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】由列举法结合题意可得答案； 【详解】由题意可得，，共8个， 故答案为：8. 【变式3】（24-25高一上·上海·期中）已知集合，集合，若集合M满足，则这样的集合M共有 个. 【答案】3 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】根据集合的包含关系确定集合中一定含有的元素以及可能含有的元素，从而得到其个数． 【详解】因为集合，所以集合M中包含2，3，5，8且至少包含13，21中的一个元素， 所以或或， 所以满足条件的M个数为3. 故答案为：3. 【变式4】（24-25高一上·上海·阶段练习）若集合，且中至少含有两个奇数，则满足条件的集合的个数是 . 【答案】175 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】考虑反面的两种情况，得到若中不含有奇数和中只含有1个奇数时的情况数，再用的真子集个数减去前面求解的两者即可. 【详解】考虑反面的两种情况， 若中不含有奇数，则集合的个数等价于集合的子集的个数，即个， 若中只含有1个奇数，集合中共有4个奇数，故有4种可能， 集合的个数等价于集合的子集的个数的4倍，即， 的真子集个数共有， 所以中至少含有两个奇数时，满足条件的集合个数为. 故答案为：175 【变式5】（24-25高一上·上海长宁·开学考试）已知集合{为正整数}，则的所有真子集的个数是 【答案】511 【知识点】列举法表示集合、判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】根据为正整数可计算出集合中的元素，然后根据真子集个数的计算公式（是元素个数）计算出结果. 【详解】因为为正整数，所以， 所以集合中共有9个元素， 因此所有真子集的个数为， 故答案为：. 题型04 求集合的子集（真子集） 【例4】（24-25高一上·上海·随堂练习）集合的所有真子集为 ． 【答案】，， 【知识点】求集合的子集（真子集） 【分析】根据真子集的定义写出集合的所有真子集即可． 【详解】解：集合的所有真子集为：，，， 故答案为：，，． 【变式1】（24-25高一上·上海·阶段练习）设，若是集合的真子集，则的值为 . 【答案】2 【知识点】求集合的子集（真子集） 【分析】集合的真子集为空集，即为空集，求出的值即可. 【详解】由题意知集合为空集，则，即. 故答案为：. 【变式2】（23-24高一上·上海杨浦·开学考试）已知集合，对于它的非空子集，计算中的所有元素的和，则对的所有非空子集，这些和的总和是 . 【答案】320 【知识点】列举法表示集合、求集合的子集（真子集） 【分析】判断各子集中，每个元素出现的次数，可计算子集中元素和的总和. 【详解】集合，的所有非空子集数为个， 其中，单元素集合中只有含有元素2，2出现了1次， 双元素集合含有2的有，2出现了4次， 三元素集合含有2的有，2出现了6次 四元素集合含有2的有，2出现了4次 五元素集合含有2的有，2出现了1次， 故2出现了次， 同理，其它元素也都出现了16次， 所以各子集元素和的总和为. 故答案为：320 【变式3】（23-24高一上·上海嘉定·期中）设集合，现对M的任一非空子集A，令为A中最大数与最小数之和，则所有这样的的算术平均值为 ． 【答案】7 【知识点】求集合的子集（真子集） 【分析】根据集合的子集和并集的概念求解. 【详解】集合M的任一非空子集共有个， 其中最小值为1的子集可视为的子集与集合的并集， 共有个， 同上可知，最小值为2的子集共有个，最小值为3的子集共有个， 最小值为4的子集共有个，最小值为5的子集共有个， 最小值为6的子集共有个， 同上可知，最大值为6的子集共有个，最大值为5的子集共有个， 最大值为4的子集共有个，最大值为3的子集共有个， 最大值为2的子集共有个，最大值为1的子集共有个， 所以的所有非空子集中最小值之和为 ， 最大值之和为， 所以 ， 故答案为:7. 【变式4】（23-24高一上·上海嘉定·期中）集合的子集个数为 . 【答案】 【知识点】求集合的子集（真子集） 【分析】根据题意分别令，再由子集的定义求解即可. 【详解】因为，所以当时，不成立， 当时，成立， 当时，成立， 当时，成立， 当时，成立， 当时，成立， 当时，成立， 当时，不成立， 所以满足题意的为，， 所以集合的子集个数为：. 故答案为： 【变式5】（23-24高一上·上海徐汇·阶段练习）设A是集合的非空子集，称A中的元素之和为A的“容量”，则S的所有非空子集的“容量”之和为 ． 【答案】 【知识点】求集合的子集（真子集）、集合新定义 【分析】根据题意写出的所有非空子集，结合“容量”的定义求S的所有非空子集的“容量”之和. 【详解】由题设，的非空子集有 ， 含一个元素的子集“容量”之和为， 含两个元素的子集“容量”之和为， 含三个元素的子集“容量”之和为， 含四个元素的子集“容量”之和为， 含五个元素的子集“容量”之和为， 所以S的所有非空子集的“容量”之和为. 故答案为： 强化训练 一、单选题 1．（23-24高一上·上海崇明·阶段练习）下列写法正确的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由空集是任何集合的子集可知A错误，集合之间的关系不能用符号“”来表示，B错误；5是整数集中的元素，即，可知C错误；是实数集中的元素，即D正确. 【详解】对于A，空集中不含有任何元素，且空集是任何集合的子集，所以A错误； 对于B，集合与集合之间不能用表示它们的关系，B错误； 对于C，是元素，而是整数集，所以，C错误； 对于D，是无理数，它是实数集中的元素，即正确. 故选：D 2．（24-25高一上·上海·阶段练习）以下关系式错误的有几个（   ） ①；②；③；④；⑤； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据空集定义，元素与集合的关系，子集定义逐一判断即可. 【详解】对①，不含任何元素，所以，错误； 对②，是任何集合的子集，所以，正确； 对③，0是自然数，所以，正确； 对④，根据子集定义可知，任何集合都是它自己的子集，正确； 对⑤，的元素是，的元素是0，两集合不存在包含关系，错误. 故选：B 3．（23-24高一上·上海·期末）已知集合或，集合，则集合与的关系是（    ） A． B． C． D．以上选项均不正确 【答案】A 【分析】化简集合，用列举法表示集合、，即可判断. 【详解】因为或 ， 又或 或 ， 所以. 故选：A 4．（23-24高一上·上海·期末）已知A、B为非空数集，为平面上的一些点构成的集合，集合，集合，给定下列四个命题，其中真命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】运用元素和集合的关系判断即可. 【详解】设，， 若，此时，，B错误； 若，此时，，错误，A错误； 若，则,则， 且，若，真包含A,故D正确，C错误. 故选：D． 二、填空题 5．（24-25高一上·上海·阶段练习）满足的集合A有 个. 【答案】3 【分析】列举出符合条件的集合，可得结果. 【详解】因为集合满足条件， 则集合可以是：、、， 所以，满足条件的集合的个数为3. 故答案为：3 6．（23-24高一下·上海·期中）已知集合，，且．则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用建立不等关系，求解即可. 【详解】因为，所以，解得. 故答案为： 7．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合，，若，则实数 . 【答案】0、、 【分析】求出集合，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，求出集合，根据可得出关于实数的等式，综合可得出实数的取值. 【详解】因为，，且. 当时，，合乎题意； 当时，， 因为，则或，解得或. 综上所述，、、. 故答案为：0、、. 8．（24-25高一上·上海·阶段练习）满足条件的集合的个数为 . 【答案】 【分析】利用集合包含的关系分析集合的元素的情况，从而将问题转化为求集合的非空子集的个数，由此得解. 【详解】因为， 所以集合必含有元素，且至少含有元素中的一个， 则集合的个数与集合的非空子集的个数一样， 所以集合的个数为. 故答案为：. 9．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知集合，定义集合：，则中的子集个数为 【答案】231 【分析】根据题意，作出示意图，表示出集合的点，求得的取值，结合的定义，表示图象，得出中元素的个数，进而得到中的子集个数，得到答案. 【详解】由题意，集合， 可得集合中有5个元素，即5个点，如图所示的图中的黑点， 集合中有15个元素，即15个点， 即图中长方形内部及长方形的边上的整点， 又由或或或或或或，共由7个值； 或或或或，共由5个值； 所以集合中的元素可看作图中长方形边上除去四个顶点外的整点，共有个， 所以集合中的子集个数为个. 故答案为：. 10．（24-25高一上·上海·阶段练习）设集合，现对的任一非空子集：令为中最大数与最小数之和，则所有这样的的平均值为 ． 【答案】9 【分析】根据集合的子集和并集的概念求解. 【详解】集合M的非空子集共有个， 其中，最小值为1的子集可视为的子集与集合的并集，共有个， 同上可知，最小值为2的子集共有个，最小值为3的子集共有个，...，最小值为8的子集共有个. 最大值为8的子集可视为的子集与集合的并集，共有个， 同上可知，最大值为7的子集共有个，最大值为6的子集共有个，...，最大值为1的子集共有个. 所以，M的所有非空子集中的最小值之和为 ， 最大值之和为， 所以 故答案为：9 【点睛】关键点点睛：本题的关键是进行合理地分类讨论，并找到其规律计算即可. 三、解答题 11．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知，，若，求m的值． 【答案】或或 【分析】由，分和两种情况分类讨论，根据几何包含关系可求得参数的值. 【详解】，若则，满足， 若则，则或， 解得或， 所以或或. 12．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知集合，且满足，求实数可能取的一切值． 【答案】 【分析】根据，分类讨论求解即可. 【详解】， 可能为，，. 当时，无解，故，满足， 当时，则，解得， 当时，则，解得. 综上，实数的取值为. 13．（23-24高一上·上海·期末）已知集合. (1)若只有一个元素，试求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若至少有两个子集，试求实数的取值范围. 【答案】(1)或，或 (2) 【分析】（1）考虑和且两种情况. （2）至少有两个子集，则方程由一个或两个根，考虑第一问的结果和且两种情况. 【详解】（1）时，解得符合题意； 时令解得， 此时， 解得符合题意， 故或，或 （2）若至少有两个子集，则至少有一个元素. 由（1）知或时符合题意. 由题意可知时若也符合题意. 即解得且. 综上. 14.（23-24高一上·上海嘉定·期中）已知集合 (1)若A中只有一个元素，求a的值 (2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围 (3)若，求a的取值范围 【答案】(1)0或 (2) (3) 【知识点】根据集合的包含关系求参数、空集的性质及应用、根据集合中元素的个数求参数 【分析】（1）分和两种情况，结合二次方程的判别式分析求解； （2）分A中有一个元素或两种情况，结合二次方程的判别式分析求解； （3）分类讨论A是否为空集以及是否为0，结合二次方程的判别式和韦达定理分析求解. 【详解】（1）若时，，符合题意； 当时，可知方程为一元二次方程，则，解得； 综上所述：或. （2）若A中至多有一个元素，即A中有一个元素或， 若A中有一个，由（1）可知：或； 若，则，解得； 综上所述：a的取值范围为. （3）因为，则有： 若，由（2）可知：； 若，则有： 若时，由（1）可知，符合题意； 当时，则，解得； 综上所述：a的取值范围为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 集合之间的关系 内容预览 知识清单 知识点01：子集 1 知识点02：真子集 2 题型归纳 题型01 判断两个集合的包含关系 3 题型02 根据集合的包含关系求参数 3 题型03 判断集合的子集（真子集）的个数 4 题型04 求集合的子集（真子集） 4 强化训练 5 知识清单 知识点01：子集 1．子集 定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 记法与读法 记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即 A⊆A； (2)对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C 2.一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B. 也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A＝B. 知识点02：真子集 1．真子集 定义 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集 记法与读法 记作A⊂B(或BA)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”) 图示 2.空集 定义 一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集 记法 ∅ 规定 空集是任何集合的子集，即∅⊆A 特性 (1)空集只有一个子集，即它本身，∅⊆∅；(2)A≠∅，则∅⊂A 3.性质： (1)反身性：任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A； (2)传递性：对于集合A，B，C，如果A⊂B，且B⊂C，那么A⊂C. 4．与子集、真子集个数有关的4个结论 假集合A中含有n个元素，则有 (1)A的子集的个数有2n个． (2)A的非空子集的个数有2n－1个． (3)的真子集的个数有2n－1个． (4)A的非空真子集的个数有2n－2个． 题型讲解 题型03 判断两个集合的包含关系 【例3】（24-25高一上·上海杨浦·开学考试）设高一（5）班全体学生的集合为（中有名男生，名女生），高一（5）班全体女生的集合为，则 . 【变式1】若集合，集合与集合之间的关系为　　 A． B． C． D． 【变式2】下列关于集合的符号表述中，正确的是（　　） A．{﹣1}∈{﹣1，2} B． C．1⊆[0，1] D．∅⊂{0} 【变式3】下列各式中，正确的个数是　　 ①，1，；②，1，，1，；③，1，； ④；⑤，；⑥． A．1 B．2 C．3 D．4 题型02 根据集合的包含关系求参数 【例1】（24-25高一上·上海·期中）若集合，，，则a的取值范围是 . 【变式1】（24-25高一上·上海松江·期中）已知集合，集合，若，则实数 ． 【变式2】（24-25高一上·上海·期中）已知全集，集合，，且，则实数a的取值范围是 ． 【变式3】（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）设，集合，则 【变式4】（24-25高一上·上海·阶段练习）若集合，且则的所有可能的值组成的集合为 . 【变式5】（24-25高一上·上海·阶段练习）设是实数，集合，，若，则的取值集合是 ． 题型03 判断集合的子集（真子集）的个数 【例3】（24-25高一上·上海·期中）已知集合，则集合A的真子集的个数为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式1】集合A＝{1，2，3}，则集合A共有 　　个子集． 【变式2】（24-25高一上·上海松江·阶段练习）若，则符合条件的集合M有 个． 【变式3】（24-25高一上·上海·期中）已知集合，集合，若集合M满足，则这样的集合M共有 个. 【变式4】（24-25高一上·上海·阶段练习）若集合，且中至少含有两个奇数，则满足条件的集合的个数是 . 【变式5】（24-25高一上·上海长宁·开学考试）已知集合{为正整数}，则的所有真子集的个数是 题型04 求集合的子集（真子集） 【例4】（24-25高一上·上海·随堂练习）集合的所有真子集为 ． 【变式1】（24-25高一上·上海·阶段练习）设，若是集合的真子集，则的值为 . 【变式2】（23-24高一上·上海杨浦·开学考试）已知集合，对于它的非空子集，计算中的所有元素的和，则对的所有非空子集，这些和的总和是 . 【变式3】（23-24高一上·上海嘉定·期中）设集合，现对M的任一非空子集A，令为A中最大数与最小数之和，则所有这样的的算术平均值为 ． 【变式4】（23-24高一上·上海嘉定·期中）集合的子集个数为 . 【变式5】（23-24高一上·上海徐汇·阶段练习）设A是集合的非空子集，称A中的元素之和为A的“容量”，则S的所有非空子集的“容量”之和为 ． 强化训练 一、单选题 1．（23-24高一上·上海崇明·阶段练习）下列写法正确的是（    ）. A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·阶段练习）以下关系式错误的有几个（   ） ①；②；③；④；⑤； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（23-24高一上·上海·期末）已知集合或，集合，则集合与的关系是（    ） A． B． C． D．以上选项均不正确 4．（23-24高一上·上海·期末）已知A、B为非空数集，为平面上的一些点构成的集合，集合，集合，给定下列四个命题，其中真命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 二、填空题 5．（24-25高一上·上海·阶段练习）满足的集合A有 个. 6．（23-24高一下·上海·期中）已知集合，，且．则实数的取值范围为 ． 7．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合，，若，则实数 . 8．（24-25高一上·上海·阶段练习）满足条件的集合的个数为 . 9．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知集合，定义集合：，则中的子集个数为 10．（24-25高一上·上海·阶段练习）设集合，现对的任一非空子集：令为中最大数与最小数之和，则所有这样的的平均值为 ． 三、解答题 11．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知，，若，求m的值． 12．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知集合，且满足，求实数可能取的一切值． 13．（23-24高一上·上海·期末）已知集合. (1)若只有一个元素，试求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若至少有两个子集，试求实数的取值范围. 14.（23-24高一上·上海嘉定·期中）已知集合 (1)若A中只有一个元素，求a的值 (2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围 (3)若，求a的取值范围 1 学科网（北京）股份有限公司 $$