第02讲 集合之间的关系（3种题型）-【暑假预习】2023年新高一数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版2020必修第一册）

第02讲 集合之间的关系（3种题型） 【知识梳理】 一．集合的包含关系判断及应用 如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A⊆B； 如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，即A⊂B； 【解题方法点拨】 1．按照子集包含元素个数从少到多排列． 2．注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素． 3．可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系． 4．有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法． 【命题方向】通常命题的方式是小题，直接求解或判断两个或两个以上的集合的关系，可以与函数的定义域，三角函数的解集，子集的个数，简易逻辑等知识相结合命题． 二．子集与真子集 1、子集定义：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集（subset）． 记作：A⊆B（或B⊇A）． 2、真子集是对于子集来说的． 真子集定义：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且元素x不属于集合A，我们称集合A是集合B的真子集． 也就是说如果集合A的所有元素同时都是集合 B 的元素，则称 A 是 B 的子集， 若 B 中有一个元素，而A 中没有，且A 是 B 的子集，则称 A 是 B 的真子集， 注：①空集是所有集合的子集； ②所有集合都是其本身的子集； ③空集是任何非空集合的真子集 例如：所有亚洲国家的集合是地球上所有国家的集合的真子集． 所有的自然数的集合是所有整数的集合的真子集． {1，3}⊂{1，2，3，4} {1，2，3，4}⊆{1，2，3，4} 3、真子集和子集的区别 子集就是一个集合中的全部元素是另一个集合中的元素，有可能与另一个集合相等； 真子集就是一个集合中的元素全部是另一个集合中的元素，但不存在相等； 注意集合的元素是要用大括号括起来的“{}”，如{1，2}，{a，b，g}； 另外，{1，2}的子集有：空集，{1}，{2}，{1，2}．真子集有：空集，{1}，{2}．一般来说，真子集是在所有子集中去掉它本身，所以对于含有n个（n不等于0）元素的集合而言，它的子集就有2n个；真子集就有2n﹣1．但空集属特殊情况，它只有一个子集，没有真子集． 【解题方法点拨】 注意真子集和子集的区别，不可混为一谈，A⊆B，并且B⊆A时，有A＝B，但是A⊂B，并且B⊂A，是不能同时成立的；子集个数的求法，空集与自身是不可忽视的． 【命题方向】 本考点要求理解，高考会考中多以选择题、填空题为主，曾经考查子集个数问题，常常与集合的运算，概率，函数的基本性质结合命题． 三．空集的定义、性质及运算 1、空集的定义：不含任何元素的集合称为空集．记作∅．空集的性质：空集是一切集合的子集． 2、注意： 空集不是没有；它是内部没有元素的集合，而集合是存在的．这通常是初学者的一个难理解点． 将集合想象成一个装有其元素的袋子的想法或许会有帮助； 袋子可能是空的，但袋子本身确实是存在的． 例如：{x|x2+1＝0，x∈R}＝∅．虽然有x的表达式，但方程中根本就没有这样的实数x使得方程成立，所以方程的解集是空集． 3、空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 【解题方法点拨】 解答与空集有关的问题，例如集合A∩B＝B⇔B⊆A，实际上包含3种情况： ①B＝∅； ②B⊂A且B≠∅； ③B＝A；往往遗漏B是∅的情形，所以老师们在讲解这一部分内容或题目时，总是说“空集优先的原则”，就是首先考虑空集． 【命题方向】 一般情况下，多与集合的基本运算联合命题，是学生容易疏忽、出错的地方，考查分析问题解决问题的细心程度，难度不大，可以在选择题、填空题、简答题中出现． 【考点剖析】 一．集合的包含关系判断及应用（共19小题） 1．（2022•杨浦区校级开学）已知集合A＝{x∈N|﹣1＜x＜5}，B＝{0，1，2，3，4，5}，则A，B间的关系为（　　） A．A＝B B．B⊆A C．A∈B D．A⊆B 2．（2022•徐汇区校级开学）下列关系中错误的是（　　） A．∅⫋{0} B．{ 1，2}⫋Z C．{（a，b）}⊆{a，b} D．{0，1}⊆{1，0} 3．（2022秋•奉贤区校级期中）已知A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|x＜a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是 　 　． 4．（2022秋•普陀区校级月考）已知集合P＝{x|2x2+x﹣3＝0}，Q＝{x|mx＝1}，若Q⊆P，则实数m的取值集合为 　 　． 5．（2022秋•浦东新区校级月考）如果集合A＝{x|x∈Z且x≥0}，B＝{y|y＝x2，x∈Z}，则集合A、B