2024-2025学年世界少年奥林匹克思维能力全国总测评七年级数学二试试题

绝密★启用前 2024-2025年度世界少年奥林匹克思维能力全国总测评 (2025年1月) 选手须知： 1、本卷共10题，共计140分。 2、答题前请将自己的地区、学校、姓名、试场、活动证号码写在规定的位置。 3、测评时不能使用计算工具。 4、测评完毕时试卷、答题纸和草稿纸将被收回。 题号 三 四 五 七 八 九 总分 核查人 得分 七年级试题（二试) (本试卷满分140分，考试时间90分钟) 1、已知a、bc满足V2a+b-4+归+1=6-c+E-b,求-10a-b+2c的算术平方根。（本 小题12分) 2、确定一个用算术平方根表示的数的整数部分和小数部分时，可以用如下办法：例如√厅， 因为9<11<16，所以5<厅<6，即3<√行<4。故厅的整数部分是3，小数部分是厅-3 又例如V50,因为49<50<64，所以√49<√5而<64，即7<√5⑥<8，故50的整数部分是7， 小数部分是√50-7。若9+3的小数部分为a,9-√3的小数部分为b,求4(a+b)+8的值（本 小题12分) 七年级二试试题卷第1页 3、设a、b、c、d都是实数，若la+b=4,|c+d=2,且|a-c+b-d=c-a+d-b,求a+b+c+d 的最大值。（本小题14分） 4、创新题：类比同类项的概念，我们规定：对于两个多项式A和B,若所含字母相同，项数 相同，并且对于A中的每一项，B中都有对应的项是同类项，我们就称这两个多项式是“同类多项 式”。例如：4a+2ab-4b与a2-3ab+2b是“同类多项式”，4a2+2a-4与a2-3a+b不是“同类多项 式” 己知D,E为关于x的同类多项式，D=2x2+m-1,E=x2-x+5,若3D-2E=9是关于 x的一元一次方程且有正整数解，若a为整数，求k,a的值。（本小题14分） 5、折叠数轴，若在数轴上-1表示的点与5表示的点重合，回答以下问题： -3-2-1012345 (1)若数轴上从、N两点之间的距离为800(M在N的左侧)，且从、N两点经折叠后重合， 求M、N两点表示的数各是多少？ (2)如图，边长为2的正方形有一顶点落在数轴上表示-1的点处，将正方形在数轴上向右滚 动（无滑动），正方形的一边与数轴重合记为滚动一次，求正方形滚动2025次后，落在数轴上一 边的右端点表示的数与折叠后的哪个数重合？（本小题14分） 七年级二试试题卷第2页 6、小明家住房户型呈长方形，平面图如下（单位：米）。现准备铺设整个长方形地面，其中 三间卧室铺设木地板，其它区域铺设地砖。（房间内隔墙宽度忽略不计） 2x 厨房 卫生间 卧室2 卧室1 餐厅 5 客厅 卧室3 10 按市场价格，木地板单价为300元/平方米，地砖单价为100元/平方米.装修公司有A,B两 种活动方案，如表： 活动方案 木地板价格 地砖价格 总安装费 学 8折 8.5折 2000元 B 9折 8.5折 免收 己知卧室2的面积为21平方米，则小明家应选择哪种活动，使铺设地面总费用（含材料费及 安装费)更低？（本小题14分） 七年级二试试题卷第3页 7、已知数轴上有A、B、C三个点，分别表示有理数-12、9、20，动点P从点A出发，以每秒2个单 位长度的速度向右移动。设移动时间为1秒，如图，若用PA、PB、PC分别表示点P与点A、点B、点C 之间的距离， A→P0 Bt 当动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点C出发，以1个单位/秒速度向左运动。 O、B两点之间为变速区”，规则为从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点 B运动到点O期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速。是否存在符合条件的1，使P、Q两点到点B 的距离相等？若存在，请直接写出1的值：若不存在，请说明理由。（本小题14分） 8、材料一：如果一个三位正整数满足百位数字小于十位数字，且百位数字与十位数字之和等于个位数字， 那么称这个数为上升数”。 例如：m=123,满足1<2，且1+2=3，所以123是“上升数： n=247,满足2<4，但2+4+7，所以247不是“上升数 材料二：对于一个“上升数°m=100a+10b+c(1≤a,b,c≤9且a,b,c为整数)， 交换其百位和十位得到m=100b+10a+c,规定G(m=m-m 90 例如：m=123为上升数。m=213,Gm)=123-2业-1 90 若s,1都是“上升数”，其中5=100x+10y+7,1=200+10a+b(1≤x,少a,b≤9，且x,少a, b都为整数)，若G(s)+G()=-3,求s。(本小题14分) 七年级二试试题卷第4页 9、某综合实践小组开展了长方体纸盒的制作实践活动。综合实践小组利用边长为α(cm)的正方形纸 板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）》 a a 图1 图2 (1)图1方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为b(cm)的小 正方形，再沿虚线折合起来.则长方体纸盒的底面周长为 cm(用含a,b的式子表示)： (2)图2方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为b(cm)的小 正方形和两个同样大小的小长方形，再沿线折合起来。如果a=30cm,b=5cm。则该长方体纸盒的体积 为 cm3。 (3)一个无盖长方体的长、宽、高分别为6cm.4cm3cm,(它缺一个长为6cm,宽为4cm的长方形盖 子)，如图是该长方体的一种平面展开图，它的外围周长为3×8+4×2+6×2=44cm。事实上，该长方体的 平面展开图还有不少，请你画出该无盖长方体外围周长最大的一种表面展开图，并求出最大外围周长的值。 (本小题16分) 七年级二试试题卷第5页 10、已知O为直线AB上一点，射线OD、OC、OE位于直线AB上方，OD在OE的左侧， ∠AOC=120°，∠D0E=a。(本小题16分) (1)如图1，a=70°，当OD平分∠AOC时，求∠EOB的度数。 (2)如图2，若∠DOC=2∠AOD,且a<80°，求∠EOB(用a表示)。 (3)若a=90°，点F在射线OB上，若射线OF绕点O顺时针旋转n°(0<n<180°)， ∠FOA=2∠AOD,OH平分∠EOC,当∠FOH=120°时，求n的值。 CE D A 0 -B -B 0 0 B 0 图1 图2 备用图 备用图 七年级二试试题卷第6页 2024-2025年度世界少年奥林匹克思维能力全国总测评 七年级第二试答案 [b-c20 1、解： lc-b≥0' .b=c, ∴.V2a+b-4+白+1=0， ,2a+b-4=0 a+1=0 ，·解得： a=-1 6=6 .c=6, .-10a-b+2c=-10×(-l)-6+2×6=16, ∴.-10a-b+2c的算术平方根是4. 2、9<13<16, .5<3<6,即3<3<4， 同理：4<-√3<-3， ∴.9+√3的小数部分为a=3-3, 9-√3的小数部分为b=4-√3， 4Ha+b)+8=4×(√3-3+4-√3)+8=12. 3、解：因为la-c+b-d作c-a+d-b=-(a-c+b-d), 所以a-c+b-ds0,即a+b≤c+d, 所以a+b=-4,c+d=2. 当c+d=2时，a+b+c+d=-2: 当c+d=-2时，a+b+c+d=6 所以a+b+c+d的最大值为-2. 4、解：因为D、E是同类多项式"， 所以k≠0，a≠0. 3D-2E=32x2+m-l）-2(e2-x+5) =6x2+3ar-3-2a2+2x-10 =(6-2k)x2+(3a+2)x-13, 因为3D-2￡=9是关于x的一元一次方程，且有正整数解， ∴.(6-2水)x°+(3a+2)x-13=9是关于x的一元一次方程，且有正整数解， 所以6-2k=0, 所以k=3. 所以(3a+2)x-13=9 22 解得：x= 3a+2' 因为22的正因数有1、2、11、22，a是整数， 所以3+2=1，a=-了不符合题意，合去： 30+2=2,a=0,不符合题意，舍去： 3a+2=11,a=3,符合题意： 子，不符合题意，舍去： 20 30+2=22,a= 综上所述，a=3. 5、解：，数轴上M、N两点之间的距离为800(.M在N的左侧)， :MN=号x800=40, 21 .2+400=402,2-400=-398, .M点表示的数是-398，N点表示的数是402. 答：M、N两点表示的数分别是-398,402： (2)解：，边长为2的正方形有一顶点落在数轴上表示-1的点处， ∴.正方形在数轴上向右滚动一次后落在数轴上一边的右端点表示的数是3： 正方形在数轴上向右滚动2次后落在数轴上一边的右端点表示的数是5： 正方形在数轴上向右滚动3次后落在数轴上一边的右端点表示的数是7. .正方形在数轴上向右浚动2025次后落在数轴上一边的右端点表示的数是2×2025+1=4051. 2×2-4051=-4047 ∴.正方形滚动2025次后，落在数轴上一边的右端点表示的数与折叠后的-4047重合。 6、根据题意，可得a+5=4+4,得a=3: ,卧室2的面积为21平方米， ∴.310+6-(2x-1)-x-2x]=21, ∴.3(17-5x)=21, .x=2, .铺设地面需要木地板：75-7x=75-7×2=61, 铺设地面需要地砖：7x+53=7×2+53=67, A种活动方案所需的费用：61×300×0.8+67×100x0.85+2000=22335(元)， B种活动方案所需的费用：61×300×0.9+67×100x0.85=22165(元)， 22335>22165, 所以小明家应选择B种活动方案，使铺设地面总费用（含材料费及安装费）更低。 7、解：点P在OA运动时间为12+2=6（秒），在OB运动时间为9÷1=9（秒），在BC运动的时间为(209， ÷2=5.5(秒)：点Q在BC运动时间为(209)÷1=11（秒），在OB运动时间为9÷3=3（秒），在OA运动 时间为12+1=12（秒）： ①当0≤1≤6时，如图，则P在线段OA上，表示的数为-12+21：Q在线段BC上，表示的数为20-1， A POB 由题意得：9-(-12+21)=20-1-9， 解得：1=10>6， 不合愿意，此时不存在P、Q两点到点B的距离相等： ②当6<1≤11时，如图，P都在线段OB上，P表示的数为1-6，Q在线段BC上，表示的数为20-1， A OPBO C 则9-(1-6)=20-1-9，方程无解， 此时不存在P、Q两点到点B的距离相等： ③当11<1s14时，如图，P、Q都在线段OB上，两点重合，P、Q两点到点B的距离相等： A O P(O)B C 此时P表示的数为1-6，Q表示的数为3(14-)， 所以314-)=1-6， 得1=12： 符合题意，即不存在P、Q两点到点B的距离相等： ④当14<1￡15时，如图，P仍在线段OB上，点Q在线段OA上， A QO PB 此时点Q在点O的左侧，点P在点O的右侧，同在点B的左侧，且B=PQ+PB)PB,所以P、Q两点到 点B的距离不可能相等： ⑤当1>15时，如图，P在射线BC上，Q在射线OA上，P表示的数为9+2(l9=21-2,2表示的数是 -(0-14)=14-1, A 90 B P 所以(21-21)-9=9-(14-)，解得1=25： 综上所述，P、?两点到点B的距离相等，运动时间为12秒或25秒， 故答案为：12或25. 8、5,1是上升数， .x<y,2<a且x+y=7,2+a=b. :m=0a+106+c-0b+10a+L_90a-l=a-b, 90 90 .G(s)=x-y. ,x+y=7, y=7-x, ∴.Gs）=x-y=2x-7. .G0=2-a, ∴.2x-7+2-a=-3. 即a=2x-2. ,2x为偶数，2为偶数， a为偶数. 又，a>2且10， ∴.a=4或6或8. 当a=4时，x=3,此时=4： 当a=6时，x4,此时y=3,但不满足xy,故不合题意： 当a=8时，x=5,此时=2，不满足x<y,故不合题意. .a=4,3x=3,=4. ∴.S=347.