精品解析：2025年湖南省衡阳市第八中学“沃土计划”综合能力测试九年级数学试题（自主招生考试）

2025年衡阳市八中“沃土计划”数学 满分：100分 考试时间：70分钟 一．选择题（共8小题，每题4分，共32分） 1. 若成立，则满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键．根据二次根式的性质列式求解即可． 【详解】解：∵成立， ∴， ∴． 故选B． 2. 如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：），根据图中所示数据计算这个几何体的侧面积为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了由三视图判断几何体的形状以及圆锥侧面积求法，正确得出几何体的形状是解题关键．由三视图可判断出几何体的形状，进而利用圆锥的侧面积公式求出答案． 【详解】解：由题意可得此几何体是圆锥， 底面圆的半径为：1，母线长为：3， 故这个几何体的侧面积为：． 故选：A． 3. 如图，⊙O的半径为2，点C是圆上的一个动点，CA⊥x轴，CB⊥y轴，垂足分别为A、B，D是AB的中点，如果点C在圆上运动一周，那么点D运动过的路程长为（　　） A. B. C. π D. 2π 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可知，四边形OACB是矩形，D为AB的中点，连接OC，可知D点是矩形的对角线的交点，那么当C点绕圆O旋转一周时，D点也会以OD长为半径旋转一周，D点的轨迹是一个以O为圆心，以OD长为半径的圆，计算圆的周长即可. 【详解】如图，连接OC， ∵CA⊥x轴，CB⊥y轴， ∴四边形OACB是矩形， ∵D为AB中点， ∴点D在AC上，且OD＝OC， ∵⊙O的半径为2， ∴如果点C在圆上运动一周，那么点D运动轨迹是一个半径为1圆， ∴点D运动过的路程长为2π•1＝2π， 故选：D． 【点睛】本题考查了动点问题，解决本题的关键是能够判断出D点的运动轨迹是一个半径为1的圆. 4. 我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律． 例如：，系数为1； ，系数分别为1，1； ，系数分别为1，2，1； ，系数分别为1，3，3，1； 请依据上述规律判断：若今天是星期四，则经过天后是（ ） A. 星期三 B. 星期四 C. 星期五 D. 星期六 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式、数字的变化规律、多项式，熟练掌握以上知识点是关键． 根据“杨辉三角”中所含规律，先求出的余数为1，即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴的余数为1， 若今天是星期四，则经过天后是星期五． 故选：C． 5. 如图，在中，，，点D是边的中点，以为底边在其右侧作等腰，使，连，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形的全等，相似三角形的判定，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．依题意，得是等腰三角形，则，根据相似得即可． 【详解】解：∵在中，点D是边的中点，， ， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ， ， ， 是等腰三角形， ， ∴， ∴， ∴， ，， ， 设， ， ， ， ∴， 故选：D． 6. 已知抛物线经过点和，且抛物线与x轴的其中一个交点的横坐标m满足，那么a的取值可能是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象和性质，根与系数之间的关系，把点和代入解析式，求出，根与系数的关系得到，进而求出的范围，即可． 【详解】解：∵抛物线经过点和， ∴， ∴， ∵抛物线与x轴的其中一个交点的横坐标m满足，另一个交点的横坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴； 故a的取值可能是； 故选：D． 7. 如图，点的坐标为，点是轴正半轴上的一点，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段．若点的坐标为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查直角坐标系中的旋转变换，解题的关键是熟练应用勾股定理，用含m的代数式表示相关线段的长度． 过C作轴于D，轴于E，根据将线段绕点A按逆时针方向旋转得到线段，可得是等边三角形，又点的坐标为，点的坐标为，即得，可得，，从而，即可求解． 【详解】解：过C作轴于D，轴于E，如图所示： ∵轴，轴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵将线段绕点A按逆时针方向旋转得到线段， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， 故选：C． 8. 不等式对于一切实数都成立，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了绝对值，二次函数的图象与性质，由题意得，要使不等式对于一切实数都成立，则需满足，进而根据二次函数的最值问题可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意得，不等式对于一切实数都成立， ∴， ∵ ， ∴当时，函数有最小值，当时取得，即为； 当时，函数的最小值是当时取得，即为； ∴， ∴， 即的最大值为， 故选：． 二．填空题（共6小题，每小题5分，共30分） 9. 小明用，计算一组数据的方差，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了方差计算公式，一组数据的平均数为，那么它的方差为，据此可得这组数据的平均数，进而可得答案． 【详解】解：由题意得，这10个数据的平均数为3， ∴， 故答案为：． 10. 已知，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，求一个数的算术平方根，根据得到，则可推出，再由完全平方公式的变形可得，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 从1、、2这三个数中任取两个数，其中一个数记为，另一个数记为，则点恰好落在一次函数的图象上的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】画树状图列出所有可能的结果，再判断找出点P（m，n）恰好落在一次函数y=-x+1的图象上的结果，根据概率公式计算即可． 【详解】解：画树状图如图： 共有6个等可能的结果，点P（m，n）恰好落在一次函数y=-x+1的图象上的结果有2个，(-1,2)和（2，-1）， ∴点P（m，n）恰好落在一次函数y=-x+1的图象上的概率为． 故答案为． 【点睛】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．也考查了一次函数的图象上点的坐标特征． 12. 如图所示，点A在反比例函数的图象上，与y轴切于点B，交x轴于点C，D．若点C的坐标为，点D的坐标为，则图中阴影部分面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点A作于点E，则，，先求出，可求出点A的坐标为，再由切线的性质可得点B的坐标为，从而得到，再由特殊角锐角三角函数，可得，从而得到，然后根据图中阴影部分面积为，即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点A作于点E，则，， ∵点C的坐标为，点D的坐标为， ∴点，即， ∴点A的横坐标为4， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， ∴点A的坐标为， ∵与y轴切于点B， ∴轴， ∴点B的坐标为， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴图中阴影部分面积为． 故答案为：． 【点睛】本题考查切线的定义，矩形的判定与性质，反比例函数，勾股定理，垂径定理，扇形的面积公式，解直角三角形等，解题的关键是掌握以上知识点． 13. 如图，在中，，，，交于点．点为线段上的动点，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点P作PH⊥AB于点H，由题意易得BD=4，则有AD=3，然后可得，进而可得即为，若使的值为最小，也就相当于为最小，则有当点C、P、H三点共线时，的值为最小，最后问题可求解． 【详解】解：过点P作PH⊥AB于点H，如图所示： ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 若使的值为最小，也就相当于为最小， ∴当点C、P、H三点共线时，的值为最小，如图所示： ∵， ∴， ∴的最小值为； 故答案为． 【点睛】本题主要考查三角函数及勾股定理，解题的关键是利用“胡不归”模型找到最小值的情况，然后进行求解即可． 14. 如图，直角△ABC中，，，，点P是内部一动点，总满足，连接，则的最小值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】作的外接圆，连接，过点O作交的延长线于H．求出，根据，可得结论． 【详解】解：如图，作的外接圆，连接，过点O作交的延长线于H． ∵， ∴优弧所对的圆心角的度数为， ∴劣弧所对的圆心角：， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴BP的最小值为． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系，等边三角形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，求出，属于中考填空题中的压轴题． 三．解答题（共5小题，共38分） 15. 计算：． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查特殊三角函数及实数的运算，熟知特殊角的三角函数值及实数的运算法则是正确解决本题的关键． 先计算乘方、零次幂、负整数指数幂及绝对值再合并即可． 【详解】解： ． 16. 若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程有非负整数解，则满足条件的所有整数a的和为多少？ 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查解分式方程及一元一次不等式组的解，解题的关键是由为非负整数确定a的值，容易忽略． 由不等式组无解，可得a的范围，根据分式方程有非负整数解，可确定a的值，从而可得答案． 【详解】解：由不等式组可得且， ∵不等式组无解， ∴， 解得， 解分式方程得 ， ∵， ∴， ∴， ∵分式方程有非负整数解， ∴为非负整数， ∴ 且为整数，解得且，为偶数， ∴或6或4或0或， ∴满足条件的所有整数a的和为， 17. 如图，在矩形中，，，点在边上，，垂足为． （1）求证：； （2）若，则的值为________ 【答案】（1） 证明：四边形为矩形， ，，， ∵， ， ， ， ，， ； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，正切函数的定义和矩形的性质，利用图形中发现公共角、公共边等隐含条件证明相似三角形是解答本题的关键． （1）先根据矩形的性质得，，，然后利用得到，最后结合，即可证明； （2）先利用勾股定理得出，由得，可求出，然后证明，最后根据正切函数的定义求解即可． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：在中，， ， ∴，即，解得， ∵，， ∴， 四边形为矩形， ， ∴， ∴， 在中， ，， ∴， 故答案为：． 18. 如图，点在以为直径的上，平分交于点，交于点，过点作的切线交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：连接OD，如图， ∵CD平分∠ACB， ∴， ∴∠AOD=∠BOD=90°， ∵DF是⊙O的切线， ∴∠ODF=90° ∴∠ODF=∠BOD， ∴DF∥AB． （2） 【解析】 【分析】（1）连接OD，由CD平分∠ACB，可知，得∠AOD=∠BOD=90°，由DF是切线可知∠ODF=90°=∠AOD，可证结论； （2）过C作CM⊥AB于M，已求出CM、BM、OM的值，再证明△DOF∽△MCO，得，代入可求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过C作CM⊥AB于M，如图， ∵AB是直径， ∴∠ACB=90°， ∴AB=． ∴， 即， ∴CM=2， ∴， ∴OM=OB-BM=， ∵DF∥AB， ∴∠OFD=∠COM， 又∵∠ODF=∠CMO=90°， ∴△DOF∽△MCO， ∴， 即， ∴FD=． 【点睛】本题考查了圆的圆心角、弦、弧关系定理、圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握这些定理，灵活运用相似三角形的性质求解． 19. 定义：对于一个函数，当自变量时，函数值，则实数叫做这个函数的一个不动点值．根据定义完成下列问题： （1）求出反比例函数的不动点值； （2）若二次函数有和两个不动点值． 求该二次函数的表达式； 将该二次函数图象平移，使其顶点为，若平移后图象所对应函数总有两个不同的不动点值，，记，求的取值范围； 若该二次函数图象与轴交于点，过点作分别交抛物线于，两点．（点在轴左侧），试探究直线是否恒过定点．如过定点，请求出该定点坐标．不过定点，请说明理由． 【答案】（1）和； （2）；；． 【解析】 【分析】（）根据新定义列方程，然后解方程即可； （）将，代入解析式，然后解方程即可； 根据题意可得，根据新定义得，根据一元二次方程根与系数的关系得，根据二次函数的性质即可求解； 过点作轴的平行线，过点作于点，过点作于点，证明，根据性质可得，则，然后求出直线的解析式为，最后由一次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：当时，， ∴， 解得， ∴反比例函数的不动点值为和； 【小问2详解】 解：∵二次函数有和两个不动点值， 将，代入解析式得， 解得：， ∴二次函数的表达式为； 根据题意可得， ∵平移后图象所对应函数总有两个不同的不动点值，， ∴， 即， ∴， ∴， 解得：， ∵，为方程的两个不相等的实数根， ∴，， ∴， ∵当时，随的增大而减小， 当，， ∴； 如图所示，过点作轴的平行线，过点作于点，过点作于点， 则， 设点的坐标为， 则，， 设点的坐标为， 则，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， 即直线的解析式为， 当时，，即过定点． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，相似三角形的性质与判定，待定系数法求一次函数解析式，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年衡阳市八中“沃土计划”数学 满分：100分 考试时间：70分钟 一．选择题（共8小题，每题4分，共32分） 1. 若成立，则满足的条件是（ ） A. B. C. D. 2. 如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：），根据图中所示数据计算这个几何体的侧面积为（ ）． A. B. C. D. 3. 如图，⊙O的半径为2，点C是圆上的一个动点，CA⊥x轴，CB⊥y轴，垂足分别为A、B，D是AB的中点，如果点C在圆上运动一周，那么点D运动过的路程长为（　　） A. B. C. π D. 2π 4. 我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律． 例如：，系数为1； ，系数分别为1，1； ，系数分别为1，2，1； ，系数分别为1，3，3，1； 请依据上述规律判断：若今天是星期四，则经过天后是（ ） A. 星期三 B. 星期四 C. 星期五 D. 星期六 5. 如图，在中，，，点D是边的中点，以为底边在其右侧作等腰，使，连，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线经过点和，且抛物线与x轴的其中一个交点的横坐标m满足，那么a的取值可能是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 7. 如图，点的坐标为，点是轴正半轴上的一点，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段．若点的坐标为，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 不等式对于一切实数都成立，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共6小题，每小题5分，共30分） 9. 小明用，计算一组数据的方差，那么______． 10. 已知，则的值为______． 11. 从1、、2这三个数中任取两个数，其中一个数记为，另一个数记为，则点恰好落在一次函数的图象上的概率为________． 12. 如图所示，点A在反比例函数的图象上，与y轴切于点B，交x轴于点C，D．若点C的坐标为，点D的坐标为，则图中阴影部分面积为______． 13. 如图，在中，，，，交于点．点为线段上的动点，则的最小值为________． 14. 如图，直角△ABC中，，，，点P是内部一动点，总满足，连接，则的最小值为________． 三．解答题（共5小题，共38分） 15. 计算：． 16. 若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程有非负整数解，则满足条件的所有整数a的和为多少？ 17. 如图，在矩形中，，，点在边上，，垂足为． （1）求证：； （2）若，则的值为________ 18. 如图，点在以为直径的上，平分交于点，交于点，过点作的切线交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 19. 定义：对于一个函数，当自变量时，函数值，则实数叫做这个函数的一个不动点值．根据定义完成下列问题： （1）求出反比例函数的不动点值； （2）若二次函数有和两个不动点值． 求该二次函数的表达式； 将该二次函数图象平移，使其顶点为，若平移后图象所对应函数总有两个不同的不动点值，，记，求的取值范围； 若该二次函数图象与轴交于点，过点作分别交抛物线于，两点．（点在轴左侧），试探究直线是否恒过定点．如过定点，请求出该定点坐标．不过定点，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $