30.1 图形的旋转 同步练习2025-2026学年人教版（五四制）数学九年级上册

30.1 图形的旋转 同步练习 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1.如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到，使点落在边上，连接，则的长度是(    ) A. B. C. D. 2.如图，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，连接，下列结论一定正确的是(    ) A. B. C. D. 3.如图，将钝角绕点按逆时针方向旋转，得到，连接，若，则的大小为(    ) A. B. C. D. 4.如图，在中，，，，将绕点按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，连结，则的周长为(    ) A. B. C. D. 5.如图，在的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度，得到，则其旋转中心是(    ) A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 6.如图，在三角形中，，，将此三角形绕点沿顺时针方向旋转后得到三角形，若点恰好落在线段上，、交于点，则的度数是(    ) A. B. C. D. 7.如图，在中，是边上的中点，连接，把沿翻折，得到，与交于点，连接，若，，则点到的距离为(    ) A. B. C. D. 8.如图，已知正方形的边长为，点是边上一动点，连接，将绕点顺时针旋转到，连接、，则的最小值是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9.如图，在矩形中，，点为边上的一个动点，线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，当点落在边上时，的度数为          ；当线段的长度最小时，的度数为          ． 10.一副三角板如图放置，将三角板绕点逆时针旋转，使得三角板的一边所在的直线与垂直，则的度数为          ． 11.如图，在中，为直角顶点，，为斜边的中点，将绕着点逆时针旋转至，当恰为轴对称图形时，的值为______． 12.如图，将矩形绕点旋转至矩形位置，此时的中点恰好与点重合，交于点，若，则线段的长为          ． 13.正方形中，点在边上，，，将线段绕点逆时针旋转，使点落在直线上的点处，则的长度为          ． 14.将含有角的直角三角板如图所示放置在平面直角坐标系中，在轴上，若，将三角板绕原点顺时针旋转，则点的对应点的坐标是          ． 15.如图，在等边中，，是的中点，将绕点旋转后得到，那么线段的长度为______________． 16.如图，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为小明发现线段与线段存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，你认为这个旋转中心的坐标是___________． 三、解答题：本题共6小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 如图，是直角三角形，，将绕点顺时针旋转． 试作出旋转后的，其中与是对应点； 在作出的图形中，已知，，求的长． 18.本小题分 如图，点是正方形内一点，将绕点顺时针旋转到的位置，点，，恰好在同一直线上． 求证：． 19.本小题分 如图，已知正方形的边长为，、分别是、边上的点，且，将绕点按逆时针方向旋转得到． 求证：； 当时，求的长． 20.本小题分 某校九年级学习小组在学习探究过程中，用两块完全相同的且含角的直角三角尺与直角三角尺按如图所示位置放置现将绕点按逆时针方向旋转角，如图，与交于点，与交于点，与交于点． 求证： 当旋转角时，判断四边形的形状，并说明理由． 21.本小题分 在等腰直角三角形中，，，过点作的垂线点为直线上的一个动点不与点，重合，将射线绕点顺时针旋转交直线于点． 如图，点在线段上，依题意补全图形． 求证： 用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 点在线段的延长线上，直接写出线段，，之间的数量关系． 22.本小题分 将一个直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点在第一象限，，，将绕点沿顺时针方向旋转得到，点，的对应点分别为，． 如图，求点的坐标，填写下空： 过点作于点，依题意得 在中， ______ 在中， ______，______ ______ 点的坐标是______，______ 如图，当时，与轴交于点，求旋转角的大小和点的坐标； 点不变，当时，记为线段的中点，为线段的中点，求的取值范围直接写出结果即可． 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了旋转的性质和含度角的直角三角形，此题实际上是利用直角三角形的性质和旋转的性质将所求线段与已知线段的长度联系起来求解的． 由直角三角形的性质得到，然后根据旋转的性质和线段垂直平分线的性质得到． 【解答】 解：在中，，，， ，则． 又由旋转的性质知，，， 是的中垂线， ． 根据旋转的性质知． 故选B． 2.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键． 根据旋转的性质判断，C错误，得到，根据等腰三角形的性质及三角形的内角和分析可得，故D正确；由于不一定等于，于是得到不一定等于，故B错误． 【解答】 解：将绕点顺时针旋转得到， ，，，故A错误，C错误； ， ，， ，故D正确； 不一定等于， 不一定等于，故B错误． 故选：． 3.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，熟知旋转的性质是解题的关键． 由旋转的性质可得，，由此即可求出，由平行线的性质求出，即可得到答案． 【解答】 解：由旋转的性质可得，， ， ， ， ，故A正确． 故选：． 4.【答案】  【解析】解：，，， ， ， ， 绕点按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上， ，，， ，， 为等边三角形， ，，， ， 为等边三角形， ， 的周长为， 故选：． 如图，先根据含度的直角三角形三边的关系以及勾股定理得到，再根据旋转的性质得到，，，则可判断为等边三角形，所以，然后判断为等边三角形，从而得到的长，于是得到结论． 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质． 5.【答案】  【解析】【分析】 本题考查旋转的性质，掌握旋转中心在对应顶点连线的垂直平分线上是关键． 根据旋转图形的性质，可知旋转中心在对应顶点连线的垂直平分线上，则连接，，分别作出，的垂直平分线，交点即为旋转中心． 【解答】 解：连接，，分别作出，的垂直平分线，如图所示： ，的垂直平分线的交点为，所以旋转中心是点． 故选B． 6.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质等，解题的关键是得出． 由三角形的内角和为可得出，由旋转的性质可得出，从而得出，再依据三角形外角的性质结合角的计算即可得出结论． 【解答】 解：在三角形中，，， ． 由旋转的性质可知：， ． 又， ， ． 故选B． 7.【答案】  【解析】解：如图，连接，交于点，过点作于点， ，是边上的中点， ， 由翻折知，≌，垂直平分， ，，， ， 为等边三角形， ， ， ， 在中， ，， ，， ， 在中， ， ， ， ， 故选：． 连接，交于点，过点作于点，由翻折知，≌，垂直平分，证为等边三角形，利用解直角三角形求出，，，在中，利用勾股定理求出的长，在中利用面积法求出的长． 本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，勾股定理等，解题关键是会通过面积法求线段的长度． 8.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了旋转的性质，正方形的性质，轴对称求最短路径；能够将线段的和通过轴对称转化为共线线段是解题的关键． 连接 ，过点作交延长线于点，通过证明≌，确定点在的角平分线上运动；作点关于的对称点，确定点在的延长线上；当、、三点共线时，最小，在中，，，求出即可． 【解答】 解：解：连接 ，过点作交延长线于点， 将绕点顺时针旋转到， ，， ， ， 又， ≌， ，， ， ， ， 点在的角平分线上运动， 作点关于的对称点， 点在的延长线上， 当、、三点共线时，最小， 在中，，， ， 的最小值为． 故选A． 9.【答案】   【解析】【分析】 本题考查旋转的性质，矩形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于填空题中的压轴题． 如图，以为边向右作等边，连接利用全等三角形的性质证明，推出点在射线上运动，如图中，设交于点，再证明是等腰直角三角形，可得结论． 【解答】 解：如图，以为边向右作等边，连接． 是等边三角形， ，，， ， 在和中， ≌， ， 点在射线上运动， 如图中，设交于点， 当点落在上时，点与重合，此时， 当时，的长最小，此时， ，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：，． 10.【答案】或  【解析】【分析】 本题主要考查了角的计算、旋转的性质、垂线的性质、三角形的内角和定理、分类讨论的思想等知识点，理清定义是解答本题的关键． 分两种情况讨论：当时，当时，分别求出的度数，再利用，即可求解． 【解答】 解：分两种情况讨论： 如图，当时， ， ， ， ， ； 如图，当时， ， ， ， ， 综上，或． 故答案为或． 11.【答案】或或  【解析】解：恰为轴对称图形， 是等腰三角形， 如图，连接， 为斜边中点，， ， ， 当时， ， ， ， ， 垂直平分， ， ， 当时，如图，连接并延长交于， ，， 垂直平分， ， ， ， ， ， ； 当时，如图， 连接并延长交于，连接， ，为斜边中点， ， 垂直平分， ， ， ， 综上所述：当恰为轴对称图形时，的值为或或， 故答案为：或或． 如图，连接，根据直角三角形的判定和性质得到，当时，得到，推出垂直平分，求得，于是得到，当时，如图，连接并延长交于，根据线段垂直平分线的性质得到垂直平分，求得，根据等腰三角形的性质得到，当时，如图，连接并延长交于，连接，推出垂直平分，得到，根据三角形的内角和得到． 本题主要考查了旋转的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定等知识的综合运用，熟练的运用旋转的性质和直角三角形斜边的中线等于斜边的一半这一性质是解决问题的关键． 12.【答案】  【解析】【分析】 本题考查旋转的性质，含度角的直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键． 根据旋转后的中点恰好与点重合，利用旋转的性质得到直角三角形中，，再由旋转后矩形与已知矩形全等及矩形的性质得到为，进而求出，的长，则的长可求出． 【解答】 解：由旋转的性质可知：， 为的中点， ， 是矩形， ， ， ，则， 在中， 由勾股定理可得，， ， ， ， 中， 由勾股定理可得，， ， 故答案为：． 13.【答案】或  【解析】解：，， 正方形的边长为， 绕点旋转后点落在点处， ， 四边形为正方形， ，， 在和中 ， ≌， ， 如图，点在线段上时，， 如图，点在的延长线上时，， 所以，、两点的距离为或． 故答案为：或． 先求出正方形的边长，再根据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得，根据正方形的性质可得，，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再分点在上与的延长线上两种情况列式计算即可得解． 本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，难点在于要分情况讨论． 14.【答案】  【解析】解：如图，由题意旋转后是第二象限角的角平分线， 由，可得 故答案为 如图，由题意旋转后是第二象限角的角平分线，由此即可解决问题． 本题考查坐标与图形的性质，旋转变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 15.【答案】  【解析】解：在等边中，，，是的中点， ，， ． 根据旋转的性质知，，， ， 是等边三角形， ， 即线段的长度为． 故答案为：． 首先，利用等边三角形的性质求得；然后根据旋转的性质、等边三角形的性质推知为等边三角形，则． 本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质．旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等． 16.【答案】或  【解析】解：当点的对应点为点时，连接、，分别作线段、的垂直平分线交于点，如图所示， 点的坐标为，点的坐标为， 点的坐标为； 当点的对应点为点时，连接、，分别作线段、的垂直平分线交于点，如图所示， 点的坐标为，点的坐标为， 点的坐标为． 综上所述：这个旋转中心的坐标为或． 故答案为：或． 分点的对应点为或两种情况考虑：当点的对应点为点时，连接、，分别作线段、的垂直平分线交于点，点即为旋转中心；当点的对应点为点时，连接、，分别作线段、的垂直平分线交于点，点即为旋转中心．此题得解． 本题考查了坐标与图形变化中的旋转，根据给定点的坐标找出旋转中心的坐标是解题的关键． 17.【答案】解：如图所示； ，，， ， 由旋转而成， ， ．  【解析】本题考查的是作图旋转变换，熟知图形旋转不变性的性质是解答此题的关键． 根据图形旋转的性质画出图形即可； 先根据勾股定理求出的长，再根据旋转的性质求出的长，由即可得出结论． 18.【答案】证明：由旋转的性质可得≌． ，， 又正方形中，，即， ，即， 是等腰直角三角形， ． ． ． ．  【解析】本题考查了旋转的性质，以及全等三角形的性质，正确证明是等腰直角三角形是关键． 根据旋转的性质可得≌，然后根据全等三角形的对应边相等以及正方形的性质证明是等腰直角三角形，然后证明，据此即可证得． 19.【答案】解：证明：绕点逆时针旋转得到， ，， ，， ． 又，， ≌， ； 设， ，， ，， ． 在中，由勾股定理得， 即， 解得：， 则的长为．  【解析】此题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理，利用了转化及方程的思想，熟练掌握性质及定理是解本题的关键． 由旋转的性质可得，为直角，可得出，由，得到为，可得出，再由，利用可得出三角形与三角形全等，由全等三角形的对应边相等可得出； 由第一问的全等得到，正方形的边长为，用求出的长，再由求出的长，设，可得出，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解得到的值，即为的长． 20.【答案】解：证明：由题可知，，，， ． ． 当旋转角时，四边形是菱形． 理由：， ． ， ． ， ， ． ， 四边形是平行四边形． 又， 平行四边形是菱形．   【解析】见答案 21.【答案】解：补全图形，如图． 证明：如图，设与的交点为． 根据题意可知． ，． ． 又， ． ． 证明：如图，过点作交于点． ，，． ，． ． 又， ． ． ，． ．   【解析】见答案． 22.【答案】解：过点作于点，依题意得， 在中，， ， 在中，， ，， ， 又点在第一象限， 故答案为：，，，，，； 解：如图中， 以点为中心，顺时针旋转三角形，得到三角形，点，的对应点分别为，，且， ． 在中，， ， ； 解：如图中，连接． ，， ， ，， ， ．  【解析】本题属于几何变换综合题，考查了旋转的基本性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线，直角三角形解决问题． 过点作轴，垂足为解直角三角形求出，，可得结论； 如图，解直角三角形求出，可得结论； 如图中，连接利用三角形中位线定理证明，再求出的取值范围，可得结论． 第8页，共25页 学科网（北京）股份有限公司 $$