精品解析：广东省江门市蓬江区荷塘中学2024-2025学年八年级下学期第一次月考数学试题

2024－2025学年度第二学期八年级数学成果展示一 一、选择题（每题3分，共10题） 1. 下列各选项中，是二次根式的是（ ） A. 10 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的定义即可求出答案．本题考查了二次根式的定义，形如叫二次根式，解题的关键是正确理解二次根式的定义． 【详解】A、10不是二次根式；故本选项不符合题意； B、不是二次根式；故本选项不符合题意； C、不是二次根式；故本选项不符合题意； D、是二次根式，故本选项符合题意． 故选：D． 2. 要使二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数解答即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得. 故选：B. 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件．掌握被开方数为非负数是解题关键． 3. 以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解题关键．只要比较较小两个数的平方和与第三个数的平方是否相等即可． 【详解】解：A．∵，∴不能组成直角三角形，故不符合题意； B．∵，∴1，，能组成直角三角形，故符合题意； C．∵，∴45，45，90不能组成直角三角形，故不符合题意； D．∵，∴8，16，17不能组成直角三角形，故不符合题意； 故选B． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的有关计算逐项判断即可． 【详解】、，原计算错误，此选项不符合题意，排除； 、与不可以合并，原计算错误，此选项不符合题意，排除； 、，原计算正确，该选项符合题意； 、，原计算错误，此选项不符合题意，排除； 【点睛】本题考查合并同类二次根式，二次根式的除法，二次根式的性质，掌握以上知识是解题关键． 5. 如图，在平行四边形中，对角线、相交于，下列说法一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质即可解答. 【详解】解：已知在平行四边形中，对角线、相交于， 可知对边平行，且对角线互相平分， 只有C正确， 故选C. 【点睛】本题考查平行四边形的性质，熟悉掌握是解题关键. 6. 如图，点，在数轴上所表示的数分别为0，3，于点，，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，若点所表示的数为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在中，应用勾股定理，求出，根据作图即可求出的长度，即可求解，本题考查了勾股定理，实数与数轴，解题的关键是：应用勾股定理，求出的长度． 【详解】解：点，在数轴上所表示的数分别为0，3， ， 在中，， 由作图可知，， 的值为， 故选：． 7. 如图，两平行线和的距离是4，点，分别在和上，且和的夹角，则的长为（ ） A. B. C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理以及平行线的性质，添加合适的辅助线是解题的关键． 过点B作，垂足为D，根据垂直定义可得，根据题意可得：，再根据平角的定义可得，然后根据直角三角形的两个锐角互余可得：，根据等角对等边得出，最后根据勾股定理进行计算即可解答． 【详解】解：过点B作，垂足为D， ∴， 由题意得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 8. 如图，平行四边形的对角线、相交于点，，，，则的周长为（ ） A. 16 B. 19 C. 24 D. 31 【答案】B 【解析】 【分析】本题用到的知识点是平行四边形的性质，利用性质（平行四边形的对边相等、对角线互相平分）进行计算是解此题的关键． 首先根据平行四边形的对边相等、对角线互相平分，求出的长度，代入计算即可求出所填答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴的周长为：． 故选：B． 9. 如图，在离水面点A高度为的岸上点处，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为，此人以的速度收绳，后船移动到点的位置，则船向岸边移动了（ ）（假设绳子是直的） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的运用，熟练掌握勾股定理，求出和的长是解题的关键．由勾股定理求出，再由勾股定理求出，即可解决问题． 【详解】解：在中，，，， ， 此人以的速度收绳，后船移动到点的位置， ， 在中，由勾股定理得：， ， 即船向岸边移动了， 故选：A． 10. 如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知，重叠部分的面积为8，则空白部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的应用，先算出三个小正方形的边长，再得到大正方形的边长，通过面积的计算得结论． 【详解】解：重叠部分图形的长和宽都是两个小正方形的边长减去大正方形的边长， 重叠部分也是正方形， 三个小正方形的面积分别为48，32，8， 三个小正方形的边长分别为、、， 由题图知：大正方形的边长为：， ． 故选：A． 二、填空题（每题3分，共5题） 11. 化简：__________． 【答案】7 【解析】 【详解】解：． 12. 若a，b是直角三角形的两个直角边，且，则斜边c=______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据绝对值的性质和二次根式的性质，求出a,b的值，再利用勾股定理即可解答. 【详解】∵ ∴a-3=0,b-4=0 解得a=3,b=4, ∵a，b是直角三角形的两个直角边， ∴c= =5. 故答案为5. 【点睛】此题考查绝对值的性质和二次根式的性质，勾股定理，解题关键在于求出ab的值. 13. 已知为最简二次根式，且能够与合并，则的值是______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，同类二次根式，先化简，再结合同类二次根式的定义进行列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∵为最简二次根式，且能够与合并， ∴ ∴， 故答案为：4 14. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，中点A、C的坐标分别为、，点B在第四象限，点D在y轴上，则点B的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形、平行四边形的性质，先根据四边形是平行四边形得出轴，结合点A、C的坐标分别为、，点B在第四象限，点D在y轴上，得出以及，所以，据此作答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形． ∴轴， ∵点A为， ∴， ∵点B在第四象限，点D在y轴上, C的坐标为， ∴， ∴， ∴点B的坐标为． 故答案为：． 15. 如图，的对角线与相交于点，，垂足为，，，.则的长为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由勾股定理的逆定理可判定△BAO是直角三角形，所以平行四边形ABCD的面积即可求出． 【详解】∵四边形ABCD为平行四边形， ∴OA = AC = 1，OB = BD = 2. 又∵AB = ， ∴OA2 + AB2 = OB2， ∴△BAO为Rt△，且∠BAO = 90°， ∴BC2 = AB2 + AC2 = 7， ∴BC = . 又∵AB·AC＝BC·AE， ∴×2 =  AE， ∴AE＝． 故答案为． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和平行四边形的性质，能得出△BAC是直角三角形是解此题的关键． 三、解答题（一）（每题8分，共3题） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2）12 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的加减混合运算，二次根式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运用二次根式的性质化简，再运算加减法，即可作答． （2）先结合完全平方公式以及二次根式的性质化简，再运算加减法，即可作答． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 17. 已知，，求下列各式的值： （1）； （2） 【答案】（1）16 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分式的化简求值，熟练掌握二次根式的运算法则和乘法公式是解题的关键． （1）利用完全平方公式因式分解后，代入字母的值计算即可； （2）利用分式加法法则和平方差公式变形后，代入字母的值计算即可． 【小问1详解】 解∶∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解∶ ∵，， ∴，， ∴． 18. 如图所示，在中，，将折叠，使点与点重合，折痕为，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出BC，设，则，在中根据勾股定理列式计算即可. 【详解】解：在中，， ， 设，则， 在中，，即：， 解得. 【点睛】本题主要考查了翻折变换和勾股定理，根据翻折的性质和勾股定理列出方程是解题关键. 四、解答题（二）（每题9分，共3题） 19. 为维护国家主权和领土完整，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理．如图，正在向东执行巡航任务的海监船在B处测得灯塔A在北偏东方向上距离4海里处，继续航行一段距离后在点D处测得灯塔A在北偏东方向． （1）填空： ________； ________； （2）若继续向东航行一段距离后到达点C，当灯塔A在海监船C处的正北方时，求的距离； （3）求的值（结果保留根号）． 【答案】（1）， （2）2 （3） 【解析】 【分析】（1）根据方位角以及三角形的外角性质，进行列式计算，即可作答； （2）根据含角的直角三角形的性质即可求解； （3）利用等角对等边得，再结合勾股定理进行列式计算，即可求解； 【小问1详解】 解：∵在B处测得灯塔A在北偏东方向上距离4海里处， ∴， ∵在点D处测得灯塔A在北偏东方向 ∴， 则， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：如图： 在中，，海里， ∴海里； 【小问3详解】 解：依题意，在中，， ∴， ∴（海里）， 由勾股定理得：（海里）， ∴（海里）． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质，勾股定理，等边对等角和含角的直角三角形的性质，正确根据题意画出图形、准确标注方向角、熟练掌握含角的直角三角形的性质和勾股定理是解题的关键． 20. 教育部大力倡导新时代中小学生劳动教育，旨在塑造学生正确劳动价值观与优秀劳动品质、某学校积极贯彻落实，把校内如图所示的四边形空地改造为“劳动乐园”．经测量，米，米，米，米，．该“劳动乐园”即将迎来盛大的劳动成果展示活动． 【解析】 （1）为增添活动氛围，学校打算用一条装饰彩带将“劳动乐园”内的、两点连接起来，求至少需要多少米装饰彩带？ （2）学校计划在“劳动乐园”内播撒缤纷色彩，在三角形区域种植玫瑰，每平方米种植5株，在三角形区域种植郁金香，每平方米种植3株．求总共需要种植多少株花卉． 【答案】（1）米 （2）株 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理及逆定理是解题的关键． （1）连接，根据勾股定理求出的长即可； （2）先根据勾股定理逆定理得到是直角三角形，分别求出的面积，计算即可得到答案． 【小问1详解】 解如图，连接 ， （米） 至少需要米装饰彩带； 【小问2详解】 解：，，， ， 是直角三角形， （平方米）， （平方米）， （株）， 共需要种植株花卉． 21. 如图，在平行四边形中，点E为上一点，连接并延长交的延长线于点F，，连接． （1）求证：平分； （2）若点E为中点，，，求的周长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即平分； （2）15 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质等知识． （1）由四边形是平行四边形得到，则，由得到，则，即可得证； （2）由平行四边形的性质和证得和是等边三角形，则，利用平行四边形的周长公式即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴的周长． 五、解答题（三）（每题12分，共2题） 22. 阅读与思考 阅读材料：像，，…这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．再如与也互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．数学课上，老师出了一道题“已知，求的值．” 聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： ， ． ，， ，． 请你根据小明的解答过程，解决下列问题： （1）的一个有理化因式是______． （2）化简： （3）若，求的值． 【答案】（1）（答案不唯一） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，理解题中所给有理化因式的定义及熟知二次根式的运算法则是解题的关键． （1）根有理化因式的概念和题中的方法进行解答即可； （2）根据平方差公式和互为有理化因式的意义得出答案即可； （3）先分母有理化得到，进一步得到，再整体代入计算即可 【小问1详解】 解：∵ ∴的一个有理化因式是， 故答案为：（答案不唯一） 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解：∵ ∴． ∴， ∴， ∴， ∴． 23. 在中，，，点为的中点，以为斜边作，，连接，如图． （1）填空：与相等的角是______； （2）求证：； （3）利用前面的结论，，，求的长． 【答案】（1）， （2） 证明：在上截取，连接， ∵， ∴， ∵点M为的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得，则，结合，即可求解； （2）在上截取，连接，可证明，得，则，由勾股定理得，即可证明； （3）由，得，则，所以，则． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴， 又， ∴与相等的角是，， 故答案为： 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长是． 【点睛】本题重点考查平行四边形的性质、平行线的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度第二学期八年级数学成果展示一 一、选择题（每题3分，共10题） 1. 下列各选项中，是二次根式的是（ ） A. 10 B. C. D. 2. 要使二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平行四边形中，对角线、相交于，下列说法一定正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点，在数轴上所表示的数分别为0，3，于点，，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，若点所表示的数为，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，两平行线和的距离是4，点，分别在和上，且和的夹角，则的长为（ ） A. B. C. 4 D. 8 8. 如图，平行四边形的对角线、相交于点，，，，则的周长为（ ） A. 16 B. 19 C. 24 D. 31 9. 如图，在离水面点A高度为的岸上点处，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为，此人以的速度收绳，后船移动到点的位置，则船向岸边移动了（ ）（假设绳子是直的） A. B. C. D. 10. 如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知，重叠部分的面积为8，则空白部分的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共5题） 11. 化简：__________． 12. 若a，b是直角三角形的两个直角边，且，则斜边c=______． 13. 已知为最简二次根式，且能够与合并，则的值是______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，中点A、C的坐标分别为、，点B在第四象限，点D在y轴上，则点B的坐标为__________． 15. 如图，的对角线与相交于点，，垂足为，，，.则的长为_____. 三、解答题（一）（每题8分，共3题） 16. 计算： （1） （2） 17. 已知，，求下列各式的值： （1）； （2） 18. 如图所示，在中，，将折叠，使点与点重合，折痕为，求的长． 四、解答题（二）（每题9分，共3题） 19. 为维护国家主权和领土完整，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理．如图，正在向东执行巡航任务的海监船在B处测得灯塔A在北偏东方向上距离4海里处，继续航行一段距离后在点D处测得灯塔A在北偏东方向． （1）填空： ________； ________； （2）若继续向东航行一段距离后到达点C，当灯塔A在海监船C处的正北方时，求的距离； （3）求的值（结果保留根号）． 20. 教育部大力倡导新时代中小学生劳动教育，旨在塑造学生正确劳动价值观与优秀劳动品质、某学校积极贯彻落实，把校内如图所示的四边形空地改造为“劳动乐园”．经测量，米，米，米，米，．该“劳动乐园”即将迎来盛大的劳动成果展示活动． 【解析】 （1）为增添活动氛围，学校打算用一条装饰彩带将“劳动乐园”内的、两点连接起来，求至少需要多少米装饰彩带？ （2）学校计划在“劳动乐园”内播撒缤纷色彩，在三角形区域种植玫瑰，每平方米种植5株，在三角形区域种植郁金香，每平方米种植3株．求总共需要种植多少株花卉． 21. 如图，在平行四边形中，点E为上一点，连接并延长交的延长线于点F，，连接． （1）求证：平分； （2）若点E为中点，，，求的周长． 五、解答题（三）（每题12分，共2题） 22. 阅读与思考 阅读材料：像，，…这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．再如与也互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．数学课上，老师出了一道题“已知，求的值．” 聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： ， ． ，， ，． 请你根据小明的解答过程，解决下列问题： （1）的一个有理化因式是______． （2）化简： （3）若，求的值． 23. 在中，，，点为的中点，以为斜边作，，连接，如图． （1）填空：与相等的角是______； （2）求证：； （3）利用前面的结论，，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $