精品解析：四川省达川第四中学2024-2025学年 七年级下学期5月月考数学试题

四川省达川第四中学2024-2025学年七年级（下）5月月考 数学试卷 满分：150分，考试时间：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法中，正确的是（ ） A. 任意投掷一枚质地均匀的硬币26次，出现正面朝上的情况一定有13次 B. “湖北某地明天降雨的概率为0.6”表示该地明天一定降雨 C. “随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数”是随机事件 D. “太阳东升西落”是不可能事件 3. 在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中只有4个红球.若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子.通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值大约为( ) A. 16 B. 20 C. 24 D. 28 4. 石墨烯堪称目前世界上最薄的材料，约为0.3纳米（1纳米米）．与此同时，石墨烯比金刚石更硬，是世界上最坚硬又最薄的纳米材料．0.3纳米用科学记数法可以表示为（ ）米． A. B. C. D. 5. 下图中，和是同位角的是（ ） A. B. C. D. 6. 以下列数据为三边长能构成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 14，4，9 D. 7，2，4 7. 为了应用平方差公式计算，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，下列不能判定的条件是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，，给出下列条件：①，②，③，④，从中添加一个条件后，能证明的是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①②③④ 10. 如图，为直线上一点，（和均在上方，且在左侧），平分，有下列四个结论：①；②若，则；③；④平分．其中正确的结论共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 若，则的值为______． 12. 若两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是和，则________． 13. 是完全平方式，则常数________． 14. 如图，，，，，若，，则的长为________． 15. 如图，在三角形中，是中线，于E，于F，若，则____________． 三、解答题（共90分） 16. 计算： （1）； （2） （3） （4）． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 若的展开式中不含 的二次项和一次项． （1）求的值． （2）求的值． 19. 如图，已知∠1=∠2，∠3+∠4=180°，证明AB∥EF． 20. 已知，，是的三边． （1）若，．求第三边的取值范围； （2）若，，第三边为奇数，判断的形状； （3）化简． 21. 3月15日是国际消费者权益日某校组织学生开展食品安全知识竞赛（满分100分），该校王老师采用随机抽样的方法，抽取部分学生的竞赛得分进行调查分析，抽取调查的结果分为A、B、C、D四个等级进行统计（竞赛结果的得分都是整数），并绘制了如图1和图2不完整的统计图． 请结合统计图，解答下列问题： （1）本次调查一共随机抽取了 名学生的成绩，扇形统计图中n＝ ； （2）扇形统计图中，D等级所对应的圆心角为 °； （3）若成绩A等级为优秀，学校共有2000名学生，则成绩优秀的学生大约有 人； （4）学校将从获得满分的6名学生（其中有两名男生，四名女生）中随机抽取一名学生参加周一国旗下的演讲，恰好抽到一名女生的概率为 ． 22. 如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上，AB // DE，AB = DE，∠A = ∠D． （1）求证：； （2）若BF = 11，EC = 5，求BE的长． 23. 小强为了测量一幢高楼高，在旗杆与楼之间选定一点P．测得旗杆顶C线与地面夹角，测楼顶A视线与地面夹角，量得P到楼底距离与旗杆高度相等，等于10米，量得旗杆与楼之间距离为米，小强计算出了楼高，楼高是多少米？ 24. 如图，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，∠B＝40°，∠ACB＝80°．点F在BC的延长线上，FG⊥AE，垂足为H，FG与AB相交于点G． （1）求∠AGF的度数； （2）求∠EAD的度数． 25. 在图1、图2，图3中．点、分别是四边形边、上的点；下面请你根据相应的条件解决问题． 特例探索： （1）在图1中，四边形为正方形（正方形四边相等，四个内角均为直角），，延长至，使，，．则________． 在图2中，，，，，，；则________． 归纳证明：（2）在图3中，，．且，请你观察（1）中的结果，猜想图3中线段，，之间的数量关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省达川第四中学2024-2025学年七年级（下）5月月考 数学试卷 满分：150分，考试时间：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是积的乘方运算，根据计算即可. 【详解】解：A．，错误； B．，错误； C．，错误． D. ，正确， 故选D． 2. 下列说法中，正确的是（ ） A. 任意投掷一枚质地均匀的硬币26次，出现正面朝上的情况一定有13次 B. “湖北某地明天降雨的概率为0.6”表示该地明天一定降雨 C. “随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数”是随机事件 D. “太阳东升西落”是不可能事件 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、随机事件、不可能事件的判断，掌握必然事件、随机事件、不可能事件的定义是解此题的关键．根据必然事件、随机事件、不可能事件的定义逐一分析即可． 【详解】解：A．任意投掷一枚质地均匀的硬币26次，出现正面朝上的情况有13次是随机事件，故本选项错误； B．“湖北某地明天降雨的概率为0.6”表示该地明天降雨是随机事件，故本选项错误； C．“随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数”是随机事件，故本选项正确； D．“太阳东升西落”是必然事件，故本选项错误． 故选：C． 3. 在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中只有4个红球.若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子.通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值大约为( ) A. 16 B. 20 C. 24 D. 28 【答案】B 【解析】 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解． 【详解】根据题意知=20%， 解得a=20， 经检验：a=20是原分式方程的解， 故选B． 【点睛】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系． 4. 石墨烯堪称目前世界上最薄的材料，约为0.3纳米（1纳米米）．与此同时，石墨烯比金刚石更硬，是世界上最坚硬又最薄的纳米材料．0.3纳米用科学记数法可以表示为（ ）米． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：0.3纳米米米． 故选：D． 5. 下图中，和是同位角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查同位角的定义，在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角．根据定义，逐一判断． 【详解】解：A、和的两边都不在同一条直线上，不是同位角； B、和的两边都不在同一条直线上，不是同位角； C、和的两边都不在同一条直线上，不是同位角； D、和有一边在同一条直线上，又在被截线的同一方，是同位角． 故选：D． 6. 以下列数据为三边长能构成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 14，4，9 D. 7，2，4 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角形三边关系进行判定即可． 【详解】解：A、，不符合三角形三边关系，错误，不符合题意； B、，成立，符合题意； C、，不符合三角形三边关系，错误，不符合题意； D、，不符合三角形三边关系，错误，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查三角形三边关系，判定形成三角形的标准是两小边之和大于最大边，熟练掌握运用三角形三边关系是解题关键． 7. 为了应用平方差公式计算，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了添括号，平方差公式的应用，掌握添括号法则与平方差公式是解题的关键． 根据平方差公式的特征对其进行添括号即可判断． 【详解】解：， 故选：C． 8. 如图，下列不能判定的条件是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．根据平行线的判定定理对选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、，则，本选项不符合题意； B、，则，不能判断，本选项符合题意； C、，则，本选项不符合题意； D、，则，本选项不符合题意； 故选：B． 9. 如图，，给出下列条件：①，②，③，④，从中添加一个条件后，能证明的是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查三角形全等的判定、等边对等角，掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．将条件分别代入条件中依次判断即可． 【详解】解：，，， ，故①正确； ， ， ，， ，故②正确； ，，， ，故③正确； ，， ， ，故④正确． 故选：D． 10. 如图，为直线上一点，（和均在上方，且在左侧），平分，有下列四个结论：①；②若，则；③；④平分．其中正确的结论共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了互为余角和补角的概念，角平分线的定义，准确识图，理解互为余角和补角的概念，角平分线的定义，熟练掌握角的计算是解决问题的关键．①根据，得，由此可对该结论进行判断；②根据，得，再根据角平分线的定义可求出的度数，进而可对该结论进行判断；③设，则，根据角平分线的定义得，则，再根据得，由此可对该结论进行判断；④假设平分，则，根据角平分线的定义，再根据得，但是根据已知条件，无法确定，由此可对该结论进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①∵为直线上一点， ∴， ∵， ∴，故结论①正确； ②∵为直线上一点， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴，故结论②正确； ③设， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故结论③正确； ④假设平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴90， ∴， ∴∠， ∴， 根据已知条件，无法确定，故结论④不正确， 综上所述：结论正确的是①②③． 故选：C． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了完全平方公式，解题的关键是掌握完全平方公式，由得，完全平方求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ， ∴， 故答案为：． 12. 若两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是和，则________． 【答案】40或80##80或40 【解析】 【分析】此题考查了两条直线相交所成角的关系，一元一次方程的应用，正确理解两条直线相交所成角的关系是解题的关键． 由两条直线相交所成的四个角中，有邻补角有对顶角，由此列方程解答． 【详解】解：当两个角是对顶角时，，解得； 当两个角是邻补角时，，解得， 故答案为：40或80． 13. 是完全平方式，则常数________． 【答案】8或 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方式定义的应用能力，掌握完全平方公式的特点“首平方、尾平方、中间为二倍积”成为解题的关键．根据完全平方式的结构特点进行解答即可． 【详解】解：∵都是完全平方式， ∴， ∴， 解得或． 故答案为：8或． 14. 如图，，，，，若，，则的长为________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定， 证明是解题的关键． 由垂直可得，再证明，然后利用证明得到，，，则． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：5． 15. 如图，在三角形中，是中线，于E，于F，若，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】在中，可知和的面积相等；利用等面积法，即可求解． 【详解】∵在三角形中，是中线， ∴， ∴． ∵于E，于F，，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了用等面积法、三角形的中线，理解等面积法和掌握三角形中线的知识点是解题的关键． 三、解答题（共90分） 16. 计算： （1）； （2） （3） （4）． 【答案】（1） （2）4 （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂相乘，幂的乘方，零次幂，负整数指数幂，积的乘方，单项式乘单项式，单项式除以单项式，完全平方公式，平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算同底数幂相乘，幂的乘方，再合并同类项，即可作答． （2）先化简乘方，零指数幂，负整数指数幂，再运算加法，即可作答． （3）先运算积的乘方，再运算单项式乘单项式，最后单项式除以单项式，即可作答． （4）先运算单项式乘多项式，再运算平方差公式，然后运算完全平方公式，最后去括号合并同类项，即可作答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： 【小问4详解】 解： ． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算—化简求值，先用平方差公式、完全平方公式、合并同类项法则计算括号里面，再算除法，最后代入求值．掌握乘法的平方差、完全平方公式及多项式除以单项式法则是解题的关键．也考查了负整数指数幂及零指数幂． 【详解】解： ， 当时， 原式． 18. 若的展开式中不含 的二次项和一次项． （1）求的值． （2）求的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）本题考查整式的乘法，根据整式的乘法运算法则展开，再根据展开式中不含的二次项和一次项，即整理后该项系数为零，据此建立等式求出、的值，将、的值代入中计算，即可解题． （2）本题考查平方差公式在计算中的应用，掌握平方差公式是特点并灵活运用，即可解题． 【小问1详解】 解： ， 展开式中不含 的二次项和一次项， 且， 解得， 将代入中，有，解得， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， 上式． 19. 如图，已知∠1=∠2，∠3+∠4=180°，证明AB∥EF． 【答案】 证明：∵∠1=∠2， ∴AB∥CD． ∵∠3+∠4=180°， ∴CD∥EF， ∴AB∥EF． 【解析】 【分析】根据∠1=∠2利用“同位角相等，两直线平行”可得出AB∥CD，再根据∠3+∠4=180°利用“同旁内角互补，两直线平行”可得出CD∥EF，从而即可证出结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了平行线的判定，解题的关键是分别找出AB∥CD、CD∥EF．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据相等或互补的角找出平行的直线是关键． 20. 已知，，是的三边． （1）若，．求第三边的取值范围； （2）若，，第三边为奇数，判断的形状； （3）化简． 【答案】（1） （2）为等腰三角形 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，等腰三角形的定义，整式的加减，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． （1）根据三角形的三边关系即可求解； （2）根据三角形的三边关系得，然后求出，最后通过等腰三角形定义即可求解； （3）根据三角形的三边关系得，，，然后化简即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴； 【小问2详解】 解：由（）得，， ∵第三边为奇数， ∴， ∴三边为，，， ∴为等腰三角形； 【小问3详解】 解：∵，，， ∴ ． 21. 3月15日是国际消费者权益日某校组织学生开展食品安全知识竞赛（满分100分），该校王老师采用随机抽样的方法，抽取部分学生的竞赛得分进行调查分析，抽取调查的结果分为A、B、C、D四个等级进行统计（竞赛结果的得分都是整数），并绘制了如图1和图2不完整的统计图． 请结合统计图，解答下列问题： （1）本次调查一共随机抽取了 名学生的成绩，扇形统计图中n＝ ； （2）扇形统计图中，D等级所对应的圆心角为 °； （3）若成绩A等级为优秀，学校共有2000名学生，则成绩优秀的学生大约有 人； （4）学校将从获得满分的6名学生（其中有两名男生，四名女生）中随机抽取一名学生参加周一国旗下的演讲，恰好抽到一名女生的概率为 ． 【答案】（1）100；15 （2）36 （3）300 （4） 【解析】 【分析】本题考查概率公式、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体． （1）用条形统计图中B的人数除以扇形统计图中B的百分比可得本次调查一共随机抽取的人数；用条形统计图中A的人数除以随机抽取的人数再乘以可得，即可得n的值． （2）用乘以D等级的人数所占的百分比，即可得出答案． （3）根据用样本估计总体，用2000乘以扇形统计图中A的百分比，即可得出答案． （4）由题意知，共有6种等可能的结果，其中恰好抽到一名女生的结果有4种，利用概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：本次调查一共随机抽取了（名）学生的成绩． ， ∴． 故答案为：100；15． 【小问2详解】 解：扇形统计图中，D等级所对应的圆心角为． 故答案为：36． 【小问3详解】 解：成绩优秀的学生大约有（人）． 故答案为：300． 【小问4详解】 解：由题意知，共有6种等可能的结果，其中恰好抽到一名女生的结果有4种， ∴恰好抽到一名女生的概率为． 故答案为：． 22. 如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上，AB // DE，AB = DE，∠A = ∠D． （1）求证：； （2）若BF = 11，EC = 5，求BE的长． 【答案】（1）证明：∵AB∥DE ∴∠ABC＝∠DEF 在△ABC和△DEF中 ∴△ABC≌△DEF（ASA） （2）BE=3． 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质由AB∥DE得到∠ABC＝∠DEF，然后根据“ASA”可判断△ABC≌△DEF； （2）根据三角形全等的性质可得BC＝EF，由此可求出BE＝CF，则利用线段的和差关系求出BE． 【详解】（1）略 （2）解：∵△ABC≌△DEF ∴BC＝EF ∴BC－EC＝EF－EC 即BE＝CF ∵BF＝11，EC＝5 ∴BF－EC＝6 ∴BE＋CF＝6 ∴BE＝3 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解答此题的关键． 23. 小强为了测量一幢高楼高，在旗杆与楼之间选定一点P．测得旗杆顶C线与地面夹角，测楼顶A视线与地面夹角，量得P到楼底距离与旗杆高度相等，等于10米，量得旗杆与楼之间距离为米，小强计算出了楼高，楼高是多少米？ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可证明，进而根据进行求解即可． 【详解】解：， ， 在和中 ， ， ， ，， ， ∴楼高是． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用，三角形内角和定理，根据题意得出是解题关键． 24. 如图，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，∠B＝40°，∠ACB＝80°．点F在BC的延长线上，FG⊥AE，垂足为H，FG与AB相交于点G． （1）求∠AGF的度数； （2）求∠EAD的度数． 【答案】（1）60°；（2）20° 【解析】 【分析】（1）由题意根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论； （2）由题意根据垂直的定义得到∠ADB＝90°，进而根据三角形的内角定理即可得到结论． 【详解】解：（1）∵∠B＝40°，∠ACB＝80°， ∴∠BAC＝180°﹣40°﹣80°＝60°， ∵AE是∠BAC的角平分线， ∴∠BAE＝∠BAC＝30°， ∵FG⊥AE， ∴∠AHG＝90°， ∴∠AGF＝180°﹣90°﹣30°＝60°； （2）∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∵∠AED＝∠B+∠BAE＝40°+30°＝70°， ∴∠DAE＝180°﹣∠AED﹣∠ADE＝20°． 【点睛】本题考查三角形的内角和定理与垂直的定义以及角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键． 25. 在图1、图2，图3中．点、分别是四边形边、上的点；下面请你根据相应的条件解决问题． 特例探索： （1）在图1中，四边形为正方形（正方形四边相等，四个内角均为直角），，延长至，使，，．则________． 在图2中，，，，，，；则________． 归纳证明：（2）在图3中，，．且，请你观察（1）中的结果，猜想图3中线段，，之间的数量关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式． 【答案】（1）①5②（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角的和差，线段的和差等内容，解题的关键是构造辅助线，证明三角形全等． （1）①先根据条件证明，再证明即可； ②延长至点，使，先根据条件证明，再证明即可； （2）延长至点，使，先根据条件证明，再证明即可． 【详解】解：（1）①∵四边形为正方形， ， 又， ∴， ∴，， ∵， ， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：5； ②如图延长至点，使， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ， 又∵， ∴， ， 故答案为：； （2）如图，延长至点，使， ∵，， ∴， 又∵， ， ， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $