黑龙江省佳木斯市桦南县第一中学2023-2024学年高三上学期期末数学试题

2023-2024学年度第一学期高三期末考试 数学试卷 满分150分， 考试时间120分钟 第I卷（选择题，共60分） 一、选择题：（本大题共8小题，每题5分，共计40分，在每题给出的四个选项中，只有一个是正确的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 3. 若双曲线C：的焦距长为8，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知平面向量、满足，若，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法中错误的是（ ） A. 回归直线恒过样本点的中心 B. 两个变量线性相关性越强，则相关系数就越接近1 C. 在线性回归方程中，当变量每增加一个单位时，平均减少0.5个单位 D. 某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的方差不变 6. 函数在下列区间单调递减的是（ ） A. B. C. D. 7. 三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：（9-12题，每题5分，部分答对得2分，共计20分） 9. 若，则下列选项成立的是（ ） A. B. 若，则 C. 的最小值为2 D. 若，则 10. 设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足，，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. 是数列中的最大项 D. 11. 直线与圆相交于两点，则弦的长度可能为（ ） A. 2 B. C. D. 12. 已知函数，且满足，则实数的取值可能为（ ） A. B. C. 1 D. 2 第II卷（共90分） 三、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共计20分） 13. 展开式中的常数项为______． 14. 已知表示一个三位数，如果满足且，那么我们称该三位数为“凹数”，则没有重复数字的三位“凹数”共______个（用数字作答）. 15. 已知曲线与曲线（）相交，且在交点处有相同的切线，则______. 16. 已知是抛物线的焦点，点，过点的直线与C交于A，B两点，M是线段AB的中点．若，则直线的斜率 ___． 四、解答题：（本大题共6小题，共计70分） 17. 已知是递增的等差数列，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 18. 如图，长方体的底面是正方形，点在棱上，. （1）证明：平面； （2）若，求二面角的正弦值. 19. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求A； （2）若的外接圆半径为，求面积的最大值. 20. 某班级分小组进行科普知识问题竞答.甲乙两个小组分别从5个问题中随机抽取3个问题进行回答.已知这5个问题中，甲组能正确回答其中3个问题，而乙组能正确回答每个问题的概率均为.乙组的选题以及对每题的回答都是相互独立，互不影响的. （1）求甲小组答对题数X的分布； （2）若从甲乙两个小组中选拔一组代表班级参加学校决赛，请从答对题数的期望和方差角度，分析说明选择哪个小组更好？ 21. 已知椭圆的离心率，且点在椭圆上. （1）求椭圆的方程； （2）若经过定点的直线与椭圆交于两点，记椭圆的上顶点为，当直线的斜率变化时，求面积的最大值. 22. 已知函数． （1）若在R上单调递减，求a的取值范围； （2）当时，求证在上只有一个零点，且． 2023-2024学年度第一学期高三期末考试 数学试卷 满分150分， 考试时间120分钟 第I卷（选择题，共60分） 一、选择题：（本大题共8小题，每题5分，共计40分，在每题给出的四个选项中，只有一个是正确的） 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】D 二、多选题：（9-12题，每题5分，部分答对得2分，共计20分） 【9题答案】 【答案】AB 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】CD 【12题答案】 【答案】AD 第II卷（共90分） 三、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共计20分） 【13题答案】 【答案】240 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】 【16题答案】 【答案】2 四、解答题：（本大题共6小题，共计70分） 【17题答案】 【答案】（1）;（2）． 【18题答案】 【答案】（1）因为是长方体， 所以侧面，而平面，所以， 又，，，平面，因此平面； （2） 【19题答案】 【答案】（1） （2）. 【20题答案】 【答案】（1）分布列： 1 2 3 （2）甲小组 【21题答案】 【答案】（1） （2）16 【22题答案】 【答案】（1） （2） 由（1）可知，在上单调递减，且，， 故，使得． 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减． 因为，，所以在上只有一个零点， 故函数在上只有一个零点． 因为，所以要证，即证，即证． 因为，得， 所以，故需证即可． 令，，则． 当时，，单调递增；当时，，单调递减． 故．即， 原不等式即证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $