精品解析：上海市中国中学2024-2025学年下学期七年级数学5月月考试卷

2024学年第二学期初一数学随堂作业二 一、选择题（本大题共6题，每题3分，共18分） 1. 若，则下列式子中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质：不等式的两边都加或减同一个整式，不等号的方向不变，不等式的两边都乘或除以同一个正数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的基本性质逐项进行判断即可 【详解】解：A、∵， ∴，故该选项不符合题意； B、∵， ∴，故该选项符合题意； C、∵， ∴，故该选项不符合题意； D、∵， ∴只有当时，，故该选项不符合题意； 故选：B． 2. 如果一个三角形的三边长分别为3和7，则第三边长可能是（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可判断． 【详解】解：设第三边为x， ∴， 即4＜x＜10， ∴符合条件的整数为7， 故选：C． 【点睛】本题考查三角形三边关系定理，记住两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，属于基础题，中考常考题型． 3. 如图，已知与相交于点O，，从下列条件中补充一个条件，不一定能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题目给出的条件结合全等三角形的判定定理分别分析即可． 【详解】A．，则 B．，则 C．无法证明 D．， 故选：C 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定．全等三角形的判定：1、（SSS）三边对应相等的两个三角形全等；2、（SAS）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等；3、（ASA）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等；4、（AAS）两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． 4. 如图，已知，下列条件中不能判断直线的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】选项A，通过同位角相等，可以判定，不符合题意． 选项B，通过内错角相等和同位角相等，可以判定，不符合题意． 选项C，通过同旁内角互补和同位角相等，可以判定，不符合题意． 选项D，，只能判定，不能判定，符合题意． 【详解】 ∵, ∴（内错角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，同位角相等）， ①∵， ∴． ∴（同位角相等，两直线平行） 则A可以判断直线，故A不符合题意； ②∵ ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵， ∴ ∴（同位角相等，两直线平行） 则B可以判断直线，故B不符合题意； ③∵，， ∴ ∵， ∴ ∴（同位角相等，两直线平行） 则C可以判断直线，故C不符合题意； ④，， ∴恒成立 则D不可以判断直线，故D符合题意； 故选：D 【点睛】此题考查的知识点为：内错角、同位角、同旁内角、对顶角的概念和通过内错角、同位角、同旁内角判定平行；准确掌握判定性质是解答此题的关键． 5. 如图，在中，，点D在边的延长线上，根据图中尺规作图的痕迹，可知的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等边对等角先求解 再求解 结合尺规作图可得平分 从而可得答案． 【详解】解： ， 由作图可得： 由作图可得：是的角平分线， 故选C 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，角平分线的作图，掌握“等腰三角形的等边对等角”是解本题的关键． 6. 下列说法中，正确的有（ ）个 ①有一个外角为的等腰三角形是等边三角形 ②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形 ③三个外角都相等的三角形是等边三角形 ④有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形 ⑤的三边为，满足，则这个三角形是等边三角形 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定，等腰三角形的判定和性质，根据等边三角形的判定定理及等腰三角形的判定和性质逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：①因为有一个外角为，则与之相邻的内角为，故这个等腰三角形是等边三角形，该说法正确； ②因为等腰三角形底角的外角相等，所以有两个外角相等的等腰三角形不一定是等边三角形，该说法错误； ③因为三个外角都相等，则三个内角都相等，为，故这个三角形是等边三角形，该说法正确； ④因为等腰三角形底边上的高和底边上的中线重合，所以有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形不一定是等边三角形，该说法错误； ⑤的三边为，满足，可得或或，得到或或，所以这个三角形是等腰三角形，该说法错误； 综上，正确的说法有个， 故选：． 二、填空题（本大题共10题，每题3分，共30分） 7. 如图，，，则_____． 【答案】##45度 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，先根据判定出，再根据两直线平行，同旁内角互补得到，然后联立求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，． 故答案为：． 8. 将一副三角板如图所示摆放（其中一块三角板的一条直角边与另一块三角板的斜边摆放在一条直线上），那么图中_________． 【答案】75 【解析】 【分析】利用两块三角板的已知角及三角形内角和即可求解． 【详解】解：如图，在中，，在中，， 在中，． 9. 若不等式组无解，则a的取值范围是_______________． 【答案】a≥3 【解析】 【分析】先求得两个不等式的解集，再根据不等式解集的四种情况可知，大大小小解不了，判断a-1与2的大小． 【详解】 解不等式①得：x>a-1, 解不等式②得：x≤2, ∵不等式组无解， ∴a-1≥2, ∴a≥3. 故答案是：a≥3. 【点睛】考查的是已知不等式组的解集，求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 10. 把一些书分给若干同学，若每人分本，则余本；若每人分本，则不够．则至少有_______________名同学． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式的运用，解题的关键是设有名学生，根据题意，则，解出，即可． 【详解】解：设有名学生， ∴， 解得：， ∵为整数， ∴至少有名同学． 故答案为：． 11. 如图，已知，的平分线交于点D，交于点E，如果，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，由，，得到，由平行线的性质得到，由角平分线的性质得到，所以，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 如图，如果AB∥CD，∠1 = 30º，∠2 = 130º，那么∠BEC＝_______ 度． 【答案】80 【解析】 【分析】过点E作，利用平行线的性质分别求出的度数，然后利用即可求解． 【详解】如图，过点E作 ， ． ， ． ， ， ． 故答案为：80． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 13. 在等腰三角形中，若，，则___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系等知识，根据等腰三角形的性质，三角形的三边关系分情况讨论即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：当时， ∵， ∴不能组成三角形， 当时， ∵， ∴能组成三角形， 综上所述，， 故答案为：． 14. 如图，在中，，，，，则的度数是_______． 【答案】##65度 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，先利用判定，从而得出对应角相等，再利用角与角之间的关系从而求得所求的度数． 【详解】解：在中，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：． 15. 如果等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则该三角形的顶角的度数为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，解题的关键是根据题意画出图形，并注意分类讨论． 要注意分类讨论，等腰三角形可能是锐角三角形也可能是钝角三角形，然后根据三角形的内角和以及三角形的外角的性质即可求解． 【详解】解：若三角形为锐角三角形时，如图， ，，为高，即， 此时， ∴， 若三角形为钝角三角形时，如图，，，为高，即， 此时， 综上，等腰三角形的顶角的度数为或． 故答案为：或． 16. 在中，，D为的中点，如图所示，E为上一点，将沿着直线翻折，点B的对应点落在的延长线上，分别联结、，与交于点F．如果，那么____________（结果用整数比表示） 【答案】5:6:7 【解析】 【分析】根据点B沿折叠，对应点B落在延长线上，得出垂直平分可求，可证，求出，利用角的和差，利用三角形内角和即可． 【详解】解：∵点B沿折叠，对应点B落在延长线上， ∴垂直平分， ∴（垂直平分线性质）． ∴， ∴（外角性质）， 又∵D为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（三角形内角和）， ∴． 故答案为： 5:6:7． 【点睛】本题考查折叠性质，线段垂直平分线性质，等腰三角形性质，三角形外角性质，三角形内角和，掌握折叠性质，线段垂直平分线性质，等腰三角形性质，三角形外角性质，三角形内角和是解题关键． 三、简答题（第17题8分，第18、19题，每题10分，共28分） 17. 解不等式组，并把它的解集表示在数轴上． 【答案】， 在数轴表示如下： 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握解法是关键． 先求出两个不等式的解集，再求出公共解，然后在数轴表示即可． 【详解】解：， 由①解得， 由②解得， 故原不等式组的解集为：． 18. 如图，直线与相交于点E，与相交于点O，已知，，，求的长． 【答案】的长是． 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，由，证明，得，由，得，适当选择全等三角形的判定定理证明是解题的关键． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长是． 19. 如图，已知，，，点F是的中点，求证：． 【答案】 证明：， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 点是的中点， ． 【解析】 【分析】此题重点考查同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的“三线合一”等知识，证明是解题的关键． 由，得，而，，由，，推导出，可根据证明，则，即可由点是的中点，根据等腰三角形的“三线合一”证明． 【详解】略 四、解答题（本大题共2小题，每题12分，共24分） 20. 如图，点B、C、D在同一直线上，与均为等边三角形． （1）说明的理由 （2）若，则与垂直吗？请说明理由． 【答案】（1） 理由：∵与均为等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∵点在同一条直线上， ∴， ∴， ∴； （2） ，理由如下： 由（1）得， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定等知识，证明是解题的关键． （1）由等边三角形的性质得， ，则，即可证明，则，所以，则； （2）由全等三角形的性质得，则，所以，则，由，求得，因为，所以，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如果一个三角形能用一条直线将其分割出两个等腰三角形，那么我们称这个三角形为“活三角形”，这条直线称为该“活三角形”的“生命线”． （1）小明在研究“活三角形”问题时（如图），他发现，在△ABC中，若∠BAC = 3∠C时，这个△ABC一定是“活三角形”．点D在BC边上一点，联结AD，他猜测：当∠DAC = ∠C时，AD就是这个三角形的“生命线”，请你帮他说明AD是△ABC的“生命线”的理由． （2）如小明研究结果可以总结为：有一个内角是另一个内角的3倍时，该三角形是一个“活三角形”． 请通过自己操作研究，并根据上述结论，总结“活三角形”的其他特征． （注意从三角形边、角特征及相互间关系总结） ，该三角形是一个“活三角形”． ，该三角形是一个“活三角形”． （3）如果一个等腰三角形是一个“活三角形”那么它的顶角大小为： 度．（直接写出结果即可） 【答案】 （1）∵∠DAC =∠C， ∴∠ADB=2∠C，△ADC为等腰三角形， 又∵∠BAC=3∠C， ∴∠BAD=2∠C=∠ADB， ∴△ABD为等腰三角形， ∴AD是△ABC的“生命线”； （2）有一个内角是另一个内角2倍时；有一个内角为直角时； （3）90°，108°，36°， 【解析】 【分析】（1）证明△ADC和△ABD为等腰三角形即可； （2）作∠CAD=∠C，则∠ADB=2∠C，当∠ABD=2∠C时，∠ABD=∠ADB，则△ABC为“活三角形”；由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，易证直角三角形为“活三角形”； （3）分四种情况讨论，根据三角形内角和为180°建立方程，解方程求出顶角即可． 【详解】解：（1）略 （2）∠ADB=2∠C，当∠ABD=2∠C时，∠ABD=∠ADB，则△ABC为“活三角形”， 即：有一个内角是另一个内角的2倍时，该三角形是一个“活三角形”； 当∠BAC=90°，AD为斜边BC的中线，则△ABC为“活三角形”， 即：有一个内角为直角时，该三角形是一个“活三角形”， 故答案为：有一个内角是另一个内角的2倍时；有一个内角为直角时 （3）①由（2）可知，直角三角形为“活三角形”，故等腰直角三角形也为“活三角形”，即顶角为90°； ②如图，△ABC为等腰三角形，AB=AC， 则有， 解得：， 顶角∠BAC=108°； ③如图，△ABC为等腰三角形，AB=AC， 则有，。， 解得：， 顶角∠BAC=36°； ④如图，△ABC为等腰三角形，AB=AC， 则， 解得：， 即顶角∠BAC=， 综上：顶角为90°，108°，36°，． 【点睛】此题为几何图形新定义问题，主要考查等腰三角形的证明，一元一次方程在几何图形中的应用，直角三角形斜边中线等于斜边的一半等知识点，读懂题目的新定义是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第二学期初一数学随堂作业二 一、选择题（本大题共6题，每题3分，共18分） 1. 若，则下列式子中正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果一个三角形的三边长分别为3和7，则第三边长可能是（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 11 3. 如图，已知与相交于点O，，从下列条件中补充一个条件，不一定能判定的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知，下列条件中不能判断直线的是（ ）． A. B. C. D. 5. 如图，在中，，点D在边的延长线上，根据图中尺规作图的痕迹，可知的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法中，正确的有（ ）个 ①有一个外角为的等腰三角形是等边三角形 ②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形 ③三个外角都相等的三角形是等边三角形 ④有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形 ⑤的三边为，满足，则这个三角形是等边三角形 A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10题，每题3分，共30分） 7. 如图，，，则_____． 8. 将一副三角板如图所示摆放（其中一块三角板的一条直角边与另一块三角板的斜边摆放在一条直线上），那么图中_________． 9. 若不等式组无解，则a的取值范围是_______________． 10. 把一些书分给若干同学，若每人分本，则余本；若每人分本，则不够．则至少有_______________名同学． 11. 如图，已知，的平分线交于点D，交于点E，如果，，则_____． 12. 如图，如果AB∥CD，∠1 = 30º，∠2 = 130º，那么∠BEC＝_______ 度． 13. 在等腰三角形中，若，，则___________ 14. 如图，在中，，，，，则的度数是_______． 15. 如果等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则该三角形的顶角的度数为__________． 16. 在中，，D为的中点，如图所示，E为上一点，将沿着直线翻折，点B的对应点落在的延长线上，分别联结、，与交于点F．如果，那么____________（结果用整数比表示） 三、简答题（第17题8分，第18、19题，每题10分，共28分） 17. 解不等式组，并把它的解集表示在数轴上． 18. 如图，直线与相交于点E，与相交于点O，已知，，，求的长． 19. 如图，已知，，，点F是的中点，求证：． 四、解答题（本大题共2小题，每题12分，共24分） 20. 如图，点B、C、D在同一直线上，与均为等边三角形． （1）说明的理由 （2）若，则与垂直吗？请说明理由． 21. 如果一个三角形能用一条直线将其分割出两个等腰三角形，那么我们称这个三角形为“活三角形”，这条直线称为该“活三角形”的“生命线”． （1）小明在研究“活三角形”问题时（如图），他发现，在△ABC中，若∠BAC = 3∠C时，这个△ABC一定是“活三角形”．点D在BC边上一点，联结AD，他猜测：当∠DAC = ∠C时，AD就是这个三角形的“生命线”，请你帮他说明AD是△ABC的“生命线”的理由． （2）如小明研究结果可以总结为：有一个内角是另一个内角的3倍时，该三角形是一个“活三角形”． 请通过自己操作研究，并根据上述结论，总结“活三角形”的其他特征． （注意从三角形边、角特征及相互间关系总结） ，该三角形是一个“活三角形”． ，该三角形是一个“活三角形”． （3）如果一个等腰三角形是一个“活三角形”那么它的顶角大小为： 度．（直接写出结果即可） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $