精品解析：江苏省苏州市吴江市屯村中学2024-2025学年八年级下学期第一次月考数学试卷

吴江市屯村中学2024-2025学年八年级下学第一次月考数学试卷 一、单选题 1. 下列汽车标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列说法中，不正确的是（ ） A. 周长相等的两个等边三角形一定能够重合 B. 面积相等的两个圆一定能够重合 C. 面积相等的两个正方形一定能够重合 D. 周长相等的两个菱形一定能够重合 3. 如图，的直径的长度为定值a，和是它的两条切线，与相切于点E，并与，分别相交于点D，C两点，设，，当x，y的值变化时，下列代数式的值不变的是（ ） A. B. C. D. 4. 有下列条件：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③∠A＝90°﹣∠B；④．能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 如图，在中，点D在上，，于点M，N是的中点，连接，若，则为（ ） A. 3 B. 4 C. 1 D. 2 6. 下列命题：①平行四边形的对角线互相平分；②若，则；③若三角形的三边、、满足，则该三角形是直角三角形；④全等三角形的对应角相等． 其中逆命题是真命题的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7. 如图，在矩形中，等边三角形的顶点恰好落在边上，与交于点．若矩形的面积为12，则的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 将的圆周12等分，点、、是等分点，如图，的度数可能为（ ） A. B. C. D. 二、填空题 9. 如图，在菱形中，，，连接，点为上的动点，连接并延长至点，使得，连接，则周长的最小值为__________． 10. 如图，四边形中，E，F，G，H分别是边、、、的中点．若四边形为菱形，则对角线、应满足条件_______． 11. 如图，菱形的对角线、相交于点，作交的延长线于点，连接，若，，则______． 12. 如图所示，点是直线上一点，平分，是一条射线，平分．，则______． 13. 如图，在平行四边形中，以点为圆心，为半径作弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，射线交于点． 若，，则的长为______． 14. 如图中，，，，点P为上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为_________． 15. 已知平面直角坐标系中，点A、B在动直线（m为常数且）上，，点C是平面内一点，以点O、A、B、C为顶点的平行四边形面积的最大值是________． 三、解答题 16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）A，B，C的坐标分别为，，． （1）以轴为对称轴，将作对称变换得，再以轴为对称轴，将作对称变换得，画出； （2）直接写出和的对称中心坐标_____； （3）在所给的网格图中确定一个格点，使得射线平分，直接写出点的坐标_____． 17. 如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，连接DE．延长DE交AB的延长线于点F．求证：AB=BF． 18. 已知实数a、b、c、m、n满足，． （1）当时，求证：； （2）若m，n为正整数，且为奇数，请用反证法证明：m，n至少有一个为奇数． 19. 定义：在中，如果有一条对角线的长等于其中一条边的长，则称这个平行四边形为“字平行四边形”． （1）下面的图形中是“字平行四边形”的有：_________； A．正方形 B．矩形 C．有一个角是的菱形 D．有一个角是的平行四边形 E．有一个角是的平行四边形 （2）在“字平行四边形”中，，，则_________． （3）如图，在“字平行四边形”中，，，点是边上一点，，与的延长线交于点，若为“字平行四边形”，求的值； （4）如图，在矩形中，点、分别是边和边上的点，四边形为“字平行四边形”，若，求的值． 20. 如图，在中，平分，点E在上，且． （1）求证：； （2）若，求的值． 21. 如图，在中，，分别是边和上的点，连接，，且．求证： （1）； （2）． 22. 问题发现 （1）小明在解决问题“如图（1），中，，E为的中点，于点D．求证：．”时，由E为的中点联想到构造三角形的中位线．如图（2），取的中点F，连接，，则是的中位线，故且，从而可得．要证，只需证即可．请你帮助小明完成证明过程． 深入探究 （2）如图（3），中，，，E为的中点，平分，交的延长线于点F，求的长． 拓展应用 （3）如图（4），中，，，将绕点A逆时针旋转α（）得到，连接，E为的中点，连接，请直接写出长度的取值范围． 23. 如图，在平行四边形中，对角线与相交于点O，是等边三角形，，求平行四边形的面积． 24. （1）【问题呈现】在数学活动课上，王老师为每位学生提供了几张长方形纸片和平行四边形纸片，王老师问了小明一个问题：如图1，已知矩形的对角线的垂直平分线与边、分别交于点、．求证：四边形是菱形．请你帮小明写出证明过程． （2）【类比应用】如图2，王老师要求小明将矩形沿直线翻折，使点的对称点与点重合，点的对称点为，直线分别交矩形的边、于点、，若，，求折痕的长． （3）【拓展延伸】如图3，王老师要求小明将平行四边形沿直线翻折，使点的对称点与点重合，点的对称点为，直线分别交平行四边形的边、于点、，若，，，求四边形的面积． 25. 综合与探究 如图，在中，，，是直线上的一动点，将线段绕点逆时针旋转得到． 【操作判断】 （）如图，当点与点重合时，连接，根据题意，在图中画出，图中四边形的形状是______． 【问题探究】 （）当点与点都不重合时，连接，试猜想与的位置关系，并利用图证明你的猜想． 【拓展延伸】 （）当点与点都不重合时，若，，求的长． 26. 如图，学校利用的墙角修建一个梯形的生物乐园，供学生种植花草，进行学习和研究．其中，且．如果新建的两道墙总长15m．设生物乐园面积为m2，的长为m． （1）求与的函数关系式． （2）生物乐园的面积能达到吗？说明理由； （3）当取何值时，才能使生物乐园的面积最大？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吴江市屯村中学2024-2025学年八年级下学第一次月考数学试卷 一、单选题 1. 下列汽车标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C、既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合． 2. 下列说法中，不正确的是（ ） A. 周长相等的两个等边三角形一定能够重合 B. 面积相等的两个圆一定能够重合 C. 面积相等的两个正方形一定能够重合 D. 周长相等的两个菱形一定能够重合 【答案】D 【解析】 【分析】利用全等图形的定义，以及等边三角形的性质，圆的性质，正方形的性质，菱形的性质分析选项即可． 【详解】解：由题意可知： A. 周长相等的两个等边三角形一定能够重合，周长相等说明等边三角形的边长相等，且等边三角形的每一个角都为，故说法正确，不符合题意； B. 面积相等的两个圆一定能够重合，面积相等说明圆的直径相等，故说法正确，不符合题意； C. 面积相等的两个正方形一定能够重合，面积相等说明正方形的边长相等，且正方形的每个角都为，故说法正确，不符合题意； D. 周长相等的两个菱形一定能够重合，周长相等虽然可以说明菱形的边长相等，但是不能保证菱形的每个角对应相等，故说法不正确，符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查全等图形的定义，等边三角形的性质，圆的性质，正方形的性质，菱形的性质，解题的关键是掌握性质，并进行分析． 3. 如图，的直径的长度为定值a，和是它的两条切线，与相切于点E，并与，分别相交于点D，C两点，设，，当x，y的值变化时，下列代数式的值不变的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点D作交于F，由切线的性质可证得四边形是矩形，于是可得，，根据切线长定理得到，，则，在中，根据勾股定理即可求出y与x的关系，进而得出答案． 【详解】解：如图，过点D作交于F， ，与切于点A、B，是的直径， ，， 又， ， ∴四边形是矩形， ，， ， ， 切于E，与切于点A、B， ，，则， 在中， 由勾股定理得：， 即：， 整理，得：， ∴的值不变， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，矩形的判定与性质，切线长定理，勾股定理，完全平方公式等知识点，正确作出辅助线，综合运用以上知识点是解题的关键． 4. 有下列条件：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③∠A＝90°﹣∠B；④．能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】根据直角三角形的判定，对各个条件进行分析，从而得到答案． 【详解】解：A、∠A+∠B＝∠C＝90°，△ABC是直角三角形，故本选项正确； B、∠A:∠B:∠C＝1:2:3，则∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，△ABC是直角三角形，故本选项正确； C、∵∠A+∠B＝90°， ∴∠C＝90°，△ABC是直角三角形，故本选项正确； D、设∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，则x+2x+3x＝180°，解得x＝30°，故3x＝90°，△ABC是直角三角形，故本选项正确． 故选：D ． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，直角三角形的判定，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键． 5. 如图，在中，点D在上，，于点M，N是的中点，连接，若，则为（ ） A. 3 B. 4 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三线合一，三角形的中位线定理．根据三线合一，得到为的中点，进而得到，进行求解即可． 【详解】解：∵，于点M， ∴， ∵N是的中点， ∴； 故选D． 6. 下列命题：①平行四边形的对角线互相平分；②若，则；③若三角形的三边、、满足，则该三角形是直角三角形；④全等三角形的对应角相等． 其中逆命题是真命题的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】考查了命题与定理的知识，先写出命题的逆命题，再利用全等三角形的性质、勾股定理的逆定理，平行四边形的判定定理分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：①平行四边形的对角线互相平分的逆命题是：对角线互相平分的四边形是平行四边形，故为真命题， ②若，则的逆命题为：若，则，该命题为假命题，∵若，则或， ③若三角形的三边、、满足，则该三角形是直角三角形的逆命题为：直角三角形的斜边满足，该命题为假命题，∵未明确直角三角形的斜边． ④全等三角形的对应角相等的逆命题为：对应角相等的三角形是全等三角形，该命题为假命题，例如相似三角形． 综上：只有①的逆命题是真命题， 故选：B 7. 如图，在矩形中，等边三角形的顶点恰好落在边上，与交于点．若矩形的面积为12，则的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定等等，证明，得到，再证明，得到，则，据此可得． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 8. 将的圆周12等分，点、、是等分点，如图，的度数可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆周角定理可得，再由三角形外角的性质可判断出结论． 【详解】解：将的圆周12等分，则每一等分的度数为， ∵点、、是等分点， ∴ 又是的一个外角， ∴，即， 所以，满足条件的是选项D， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了贺周角定理以及三角形外角的性质，得出是解答本题的关键． 二、填空题 9. 如图，在菱形中，，，连接，点为上的动点，连接并延长至点，使得，连接，则周长的最小值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形．连接并延长至点，使，记与的交点为，连接，过点、点作直线，由三角形中位线定理求得点在过点且垂直于的直线上，当点在时，此时周长的最小值为，证明是等边三角形，求得，解直角三角形即可求解． 【详解】解：连接并延长至点，使，记与的交点为，连接，连接，连接，过点作直线垂直，则： 直线是线段的垂直平分线， ∵菱形中， ∴，，， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴点在直线上， ∴， ∵是定长， ∴周长的最小值为， ∴当点在上时，的周长最小，为， ∵在菱形中，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴周长的最小值为， 故答案为：． 10. 如图，四边形中，E，F，G，H分别是边、、、的中点．若四边形为菱形，则对角线、应满足条件_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形的中位线定理和菱形的判定，可得顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得四边形是菱形，故应满足． 【详解】解：应满足的条件为：． 证明：∵E，F，G，H分别是边、、、的中点， ∴在中，为的中位线，所以且； 同理且，同理可得， 则且， ∴四边形为平行四边形，又，所以， ∴四边形为菱形． 故答案为：． 【点睛】此题考查学生灵活运用三角形的中位线定理，平行四边形的判断及菱形的判断进行证明，是一道综合题． 11. 如图，菱形的对角线、相交于点，作交的延长线于点，连接，若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，由菱形的面积可得，进而由菱形的性质和勾股定理可得，得到，即得，最后根据直角三角形的性质即可求解，掌握菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 12. 如图所示，点是直线上一点，平分，是一条射线，平分．，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义和角度和差，先由角平分线的定义得，然后求出，再根据角平分线的定义求出，最后通过角度和差即可求解，掌握角平分线的定义和角度和差是解题的关键． 【详解】解：∵点是直线上一点，平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在平行四边形中，以点为圆心，为半径作弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，射线交于点． 若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理．连接，设交于点，证明四边形是菱形，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】如图，连接，设交于点， 由作图可知：，平分， ，，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， 在中，，， ， ． 故答案为：． 14. 如图中，，，，点P为上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，垂线段最短，等面积法，利用等面积法求的长是解题的关键． 设，交于点，由四边形是平行四边形，得出，即求的最小值，再乘以2即可．点D是的中点，为定点，由垂线段最短可知，当时，取得最小值，即最小，过点作于点，当重合时，最小，据此即可求得的最小值． 【详解】解：如图，设，交于点，过点作于点， 连接，    四边形是平行四边形， ，， ∵点D是的中点，为定点， ∴由垂线段最短可知：当时，取得最小值，则最小， 即当重合时，最小， ∴的最小值为， ， ∴， ∵，即 ∴ ， ∴的最小值为 的最小值为 故答案为：． 15. 已知平面直角坐标系中，点A、B在动直线（m为常数且）上，，点C是平面内一点，以点O、A、B、C为顶点的平行四边形面积的最大值是________． 【答案】30 【解析】 【分析】由直线关系式确定出直线过定点（6，8），平行四边形面积最大转化为求△ABO的最大面积． 【详解】解：∵直线AB：y＝mx﹣6m+8＝m（x﹣6）+8， ∴AB过定点M（6，8）， ∴， 作OH⊥AB于H， ∴OH≤10， ∴S△ABO＝， 即△ABO的最大面积是15， ∵以点O、A、B、C为顶点的平行四边形面积是△ABO面积的2倍， ∴以点O、A、B、C为顶点的平行四边形面积的最大值是30． 故答案为：30． 【点睛】此题考查了一次函数的性质，动点平行四边形面积最值问题，解题的关键是把求平行四边形最大面积转化为求△ABO的最大面积． 三、解答题 16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）A，B，C的坐标分别为，，． （1）以轴为对称轴，将作对称变换得，再以轴为对称轴，将作对称变换得，画出； （2）直接写出和的对称中心坐标_____； （3）在所给的网格图中确定一个格点，使得射线平分，直接写出点的坐标_____． 【答案】（1） 、如下图所示： （2） （3）如图所示： 或或或 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形作法，中心对称图形的缺点及等腰三角形的判定和性质，结合网格解题是解题的关键． （1）根据轴对称图形的作法作图即可； （2）结合图象即可确定对称中心． （3）根据图象得出，再由平行线的性质及角平分线的判定即可得出相应直线，然后确定直线的解析式为，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 根据图象得和的对称中心坐标为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴射线平分， 经过点， 设直线的解析式为， 代入得：，解得， ∴， ∴当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴点的坐标为或或或． 17. 如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，连接DE．延长DE交AB的延长线于点F．求证：AB=BF． 【答案】 证明：∵E是BC的中点， ∴CE=BE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ABCD，AB=CD， ∴∠DCB=∠FBE， 在△CED和△BEF中，， ∴△CED△BEF（ASA）， ∴CD=BF， ∴AB=BF． 【解析】 【分析】由平行四边形的性质知AB=CD，再有中点定义得CE=BE，从而可以由ASA定理证明△CED△BEF，则CD=BF，故AB=BF． 【详解】略 【点睛】本题考查了以下内容：1．平行四边形的性质 2．三角形全等的判定定理． 18. 已知实数a、b、c、m、n满足，． （1）当时，求证：； （2）若m，n为正整数，且为奇数，请用反证法证明：m，n至少有一个为奇数． 【答案】（1） 证明：因为，， 所以，， 所以， 因为，， 所以， 所以，即． （2）证明：假设m，n没有一个奇数，即m，n都为偶数， 所以，都为偶数，即，都为偶数， 所以为偶数， 这与为奇数矛盾， 所以假设不成立， 所以m，n至少有一个为奇数． 【解析】 【分析】本题考查整式的运算、因式分解、等式的性质等基础知识：考查运算能力、推理能力、创新意识等，以及综合应用所学知识分析、解决问题的能力． （1）先得出，，求出，再根据证明结论； （2）假设m，n没有一个奇数，则，都为偶数，所以为偶数，找出矛盾进而证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 定义：在中，如果有一条对角线的长等于其中一条边的长，则称这个平行四边形为“字平行四边形”． （1）下面的图形中是“字平行四边形”的有：_________； A．正方形 B．矩形 C．有一个角是的菱形 D．有一个角是的平行四边形 E．有一个角是的平行四边形 （2）在“字平行四边形”中，，，则_________． （3）如图，在“字平行四边形”中，，，点是边上一点，，与的延长线交于点，若为“字平行四边形”，求的值； （4）如图，在矩形中，点、分别是边和边上的点，四边形为“字平行四边形”，若，求的值． 【答案】（1）C （2） （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）根据“字平行四边形”的定义逐一判断即可； （2）由平行四边形是“字平行四边形”， ，可得，推出，得到，推出，即可求解； （3）连接，，由在字中，，，可得，，由可得，，则，由大角对大边可得，，若为“字平行四边形”，分两种情况：①当时，②当时，分别求解即可； （4）过点作于点，过点作于点，两种情况：①当时，②当时，结合相关知识求解即可． 【小问1详解】 解：A．正方形的对角线为边长的倍，故不满足； B、矩形的对角线长不等于其中一条边的长，故不满足； C、有一个角是的菱形，有一条对角线的长等于其中一条边的长，故满足； D、有一个角是的平行四边形的对角线，不等于其中一条边的长，故不满足； E．有一个角是的平行四边形，不等于其中一条边的长，故不满足； 故 答 案 为：C； 【小问2详解】 如图，平行四边形是“字平行四边形”， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； 【小问3详解】 证明：连接，， 在字中，，， ，， ， ， ， 由大角对大边可得，， 若为“字平行四边形”，只能分为以下几种情况 ①当时，， 过点作于点， 可得点为的中点，，， 又， ， ，； ②当时，， 此时，，矛盾； 综上，若为字平行四边形，； 【小问4详解】 过点作于点，过点作于点， 四边形为矩形， ，，， 四边形为平行四边形， ，， ，， 即． 四边形为字平行四边形， 又，． 有以下两种情况： ①当时， ， 为的中点， ． 在矩形中，， 又， ， ， ， ； ②当时， ， 为的中点， ， 设， 则，，． ， ． ， ， ， ， 由可得． ， ． 综上，或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识，并分类讨论． 20. 如图，在中，平分，点E在上，且． （1）求证：； （2）若，求的值． 【答案】（1） 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定，相似三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由平分，得， 由，得， 得到，即可得出结论； （2）设，则，由， 得到，即，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，则， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， 由（1）知：， ∴． 21. 如图，在中，，分别是边和上的点，连接，，且．求证： （1）； （2）． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ， 又． 四边形是平行四边形． 平行四边形对角相等 （2） 四边形是平行四边形， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ． 【解析】 【分析】（1）证明四边形是平行四边形即可； （2）用证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和三角形全等的判定，熟练掌握平行四边形性质是解本题的关键． 22. 问题发现 （1）小明在解决问题“如图（1），中，，E为的中点，于点D．求证：．”时，由E为的中点联想到构造三角形的中位线．如图（2），取的中点F，连接，，则是的中位线，故且，从而可得．要证，只需证即可．请你帮助小明完成证明过程． 深入探究 （2）如图（3），中，，，E为的中点，平分，交的延长线于点F，求的长． 拓展应用 （3）如图（4），中，，，将绕点A逆时针旋转α（）得到，连接，E为的中点，连接，请直接写出长度的取值范围． 【答案】 （1）证明： 如图（2）， 取的中点， 连接， ∵是的中点， ∴是的中位线， ∴且， ∴， ∵， ∴， ∵， 为的中点， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）； （3） 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质以及三角形中位线定理 ，三角形三边关系 ， 勾股定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题. （1）取的中点， 连接，则是的中位线，推出且，再由直角三角形斜边中线的性质求得，进而得到据此求解即可； （2）延长交于点，证明，推出，再由三角形中位线定理求解即可； （3）取的中点，连接，，由直角三角形斜边中线的性质以及三角形中位线定理结合三角形三边关系即可求解. 【详解】（1）略 (2)如图， 延长交于点， ，平分， ，又 ， ， ， ， ， ∵为的中点，， ； （3）， 如图（3）， 由题意知点在以为圆心，为半径的圆上运动，取的中点，连接， ， ， ， 由旋转的性质可得 ∵ 为的中点，为的中点， ， ∴ ， ∴当在上时， 最小， 为；当在的延长线上时，最大，为 ． 23. 如图，在平行四边形中，对角线与相交于点O，是等边三角形，，求平行四边形的面积． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形性质得出，，根据等边三角形的性质得出．推出．得出矩形，根据勾股定理求出，即可求出矩形的面积． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴．又∵是等边三角形， ∴．∴．∴． ∴平行四边形是矩形． ∴ 在中，由勾股定理，得． ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，等边三角形的性质，平行四边形的性质，勾股定理等知识点的应用，关键是求出的长和得出矩形． 24. （1）【问题呈现】在数学活动课上，王老师为每位学生提供了几张长方形纸片和平行四边形纸片，王老师问了小明一个问题：如图1，已知矩形的对角线的垂直平分线与边、分别交于点、．求证：四边形是菱形．请你帮小明写出证明过程． （2）【类比应用】如图2，王老师要求小明将矩形沿直线翻折，使点的对称点与点重合，点的对称点为，直线分别交矩形的边、于点、，若，，求折痕的长． （3）【拓展延伸】如图3，王老师要求小明将平行四边形沿直线翻折，使点的对称点与点重合，点的对称点为，直线分别交平行四边形的边、于点、，若，，，求四边形的面积． 【答案】 （1）∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； （2）；（3） 【解析】 【分析】（1）由“”可证，可得，由对角线互相平分的四边形是平行四边形可证四边形是平行四边形，即可证平行四边形是菱形； （2）连接，，求解，证明垂直平分，设，则，由勾股定理得：，可得，结合菱形的面积公式可得答案； （3）如图3，过点A作，交延长线于点N，证明，，求解，设，则，再利用勾股定理求解，进一步可得答案． 【详解】解：（1）略 （2）如图2，连接，， ∵，， ∴， ∵将矩形沿直线翻折，使点C的对称点与点A重合， ∴垂直平分， 由（1）得：四边形是菱形， ∴， 设，则， 由勾股定理得：， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图3，过点A作，交延长线于点N， ∵将平行四边形沿直线翻折，使点C的对称点与点A重合， 则由（1）可知：四边形是菱形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键． 25. 综合与探究 如图，在中，，，是直线上的一动点，将线段绕点逆时针旋转得到． 【操作判断】 （）如图，当点与点重合时，连接，根据题意，在图中画出，图中四边形的形状是______． 【问题探究】 （）当点与点都不重合时，连接，试猜想与的位置关系，并利用图证明你的猜想． 【拓展延伸】 （）当点与点都不重合时，若，，求的长． 【答案】（）平行四边形； （）解：，证明如下： 如图，过点作交于点，连接，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵将线段绕点逆时针旋转得到， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； （） 【解析】 【分析】（）由旋转可得，，进而可得，，即可求解； （）证明四边形是矩形即可求证； （）分点在点右侧和左侧两种情况，分别画出图形解答即可求解． 【详解】（）解：如图， 由旋转得，，， ∵，， ∴， ， ∴， ∴四边形是平行四边形， 故答案为：平行四边形； （）略 （）解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 当点在点右侧时，如图， 由（）可知，四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点在点的左侧时，如图， 同理可得， ∴， ∴； 综上，的长为． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的 性质，平行四边形的判定，矩形的判定和性质，全等三角形的 判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 26. 如图，学校利用的墙角修建一个梯形的生物乐园，供学生种植花草，进行学习和研究．其中，且．如果新建的两道墙总长15m．设生物乐园面积为m2，的长为m． （1）求与的函数关系式． （2）生物乐园的面积能达到吗？说明理由； （3）当取何值时，才能使生物乐园的面积最大？ 【答案】（1） （2）生物乐园面积的面积能不能达到，理由： ， 整理得：． ，所以方程没有实数解． 即生物乐园面积的面积能不能达到； （3）当时，生物乐园的面积最大． 【解析】 【分析】本题考查求函数解析式，二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． （1）由题意可得：的长为，过作于，证明四边形是矩形，得到．证明，得到，根据梯形的面积公式即可列出函数解析式； （2）令，根据一元二次方程根的判别式判断即可； （3）根据二次函数的图象及性质即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可得：的长为，过作于． ∵， ∴． ∵， ∴四边形是矩形， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴， ∴． ∴． 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：由（1）可知：． ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为， 当时，生物乐园的面积最大，最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $