第14章全等三角形 自主学习同步练习题 2025-2026学年人教版八年级数学上册

2025-2026学年人教版八年级数学上册《第14章全等三角形》 自主学习同步练习题（附答案） 一．选择题 1．下列命题中，假命题是（　　） A．如果两边及它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等 B．如果两边及其中一边的对角对应相等，那么这两个三角形全等 C．如果两角及它们的夹边对应相等，那么这两个三角形全等 D．如果两角及其中一角的对边对应相等，那么这两个三角形全等 2．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，BC∥AD，点E、F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能为（　　） A．∠1＝∠2 B．BF＝DE C．AE＝CF D．∠AED＝∠CFB 3．△ABC和△DEF中，∠A＝∠D＝90°，下列不能判定这两个三角形全等的条件是（　　） A．AB＝DE，AC＝DF B．AB＝DE，BC＝EF C．AC＝EF，BC＝DF D．∠C＝∠F，BC＝EF 4．如图，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接BE，则∠AEB的度数是（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 5．如图，△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R、S，若AQ＝PQ，PR＝PS，下面四个结论：①AS＝AR；②QP∥AR；③△BRP≌△QSP；④AP垂直平分RS．其中正确结论的序号是（　　） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，有下列结论：①CD＝ED；②AC+BE＝AB；③∠BDE＝∠BAC；④AD平分∠CDE；⑤S△ABD：S△ACD＝AB：AC，其中正确的有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 二．填空题 7．如图，在面积为16的四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于点P，则DP的长是　 　． 8．如图，已知AD＝BC，根据“SSS”，还需要一个条件　 　，可证明△ABC≌△BAD；根据“SAS”，还需要一个条件　 　，可证明△ABC≌△BAD． 9．如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件：　 　（写出一个条件即可），可使Rt△ABC与Rt△ABD全等． 10．△ABC中，AB＝7，AC＝3，则BC边的中线AD的取值范围是　 　． 11．如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE＝BF，EF与BC交于点G，若∠ABE＝55°，求∠EGC的大小　 　． 12．如图，AE⊥AB，且AE＝AB，BC⊥CD，且BC＝CD，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积S＝　 　． 13．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，若AD＝3，BE＝1，则DE＝　 　． 14．如图，在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在一条直线上，且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，BD＝3，CE＝6，则DE的长为　 　． 15．如图，△ABC中，∠BAC＝90度，AB＝AC，BD是∠ABC的平分线，CE垂直于BD的延长线，若BD＝12．则CE＝　 　． 16．如图，AB＝12m，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC＝4m，P点从B向A运动，每分钟走1m，Q点从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动 　 　分钟后，△CAP与△PQB全等． 三．解答题 17．两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接DC． （1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）； （2）证明：DC＝BE． 18．如图，已知△ABC和△DCE都是等边三角形（三边都相等，三个角都是60°），且B，C，E在同一直线上，连接BD交AC于点G，连接AE交CD于点H．求证： （1）△BCD≌△ACE （2）DG＝EH． 19．如图，B在AE上，C在BG上，四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，连接AG和EC． （1）求证：△ABG≌△CBE； （2）求证：AG⊥EC． 20．（1）问题探究： 如图①，四边形ABCD，DEFG都是正方形，连接AE，CG，观察图形，猜想AE与CG之间的数量关系和位置关系，并说明你的猜想． （2）拓展延伸： 如图②，若将“问题探究”中的正方形改为正三角形，试确定AE与BD之间的数量关系，并求出∠APB的度数． 21．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E． （1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，猜想线段DE、AD与BE有怎样的数量关系？请写出这个关系（不用证明）； （2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE＝AD﹣BE； （3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 22．已知：△ABC中，AC⊥BC，CE⊥AB于E，AF平分∠CAB交CE于F，过F作FD∥BC交AB于D． 求证：AC＝AD． 23．如图，已知AD∥BC，点E为CD上一点，AE，BE分别平分∠DAB，∠ABC． （1）求证：AE⊥BE； （2）求证：DE＝CE； （3）若AE＝4，BE＝6，求四边形ABCD的面积． 24．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB，垂足为D，交AC于E，若BC＝BD，求证：AE+DE＝AC． 25．如图，已知AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D、E，CD与BE相交于点F，求证：AF平分∠BAC． 26．如图，在长方形ABCD中，AB＝CD＝6cm，BC＝10cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为t秒． （1）PC＝　 　cm．（用t的代数式表示） （2）当t为何值时，△ABP≌△DCP？并说明理由． （3）当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以vcm/秒的速度沿CD向点D运动，是否存在这样v的值，使得△ABP与△PQC全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由． 参考答案 一．选择题 1．解：A、如果两边及它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等，符合判定定理边角边，是真命题． B、如果两边及其中一边的对角对应相等，那么这两个三角形全等．因为两边相等，其夹角不一定相等，所以两三角形不一定全等，故是假命题． C、如果两角及它们的夹边对应相等，那么这两个三角形全等，符合判定定理角边角，是真命题． D、如果两角及其中一角的对边对应相等，那么这两个三角形全等．两角相等，则根据三角和内角和定理可推出三个角分别相等，有一边相等，所以符合判定定理角边角，是真命题． 故选：B． 2．解：∵AB∥CD，BC∥AD， ∴四边形ABCD是平行四边形，∠ABE＝∠CDF， ∴AB＝CD， 当添加∠1＝∠2时，由ASA判定△ABE≌△CDF， ∴选项A正确； 当添加BF＝DE时，BE＝DF，由SAS判定△ABE≌△CDF， ∴选项B正确； 当添加AE＝CF时，由SSA不能判定△ABE≌△CDF， ∴选项C不正确； 当∠AED＝∠CFB时，由AAS判定∠AED＝∠CFB， ∴选项D正确； 故选：C． 3．解：A、由SAS能判定△ABC和△DEF全等，不符合题意； B、由HL能判定△ABC和△DEF全等，不符合题意； C、当∠A＝∠D＝90°时，AC与EF不是对应边，不能判定△ABC和△DEF全等，符合题意； D、由AAS能判定△ABC和△DEF全等，不符合题意． 故选：C． 4．解：∵△ACB和△DCE均为等边三角形， ∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°， ∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB， ∴∠ACD＝∠BCE， 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴∠ADC＝∠BEC， ∵∠ADC+∠CDE＝180°，∠CDE＝60°， ∴∠ADC＝120°， ∴∠BEC＝120°， ∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝120°﹣60°＝60°． 故选：C． 5．解：如图，连接AP， ∵PR⊥AB，PS⊥AC， ∴∠ARP＝∠ASP＝90°， ∵AP＝AP，PR＝PS， ∴Rt△APR≌Rt△APS（HL）， ∴AS＝AR，∠PAR＝∠PAS，故①正确， ∵AQ＝PQ， ∴∠QAP＝∠QPA， ∴∠RAP＝∠QPA， ∴QP∥AR，故②正确， ∵AR＝AS，PR＝PS， ∴AP垂直平分RS，故④正确， 由题目条件不能证明△BRP≌△QSP， 故选：C． 6．解：①正确，因为角平分线上的点到两边的距离相等知； ②正确，因为由HL可知△ADC≌△ADE，所以AC＝AE，即AC+BE＝AB； ③正确，因为∠BDE和∠BAC都与∠B互余，根据同角的补角相等，所以∠BDE＝∠BAC； ④正确，因为由△ADC≌△ADE可知，∠ADC＝∠ADE，所以AD平分∠CDE； ⑤正确，因为CD＝ED，△ABD和△ACD的高相等，所以S△ABD：S△ACD＝AB：AC． 所以正确的有五个，故选：A． 二．填空题 7．解：作DE⊥BC，交BC延长线于E，如图， ∵DP⊥AB，ABC＝90°， ∴四边形BEDP为矩形， ∴∠PDE＝90°，即∠CDE+∠PDC＝90°， ∵∠ADC＝90°，即∠ADP+∠PDC＝90°， ∴∠ADP＝∠CDE， 在△ADP和△CDE中 ， ∴△ADP≌△CDE， ∴DP＝DE，S△ADP＝S△CDE， ∴四边形BEDP为正方形，S四边形ABCD＝S正方形BEDP， ∴DP2＝16， ∴DP＝4． 故答案为4． 8．解：BD＝AC，∠DAB＝∠CBA， 理由是：∵在△ABC和△BAD中 ， ∴△ABC≌△BAD（SSS）； ∵在△ABC和△BAD中 ， ∴△ABC≌△BAD（SAS）． 故答案为：BD＝AC，∠DAB＝∠CBA． 9．解：条件是AC＝AD（答案不唯一）， ∵∠C＝∠D＝90°， 在Rt△ABC和Rt△ABD中 ， ∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）， 故答案为：AC＝AD（答案不唯一）． 10．解：如图，延长AD至E，使DE＝AD， ∵D是BC的中点， ∴BD＝CD． 在△ADC和△EDB中， ， ∴△ADC≌△EDB（SAS） ∴AC＝EB． ∵AC＝3， ∴EB＝3． ∴7﹣3＜AE∠7+3， ∴4＜2AD＜10， ∴2＜AD＜5． 故答案为：2＜AD＜5． 11．解：∵BE⊥BF， ∴∠FBE＝90°， 又∵BE＝BF， ∴∠BEF＝∠EFB＝45°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝90°， 又∵∠ABE＝55°， ∴∠EBG＝90°﹣55°＝35°， ∴∠EGC＝∠EBG+∠BEF＝45°+35°＝80°． 故答案为：80°． 12．解：∵AE⊥AB，EF⊥AF，BG⊥AG， ∴∠F＝∠AGB＝∠EAB＝90°， ∴∠FEA+∠EAF＝90°，∠EAF+∠BAG＝90°， ∴∠FEA＝∠BAG， 在△FEA和△GAB中 ∵， ∴△FEA≌△GAB（AAS）， ∴AG＝EF＝6，AF＝BG＝2， 同理CG＝DH＝4，BG＝CH＝2， ∴FH＝2+6+4+2＝14， ∴梯形EFHD的面积是×（EF+DH）×FH＝×（6+4）×14＝70， ∴实线所围成的图形是S梯形EFHD﹣S△EFA﹣S△ABC﹣S△DHC ＝70﹣×6×2﹣×（6+4）×2﹣×4×2 ＝50． 故答案为50． 13．解：AD⊥CE，BE⊥CE， ∴∠ADC＝∠BEC＝90°， ∵∠BCE+∠CBE＝90°，∠BCE+∠CAD＝90°， ∠DCA＝∠CBE， 在△ACD和△CBE中， ， ∴△ACD≌△CBE（AAS）， ∴CE＝AD＝3，CD＝BE＝1， DE＝CE﹣CD＝3﹣1＝2， 故答案为：2． 14．解：∵∠BDA＝∠AEC＝∠BAC， ∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE， ∴∠DBA＝∠CAE， ∵在△ADB和△CEA中， ， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴BD＝AE，AD＝CE， ∴DE＝AE+AD＝BD+CE＝3+6＝9． 故答案为：9． 15． 解：延长CE、BA交于O， ∵∠BAC＝90°， ∴∠CAO＝∠BAD＝90°， ∵CE⊥BE， ∴∠BEO＝∠BEC＝90°， ∴∠O+∠OCA＝90°，∠O+∠DBA＝90°， ∴∠OCA＝∠DBA， 在△BAD和△CAO中， ， ∴△BAD≌△CAO（ASA）， ∴BD＝OC＝12， ∵BE平分∠CBA， ∴∠CBE＝∠OBE， 在△CBE和△OBE中， ， ∴△CBE≌△OBE（ASA）， ∴CE＝OE＝CO＝×12＝6． 故答案为：6． 16．解：∵CA⊥AB于A，DB⊥AB于B， ∴∠A＝∠B＝90°， 设运动x分钟后△CAP与△PQB全等； 则BP＝xm，BQ＝2xm，则AP＝（12﹣x）m， 分两种情况： ①若BP＝AC，则x＝4， AP＝12﹣4＝8，BQ＝8，AP＝BQ， ∴△CAP≌△PBQ； ②若BP＝AP，则12﹣x＝x， 解得：x＝6，BQ＝12（m）≠AC， 此时△CAP与△PQB不全等； 综上所述：运动4分钟后△CAP与△PQB全等； 故答案为：4． 三．解答题 17．（1）解：△ABE≌△ACD；理由如下： ∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形， ∴AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠EAD＝90°， ∴∠BAC+∠EAC＝∠DAE+∠EAC， ∴∠BAE＝∠CAD， 在△ABE和△ACD中，， ∴△ABE≌△ACD（SAS） （2）证明：由（1）得：△ABE≌△ACD， ∴DC＝BE． 18．证明：（1）∵△ABC和△DCE都是等边三角形， ∴∠ACB＝∠DCE＝60°，AC＝BC，DC＝EC， ∴∠BCD＝∠ACE， 在△BCD和△ACE中，， ∴△BCD≌△ACE（SAS）； （2）∵△BCD≌△ACE， ∴∠CDG＝∠CEH， ∵∠DCG＝180°﹣2×60°＝60°， ∴∠DCG＝∠ECH， 在△DCG和△ECH中，， ∴△DCG≌△ECH（ASA）， ∴DG＝EH． 19．（1）证明：∵四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形， ∴AB＝BC，∠ABG＝∠CBE＝90°，BG＝BE， 在△ABG和△CBE中，， ∴△ABG≌△CBE（SAS）； （2）证明：延长EC交AG于M，如图所示： 由（1）得：△ABG≌△CBE， ∴∠G＝∠E， ∵∠E+∠BCE＝90°，∠GCM＝∠BCE， ∴∠G+∠GCM＝90°， ∴∠GMC＝90°， ∴AG⊥EC． 20．解：（1）AE＝CG，AE⊥CG．理由： 如图1，∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形， ∴AD＝CD，ED＝GD，∠ADC＝∠EDG＝90°， ∴∠ADE＝∠CDG， 在△ADE和△CDG中， ， ∴△ADE≌△CDG（SAS）， ∴AE＝CG，∠EAD＝∠GCD， ∵∠AGH＝∠CGD， ∴∠AHG＝∠CDG＝90°， ∴AE⊥CG； （2）AE＝BD，∠APB＝60°， 易证△DCB≌△ECA， ∴AE＝BD，∠AEC＝∠BDC， ∵∠PED+∠PEC＝60°， ∴∠PED+∠BDC＝60°， ∵∠EDC＝60°， ∴∠APB＝60°． 21．（1）解：DE＝CD+CE＝AD+BE． （2）证明：∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠BCE＝90°， ∵AD⊥DN， ∴∠ACD+∠CAD＝90°， ∴∠CAD＝∠BCE，又AC＝BC， ∴△ACD≌△CBE（AAS）， ∴AD＝CE，BE＝CD， DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE． （3）解：DE＝CD﹣CE＝BE﹣AD． 证明：∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠BCE＝90°， ∵AD⊥DN， ∴∠ACD+∠CAD＝90°， ∴∠CAD＝∠BCE， 又AC＝BC， ∴△ACD≌△CBE（AAS）， ∴AD＝CE，BE＝CD， DE＝CD﹣CE＝BE﹣AD． 22．证明：∵CE⊥AB， ∴∠CEB＝90°， ∴∠B+∠BCE＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACE+∠BCE＝90° ∴∠B＝∠ACE， ∵FD∥BC， ∴∠B＝∠ADF， ∴∠ADF＝∠ACE， ∵AF平分∠CAB， ∴∠CAF＝∠DAF， 在△ACF和△ADF中 ， ∴△ACF≌△ADF（AAS）， ∴AC＝AD． 23．解：（1）∵AD∥BC， ∴∠DAB+∠ABC＝180°， 又∵AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC， ∴∠EAB＝∠DAE＝∠BAD，∠ABE＝∠CBE＝∠ABC ∴∠EAB+∠ABE＝90°， ∴∠AEB＝90° ∴AE⊥BE （2）如图，延长AE，BC交于M， ∵∠AEB＝∠BEM＝90°，BE＝BE，∠ABE＝∠CBE ∴△ABE≌△MBE（ASA）， ∴AE＝ME， ∵AD∥BC ∴∠D＝∠ECM，且AE＝EM，∠AED＝∠CEM ∴△ADE≌△MCE（AAS）， ∴CE＝DE． （3）∵AE＝4，BE＝6， ∴S△ABE＝AE×BE＝12， ∵△ADE≌△MCE， ∴S△ADE＝S△MCE， ∴S四ABCD＝S△ABM＝2S△ABE＝24． 24．解：连接BE， 在Rt△BDE和Rt△BCE中， ， ∴Rt△BDE≌Rt△BCE， ∴DE＝EC， ∴AE+DE＝AE+EC＝AC． 25．证明：如图，∵CD⊥AB，BE⊥AC， ∴∠AEB＝∠ADC＝90°， ∴在△AEB与△ADC中，， ∴△AEB≌△ADC（AAS）， ∴AE＝AD． ∴在Rt△ADF与Rt△AEF中，， ∴Rt△ADF≌Rt△AEF（HL）， ∴∠DAF＝∠EAF，即AF平分∠BAC． 26．解：（1）由题意得BC＝10，PB＝2t， ∴PC＝10﹣2t． （2）∵四边形ABCD是长方形， ∴AB＝DC，∠B＝∠C＝90°． 如图1，当PB＝PC时，△ABP≌△DCP， ∴2t＝10﹣2t， 解得t＝； ∴当t＝时，△ABP≌△DCP， （3）①如图2，当BP＝CQ，AB＝PC时，△ABP≌△PCQ ∵AB＝PC＝6， ∴CQ＝BP＝10﹣6＝4， 由2t＝4，得t＝2， ∴2v＝4， 解得v＝2； ②如图3，当BA＝CQ，PB＝PC时，△ABP≌QCP， ∵PB＝PC＝BC＝×10＝5， ∴2t＝5， 解得t＝； ∵CQ＝BA＝6， ∴v＝6， 解得v＝． 综上所述，v＝2或v＝． 学科网（北京）股份有限公司 $$