精品解析：江苏省天一中学2024-2025学年高二上学期10月阶段性测试数学（强化班）试题

江苏省天一中学2024-2025学年第一学期10月阶段性测试 高二数学学科（强化班） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知圆：，将直线：绕原点按顺时针方向旋转后得到直线，则（ ） A. 直线过圆心 B. 直线与圆相交，但不过圆心 C. 直线与圆相切 D. 直线与圆无公共点 【答案】B 【解析】 【分析】首先得到直线的倾斜角，即可得到直线的倾斜角，从而求出直线的方程，再求出圆心到直线的距离，即可判断. 【详解】直线：即，斜率为，倾斜角为， 将直线绕原点顺时针方向旋转得到直线，则直线的倾斜角为， 所以直线的方程为，即， 圆：的圆心坐标为，半径， 圆心到直线的距离， 直线与圆相交但不过圆心. 故选：B. 2. 圆的圆心到直线的距离为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式求解. 【详解】圆的圆心到直线的距离 . 故选：A 3. 已知椭圆的离心率为，左，右焦点分别为，过的直线交于，两点．若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】设，由离心率得到，再由垂直关系利用勾股定理求出，再由求出，即可得解. 【详解】设，， 因为椭圆的离心率，则， 由，则， 即，解得，则，， 又，则， 即， 解得，所以. 故选：B 4. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于点A，B两点，若面积是的2倍，则（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据面积公式结合定义计算求解得出或，再联立方程结合判别式计算求解. 【详解】设直线与x轴的交点为M，则． 所以，． 因为，所以． 由得，即，，． 所以，解得或． 因为与C有两个交点，联立消y得， 则，解得．所以 故选：C. 5. 已知双曲线的左右焦点分别为，，点在双曲线的渐近线上，且点在第一象限，线段的中点在的左支上，，则双曲线的离心率为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】设出点的坐标，求出点的坐标，由已知建立方程组即可求得离心率. 【详解】双曲线的左焦点，渐近线， 依题意，点在直线上，设，则， 由点在的左支上，得，整理得， 由，得，整理得， 消去得，解得，所以双曲线的离心率. 故选：C 6. 已知公比不为1的等比数列的前项和为，若，则（ ） A. 9 B. 36 C. 72 D. 84 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列通项公式和前项和公式求解，即可得解. 【详解】设的公比为， 因为， 解得或（舍去）， 所以． 故选：B 7. 已知等差数列的各项都不相等，它的前3项和为18，且成等比数列，则（ ） A. 1 B. 3 C. 6 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的性质以及等比数列定义计算可得结果. 【详解】设等差数列的公差为,显然， 所以可得，即， 解得，或(舍)， 因此. 故选：D. 8. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的递推公式，变形计算判断AB；裂项，结合累加法求通推理判断CD. 【详解】对于A，由，得，，则，A错误； 对于B，由，得，当时，，B错误； 对于CD，由，得，则， 即，则当时，， ，因此，，， ，而，C正确，D错误. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分. 9. 已知圆的半径为2，则下列说法正确的是（ ） A. B. 点在圆的内部 C. 圆与圆C外切 D. 当直线平分圆C的周长时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据圆的半径为，求得的值，可判定A正确；根据点与圆的位置关系的判定方法，可判定B不正确；根据圆圆的位置关系的判定方法，可判定C正确；根据平分圆C的周长时，得到圆心在直线上，求得的值，可判定D正确. 【详解】对于A中，由圆的半径为， 可得，解得，即，所以A正确； 对于B中，由，可得点在圆外，所以B不正确； 对于C中，由圆，可得圆心，半径为， 又由圆的圆心，半径为， 可得， 即两圆的圆心距等于半径之和，所以两圆相外切，所以C正确； 对于D中，当直线平分圆C的周长时，圆心在直线上， 可得，解得，所以D正确． 故选：ACD. 10. 已知，是双曲线的左、右焦点，过作C的一条渐近线的垂线l，垂足为H且l与双曲线右支相交于点P，若且．则下列说法正确的是（ ）． A. 双曲线的实轴长为4 B. 双曲线的离心率为 C. 四边形的面积为15 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意作图，利用双曲线性质和给定条件，解出，利用三角形边角关系解出；从而依次对各选项内容进行计算和判断，选项A，B，根据双曲线性质，实轴长为，离心率；选项C:根据面积等于的面积减去的面积计算；选项D：根据三角形边角关系得出，且共线且方向相同，得出. 【详解】 已知H是过作C的一条渐近线的垂线l的垂足，其渐近线方程为：，， 根据点到直线距离公式，，. 过点向做垂线，垂足为Q，因为，所以， 又O为中点且，则. 由，可得，， 在中，，解得， 又 所以：实轴长，故A对；离心率，故B错； 的面积， ， 所以，故C对. 中，，，为中点， 为中点，即， 又，， ，又共线且方向相同，，故D对. 故选：ACD. 11. 设抛物线的焦点为，过的直线交于、，过且垂直于的直线交于，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，则正确的结论是（ ） A. B. C. 存在直线，使得 D. 对任意直线， 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，设出直线方程，联立结合韦达定理证明；对于B，利用三角形相似证得，进而得以判断；对于C，利用利用三角形相似证得，，判断C，对于D，联立直线方程和抛物线方程，分别表示即可证明. 【详解】 对于A，当直线的斜率不存在时，为中点，满足； 当直线的斜率存在时，设直线方程为，， 联立，消去，得， ，则， 因为，， 所以， 过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为， 所以， 过垂直于的直线方程为 当时，代入，， 所以， 所以， 因为， 所以，故A正确； 对于B，由题意可知，则， 又，，所以， 所以，同理， 又， 所以，即， 显然为的斜边，则，故B错误； 对于C，在与中，， 所以，则，即， 同理， 当直线的斜率不存在时，，； 所以，即； 所以存在直线，使得，故C正确； 对于D，，，所以， 所以， 因为，，所以，因为，所以， ，所以， 同理， 令，则，因为，则，所以， 所以， 所以，其中， 所以， 其中 ， 同理， 所以，故D正确， 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列和都是等差数列，且前项和分别为，，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由题可设，，然后表示出即可求解. 【详解】数列、为等差数列，且 ， 可设，， 则， 所以. 故答案为：. 13. 已知圆，直线，若直线与轴交于点，过直线上一点作圆的切线，切点为，且，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，得再由，得到点在圆上，又点在直线上，求解的范围. 【详解】设，则 ，整理得，， 即点在圆上， 又点在直线上， 故直线与圆有交点， 即，则，解得. 故答案为：. 14. 已知在处有极大值，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】求导得，对分类讨论得对应的单调性、极大值情况即可求解. 【详解】由题意， 已知在处有极大值， 所以是的变号零点， 显然， 若，则， ，， 所以此时在单调递增，在单调递减， 即此时在处有极大值，故满足题意， 当时，或，， 所以此时在上单调递增，在上单调递减， 即此时在处有极大值，故满足题意， 当时， （i）当时，，或， 此时在上单调递减，在上单调递增， 即此时在处有极大值，故满足题意， （ii）当时，，等号成立当且仅当， 此时在上单调递减， 即此时在处无极大值，故不满足题意， （iii）当时，，或， 此时在上单调递减，在上单调递增， 即此时在处有极小值，故不满足题意， 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）若，求的单调区间和极值. （2）若，关于的不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）在单调递减，在单调递增，极小值为，无极大值 （2） 【解析】 【分析】（1）求导，即可根据导数的正负确定函数单调性，进而可得单调性和极值， （2）对讨论，结合函数的单调性，即可求解. 【小问1详解】 函数的定义域为， 因为，所以，. 令，得，令，得； 所以在单调递减，在单调递增. 因此在处取得极小值. 综上，在单调递减，在单调递增，极小值为，无极大值. 【小问2详解】 . 因为，令，得，令，得； 所以在单调递减，在单调递增. 所以，所以，即. ①当时，，恒成立，不符合题意； ②当时，设，则，所以在单调递减， 又因为，所以等价于，所以； 综上，的取值范围是. 16. 已知数列为等差数列，，，数列的前n项和为，且满足． （1）求和的通项公式； （2）若，求数列{}的前n项和为． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列中，设公差为，由已知可求得等差数列的通项公式，利用及，可得公比和首项，进而可得数列的通项； （2）利用，利用错位相减法及等比数列的求和公式即得结论. 【小问1详解】 等差数列中，设公差为， 则 由得：时， 时， 为公比为2的等比数列， 【小问2详解】 数列中，． 则 所以 故 所以 17. 已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）过点作圆的切线，求切线方程； （3）求直线上被圆所截得的弦长. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）设圆心，通过半径求得，进而可求解； （2）通过讨论斜率存在与不存在，由圆心到直线距离等于半径，列出等式求解即可； （3）由弦长公式即可求解. 【小问1详解】 由题意设圆心， 因为， 即， 解得，即， 半径， 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 当切线的斜率不存在时，则切线方程为， 此时圆心到直线的距离为，符合条件； 当切线的斜率存在时，设过的切线的方程为， 即， 则圆心到切线的距离， 解得， 此时切线的方程为：， 即， 综上所述：过的切线方程为或. 【小问3详解】 圆心到直线的距离为， 所以弦长. 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，平面平面，底面为直角梯形，，，与相交于点，点满足，且. （1）求证：平面； （2）求的长度； （3）若点到平面的距离为，求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：因为底面为直角梯形，且，所以，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 过点可以作于点， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 又，，平面， 所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先利用面面垂直的性质得到线面垂直进而得到线线垂直，再根据线面垂直的判定定理即可得证； （2）通过证明平面，得到，进而得到，通过比例结合即可求得； （3）以为坐标原点，，，方向分别为轴，轴，轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，先分别求得及平面的法向量，再由求线面角正弦的方法计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知平面，平面，所以， 在梯形中，由∥,得， 所以， 所以∥， 所以， 又因为，，平面， 所以平面， 又平面，所以， 所以， 可得， 又因为，所以，即. 【小问3详解】 以为坐标原点，，，方向分别为轴，轴，轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，设， ，，，，， 设平面的法向量为，则，即， 令，则， 点到平面的距离为，解得， 设平面的法向量为， 则，即，令，则， 设与平面所成角为， 则，即与平面所成角的正弦值为. 19. 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，过点且垂直于x轴的直线被椭圆W所截得的线段长为. （1）求椭圆W的方程； （2）直线与椭圆W交于A，B两点，连接，交椭圆W于点C，若的面积为5，求直线AC的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的离心率公式、过焦点垂直于轴的弦长公式以及椭圆中的关系求解椭圆方程. （2）先设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理求出弦长，再根据三角形面积公式求出直线方程. 【小问1详解】 解：由题意得过点且垂直于x轴的直线方程为，代入椭圆，得， 又该直线所截得的线段长为，即， 椭圆的离心率， 又，故可列方程组为 ，解得，， 故椭圆W的方程为. 【小问2详解】 由题意知，直线AC不垂直于y轴，直线AC经过， 设直线AC的方程为，，， 联立，消去x并整理得， 由韦达定理得，，， . 点（坐标原点）到直线AC的距离， 且是线段AB的中点，所以点B到直线AC的距离为2d， 所以. 由，令，则，上式变为，解得或， 即或（舍去），， 故直线AC的方程为，即或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省天一中学2024-2025学年第一学期10月阶段性测试 高二数学学科（强化班） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知圆：，将直线：绕原点按顺时针方向旋转后得到直线，则（ ） A. 直线过圆心 B. 直线与圆相交，但不过圆心 C. 直线与圆相切 D. 直线与圆无公共点 2. 圆的圆心到直线的距离为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 3. 已知椭圆的离心率为，左，右焦点分别为，过的直线交于，两点．若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于点A，B两点，若面积是的2倍，则（ ） A. B. 或 C. D. 5. 已知双曲线的左右焦点分别为，，点在双曲线的渐近线上，且点在第一象限，线段的中点在的左支上，，则双曲线的离心率为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6. 已知公比不为1的等比数列的前项和为，若，则（ ） A. 9 B. 36 C. 72 D. 84 7. 已知等差数列的各项都不相等，它的前3项和为18，且成等比数列，则（ ） A. 1 B. 3 C. 6 D. 9 8. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分. 9. 已知圆的半径为2，则下列说法正确的是（ ） A. B. 点在圆的内部 C. 圆与圆C外切 D. 当直线平分圆C的周长时， 10. 已知，是双曲线的左、右焦点，过作C的一条渐近线的垂线l，垂足为H且l与双曲线右支相交于点P，若且．则下列说法正确的是（ ）． A. 双曲线的实轴长为4 B. 双曲线的离心率为 C. 四边形的面积为15 D. 11. 设抛物线的焦点为，过的直线交于、，过且垂直于的直线交于，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，则正确的结论是（ ） A. B. C. 存在直线，使得 D. 对任意直线， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列和都是等差数列，且前项和分别为，，若，则______． 13. 已知圆，直线，若直线与轴交于点，过直线上一点作圆的切线，切点为，且，则的取值范围是__________. 14. 已知在处有极大值，则实数的取值范围是_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）若，求的单调区间和极值. （2）若，关于的不等式恒成立，求的取值范围. 16. 已知数列为等差数列，，，数列的前n项和为，且满足． （1）求和的通项公式； （2）若，求数列{}的前n项和为． 17. 已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）过点作圆的切线，求切线方程； （3）求直线上被圆所截得的弦长. 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，平面平面，底面为直角梯形，，，与相交于点，点满足，且. （1）求证：平面； （2）求的长度； （3）若点到平面的距离为，求与平面所成角的正弦值. 19. 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，过点且垂直于x轴的直线被椭圆W所截得的线段长为. （1）求椭圆W的方程； （2）直线与椭圆W交于A，B两点，连接，交椭圆W于点C，若的面积为5，求直线AC的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $