精品解析： 广东省中山市东凤东海学校2024-2025学年八年级下学期数学3月月考试题

2024-2025学年广东中山东凤东海学校八年级下学期数学3月月考 一、单选题 1. 下列式子中，是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 4，5，6 4. 下列二次根式中属于最简二次根式的是（    ） A. B. C. D. 5. 如图，一棵大树被风吹断后，树尖落在距树脚8米远，大树折断处离地面6米，则大树高（ ） A. 6米 B. 10米 C. 16米 D. 18米 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 实数在数轴上的位置如图所示，则（ ） A. B. C. D. 3 8. 王老师在讲“实数”时画了一个图（如图），即“以数轴的单位长度的线段为边作一个正方形，然后以表示－1的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧交数轴于点A”.则数轴上点A所表示的数是（ ） A. －1 B. －＋1 C. D. － 9. 将一根的筷子置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，如图，设筷子露在杯子外面的长度为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，，点 在边上，且 点 是对角线上的一个动点，的最小值是（ ） A. 8 B. C. 9 D. 10 二、填空题 11. 计算：______． 12. 与最简二次根式是同类二次根式，则_______． 13. 比较大小________（填“>”“<”或“=”）； 14. 菱形的周长为，一条对角线长为，则另一条对角线的长为________． 15. 如图，已知是腰长为1的等腰直角三角形，以的斜边为直角边，画第二个等腰，再以的斜边为直角边，画第三个等腰，…，依此类推，则第2024个等腰直角三角形的斜边长是______． 三、解答题 16. 计算： （1） （2） 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 已知a，b分别为等腰三角形的两条边长，且a，b满足b＝4＋＋3，求此三角形的周长． 19. 如图，在每个小正方形边长为1的网格图中，根据下列条件画出图形． （1）在图1中，画一个以格点为顶点，三条边长分别为，，的三角形； （2）在图2中，画一个以格点为顶点，面积为5的正方形． 20. 如图，在四边形中，已知，，，，． （1）求证：是直角三角形； （2）求四边形的面积． 21. 如图，在中，，，是的垂直平分线，交于点D，交于点E，于点F． （1）若，求的长； （2）若，求证：为直角三角形． 22. 观察下列等式： ①；②； ③；… 回答下列问题： （1）化简：______； （2）化简：______；（为正整数） （3）利用上面所揭示的规律计算： ． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（5，0），点B在第一象限内，且AB＝4，OB＝3． （1）试判断△AOB的形状，并说明理由． （2）点P是线段OA上一点，且PB－PA＝1，求点P的坐标； （3）如图2，点C、点D分别为线段OB、BA上的动点，且OC＝BD，求AC＋OD的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年广东中山东凤东海学校八年级下学期数学3月月考 一、单选题 1. 下列式子中，是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的定义，我们把形如的式子叫做二次根式，因此必须同时满足被开方数为非负数、根指数为2即可判断． 【详解】根据二次根式的定义：形如的式子， A. 的被开方数，故不是二次根式， B.　是立方根，故不是二次根式， C. 被开方数，故是二次根式， D. 的被开方数，故不是二次根式， 故选：C． 【点睛】本题考查二次根式的定义，我们把形如的式子叫做二次根式，解题时除了注意被开方数是否为非负数，还需注意根指数是否为2，根指数是2时我们一般省略不写． 2. 如果有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，可得不等式，根据解不等式，可得答案． 【详解】由有意义得: ， 解得：． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，二次根式的被开方数是非负数．分式的分母不能等于0． 3. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 4，5，6 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形三边关系定理和勾股定理的逆定理，逐个判断选项即可，若三角形三边满足两短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形． 【详解】解A、，不符合三角形三边关系，不能构成三角形， 故A不符合题意； B、，可以构成三角形，但，，，不能构成直角三角形，故B不符合题意； C、，可以构成三角形，又，满足勾股定理的逆定理，可以构成直角三角形，故C符合题意； D、，可以构成三角形，但，，，不能构成直角三角形，故D不符合题意． 4. 下列二次根式中属于最简二次根式的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的识别，解题关键是掌握二次根式满足的条件：①被开方数的因数是整数，字母因式是整式；②被开方数不能含开得尽方的因数或因式．据此逐一判断，即可得到答案． 【详解】A、，即不是最简二次根式，不符合题意； B、，即不是最简二次根式，不符合题意； C、，即不是最简二次根式，不符合题意； D、是最简二次根式，符合题意； 故选：D． 5. 如图，一棵大树被风吹断后，树尖落在距树脚8米远，大树折断处离地面6米，则大树高（ ） A. 6米 B. 10米 C. 16米 D. 18米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，根据勾股定理求得长即可． 【详解】解： 如图，根据题意，得米，米，， 则， ∴米， ∴大树高（米）， 故选：C． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的加法，减法，乘法，除法，以及同类二次根式等知识点，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 根据二次根式的性质依次计算验证即可． 【详解】解：A. ，故选项不符合题意； B. 和不是同类二次根式，不能合并，故选项不符合题意； C. ，故选项符合题意； D. ，故选项不符合题意； 故选：． 7. 实数在数轴上的位置如图所示，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】由数轴可知，则，，然后进行化简代数式，即可得到答案． 【详解】解：由图可知，， ∴，， ∴； 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，实数与数轴，熟练利用二次根式的性质，绝对值的意义进行化简是解题关键． 8. 王老师在讲“实数”时画了一个图（如图），即“以数轴的单位长度的线段为边作一个正方形，然后以表示－1的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧交数轴于点A”.则数轴上点A所表示的数是（ ） A. －1 B. －＋1 C. D. － 【答案】A 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出正方形的对角线长，再根据两点间的距离公式为：两点间的距离=较大的数-较小的数，便可求出-1和A之间的距离，进而可求出点A表示的数． 【详解】数轴上正方形的对角线长为：，由图中可知-1和A之间的距离为． ∴点A表示的数是-1． 故选A． 【点睛】本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式，本题需注意：知道数轴上两点间的距离，求较小的数，就用较大的数减去两点间的距离． 9. 将一根的筷子置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，如图，设筷子露在杯子外面的长度为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的运用，根据题意，分类讨论，当筷子直立在水杯中时，；当筷子斜放在水杯中，如图所示，运用勾股定理可得；由此即可求解． 【详解】解：根据题意，当筷子直立在水杯中时，； 当筷子斜放在水杯中，如图所示，，且 ∴， ∴筷子露在外面的部分的长度为， ∴的取值范围为：， 故选：B ． 10. 如图，在正方形中，，点 在边上，且 点 是对角线上的一个动点，的最小值是（ ） A. 8 B. C. 9 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，正方形的性质，勾股定理等知识，连接，交于，连接，当点在处时，最小，最小值是的长，进一步得出结果． 【详解】解：如图， 连接，交于，连接， 当点在处时，最小，最小值是的长， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 的最小值为10， 故选：D． 二、填空题 11. 计算：______． 【答案】2 【解析】 【详解】解：． 12. 与最简二次根式是同类二次根式，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】先将化为最简二次根式，再依据同类二次根式的定义（被开方数相同）建立等式，求解的值．本题主要考查了同类二次根式的定义以及二次根式的化简，熟练掌握同类二次根式的概念（被开方数相同的最简二次根式）是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 13. 比较大小________（填“>”“<”或“=”）； 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的大小比较．利用平方，将无理数的大小转化为有理数的大小比较即可． 【详解】解：∵，，， ∴． 故答案为：． 14. 菱形的周长为，一条对角线长为，则另一条对角线的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的性质，先求菱形的边长，利用勾股定理求另一条对角线的长度． 【详解】解：如图，菱形中，， ∴，， ∵菱形的周长为， ∴， ∴， ∴． 则这个菱形的另一条对角线长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形对角线互相垂直平分、菱形各边长相等的性质，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，本题中根据勾股定理求的值，是解题的关键． 15. 如图，已知是腰长为1的等腰直角三角形，以的斜边为直角边，画第二个等腰，再以的斜边为直角边，画第三个等腰，…，依此类推，则第2024个等腰直角三角形的斜边长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了图形的变化规律．根据勾股定理依次求出斜边、、的长，得出规律即可． 【详解】解：是腰长为1的等腰直角三角形， ， 在第二个中，由勾股定理得：， 在第三个中，由勾股定理得：， 依此类推，第2024个等腰直角三角形的斜边长为， 故答案为：． 三、解答题 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先将二次根式化简，再合并同类二次根式即可； （2）化简二次根式，再根据负整数指数幂，去绝对值，零指数幂的运算法则计算各项，最后进行加减运算． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，二次根式的加减运算，负整数指数幂，去绝对值，零指数幂，熟练掌握运算法则及运算顺序是解题的关键． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查了分式的化简求值和二次根式的混合运算．先计算括号内的分式加法，再计算分式的加法得到化简结果，再把字母的值代入计算即可． 【详解】解： ， ， ， 当时， 原式 18. 已知a，b分别为等腰三角形的两条边长，且a，b满足b＝4＋＋3，求此三角形的周长． 【答案】10 【解析】 【分析】首先由b＝4＋结合二次根式的被开方数是非负数列出不等式组求得a的值，进一步求得b的值，再分a为腰和b为腰两种情况讨论计算即可． 【详解】解：∵b＝4＋， ∴ ，解得：a=2， ∴b=4， （1）当边长为4，2，2时，不符合实际情况，舍去； （2）当边长为4，4，2时，符合实际情况， ∴ 4×2＋2＝10， ∴此三角形的周长为10． 【点睛】本题主要考查了二次根式的非负性，等腰三角形的定义，熟练掌握二次根式的非负性，等腰三角形的定义是解题的关键． 19. 如图，在每个小正方形边长为1的网格图中，根据下列条件画出图形． （1）在图1中，画一个以格点为顶点，三条边长分别为，，的三角形； （2）在图2中，画一个以格点为顶点，面积为5的正方形． 【答案】（1） 解：如图1，即为求作的三角形， 其中AB，BC，AC； （2） 解：如图2，正方形DEFG即为所求， 其中边长为，面积为：． 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理，结合网格特点作图即可； （2）根据勾股定理，结合网格特点作边长为的正方形即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】此题主要考查了勾股定理，应用与作图设计，关键要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，然后作图． 20. 如图，在四边形中，已知，，，，． （1）求证：是直角三角形； （2）求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：在中，，，， ， 在中，，， ，即， ，即是直角三角形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，含角直角三角形的特征，勾股定理的逆定理，三角形的面积，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据直角三角形的性质得到，根据跟勾股定理的逆定理即可得到结论； （2）根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在中，，，，， ， 的面积为：， 又的面积为：， 四边形的面积为：． 21. 如图，在中，，，是的垂直平分线，交于点D，交于点E，于点F． （1）若，求的长； （2）若，求证：为直角三角形． 【答案】（1） （2） 证明：∵是的垂直平分线， ∴设，则，， ∵， ∴， ∴， ， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴为直角三角形． 【解析】 【分析】（1）连接，根据是的垂直平分线，求出，设，则，根据勾股定理得出，即，求出x的值； （2）设，则，，根据勾股定理得出，取出，得出，根据，得出为直角三角形． 【小问1详解】 解：连接，如图所示： ∵是的垂直平分线， ∴， 设，则， 在中， 即， 解得：， ∴． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了勾股定理的应用、线段垂直平分线的性质以及直角三角形的等面积法，熟知相关知识是解决本题的关键． 22. 观察下列等式： ①；②； ③；… 回答下列问题： （1）化简：______； （2）化简：______；（为正整数） （3）利用上面所揭示的规律计算： ． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题为二次根式规律题，考查了二次根式化简与二次根式的混合计算、分母有理化运算等知识． （1）类比提供的式子，分子分母同乘以，再进行计算即可求解； （2）类比提供的式子，分子分母同乘以，再进行计算即可求解； （3）利用（1）、（2）的结论，将各式进行化简，再进行加减计算即可求解． 【小问1详解】 解：； 故答案为：； 【小问2详解】 解：； 故答案为：； 【小问3详解】 解： ． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（5，0），点B在第一象限内，且AB＝4，OB＝3． （1）试判断△AOB的形状，并说明理由． （2）点P是线段OA上一点，且PB－PA＝1，求点P的坐标； （3）如图2，点C、点D分别为线段OB、BA上的动点，且OC＝BD，求AC＋OD的最小值． 【答案】（1）△AOB是直角三角形，证明见解析 （2）P (，0) （3） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理求解即可； （2）作BD⊥OA于D，设PA=x，则BP=x+1，利用面解法求出BE的长，在Rt△BEP中利用勾股定理求出x的值即可求解； （3）过点O作以OB为腰，∠BOH=90°的等腰直角三角形，利用SAS证明△HOC≌△OBD，得OD=HC，则当A、C、H三点共线时，AC+CH最小，即AC+OD有最小值为AH的长． 【小问1详解】 解：△AOB是以B为直角顶点的直角三角形，理由如下： ∵A（5，0）， ∴OA=5， ∴AB2+OB2=42+32=25=52=OA2， ∴△AOB是以OA为斜边的直角三角形； 【小问2详解】 解：如图，作BE⊥OA于E，设PA=x，则BP=x+1， ∵S△AOB＝BO•AB＝OA•BE， ∴， ∴OE=， ∴PE=5--x=-x， 在Rt△BEP中， (x+1)2=(-x)2+()2， 解得x= ∴OP=5-=， ∴P(，0)； 【小问3详解】 解：如图，过点O作以OB为腰，∠BOH=90°的等腰直角三角形， ∴HO=BO，∠HOC=∠OBD=90°， 又∵OC=DB， 在△HOC和△OBD中 ， ∴△HOC≌△OBD（SAS）， ∴OD=HC， ∴AC+OD=AC+HC， ∴要使AC+OD最小，则AC+CH最小， ∴当A、C、H三点共线时，AC+CH最小，即AC+OD有最小值为AH的长， 分别过点B，H作BE⊥x轴于E，HF⊥x轴于F，则OB=OH=3， ∵S△AOB＝BO•AB＝OA•BE， ∴， ∴， ∵∠HFO=∠HDB=∠OEB=90°， ∴∠HOF+∠OHF=90°，∠HOF+∠BOE=90°， ∴∠OHF=∠BOE， 在△OHF与△BOE中， ， ∴△OHF≌△BOE（AAS）， ∴OF=BE=，HF=OE=， ∵H在第二象限， ∴H（-，）； ∴， 即AC+OD有最小值为． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $