精品解析：广东省顺德区拔萃实验中学2024-2025学年七年级下学期数学第二次阶段性训练试卷

2024-2025学年七年级下学期第二次阶段性训练（数学） （全卷满分120分，时间120分钟） 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 花粉直径约为，数据0.0000084用科学记数法表示为（   ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 现有长度分别为和的两根小木棒，下列长度的小木棒不能与它们搭成三角形（三根小木棒首尾顺次相接）的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知四边形，点在的延长线上，连接、，下列说法中正确的是（ ） A. 和是同旁内角 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 如图，，若，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 临潼石榴集中国石榴之优，位居中国五大名榴之冠，被列为果中珍品．某研究院跟踪调查了一批石榴树的移栽成活情况，得到如图所示的统计图，由此可估计这批石榴树移栽成活的概率约为（ ） A. B. C. D. 8. 图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其几何示意图，其中，都与地面平行，，，若，则等于（ ） A. B. C. D. 9. 工人师傅经常利用角尺平分一个任意角，如图所示，是一个任意角，在边，上分别取（，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与，重合，这时过角尺顶点的射线就是的平分线．你认为工人师傅在此过程中用到的三角形全等的判定方法是这种作法的道理是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，，为上一点，，过点作于点，且平分，．下列结论符合题意结论的是（ ） A. B. C. 平分 D. 平分 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 若，则的补角的度数是________． 12. 已知，则的值是______． 13. 如图，在中，，，是的角平分线，点在上，且，则_______． 14. 一个零件的形状如图所示，按规定应等于，，应分别是和．李叔叔量得，他断定这个零件 _______（填“合格”或“不合格”）． 15. 如图，已知，，的面积为12，点P为边所在直线上的一个动点，连接，则点的最小值是______． 三、解答题 16. 先化简，再代入求值：，其中，． 17. 如图，是的中线，，分别是和延长线上的点，且．求证：． 18. 某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘．并规定：顾客每购买100元的商品， 就能获得一次转转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色或绿色区域，那么顾客就可以分别获得100元、50元、20元购物券（转盘被等分成20个扇形），甲顾客购物120元，他获得购物券的概率是多少？ 19. 如图，的顶点都在方格纸的格点上，按要求在方格纸中画图． （1）在图①中画出中边上的高线； （2）在图②中画出一个与全等的． 20. 如图1，小刚站在河边的点A处，在河对岸（小刚的正北方向）的B处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了20步到达一棵树C处，接着再向前走了20步到达D处，然后再左转直行，当小刚看到电线塔B、树C与自己现处的位置E在一条直线时，从点A出发开始他共走了110步． （1）若小刚走一步的长度约为米，请直接写出A，B两点间的距离为 米； （2）如图2，小华在点A所在河岸同侧的平地上取点C，D，使得点A，B，C在同一条直线上，且，测得，，在的延长线上取点E，使得，测得的长为42米．小华认为A，B两点之间的距离为42米．你认为小华的做法正确吗？若正确，请给出证明；若不正确，请给出合理的解释． 21. （1）如图1，已知三角形ABC，尺规作图：过点A作； （2）如图2，在中，点E在上，点F在上，点D，G在上，，且． ①猜想与的位置关系并证明； ②若，平分，求的度数． 22. “杨辉三角”揭示了（n为非负数）展开式的各项系数的规律．在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年，请仔细观察“杨辉三角”中每个数字与上一行的左右两个数字之和的关系： 根据上述规律，完成下列各题： （1）将展开后，各项的系数和为 ． （2）将展开后，各项的系数和为 ． （3） ． 类比运用：如图是世界上著名的“莱布尼茨三角形”，类比“杨辉三角”，根据你发现的规律，回答下列问题： （4）若表示第m行，从左到右数第n个数， 如表示第四行第二个数是，则表示的数是 ，表示的数是 ． 23. 同学们学习了全等三角形，知道其重要应用是通过全等三角形证明角相等或边相等，进而求角度或边长．有些题目不能直接得全等三角形时，需要根据条件购造全等三角形，当遇到等腰直角三角形时我们可以利用两条相等的腰及顶角90°，来构造全等的两个直角三角形，从而解决问题． （1）发现，如图1，已知等腰直角△ABC，点P是边AB上一点，过点A作CP的垂线交CP延长线于点E，过点B作CP的垂线，垂足为点F，若BF＝7，AE＝3，则EF＝　 　； （2）探索：如图2，已知等腰直角△ABC，点E是内部一点，且CE＝4，AE垂直CE，连接BE，求△BCE的面积； （3）应用：如图3，已知钝角三角形ABC（∠ACB＞90°），∠A＝45°，以BC为边在直线BC与点A同侧的位置作等腰直角△BCD，过点D作DE垂直AB，垂足为点E，则线段AE与线段BE有怎样的数量关系呢？并请说明由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年七年级下学期第二次阶段性训练（数学） （全卷满分120分，时间120分钟） 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 花粉直径约为，数据0.0000084用科学记数法表示为（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法表示较小的数，科学记数法的表现形式为，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于1时，n是正数，当原数绝对值小于1时，n是负数，由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选：C． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算，单项式除以单项式以及合并同类项，掌握运算法则，正确计算是解题的关键． 分别根据合并同类项法则，同底数幂的乘法，幂的、积的乘方运算法则以及单项式除以单项式运算法则依次判断即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故不符合题意； B、，原写法错误，故不符合题意； C、，原写法错误，故不符合题意； D、，原写法正确，故符合题意； 故选：D． 3. 现有长度分别为和的两根小木棒，下列长度的小木棒不能与它们搭成三角形（三根小木棒首尾顺次相接）的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边． 设第三根木棒的长为，再根据三角形的三边关系得出l取值范围即可． 【详解】解：设第三根木棒的长为，则，即．观察选项，只有选项D符合题意． 故选：D． 4. 下列各式能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平方差公式的特征对各选项进行逐一分析即可．本题考查的是平方差公式，熟知两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差是解答此题的关键． 【详解】解：A、不能用平方差公式计算，不符合题意； B、原式可化为，不能用平方差公式计算，不符合题意； C、原式可化为，能用平方差公式计算，符合题意； D、原式可化为，不能用平方差公式计算，不符合题意；． 故选：C． 5. 如图，已知四边形，点在的延长线上，连接、，下列说法中正确的是（ ） A. 和是同旁内角 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了同旁内角的定义、平行线的判定定理等知识点，灵活运用平行线的判定定理成为解题的关键． 根据同旁内角的定义可判断A选项，根据平行线的判断定理可判断B、C、D选项． 【详解】解：A、和不是同旁内角，故该选项说法错误，不符合题意； B、若，则，故该选项说法错误，不符合题意； C、若，则，故该选项说法正确，符合题意； D、若，则，故该选项说法错误，不符合题意． 故选：C． 6. 如图，，若，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的性质．由全等三角形的性质易得，进一步计算可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 7. 临潼石榴集中国石榴之优，位居中国五大名榴之冠，被列为果中珍品．某研究院跟踪调查了一批石榴树的移栽成活情况，得到如图所示的统计图，由此可估计这批石榴树移栽成活的概率约为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由频率估计概率，由图可得，这批石榴树移栽成活的频率稳定在，由此即可得解． 【详解】解：由图可得，这批石榴树移栽成活的频率稳定在， 故这批石榴树移栽成活的概率约为， 故选：B ． 8. 图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其几何示意图，其中，都与地面平行，，，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行公理推论、平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．先根据平行公理推论可得，再根据平行线的性质可得，从而可得，然后根据平行线的性质求解即可得． 【详解】解：∵，都与地面平行， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 9. 工人师傅经常利用角尺平分一个任意角，如图所示，是一个任意角，在边，上分别取（，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与，重合，这时过角尺顶点的射线就是的平分线．你认为工人师傅在此过程中用到的三角形全等的判定方法是这种作法的道理是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质．熟练掌握确定三角形的判定方法是解题的关键． 由三边对应相等得，即由判定两个三角形全等．做题时要根据已知条件结合判定方法逐个验证． 【详解】解：依题意知， 在与中， ， ， ， 即即是的平分线． 故选：D． 10. 如图，，为上一点，，过点作于点，且平分，．下列结论符合题意结论的是（ ） A. B. C. 平分 D. 平分 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义、一元一次方程的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据平行线的性质和垂直的定义得到，，，设，表示出和，利用平角的定义列出方程解出，可判断B选项；由可判断A选项；根据角平分线的定义，结合题意可判断C和D选项，即可得出结论． 【详解】解：， ， ， ， ， ，， 设，则，， ， ， 解得：，即，故B符合题意； ， ，故A不符合题意； ， 若需证明平分，则需证，而由题目条件无法证明，故C不符合题意； ， 若需证明平分，则需证，而由题目条件无法证明，故D不符合题意； 故选：B． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 若，则的补角的度数是________． 【答案】## 度 【解析】 【分析】本题考查了补角的定义：如果两个角的和是，那么这两个角互为补角，理解补角的定义是解题的关键．根据补角的定义即可解答． 【详解】解：∵， ∴的补角的度数是：， 故答案为：. 12. 已知，则的值是______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查的是幂的乘方运算的逆运算，同底数幂的乘法运算，由条件可得，把化为，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ． 故答案为：8 13. 如图，在中，，，是的角平分线，点在上，且，则_______． 【答案】22° 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理求出∠ACB，由角平分线的定义得出∠DCB，根据两直线平行，内错角相等求出∠EDC． 【详解】∵∠A＝62°，∠B＝74°， ∴∠ACB＝， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠DCB＝22°， ∵DE∥BC， ∴∠EDC＝∠DCB＝22°， 故答案为：22°． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握三角形内角和为180°与平行线的性质是解题的关键． 14. 一个零件的形状如图所示，按规定应等于，，应分别是和．李叔叔量得，他断定这个零件 _______（填“合格”或“不合格”）． 【答案】不合格 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角性质，牢记“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解题的关键． 连接，延长到点M，由是的外角，是的外角，利用三角形的外角性质，可得出，，将其相加后，可得出，结合李叔叔量得，即可得出这个零件不合格． 【详解】解：连接，延长，如图所示． ∵是的外角，是的外角， ∴，， ∴ ． 又∵李叔叔量得， ∴他断定这个零件不合格． 故答案为：不合格． 15. 如图，已知，，的面积为12，点P为边所在直线上的一个动点，连接，则点的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂线段最短，根据点P为边所在直线上的一个动点，当时，则点取最小值，运用三角形的面积公式列式计算，即可作答． 【详解】解：∵点P为边所在直线上的一个动点， ∴当时，则点取最小值， ∵，的面积为12， 此时， 解得， 故答案为：． 三、解答题 16. 先化简，再代入求值：，其中，． 【答案】，10 【解析】 【分析】此题考查整式的化简求值，先计算整式的混合运算，再将字母的值代入求出结果即可，熟练掌握整式混合运算法则是解题的关键 【详解】解： 当，时， 原式． 17. 如图，是的中线，，分别是和延长线上的点，且．求证：． 【答案】 证明：∵是的中线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． ∴． 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定、平行线的性质、三角形的中线，熟练掌握三角形全等的判定是解题关键． 先根据三角形的中线可得，再根据平行线的性质可得，可证，即得． 【详解】略 18. 某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘．并规定：顾客每购买100元的商品， 就能获得一次转转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色或绿色区域，那么顾客就可以分别获得100元、50元、20元购物券（转盘被等分成20个扇形），甲顾客购物120元，他获得购物券的概率是多少？ 【答案】 【解析】 【分析】此题考查概率的计算公式，先确定情况数及总结果数，根据概率公式计算即可 【详解】解：甲顾客购物120元，他有转转盘的机会， 整个圆周被分成了20份，共有20种等可能结果， 红色、黄色或绿色区域的份数之和为9份， 所以获得购物券的概率为：． 19. 如图，的顶点都在方格纸的格点上，按要求在方格纸中画图． （1）在图①中画出中边上的高线； （2）在图②中画出一个与全等的． 【答案】（1） 解：如图所示，高线即为所求； （2） 如图所示，即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查了画三角形的高，全等三角形的判定： （1）根据三角形高的定义画图即可； （2）取格点，使，由网格特点可得，继而得，结合为公共边，利用即可得，由此即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图1，小刚站在河边的点A处，在河对岸（小刚的正北方向）的B处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了20步到达一棵树C处，接着再向前走了20步到达D处，然后再左转直行，当小刚看到电线塔B、树C与自己现处的位置E在一条直线时，从点A出发开始他共走了110步． （1）若小刚走一步的长度约为米，请直接写出A，B两点间的距离为 米； （2）如图2，小华在点A所在河岸同侧的平地上取点C，D，使得点A，B，C在同一条直线上，且，测得，，在的延长线上取点E，使得，测得的长为42米．小华认为A，B两点之间的距离为42米．你认为小华的做法正确吗？若正确，请给出证明；若不正确，请给出合理的解释． 【答案】（1）42 （2） 解：正确，理由如下， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（米）， ∴小华的做法正确． 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据题意可得（米），（米），（米），再证，得到（米），由此即可求解； （2）根据三角形内角和可得，再证，得到，则，所以（米），由此即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意可得，有20步，有20步， ∴有（步）， ∵小刚走一步的长度约为米， ∴（米），（米），（米）， ∵， ∴， ∴（米）， ∴A，B两点间的距离为米， 故答案为：42； 【小问2详解】 略 21. （1）如图1，已知三角形ABC，尺规作图：过点A作； （2）如图2，在中，点E在上，点F在上，点D，G在上，，且． ①猜想与的位置关系并证明； ②若，平分，求的度数． 【答案】 （1）如图：; （2）①． 证明：∵， ， ， ， ， ② 【解析】 【分析】本题主要考查尺规作图—作平行线，平行线的判定和性质，角平分线的定义，垂线，熟练掌握平行线的判定和性质是解题关键． （1）以为圆心，以适当长为半径画弧交与，交与，再以为圆心，以同样长为半径画弧交的延长线与，最后以为圆心，的长为半径，与弧交于，则直线即为所求； （2）①根据平行线的性质得出，再由等量代换及平行线的判定即可证明； ②根据垂直的定义得出，再由角平分线及平行线的性质即可得出结果． 【详解】解：（1） 理由：由作图可知， ，根据同位角相等，两直线平行，所以 。 （2）①略 ②， DF平分， ， ， ． 22. “杨辉三角”揭示了（n为非负数）展开式的各项系数的规律．在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年，请仔细观察“杨辉三角”中每个数字与上一行的左右两个数字之和的关系： 根据上述规律，完成下列各题： （1）将展开后，各项的系数和为 ． （2）将展开后，各项的系数和为 ． （3） ． 类比运用：如图是世界上著名的“莱布尼茨三角形”，类比“杨辉三角”，根据你发现的规律，回答下列问题： （4）若表示第m行，从左到右数第n个数， 如表示第四行第二个数是，则表示的数是 ，表示的数是 ． 【答案】（1）32；（2）；（3）；（4）， 【解析】 【分析】此题考查多项式乘法的应用和数字类的规律题，能根据杨辉三角和“莱布尼茨三角形”得出规律是解此题的关键． （1）根据规律可知：将展开后，各项的系数和为32； （2）根据(为非负数）展开式的各项系数的规律可得结论； （3）把展开，即可得出答案； （4）著名的“莱布尼茨三角形”，规律是：①下一行的第1和第2个数相加就等于上一行的第1个数，下一行的第2和第3个数相加就等于上一行的第2个数，以此类推，②每一行的第一个数都是，经过计算可得结论． 【详解】解：（1）， 各项系数和：， 故答案为：； （2）第二行：，，各项系数和为， 第三行：，各项系数和为， … 第行：展开后各项系数和为； 故答案为：； （3）由（2）得：， 故答案为：； （4）由题意得：这个三角的规律就是下一行的第1和第2个数相加就等于上一行的第1个数，下一行的第2和第3个数相加就等于上一行的第2个数，以此类推，还发现每一行的第一个数都是； 根据规律可得：第六行：，，，，，， 第七行：，，，，，，， 第八行：，，，，，，，， ∴表示第六行第三个数，是，表示第八行第六个数，是． 23. 同学们学习了全等三角形，知道其重要应用是通过全等三角形证明角相等或边相等，进而求角度或边长．有些题目不能直接得全等三角形时，需要根据条件购造全等三角形，当遇到等腰直角三角形时我们可以利用两条相等的腰及顶角90°，来构造全等的两个直角三角形，从而解决问题． （1）发现，如图1，已知等腰直角△ABC，点P是边AB上一点，过点A作CP的垂线交CP延长线于点E，过点B作CP的垂线，垂足为点F，若BF＝7，AE＝3，则EF＝　 　； （2）探索：如图2，已知等腰直角△ABC，点E是内部一点，且CE＝4，AE垂直CE，连接BE，求△BCE的面积； （3）应用：如图3，已知钝角三角形ABC（∠ACB＞90°），∠A＝45°，以BC为边在直线BC与点A同侧的位置作等腰直角△BCD，过点D作DE垂直AB，垂足为点E，则线段AE与线段BE有怎样的数量关系呢？并请说明由． 【答案】（1）4；（2）8； （3）AE=BE， 理由如下：如图3，延长DE，AC交于点H，过点C作CF⊥DH于点F， ∵CF⊥DH，DE⊥AB， ∴∠CFD=∠DEB=∠CDB=90°， ∴∠CDF+∠BDE=90°=∠DBE+∠BDE， ∴∠CDF=∠DBE， 又∵CD=BD， ∴△BDE≌△DCF（AAS）， ∴DF=BE，CF=DE， ∵∠A=45°，DH⊥AB， ∴∠A=∠H=45°， ∴AE=EH，∠H=∠HCF=45°， ∴HF=CF=DE， ∴AE=EH=EF+CH=EF+CF=EF+DE=DF， ∴AE=BE． 【解析】 【分析】（1）由“AAS”可证△ACE≌△CBF，可得AE=CF=3，CE=BF=7，即可求解； （2）由“AAS”可证△ACE≌△BCF，可得CE=BF=4，由三角形的面积公式可求解； （3）由“AAS”可证△BDE≌△DCF，可得DF=BE，CF=DE，由等腰直角三角形的性质可得AE=EH，HF=CF=DE，由线段的和差关系可得结论． 【详解】解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形， ∴AC=BC，∠ACB=90°， ∴∠ACE+∠BCF=90°， ∵AE⊥CE，BF⊥CE， ∴∠E=∠BFC=90°， ∴∠ACE+∠CAE=90°， ∴∠CAE=∠BCF， ∴△ACE≌△CBF（AAS）， ∴AE=CF=3，CE=BF=7， ∴EF=CE-CF=4， 故答案为：4； （2）如图2，过点B作BF⊥CE，交CE的延长线于点F， ∴∠BFC=∠AEC=∠ACB=90°， ∴∠ACE+∠BCF=90°=∠ACE+∠CAE， ∴∠CAE=∠BCF， 又∵AC=BC， ∴△ACE≌△BCF（AAS）， ∴CE=BF=4， ∴S△BCE=×CE×BF=8； （3）略． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $