精品解析：山东省济南市莱芜市苗山镇常庄中学2024-2025学年八年级下学期第一次月考数学试卷

莱芜市苗山镇常庄中学2024-2025学年八年级下学期第一次月考数学试卷 一、单选题 1. 下列各式，属于二元一次方程的个数有（ ） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B. 过一点有无数条直线与已知直线平行 C. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 D. 直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离 3. 能说明命题“互为补角的两个角不相等”为假命题的是（ ） A. B. C. ， D. ， 4. 如图是综合实践活动小组同学们为学校配电房绘制的一张“有电危险”标志牌．给该标志牌的端点标上字母、若点在一条直线上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线，点在直线上，且，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，一个含角的直角三角尺按如图所示的位置放置，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 若是方程的解，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 8. 已知都是方程y=ax+b的解,则a和b的值是( 　 ) A. B. C. D. 9. 在同一平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则关于x、y的方程组的解为（ ） A. B. C. D. 10. 解方程组，若要使计算简便，消元的方法应选取（     ） A. 先消去x B. 先消去y C. 先消去z D. 以上说法都不对 11. 一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，直线被直线所截，下列条件中，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 13. 小华、小明和小亮三人玩飞镖游戏，各投5支飞镖，规定在同一圆环内得分相同，中靶和得分情况如图，则小亮的得分是_________________分． 14. 把方程变形，用含x的代数式表示y，则________． 15. 若是关于的二元一次方程，则m的值为_________． 16. 命题“两直线平行，同旁内角相等”是________（填“真”或“假”）命题． 17. 已知直线，直线分别与，交于点E，F． （1）如图1中，若平分，平分，__________； （2）如图2，若，平分，平分交于H，平分交于P，则__________． 18. 如图，一条公路修在湖边时，需要拐弯绕道而过，第一次的拐角，第二次的拐角，第三次的拐角是，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则的度数为______． 三、解答题 19. （1）计算：； （2）解方程组． 20. 完成下面的解答．如图，，平分，． （1）与平行吗？请说明理由； 解：，理由如下： （已知）， （邻补角的定义）， （ ）， （ ）． （2）与的位置关系如何？为什么． 解：，理由如下： 平分（已知）， （ ）， 又（已知）， 即， （ ）， （ ）． 21. 已知在方程组中，、均为正数． （1）求出、的值（用含代数式表示）； （2）求出的取值范围； （3）当为何正整数时，求：的最大值？ 22. 如图，平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点． （1）求直线的表达式； （2）将线段绕点逆时针旋转得线段，若直线过点且平行于直线，那么直线能否看作是由直线沿轴向右平移得到？若能，请求出平移距离；若不能，请说明理由． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴负半轴，轴正半轴交于点，点，且，满足． （1）求的面积； （2）点，分别是线段，轴正半轴上的动点，过点作交轴于点，连接．若，请探究与之间的数量关系，（注：可用含的式子表示）并说明理由． 24. 把下面解答过程中的理由或数学式补充完整． 如图，．试判断：与的位置关系？并说明理由． 解：与的位置关系是_____，理由如下： （已知）， ， 又（已知）， _____（______）， ， ， 又（已知）， ， （_______）． 25. 《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中《盈不足》章记载了一道数学问题：“今有共买物，人出六，盈二；人出五，不足三．问人数、物价各几何？译文：“今有人合伙购物，每人出6钱，会多出2钱；每人出5钱，又差3钱，问人数、物价各多少？”请利用方程解答上述问题． 26. 已知抛物线与直线交于抛物线的顶点和另一点． （1）求的值． （2）平移该抛物线得到新抛物线，若新抛物线与轴的交点为，与轴的其中一个交点的横坐标为1．直线分别交直线、抛物线、新抛物线于点． （i）当时，若，求点的坐标； （ii）当时，求的取值范围． 27. 如图所示，已知直线AB∥CD，FH平分∠EFD，FG⊥FH，∠AEF＝62°，求∠GFC的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莱芜市苗山镇常庄中学2024-2025学年八年级下学期第一次月考数学试卷 一、单选题 1. 下列各式，属于二元一次方程的个数有（ ） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数的个数和次数方面辨别即可． 【详解】解：①，含未知数项的最高次数不为一次，故该方程不是二元一次方程； ②属于二元一次方程，故正确； ③不是整式方程，故该方程不是二元一次方程； ④属于二元一次方程，故正确； ⑤，含未知数项的最高次数不为一次，故该方程不是二元一次方程； ⑥不是方程，故错误； ⑦，含有三个未知数，故该方程不是二元一次方程； 正确的是②④，共2个， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程的定义，二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程． 2. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B. 过一点有无数条直线与已知直线平行 C. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 D. 直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了命题与定理、平行线的判定、点到直线的距离等知识点，掌握相关的性质定理是判断命题的真假关键． 根据平行线的性质、平行公理的推论、平行线的判定、点到直线的距离的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故本选项命题是假命题，不符合题意； B、过一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项命题是假命题，不符合题意； C、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，是真命题，符合题意； D、直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到直线的距离，故本选项命题是假命题，不符合题意． 故选：C． 3. 能说明命题“互为补角的两个角不相等”为假命题的是（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理．例举出互为补角的两个角相等的情况即可． 【详解】解：A、，和互为补角，但，与假命题结论相反，可证明原命题为假命题，故A符合题意； B、，和不互为补角，不符合原命题的条件，故B不符合题意； C、，，和互为补角，但与假命题结论相同，故C不符合题意； D、，，和不互为补角，不符合原命题的条件，故D不符合题意． 故选：A． 4. 如图是综合实践活动小组同学们为学校配电房绘制的一张“有电危险”标志牌．给该标志牌的端点标上字母、若点在一条直线上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的内角和为，平行线的性质，掌握知识点是解题的关键． 根据三角形的内角和为，可得的度数，再由“两直线平行，内错角相等”，即可解答． 【详解】解： ， ． 故选：C． 5. 如图，直线，点在直线上，且，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据，得到，由，，得，，然后利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解： ， ， ，， ，， ， ． 故选：A． 6. 已知，一个含角的直角三角尺按如图所示的位置放置，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形外角的定义及性质，由三角形外角的定义及性质得出，再由平行线的性质即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图： 由题意可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 7. 若是方程的解，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了已知二元一次方程的解求参数，解题关键是理解二元一次方程的解的概念. 将解代入方程，转化为关于待定字母的方程求解即可. 【详解】解：将代入， ，解得：， 故选B 8. 已知都是方程y=ax+b的解,则a和b的值是( 　 ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得关于a、b的方程组，解方程组即可求得答案． 【详解】将和代入方程y=ax+b， 得 ， 解得． 故选B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，熟练掌握相关知识是解题的关键． 9. 在同一平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则关于x、y的方程组的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将点P的横坐标代入求得点P的纵坐标，然后即可确定方程组的解． 【详解】解：∵直线与直线相交于点， ∴当时，， ∴， 关于x、y的方程组的解为． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组的知识，解题的关键是了解方程组的解与函数图象的交点坐标的关系． 10. 解方程组，若要使计算简便，消元的方法应选取（     ） A. 先消去x B. 先消去y C. 先消去z D. 以上说法都不对 【答案】B 【解析】 【详解】经观察发现，3个方程中先消去y，即可得到一个关于x、z的二元一次方程组，再用加减消元法和代入法解方程即可． 11. 一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质和三角形外角性质，根据重力竖直向下、摩擦力平行斜面，结合图形利用三角形外角定理即可求解． 【详解】解：如图所示： 重力的方向竖直向下， 重力与水平方向夹角为， ∵， ∴． 摩擦力的方向与斜面平行， ． 12. 如图，直线被直线所截，下列条件中，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定．解题的关键在于熟练掌握平行线的判定定理． 根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，进行判断作答即可． 【详解】解：若，则，故A选项不符合要求； 若，则不能得到，故B选项符合要求； 若，则，故C选项不符合要求； 若，则，故D选项不符合要求； 故选：B． 二、填空题 13. 小华、小明和小亮三人玩飞镖游戏，各投5支飞镖，规定在同一圆环内得分相同，中靶和得分情况如图，则小亮的得分是_________________分． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，列出方程组是解题关键．设投中圆环内的得分为分，小圆内的得分为分，根据题意列出方程组求解即可． 【详解】解：设投中圆环内的得分为分，小圆内的得分为分， 由题意得，， 解得， 小亮的得分是． 故答案为：． 14. 把方程变形，用含x的代数式表示y，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程，解题的关键是首先将x看做已知数，y看做未知数通过移项、去系数解得y． 【详解】解： 移项得， 故答案为：． 15. 若是关于的二元一次方程，则m的值为_________． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程，据此逐个判断即可． 【详解】解：∵是关于的二元一次方程， ∴且， 解得， 故答案为：0． 16. 命题“两直线平行，同旁内角相等”是________（填“真”或“假”）命题． 【答案】假 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的性质，难度比较小．利用平行线的性质对命题进行判断即可确定答案． 【详解】解：∵两直线平行，同旁内角互补， ∴命题“两直线平行，同旁内角相等”错误，是假命题， 故答案为：假． 17. 已知直线，直线分别与，交于点E，F． （1）如图1中，若平分，平分，__________； （2）如图2，若，平分，平分交于H，平分交于P，则__________． 【答案】 ①. 90 ②. 35 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质． （1）利用平行线的性质得到，再利用角平分线的定义即可求解； （2）由，平分交于H，可得，再由平分，平分交于P，可得，再由外角的性质得，从而得出 ，再求解即可． 【详解】（1）解： ， ． 平分，平分， ， ， ； 故答案为：90； （2），平分交于H， ， 平分，平分交于P， ， ， ， ， ， 故答案为：35 18. 如图，一条公路修在湖边时，需要拐弯绕道而过，第一次的拐角，第二次的拐角，第三次的拐角是，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则的度数为______． 【答案】##130度 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定与性质，添加平行线，利用平行线的性质求解即可． 【详解】如图，过点B作． ∵，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 三、解答题 19. （1）计算：； （2）解方程组． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了去绝对值及计算立方，算术平方根，实数的混合运算、解二元一次方程组，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先去绝对值及计算立方，算术平方根，再合并即可求解； （2）利用加减消元法即可求解； 【详解】解：（1）：． （2）：解方程组： 解：， 整理，得 ， ①，得③， ②，得④， ③+④，得，解得：， 把代入①，得， 解得：，方程组的解为． 20. 完成下面的解答．如图，，平分，． （1）与平行吗？请说明理由； 解：，理由如下： （已知）， （邻补角的定义）， （ ）， （ ）． （2）与的位置关系如何？为什么． 解：，理由如下： 平分（已知）， （ ）， 又（已知）， 即， （ ）， （ ）． 【答案】（1）；同角的补角相等；同位角相等，两直线平行 （2）角平分线定义；；等量代换；内错角相等，两直线平行 【解析】 【分析】此题考查了平行线的判定及角平分线的定义，熟练运用平行线的判定定理是解题的关键． （1）结合邻补角定义求出，根据“同位角相等，两直线平行”即可得解； （2）结合角平分线定义求出，根据“内错角相等，两直线平行”即可得解 【小问1详解】 解： ．理由如下： （已知）， （邻补角的定义）， （同角的补角相等）， （同位角相等，两直线平行）， 故答案为：；同角的补角相等；同位角相等，两直线平行； 【小问2详解】 解：，理由如下： 平分（已知）， （角平分线定义）， 又．（已知）， 即， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）， 故答案为：角平分线定义；；等量代换；内错角相等，两直线平行． 21. 已知在方程组中，、均为正数． （1）求出、的值（用含代数式表示）； （2）求出的取值范围； （3）当为何正整数时，求：的最大值？ 【答案】（1） （2） （3）当时，的最大值为 【解析】 【分析】利用加减消元法进行计算，即可解答； 根据已知可得，，从而可得，然后进行计算即可解答； 把，代入中进行计算，即可解答． 【小问1详解】 解：， 得：， 得：， 把代入得：， 解得：， 原方程组的解为：； 【小问2详解】 解：、均为正数． ，， ， 解得：， 的取值范围为：； 【小问3详解】 解：，， ， ，为正整数， 当时，有最大值，且， 当时，的最大值为． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解二元一次方程组，二元一次方程组的解，列代数式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 22. 如图，平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点． （1）求直线的表达式； （2）将线段绕点逆时针旋转得线段，若直线过点且平行于直线，那么直线能否看作是由直线沿轴向右平移得到？若能，请求出平移距离；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）直线能看作是由直线沿轴向右平移得到，平移距离为 【解析】 【分析】（1）直接利用待定系数法即可求出答案； （2）如图所示，过点B作轴，过点A作，，求出，，证明出，得到，，，然后求出直线表达式为，当时，，进而求解即可． 【小问1详解】 解：设直线l的解析式为，把点，代入得， ， 解得， 直线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：如图所示，过点B作轴，过点A作， ∵直线交轴于点，交轴于点 ∴， ∵将线段绕点逆时针旋转得线段， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴，， ∴ ∵直线过点且平行于直线， ∴设直线表达式为 ∴将代入得， 解得 ∴直线表达式为 ∴当时， 解得 ∴ ∴直线能看作是由直线沿轴向右平移得到，平移距离为． 【点睛】此题考查了一次函数和几何综合，旋转的性质，全等三角形的性质和判定，一次函数的平移等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴负半轴，轴正半轴交于点，点，且，满足． （1）求的面积； （2）点，分别是线段，轴正半轴上的动点，过点作交轴于点，连接．若，请探究与之间的数量关系，（注：可用含的式子表示）并说明理由． 【答案】（1）； （2）， 理由：如图，延长交于H． ， , ，，，， ， ， 又 ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根和绝对值的非负性、平行线的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键． （1）由算术平方根，绝对值的非负性，列方程求出a、b的值即可得解； （2）延长交于H，利用平行线的性质得，利用三角形外角的性质，三角形内角和定理，以及等量代换，即可得到． 【小问1详解】 解： ， 又，， ， 解得， ，， ，， ． 【小问2详解】 略 24. 把下面解答过程中的理由或数学式补充完整． 如图，．试判断：与的位置关系？并说明理由． 解：与的位置关系是_____，理由如下： （已知）， ， 又（已知）， _____（______）， ， ， 又（已知）， ， （_______）． 【答案】；两直线平行，内错角相等；；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行； 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，垂直的定义，平行公理，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 根据平行线的判定和性质，垂直的定义，平行公理，等量代换思想解答即可． 【详解】解：与的位置关系是，理由如下： （已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， 又（已知）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）， 又（已知）， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）． 故答案为：；两直线平行，内错角相等；；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行． 25. 《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中《盈不足》章记载了一道数学问题：“今有共买物，人出六，盈二；人出五，不足三．问人数、物价各几何？译文：“今有人合伙购物，每人出6钱，会多出2钱；每人出5钱，又差3钱，问人数、物价各多少？”请利用方程解答上述问题． 【答案】有人，物价为钱． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设有人，物价为钱，根据题意，可列方程组，解方程组即可求解，根据题意，找到等量关系，列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设有人，物价为钱， 由题意可得，， 解得， 答：有人，物价为钱． 26. 已知抛物线与直线交于抛物线的顶点和另一点． （1）求的值． （2）平移该抛物线得到新抛物线，若新抛物线与轴的交点为，与轴的其中一个交点的横坐标为1．直线分别交直线、抛物线、新抛物线于点． （i）当时，若，求点的坐标； （ii）当时，求的取值范围． 【答案】（1），， （2）（i）当时，点，点；当时，点，点；（ii）或 【解析】 【分析】（1）先求出点，代入直线中，求出，将点代入中求出，然后将点代入求出即可； （2）（i）先求出新抛物线的解析式为，则点，点，点，然后根据列方程求解即可； （ii）先求出原抛物线与新抛物线的交点横坐标，然后分当时和当时两种情况，根据列不等式求解即可． 【小问1详解】 ∵，∴抛物线的顶点为， 将点代入直线中，得，解得． ∴直线的解析式为． 将点代入中，得． ∴点的坐标为． 将点代入，得，解得． 【小问2详解】 （i）由（1）知，抛物线的解析式为． 设新抛物线的解析式为． ∵新抛物线与y轴的交点为，与轴的其中一个交点的横坐标为1， ∴将点代入新抛物线的解析式， 得，解得． ∴新抛物线的解析式为． ∵直线分别交直线、抛物线、新抛物线于点， ∴点，点，点． ∵点，点，， ∴点在线段上，且． ∴，． ∵， ∴，解得． 当时，点，点；当时，点，点． （ii）联立与，得，解得． ∴当时，点在点上方，当时，点在点下方． 由（2）①知，． 当时，可知，解得． 当时，可知，解得． 综上所述，的取值范围为或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，二次函数的平移，以及二次函数与综合，难度较大，属中考压轴题． 27. 如图所示，已知直线AB∥CD，FH平分∠EFD，FG⊥FH，∠AEF＝62°，求∠GFC的度数． 【答案】59° 【解析】 【分析】根据平行线的性质，结合角平分线的定义和垂线的定义求解． 【详解】∵AB∥CD，∠AEF=62°， ∴∠EFD=∠AEF=62°，∠CFE=180°-∠AEF=180°-62°=118°； ∵FH平分∠EFD， ∴∠EFH=∠EFD=×62°=31°； 又∵FG⊥FH， ∴∠GFE=90°-∠EFH=90°-31°=59°， ∴∠GFC=∠CFE-∠GFE=118°-59°=59°． 【点睛】此题考查的是平行线的性质，即两直线平行内错角相等，同旁内角互补． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $