精品解析：河南省许昌市建安区第三高级中学2024--2025学年七年级下学期数学月考试卷

2024-2025学年七年级下学期阶段测试（数学） 一、选择题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每个小题的四个选项中只有一项符合题目要求） 1. 下列实数：、、、、、（每相邻两个之间依次多个），其中无理数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2. 下列说法： ①的平方根是； ②点到x轴的距离是3； ③有理数和数轴上的点一一对应； ④同旁内角互补； ⑤若，则； ⑥如果一个角的两边垂直于另一个角的两边，那么这两个角互补； 其中正确的是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 3. 如图所示，某工程队计划把河水引到水池A中，他们先过A点作，垂足为B，然后沿AB开渠，可以节约人力、物力和财力，这样设计的数学依据是（ ） A. 两点之间线段最短 B. 经过两点有且只有一条直线 C. 垂直定义 D. 垂线段最短 4. 下列方程组中，①，②，③，④属于二元一次方程组的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 下列数学表达式，是不等式有（ ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 6. 平面直角坐标系中有点和点，若线段且与坐标轴平行，则（ ） A. 3或 B. 或5 C. 3或5 D. 或 7. 若，则下列各式中一定成立是（ ） A B. C. D. 8. 西南大学附属中学某校区本学期组织学生参加春游活动，在欢乐谷的某个对抗项目中，安排人员时发现，若每只飞船坐6人，则有15人无飞船可坐；若每只飞船坐10人，则其中一只飞船只坐了5人，其余的飞船均坐满．设乘坐的飞船有只，本次参加活动的学生有人，根据题意，所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 已知关于y的方程的解为整数，且关于x的不等式组有解且至多有2个整数解，则满足条件的所有整数a的和是（ ） A. 8 B. 11 C. 13 D. 19 10. 如图，已知（其中），添加一个以下条件：①；②；③；④．能证明的个数是（ ）． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题（本题共5个小题，每个小题3分，共15分，把正确答案填在横线上） 11. 把一条线分为两部分，此时较短线段与较长线段之比等于较长线段与整条线段之比，这个比值就黄金数，即为．比较大小：________（填“”“”或“”） 12. 若是的算术平方根，，则的立方根为________． 13. 已知，则______． 14. 在平面直角坐标系中，，，C是x轴上一点，连接，．当的值最小时，C的坐标为____． 15. 如图，直线MN分别与直线AB，CD相交于点E，F，EG平分∠BEF，交直线CD于点G，若∠MFD＝∠BEF＝56°，射线GP⊥EG于点G，则∠PGF＝____________________． 三、解答题（本题共8道题，16-18每题8分，19题20题9分，21题10分，22题11分，23题12分，满分75分） 16. 计算： （1） （2） 17. 已知平方根是，的算术平方根是1，c是的整数部分，求的立方根． 18. 解不等式组把解集在数轴上表示出来．并写出其整数解 19. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，给出了格点三角形（格点是网格线的交点）． （1）先将竖直向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到，请画出； （2）将绕点逆时针旋转，得，请画出； （3）线段变换到的过程中扫过区域的面积为 ． 20. 如图，，点P为上一点，、的角平分线交于点F，已知，则的度数． 21. 又是一年端阳至，绿杨带雨垂垂重，五色新丝缠角粽，吃粽子是端午节的习俗．某糕点店推出的“鲜肉粽”和“蛋黄粽”深受顾客喜欢．已知3个“鲜肉粽”、2个“蛋黄粽”的售价之和为46元，5个“鲜肉粽”、1个“蛋黄粽”的售价之和为58元． （1）求“鲜肉粽”和“蛋黄粽”的售价各是多少元？ （2）糕点店在今年端午节前夕，购进了3000个“鲜肉粽”，2500个“蛋黄粽”．适逢店庆，为答谢新老顾客，糕点店对两种粽子都展开了降价促销活动，其中“鲜肉粽”按售价打折（a为整数）出售，“蛋黄粽”每个让利元，且保证降价后“鲜肉粽”的售价低于“蛋黄粽”售价的1.5倍，最终两种粽子全部销售出去，且总销售额不低于39000元，求a的值． 22. 已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为， （1）若、满足，求点、点的坐标； （2）若点为直线上一动点（点异于点、），在（1）的条件下，，求点横坐标的取值范围； （3）若、、符合，且满足，，是代数式的最大值，点的坐标是，是第一象限内线段上方的动点，连交直线于点，当时，且代数式取最大值时，求． 23. 如图1，把一块含的直角三角板的边放置于长方形直尺的边上． （1）【特例初探】如图2，现把三角板绕B点逆时针旋转，当，且点C恰好落在边上时，请求的度数． （2）【技能提升】在（1）的条件下，若比的一半多，求n的值． （3）【综合运用】如图2，现将射线绕点B以每秒的转速逆时针旋转得到射线，同时射线绕点Q以每秒的转速顺时针旋转得到射线，当射线旋转至与重合时，则射线均停止转动，设旋转时间为．在旋转过程中，是否存在？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年七年级下学期阶段测试（数学） 一、选择题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每个小题的四个选项中只有一项符合题目要求） 1. 下列实数：、、、、、（每相邻两个之间依次多个），其中无理数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的知识点是无理数的定义，解题关键是熟练掌握无理数辨析方法． 无理数：无限不循环的小数是无理数，据此定义对实数进行逐一判断即可求解． 【详解】解：根据无理数的定义可得： 不是无理数，不符合题意； 是无理数，符合题意； 不是无理数，不符合题意； 是无理数，符合题意； 不是无理数，不符合题意； （每相邻两个之间依次多个）是无理数，符合题意； 综上，无理数有个． 故选：． 2. 下列说法： ①的平方根是； ②点到x轴的距离是3； ③有理数和数轴上的点一一对应； ④同旁内角互补； ⑤若，则； ⑥如果一个角的两边垂直于另一个角的两边，那么这两个角互补； 其中正确的是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平方根的性质，点到到坐标轴的距离，实数与数轴，平行线的性质，不等式的性质等．根据平方根的性质，点到到坐标轴的距离，实数与数轴，平行线的性质，不等式的性质，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：①，4的平方根是，原说法错误； ②点到x轴的距离是2，原说法错误； ③实数和数轴上的点一一对应，原说法错误； ④两直线平行，同旁内角互补，原说法错误； ⑤若，且时，则，原说法错误； ⑥如果一个角的两边垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补，原说法错误； 综上，没有正确的说法， 故选：A． 3. 如图所示，某工程队计划把河水引到水池A中，他们先过A点作，垂足为B，然后沿AB开渠，可以节约人力、物力和财力，这样设计的数学依据是（ ） A. 两点之间线段最短 B. 经过两点有且只有一条直线 C. 垂直定义 D. 垂线段最短 【答案】D 【解析】 【分析】根据垂线段最短即可得出结论． 【详解】解：某工程队计划把河水引到水池A中，他们先过A点作，垂足为B，然后沿AB开渠，可以节约人力、物力和财力，这样设计的数学依据是垂线段最短 故选D． 【点睛】此题考查的是垂线段最短的应用，掌握垂线段最短是解决此题的关键． 4. 下列方程组中，①，②，③，④属于二元一次方程组的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组定义，满足三个条件：①共含有两个未知数；②未知数的最高次数为1次；③整式方程．据此进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：含有三个未知数，故①不属于二元一次方程组； 满足二元一次方程组的定义，故②属于二元一次方程组； 满足二元一次方程组的定义，故③属于二元一次方程组； 的未知数的最高次数是2，故④不属于二元一次方程组； 故选：B． 5. 下列数学表达式，是不等式的有（ ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的辩别．熟练掌握不等式的特征，是解答此题的关键．不等式的定义：用符号“<”或“>”表示大小关系的式子，叫做不等式，用符号“”表示不相等关系的式子也是不等式． 根据上述定义分别对各个式子进行分析判断即可得出结论． 【详解】在①；②；③；④；⑤；⑥中， 不等式有②；③；⑤；⑥，共4个； 是等式； ④是代数式． 故选：C． 6. 平面直角坐标系中有点和点，若线段且与坐标轴平行，则（ ） A. 3或 B. 或5 C. 3或5 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】题目主要考查线段与坐标轴平行的点的坐标特点，两点之间的距离，一元一次方程应用等，理解题意，利用绝对值表示两点之间距离是解题关键． 分两种情况讨论，①线段与轴平行，则，；线段与轴平行，则，，解方程即可． 【详解】解：由题意得，①线段与轴平行，则，， 解得：或， ∴或； ②线段与轴平行，则，， 解得：或， ∴或； 综上：或， 故选：A． 7. 若，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质，依次对各选项进行判断即可. 【详解】A、不等式的两边都除以同一个正数，不等号的方向不变，故A错误； B、不等式的两边都除以同一个负数，不等号的方向改变，故B正确； C、不等式的两边都减去同一个数，不等号的方向不变，故C错误； D、不等式的两边都加上同一个数，不等号的方向不变，故D错误； 故选：B. 【点睛】本题考查了不等式的性质，注意不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变. 8. 西南大学附属中学某校区本学期组织学生参加春游活动，在欢乐谷的某个对抗项目中，安排人员时发现，若每只飞船坐6人，则有15人无飞船可坐；若每只飞船坐10人，则其中一只飞船只坐了5人，其余的飞船均坐满．设乘坐的飞船有只，本次参加活动的学生有人，根据题意，所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．根据“若每只飞船坐6人，则有15人无飞船可坐；若每只飞船坐10人，则其中一只飞船只坐了5人，其余的飞船均坐满”列出方程组即可． 【详解】解：根据题意，可列方程组为． 故选：D． 9. 已知关于y的方程的解为整数，且关于x的不等式组有解且至多有2个整数解，则满足条件的所有整数a的和是（ ） A. 8 B. 11 C. 13 D. 19 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查解一元一次方程，根据一元一次不等式组的解集情况求参数，先解一元一次方程，和一元一次不等式组，根据方程的解的情况以及不等式组的解集的情况，求出的范围，即可． 【详解】解：， 解得：， 由，得：， ∵不等式组有解且至多有2个整数解， ∴， ∴， ∴， ∵是整数， ∴或， ∴或， ∴满足条件的所有整数a的和是； 故选D． 10. 如图，已知（其中），添加一个以下条件：①；②；③；④．能证明的个数是（ ）． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】过点F作CD的平行线FH，结合条件①可证AB∥CD；条件②得到EF∥CD；条件③得到AF∥FG；条件④的结果得到恒等式． 【详解】解：①过点F作FH∥CD， 则：∠HFG＝∠FGD， ∵∠EFG＝∠EFH+∠HFG，∠EFG+∠FGD＝80°， ∴∠EFH+2∠FGD＝80°， ∵∠FEB+2∠FGD＝80°， ∴∠EFH＝∠FEB， ∴AB∥FH， ∴AB∥CD，故①符合题意； ②∵∠F+∠FGC＝180°， ∴CD∥FE，故②不符合题意； ③∵∠EFG+∠FEA＝180°， ∴AB∥FG，故③不符合题意； ④∵∠FGC﹣∠EFG＝100°，∠EFG+∠FGD＝80°， ∴∠FGC﹣∠EFG+∠EFG+∠FGD＝100°+80°， ∴∠FGC+∠FGD＝180°，故④不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的判定定理，“内错角相等，两直线平行”和“同旁内角互补，两直线平行”，以及邻补角的定义．本题的关键是通过作辅助线得到角相等，将已知条件进行转化． 二、填空题（本题共5个小题，每个小题3分，共15分，把正确答案填在横线上） 11. 把一条线分为两部分，此时较短线段与较长线段之比等于较长线段与整条线段之比，这个比值就是黄金数，即为．比较大小：________（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用求差法比较实数的大小，因为，其中，所以可得：，从而可得：． 【详解】解：， ， ， ， ． 故答案为： ． 12. 若是的算术平方根，，则的立方根为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是立方根及算术平方根的定义，掌握立方根及算术平方根的定义是解题的关键．根据题意列出关于、的方程，求出、的值，即可求解． 【详解】∵是算术平方根， ∴，， 解得：，， ∴，， ∴的立方根为， 故答案为：． 13. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解三元一次方程组，把当作常数，解关于的方程组，求出的值，再求出比值即可． 【详解】解：解关于的方程组，得：， ∴； 故答案为：． 14. 在平面直角坐标系中，，，C是x轴上一点，连接，．当值最小时，C的坐标为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂直与坐标轴的直线上点的坐标特征，解一元一次方程，解题的关键是掌握垂直于x轴的直线上的点，纵坐标相等． 根据题意得出当轴时，取最小值，则，则当点A、B、C三点在同一条直线上时，推出轴，列出方程，求出a的值，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴点A在直线上，点B在直线上， ∵Cx轴上一点， ∴当轴时，取最小值，则， ∴当点A、B、C三点在同一条直线上时，的值最小时， 此时，则轴， ∴， 解得：， ∴点C的坐标为， 故答案为：． 15. 如图，直线MN分别与直线AB，CD相交于点E，F，EG平分∠BEF，交直线CD于点G，若∠MFD＝∠BEF＝56°，射线GP⊥EG于点G，则∠PGF＝____________________． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况：①当射线GP⊥EG于点G时，∠PGE=90°，②当射线GP'⊥EG于点G时，∠P'GE=90°，根据平行线的判定与性质和角平分线定义即可求出∠PGF的度数． 【详解】解：如图，①当射线GP⊥EG于点G时，∠PGE=90°， ∵∠MFD=∠BEF=56°， ∴CDAB， ∴∠GEB=∠FGE， ∵EG平分∠BEF， ∴∠GEB=∠GEF=∠BEF=28°， ∴∠FGE=28°， ∴∠PGF=∠PGE-∠FGE=90°-28°=62°； ②当射线GP'⊥EG于点G时，∠P'GE=90°， 同理：∠P'GF=∠PGE+∠FGE=90°+28°=118°. 则∠PGF的度数为62°或118°. 故答案为：62°或118°． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质． 三、解答题（本题共8道题，16-18每题8分，19题20题9分，21题10分，22题11分，23题12分，满分75分） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，解二元一次方程组，熟练掌握相关运算法则，消元法解方程组，是解题的关键： （1）先进行开方和去绝对值运算，再进行除法运算，最后进行加减运算即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 原方程组可化为：， ，得：，解得：， 把代入①，得：，解得：； ∴． 17. 已知的平方根是，的算术平方根是1，c是的整数部分，求的立方根． 【答案】 【解析】 【分析】根据平方根的定义列式求出a的值，再根据算术平方根的定义列式求出b的值，根据估算可得c值，代入所求代数式的值，再根据立方根的定义计算即可． 【详解】解：∵的平方根是， ∴， ∴， ∵的算术平方根是1， ∴， ∴； ∵c是的整数部分，， ∴． ∴， ∴的立方根是． 【点睛】本题考查了算术平方根与平方根的定义和估算无理数的大小，熟记概念，先判断所给的无理数的近似值是解题的关键． 18. 解不等式组把解集在数轴上表示出来．并写出其整数解 【答案】，图见解析，整数解为3，4，5，6，7，8 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后画数轴表示，再结合数轴找出整数解即可． 【详解】， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 故不等式组的解集为：， 把解集在数轴上表示出来为： 则整数解是：3，4，5，6，7，8． 19. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，给出了格点三角形（格点是网格线的交点）． （1）先将竖直向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到，请画出； （2）将绕点逆时针旋转，得，请画出； （3）线段变换到的过程中扫过区域的面积为 ． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查作图——平移变换、旋转变换、扇形面积的计算． （1）根据平移的性质找出对称点，再连接作图即可； （2）根据旋转的性质找出对称点，再连接作图即可； （3）线段变换到的过程中扫过区域是以为圆心，为半径的圆上的一段扇形，利用扇形的面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所求； 【小问3详解】 解：线段变换到的过程中扫过区域的面积为 ． 故答案为：． 20. 如图，，点P为上一点，、的角平分线交于点F，已知，则的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义以及三角形的外角的性质：三角形的外角等于两个不相邻的内角的和．正确识别图形并通过设未知数建立方程是解题关键． 设，，根据角平分线的定义得到，，根据外角的性质得到，，由平行线的性质得到，，于是得到方程，即可得到结论． 【详解】解：如图所示， 设，， 、的角平分线交于点， ∴，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． 21. 又是一年端阳至，绿杨带雨垂垂重，五色新丝缠角粽，吃粽子是端午节的习俗．某糕点店推出的“鲜肉粽”和“蛋黄粽”深受顾客喜欢．已知3个“鲜肉粽”、2个“蛋黄粽”的售价之和为46元，5个“鲜肉粽”、1个“蛋黄粽”的售价之和为58元． （1）求“鲜肉粽”和“蛋黄粽”的售价各是多少元？ （2）糕点店在今年端午节前夕，购进了3000个“鲜肉粽”，2500个“蛋黄粽”．适逢店庆，为答谢新老顾客，糕点店对两种粽子都展开了降价促销活动，其中“鲜肉粽”按售价打折（a为整数）出售，“蛋黄粽”每个让利元，且保证降价后“鲜肉粽”的售价低于“蛋黄粽”售价的1.5倍，最终两种粽子全部销售出去，且总销售额不低于39000元，求a的值． 【答案】（1）10元，8元 （2）4 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的实际应用： （1）设“鲜肉粽”的售价为x元/个；“蛋黄粽”售价为y元/个，根据3个“鲜肉粽”、2个“蛋黄粽”的售价之和为46元，5个“鲜肉粽”、1个“蛋黄粽”的售价之和为58元，列出方程组进行求解即可； （2）根据“鲜肉粽”的售价低于“蛋黄粽”售价的1.5倍，且总销售额不低于39000元，列出不等式组，求出正整数解即可． 【小问1详解】 解：设“鲜肉粽”的售价为x元/个；“蛋黄粽”售价为y元/个， 则 解得： 答：“鲜肉粽”的售价为10元/个；“蛋黄粽”售价为8元/个． 【小问2详解】 由题意得 解得： 为整数 答：a的值为4． 22. 已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为， （1）若、满足，求点、点的坐标； （2）若点为直线上一动点（点异于点、），在（1）的条件下，，求点横坐标的取值范围； （3）若、、符合，且满足，，是代数式的最大值，点的坐标是，是第一象限内线段上方的动点，连交直线于点，当时，且代数式取最大值时，求． 【答案】（1），；（2）或；（3） 【解析】 【分析】（1）可知：，，分别计算即可求得，进而求得的坐标； （2）分类讨论，①当点第一象限时，②当点在第二象限时，分别求得,结合题意，即可求得； （3）根据题意求得，再求得的最值，从而求得的值，进而求得点的坐标，根据即可求解 【详解】（1）解：∵，且 ∴， ∴， 即， （2）解：①当点在第一象限时，如图所示： 由 得： 解得： ②当点在第二象限时，如图所示： 由 得： 解得： 综上①②得或 （3）由： 可得： 代入得： 解得： ∵ ∴当时 故 ∴， ∴， ∵ ∴． 【点睛】本题考查了非负数之和为零的计算，一次函数的性质与图像，一元一次不等式组的解法，根据自变量的范围，求一次函数的最值，掌握以上知识是解题的关键． 23. 如图1，把一块含的直角三角板的边放置于长方形直尺的边上． （1）【特例初探】如图2，现把三角板绕B点逆时针旋转，当，且点C恰好落在边上时，请求的度数． （2）【技能提升】在（1）的条件下，若比的一半多，求n的值． （3）【综合运用】如图2，现将射线绕点B以每秒的转速逆时针旋转得到射线，同时射线绕点Q以每秒的转速顺时针旋转得到射线，当射线旋转至与重合时，则射线均停止转动，设旋转时间为．在旋转过程中，是否存在？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）n的值是40 （3）当秒或秒，存在 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质及应用，解题的关键是掌握平行线的性质定理并能熟练应用． （1）根据，，，根据平行线的性质得出．，．，即可求解； （2）根据比的一半多列方程，计算可求解； （3）分两种情况，分别画出图形，根据内错角和同位角相等列方程可解得答案． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，． ∴，． ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵比的一半多， ∴． 解得，． ∴n的值是40． 【小问3详解】 解：存在．理由如下： 旋转至时共花时间， 第一种情况：如图①所示， ∵， ∴． 又∵， ∴． ，符合题意． 第二种情况：如图②所示， ∵而，， ∴， ，符合题意． 综上所述：当秒或秒，存在． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $