精品解析： 辽宁省抚顺市新宾县响水河中学2024-2025学年下学期九年级3月月考数学试题

2025年辽宁省抚顺市新宾县响水河中学 九年级3月数学月考 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自已的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（共10个小题，下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的．每小题3分，共30分．） 1. 如图的几何体由3个同样大小的正方体搭成，它的俯视图是（　　） A. B. C. D. 2. 在国家大数据战略的引领下，我国在人工智能领域成绩显著．大数据中心的规模和数据存储量，决定着人工智能深度学习的质量和速度，其中一个大数据中心能存储本书籍，数据用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 5. 我国古代数学著作之一《孙子算经》中记载着这样一个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？意思是：今有若干人乘车，若每3人共乘1辆车，最终剩余2辆车；若每2人共乘1辆车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x辆车，根据题意所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 关于方程根的情况，下列判断正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 7. 一个两位数，它的十位数字是3，个位数字是抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面分别标有数字1﹣6）朝上一面的数字，任意抛掷这枚骰子一次，得到的两位数是3的倍数的概率等于（　　） A. B. C. D. 8. 如图，中，对角线、相交于点O，交于点E，连接，若的周长为28，则的周长为（ ） A. 28 B. 24 C. 21 D. 14 9. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点、的坐标分别是，，，则函数的图象经过点，则的值为（　　） A. B. 9 C. D. 10. 如图1，在平面直角坐标系中，的边在轴上，直线沿轴正方向平移，在平移过程中，该直线在轴上平移的距离为．直线被平行四边形的边所截得的线段长为，且与对应关系图象如图2所示，则的面积为（ ） A. B. 4 C. 5 D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 函数中自变量的取值范围是____________________ 12. 甲、乙两名学生10次立定跳远成绩的平均数相同，若甲生10次立定跳远成绩的方差为，乙生10次立定跳远成绩的方差为，则甲、乙两名学生10次立定跳远成绩比较稳定的是___________．（填“甲”或“乙”） 13. 在平面直角坐标系中，将点A′（﹣2，3）向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，那么平移后对应的点A′的坐标是_____． 14. 如图，已知坐标平面上有一顶点为A的抛物线，A点坐标为，若此抛物线又与直线交于两点，且为正三角形，则可求得此抛物线与轴的交点坐标为______． 15. 如图，在中，，，，按下列步骤作图：①在和上分别截取、，使．②分别以点D和点E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点M．③作射线交于点F．若点P是线段上的一个动点，连接，则的最小值是______________． 三、解答题（共8个小题，共75分） 16. 计算题 （1）计算：． （2）化简：． 17. 为促进学生健康成长和全面发展，我校体育组持续推进校园足球普及和提高．下表所示为两次购买足球的品牌、数量和费用： 甲品牌足球的数量/个 乙品牌足球的数量/个 购买总费用/元 第一次 4 6 1380 第二次 3 4 960 （1）求甲品牌足球、乙品牌足球销售价分别是多少元？ （2）体育组计划再次购买甲、乙两种品牌足球共12个，费用不超过1600元，求体育组至多购买多少个乙品牌足球？ 18. 2018年3月，某市教育主管部门在初中生中开展了“文明礼仪知识竞赛”活动，活动结束后，随机抽取了部分同学的成绩（x均为整数，总分100分），绘制了如下尚不完整的统计图表． 调查结果统计表 组别 　成绩分组（单位：分） 　频数 　频率 　A 　80≤x＜85 　50 　0.1 　B 　85≤x＜90 　75 　C 　90≤x＜95 　150 　c 　D 　95≤x≤100 　a 　合计 　b 1 根据以上信息解答下列问题： （1）统计表中，a=　 　，b=　 　，c=　 　； （2）扇形统计图中，m的值为　 　，“C”所对应的圆心角的度数是　 　； （3）若参加本次竞赛的同学共有5000人，请你估计成绩在95分及以上的学生大约有多少人？ 19. 【问题背景】 尽享春日好时光，张梅和家人去某自然景区游玩，在欣赏美景的同时张梅用所学过的知识来记录他们的行程． 【收集信息】 张梅从景区发的宣传册中发现了他们所走的线路图，如图①． 【建立模型】 张梅通过乘坐的观光车所走的路程，绘制了如图②所示的函数图象，观光车从入口出发，经过景点甲，在景点甲停留一段时间，然后继续行驶到达终点．折线表示观光车到终点的路程与行驶时间之间的关系． 【解决问题】 （1）请求出线段表示的函数表达式； （2）请通过计算求观光车在景点甲停留的时间． 20. 某数学小组用五个全等的菱形设计一个左右对称的无人机模型，如图所示的是该无人机模型的两种设计方案的俯视图，其中A，D，F，G四点始终在同一条直线上，图形关于直线对称． （1）如图1，若B，C，D，E四点在同一条直线上，连接，__________； （2）如图2，若菱形的边长为，，求点N到点G的距离，（结果精确到．参考数据：，，，，，） 21. 在中，是的直径，弦垂直于，垂足为点，过点作的切线交的延长线于点． （1）如图①，若，求； （2）如图②，若，，是的中点，连接，求的长． 22. 探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 如图，在矩形中，，将矩形绕点C旋转，得到矩形． 【初步感知】 （1）如图1，将矩形绕点C顺时针旋转，当时，连接，． ①求证：， ②求出，，的数量关系（直接写出结论，不必证明）； 【深入探究】 （2）将矩形绕点C旋转，当且点E落在直线上时，试探究线段，，的数量关系，并写出证明过程； 【拓展运用】 （3）如图2，将矩形绕点C旋转顺时针旋转，点G落在上，与，分别交于点Q，P，当F，D，Q三点共线时，直接写出的值． 23. 定义：在平面直角坐标系中，点是某函数图象上的一点，作该函数图象中自变量大于m的部分关于直线的轴对称图形，与原函数图象中自变量大于或等于m的部分共同构成一个新函数的图象，则这个新函数叫做原函数关于点的“派生函数”． 例如：图1是函数的图象，则它关于点的“派生函数”的图象如图2所示，且它的“派生函数”的解析式为． （1）在图3中画出函数关于点的“派生函数”的图象； （2）点M是函数的图象上的一点，设点M的横坐标为m，是函数H关于点M的“派生函数”． ①当时，若函数值的范围是，求此时自变量x的取值范围； ②直接写出以点为顶点的正方形与函数的图象只有两个公共点时，m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年辽宁省抚顺市新宾县响水河中学 九年级3月数学月考 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自已的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（共10个小题，下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的．每小题3分，共30分．） 1. 如图的几何体由3个同样大小的正方体搭成，它的俯视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】找到从上面所看到的图形即可． 【详解】解：从上面看从下往上数，左边有1个正方形，右边有1个正方形， ∴俯视图是： ． 故选：C． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，解题的关键是掌握三视图． 2. 在国家大数据战略的引领下，我国在人工智能领域成绩显著．大数据中心的规模和数据存储量，决定着人工智能深度学习的质量和速度，其中一个大数据中心能存储本书籍，数据用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别根据积的乘方，完全平方公式，平方差公式和幂的乘方法则进行判断即可． 【详解】解：A.，原式计算错误； B. ，原式计算错误； C. ，计算正确； D. ，原式计算错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了积的乘方，完全平方公式，平方差公式和幂的乘方，熟练掌握运算法则，牢记乘法公式是解题的关键． 4. 不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先分别求出各不等式的解集，最后再确定不等式组的解集． 【详解】解： 由①得x＞3 由②得x＞5 所以不等式组的解集为x＞5． 故答案为A． 【点睛】本题考查了解不等式组，掌握不等式的解法和确定不等式组解集的方法是解答本题的关键． 5. 我国古代数学著作之一《孙子算经》中记载着这样一个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？意思是：今有若干人乘车，若每3人共乘1辆车，最终剩余2辆车；若每2人共乘1辆车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x辆车，根据题意所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：依题意得：， 故选：B． 6. 关于方程根的情况，下列判断正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】整理成一般形式后再计算方程的根的判别式，进而可作判断． 【详解】解：原方程即为：， 此方程的判别式△=， ∴原方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，属于基础题型，熟知一元二次方程的根的判别式与方程根的个数的关系是解题关键． 7. 一个两位数，它的十位数字是3，个位数字是抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面分别标有数字1﹣6）朝上一面的数字，任意抛掷这枚骰子一次，得到的两位数是3的倍数的概率等于（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接得出两位数是3的倍数的个数，再利用概率公式求出答案． 【详解】∵一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，投掷一次， 十位数为3，则两位数是3的倍数的个数为2. ∴得到的两位数是3的倍数的概率为： =. 故答案选：B. 【点睛】本题考查了概率的知识点，解题的关键是根据题意找出两位数是3的倍数的个数再运用概率公式解答即可. 8. 如图，中，对角线、相交于点O，交于点E，连接，若的周长为28，则的周长为（ ） A. 28 B. 24 C. 21 D. 14 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和中垂线定理，再结合题意进行计算，即可得到答案. 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵平行四边形的周长为28， ∴ ∵， ∴是线段的中垂线， ∴， ∴的周长， 故选D． 【点睛】本题考查平行四边形的性质和中垂线定理，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质和中垂线定理. 9. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点、的坐标分别是，，，则函数的图象经过点，则的值为（　　） A. B. 9 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据、的坐标分别是可知，进而可求出，由，又可求，通过作垂线构造等腰直角三角形，求出点的坐标，再求出的值． 【详解】 解：过点作轴，垂足为， ∵的坐标分别是， ∴， 在中，， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ∴代入得：， 故选D． 【点睛】考核知识点：反比例函数与几何.数形结合分析是关键. 10. 如图1，在平面直角坐标系中，的边在轴上，直线沿轴正方向平移，在平移过程中，该直线在轴上平移的距离为．直线被平行四边形的边所截得的线段长为，且与对应关系图象如图2所示，则的面积为（ ） A. B. 4 C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图像可知当移动的距离是1时，直线经过点，当移动距离是3时，直线经过点，当移动距离是时经过点，当移动距离是7时，直线经过点，则，当直线经过点，设直线交于，则，作于点，利用勾股定理可求得，即平行四边形的高，然后利用平行四边形的面积公式即可求解． 【详解】解：根据图像可知当移动的距离是1时，直线经过点，当移动距离是3时，直线经过点，当移动距离是时经过点，当移动距离是7时，直线经过点， ， 如图所示： 当直线经过点，设直线交于，则，作于点， 与轴的夹角是，边在轴上， ， ，则由勾股定理得， 平行四边形的面积是， 故选：B． 【点睛】本题考查了函数的图象的识别，一次函数的性质，等腰直角三角形的判定与性质，平行四边形的性质以及勾股定理，根据图像分析得出的长度，正确求得平行四边形的高是解题的关键． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 函数中自变量的取值范围是____________________ 【答案】 【解析】 【分析】使该函数有意义，则3x−6≥0且x−2≠0，然后解不等式组即可． 【详解】根据题意得，3x−6≥0且x−2≠0，解得x＞2， 所以自变量x的取值范围是x＞2． 故答案为x＞2． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，使函数关系式成立，若函数关系中有分母则分母不为0，若含二次根式，则二次根式中被开方数为非负数，然后建立不等式组，求出不等式的解集得到自变量的取值范围． 12. 甲、乙两名学生10次立定跳远成绩的平均数相同，若甲生10次立定跳远成绩的方差为，乙生10次立定跳远成绩的方差为，则甲、乙两名学生10次立定跳远成绩比较稳定的是___________．（填“甲”或“乙”） 【答案】乙 【解析】 【分析】根据方差可直接进行求解． 【详解】解：由，可知：，且甲、乙两名学生10次立定跳远成绩的平均数相同，所以甲、乙两名学生10次立定跳远成绩比较稳定的是乙； 故答案为乙． 【点睛】本题主要考查方差，熟练掌握方差的相关知识点是解题的关键． 13. 在平面直角坐标系中，将点A′（﹣2，3）向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，那么平移后对应的点A′的坐标是_____． 【答案】（1，1） 【解析】 【分析】直接利用平移的性质分别得出平移后点的坐标得出答案． 【详解】解：∵将点A′（-2，3）向右平移3个单位长度， ∴得到（1，3）， ∵再向下平移2个单位长度， ∴平移后对应的点A′的坐标是：（1，1）． 故答案为（1，1）． 【点睛】此题主要考查了平移，正确掌握平移规律：上加下减，左加右减，是解题关键． 14. 如图，已知坐标平面上有一顶点为A的抛物线，A点坐标为，若此抛物线又与直线交于两点，且为正三角形，则可求得此抛物线与轴的交点坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，等边三角形的性质，锐角三角函数，根据抛物线顶点，A点坐标为可设二次函数的解析式为，设，，，则，过点A作，则，，根据为正三角形，得，根据A点坐标为得，抛物线的解析式为，将点代入计算得，则，当时，进行计算即可得；掌握二次函数的图象与性质时解题的关键． 【详解】解：∵抛物线顶点，A点坐标为， ∴可设二次函数的解析式为， 设，，， ∴， 如图所示，过点A作， 则，， ∵为正三角形， ∴， ∵A点坐标为， ∴， ∵抛物线的解析式为，将点代入得， ， ， ∴， 当时，， ∴抛物线与y轴的交点为， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，，按下列步骤作图：①在和上分别截取、，使．②分别以点D和点E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点M．③作射线交于点F．若点P是线段上的一个动点，连接，则的最小值是______________． 【答案】 【解析】 【分析】过点P作于点Q，过点C作于点H，先利用角平分线和三角形的内角和定理求出，然后利用含的直角三角的性质得出，则，当C、P、Q三点共线，且与垂直时，最小，最小值为，利用含的直角三角的性质和勾股定理求出，，最后利用等面积法求解即可． 【详解】解：过点P作于点Q，过点C作于点H， 由题意知：平分， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当C、P、Q三点共线，且与垂直时，最小，最小值为， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了尺规作图-作角平分线，含的直角三角形的性质，勾股定理等知识，注意掌握利用等积法求三角形的高或点的线的距离的方法． 三、解答题（共8个小题，共75分） 16. 计算题 （1）计算：． （2）化简：． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是分式的混合运算，含特殊角的三角函数值的混合运算，零指数幂，乘方，完全平方公式和平方差公式，掌握运算顺序是解本题的关键． （1）先计算绝对值，零次幂，乘方，代入特殊角的三角函数值，再计算即可； （2）先计算括号内的分式的减法，再计算分式的除法运算即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式． 17. 为促进学生健康成长和全面发展，我校体育组持续推进校园足球普及和提高．下表所示为两次购买足球的品牌、数量和费用： 甲品牌足球的数量/个 乙品牌足球的数量/个 购买总费用/元 第一次 4 6 1380 第二次 3 4 960 （1）求甲品牌足球、乙品牌足球销售价分别是多少元？ （2）体育组计划再次购买甲、乙两种品牌足球共12个，费用不超过1600元，求体育组至多购买多少个乙品牌足球？ 【答案】（1）甲品牌足球的销售价为120元，乙品牌足球的销售价为150元 （2）5 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，（1）设甲品牌足球的销售价为x元，乙品牌足球的销售价为y元，根据题意列方程组求解即可； （2）设购买乙品牌足球a个，则购买甲品牌足球个，根据“费用不超过1600元，”列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设甲品牌足球的销售价为x元，乙品牌足球的销售价为y元， 由题意得，， 解得， 答：甲品牌足球的销售价为120元，乙品牌足球的销售价为150元； 【小问2详解】 解：设购买乙品牌足球a个，则购买甲品牌足球个， 由题意得，， 解得， 答：体育组至多购买5个乙品牌足球． 18. 2018年3月，某市教育主管部门在初中生中开展了“文明礼仪知识竞赛”活动，活动结束后，随机抽取了部分同学的成绩（x均为整数，总分100分），绘制了如下尚不完整的统计图表． 调查结果统计表 组别 　成绩分组（单位：分） 　频数 　频率 　A 　80≤x＜85 　50 　0.1 　B 　85≤x＜90 　75 　C 　90≤x＜95 　150 　c 　D 　95≤x≤100 　a 　合计 　b 1 根据以上信息解答下列问题： （1）统计表中，a=　 　，b=　 　，c=　 　； （2）扇形统计图中，m的值为　 　，“C”所对应的圆心角的度数是　 　； （3）若参加本次竞赛的同学共有5000人，请你估计成绩在95分及以上的学生大约有多少人？ 【答案】（1）225，500，0.3；（2）45，108°；（3）2250． 【解析】 【分析】（1）b=50÷0.1，a=500﹣（50+75+150），c=150÷500；（2）m%=×100%；（3）估计成绩在95分及以上的学生大约有5000×0.45人. 【详解】解：（1）b=50÷0.1=500， a=500﹣（50+75+150）=225， c=150÷500=0.3； 故答案为225，500，0.3； （2）m%=×100%=45%， ∴m=45， “C”所对应的圆心角的度数是360°×0.3=108°， 故答案为45，108°； （3）5000×0.45=2250， 答：估计成绩在95分及以上的学生大约有2250人． 【点睛】本题考核知识点：数据的描述,用样本估计总体. 解题关键点：从统计图表分析出有用信息. 19. 【问题背景】 尽享春日好时光，张梅和家人去某自然景区游玩，在欣赏美景的同时张梅用所学过的知识来记录他们的行程． 【收集信息】 张梅从景区发的宣传册中发现了他们所走的线路图，如图①． 【建立模型】 张梅通过乘坐的观光车所走的路程，绘制了如图②所示的函数图象，观光车从入口出发，经过景点甲，在景点甲停留一段时间，然后继续行驶到达终点．折线表示观光车到终点的路程与行驶时间之间的关系． 【解决问题】 （1）请求出线段表示的函数表达式； （2）请通过计算求观光车在景点甲停留的时间． 【答案】（1） （2）1小时 【解析】 【分析】本题考查用待定系数法求一次函数解析式，函数图象，从函数图象获取有用信息是解题的关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）先求出点C的时间，即可求得线段表示的时间，即可求解． 【小问1详解】 解：设线段表示的函数表达式为， 把，分别代入，得 ，解得：， ∴线段表示的函数表达式为． 【小问2详解】 解：由图可得，当时，，解得， ∴(小时）， ∴观光车在景点甲停留了1小时． 20. 某数学小组用五个全等的菱形设计一个左右对称的无人机模型，如图所示的是该无人机模型的两种设计方案的俯视图，其中A，D，F，G四点始终在同一条直线上，图形关于直线对称． （1）如图1，若B，C，D，E四点在同一条直线上，连接，__________； （2）如图2，若菱形的边长为，，求点N到点G的距离，（结果精确到．参考数据：，，，，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据菱形的性质得到，进而得出，，然后利用三角形内角和定理求解即可； （2）连接交于点P，首先得出，然后根据对称的性质得到，，，然后解直角三角形求解即可． 【小问1详解】 解：∵五个菱形两两全等， ∴， ∴，， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，连接交于点P ∵菱形的边长为， ∴， ∵A，D，F，G四点始终在同一条直线上， ∴， ∵图形关于直线对称， ∴点N和点G关于直线对称， ∴，，， ∴在中，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了解直角三角形，菱形的性质，轴对称性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 21. 在中，是的直径，弦垂直于，垂足为点，过点作的切线交的延长线于点． （1）如图①，若，求； （2）如图②，若，，是的中点，连接，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据垂径定理推论得到，再根据圆周角定理可求，由切线的性质得到，即可求解； （2）连接，过点M作，垂足为点H，解得出，，然后通过以及对运用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：连接， ∵弦垂直于，经过圆心， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：连接，过点M作，垂足为点H， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴在中，， ∵， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵弦垂直于，经过圆心， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理以及解直角三角形，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 22. 探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 如图，在矩形中，，将矩形绕点C旋转，得到矩形． 【初步感知】 （1）如图1，将矩形绕点C顺时针旋转，当时，连接，． ①求证：， ②求出，，的数量关系（直接写出结论，不必证明）； 【深入探究】 （2）将矩形绕点C旋转，当且点E落在直线上时，试探究线段，，的数量关系，并写出证明过程； 【拓展运用】 （3）如图2，将矩形绕点C旋转顺时针旋转，点G落在上，与，分别交于点Q，P，当F，D，Q三点共线时，直接写出的值． 【答案】（1）①证明：， ， ， ， ， ， ， ， ②； （2）点E落在直线上时，，点E落在线段上时，，理由如下： 结论①：（等价结果也正确）， 当，点E落在直线上时，连接，交于点H， 在中， ， 在与中， ， ， ， 点A，D，F三点共线， ， 设， 在中， ， 由，得出， 在中， ， （等价结果也正确）， 结论②：（等价结果也正确）， 当，点E落在线段上时，连接， 在中， ， 在与中， ， ， ， 点A，B，F三点共线， 在中，，， 设，， （等价结果也正确）， 综上所述：点E落在直线上时，， 点E落在线段上时，； （3） 【解析】 【分析】（1）①由，，得到，结合，，即可求解，②由，，，通过等量代换，即可求解， （2）①点E落在直线上时，连接，交于点H，在与中，由，，得到，点A，D，F三点共线，设，在中，得出，在中，，即可求解，②点E落在线段上时，连接，在与中，由，，得到，点A，B，F三点共线，在中，，，设，，即可求解， （3）作，延长交于点， 由，得到，，由，得到，由，得到，设，，则， ，，由，得，解得：，由，，，得到，由，得到，将，，代入，即可求解， 本题考查了，矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，解题的关键是：找到等量关系，列出等量关系式． 【详解】解：（1）①略 ②∵，，， ∴， ∴（等价结果也正确）； （2）略 （3）过点，作，交于点，延长交于点，连接、， ∴， ∵矩形， ∴，， ∴，， 由旋转的性质可得：，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵矩形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 设，，则：，，， ∴， ∵， ∴， ∴,即：，解得：，（舍）， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，，，即：， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 23. 定义：在平面直角坐标系中，点是某函数图象上的一点，作该函数图象中自变量大于m的部分关于直线的轴对称图形，与原函数图象中自变量大于或等于m的部分共同构成一个新函数的图象，则这个新函数叫做原函数关于点的“派生函数”． 例如：图1是函数的图象，则它关于点的“派生函数”的图象如图2所示，且它的“派生函数”的解析式为． （1）在图3中画出函数关于点的“派生函数”的图象； （2）点M是函数的图象上的一点，设点M的横坐标为m，是函数H关于点M的“派生函数”． ①当时，若函数值的范围是，求此时自变量x的取值范围； ②直接写出以点为顶点的正方形与函数的图象只有两个公共点时，m的取值范围． 【答案】（1） 图象如图所示， （2）①；②或． 【解析】 【分析】（1）根据“派生函数”的定义在的部分任取一点关于直线x=1的对称点为，再运用待定系数法求出对称部分的函数解析式，即可画出其图象； （2）①根据“派生函数”的定义求出函数的解析式为，画出其图象即得出答案；②根据“派生函数”的定义求出函数的解析式为，即函数中的部分只是由左右平移而来．画出图象，再分类讨论即可得出结果． 【小问1详解】 函数在的部分任取一点，其关于直线的对称点为， 设函数图象关于对称的部分的图象解析式为， 将代入解析式，得：， 解得：， ∴“派生函数”的解析式为， 【小问2详解】 ①∵函数， ∴其顶点坐标为． ∵点关于直线的对称点坐标为， ∴函数关于直线对称的图象的解析式为：， ∴的解析式为， ∴其图象如图． 令，则， 解得：． ∵， ∴结合图象可知此时； ②函数的顶点坐标为， 点关于对称的点的坐标为， ∴函数关于对称的函数解析式为， ∴的解析式为， ∴函数中的部分只是由左右平移而来． 分类讨论：当函数中经过点D时，如图，此时正方形与函数的图象有1个公共点，即再往左移动即有2个公共点． 将代入，得， 解得：， ∵此时， ∴， ∴； 当函数中的图象移动到如图所示的位置时，恰有3个交点，即到达此位置之前都为2个交点，此时． 将代入，即 解得：（舍）， ∴， 再将代入，得： 解得：． ∵此时， ∴， ∴， ∴当时，正方形与函数的图象有2个公共点； 当函数中的图象继续移动到经过C点时，此时有3个交点，再继续运动有2个交点． ∴将代入，得， 解得：，． ∵此时， ∴， ∴， ∴当时，正方形与函数的图象有2个公共点； 综上可知正方形与函数的图象只有两个公共点时，m的取值范围是或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，为压轴题．理解并运用新定义“派生函数”，能够将图象的对称转化为点的对称，再借助图象解题是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $