精品解析：安徽省合肥市第四十五中学森林城分校2024-2025学年下学期九年级5月月考数学试卷

2024-2025学年下学期九年级5月份月考数学试卷 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 3．考试结束后，请将"试题卷"和"答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的） 1. 下列各数中，是负数的是（　　） A. B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查负数的定义，化简绝对值和多重符号，将各数计算后进行判断即可． 【详解】解：A．，不是负数，则A不符合题意； B．0不是负数，则B不符合题意； C．是负数，则C符合题意； D．，不是负数，则D不符合题意； 故选：C． 2. 是由幻方量化创立的人工智能公司，专注语言模型研究．它发布的模型总参数为6710亿，每个激活370亿参数．数据“370亿”用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法表示绝对值大于1的数，熟练掌握相关知识是解题的关键；将370亿化为37000000000，再写成的形式，其中，n为正整数． 【详解】解：370亿=． 故选：B． 3. 某校举办运动会，运动会的领奖台可以近似的看成如图所示的立体图形，下面四幅图中，不可能是该几何体的三视图的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三视图“从正面观察物体所得到的视图是主视图，从左面观察物体所得到的视图是左视图，从上面观察物体所得到的视图是俯视图”，熟练掌握三视图的定义是解题关键．根据三视图的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、不可能是该几何体的三视图，则此项符合题意； B、是该几何体的主视图，则此项不符合题意； C、是该几何体的俯视图，则此项不符合题意； D、是该几何体的左视图，则此项不符合题意； 故选：A． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项、同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D 5. 如图，AB是⊙O的直径，点C、D都在⊙O上，若∠ABD＝63°、∠DCO＝24°，则∠BDC的度数是（ ） A. 15° B. 24° C. 39° D. 63° 【答案】C 【解析】 【分析】连接AC，如图，根据圆周角定理得到∠ACD=∠ABD=63°，则可计算出∠ACO=39°，再根据等腰三角形的性质得∠A=∠ACO=39°，然后根据圆周角定理得到∠BDC的度数． 【详解】解：连接AC，如图， ∵∠ACD=∠ABD=63°，∠DCO=24°， ∴∠ACO=∠ACD-∠DCO=63°-24°=39°， ∵OA=OC， ∴∠A=∠ACO=39°， ∴∠BDC=∠A=39°． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 6. 今年是蛇年，生物学研究表明，某种蛇在一定生长阶段，其体长 y（单位：）是尾长x（单位：）的一次函数，部分数据如下表所示，则当蛇的尾长为时，它的体长为（　　） 尾长x（单位：） 4 8 20 体长y（单位：） 30.5 60.5 150.5 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查用待定系数法求一次函数关系式，一次函数图象上点的坐标特征，根据题意可设，利用待定系数法求出k，b即得x、y之间的函数关系式，再将代入解析式计算即可得到结果． 【详解】解：∵蛇的体长是尾长的一次函数， 设， 把时，；时，代入得， 解得， ∴y与x之间的关系式为， 当时，则． 故选：D． 7. 如图，四边形中，对角线，相交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，根据平行四边形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、两组对边分别相等的四边形为平行四边形，可以判定四边形为平行四边形，不符合题意； B、∵，，， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，不符合题意； C、对角线互相平分的四边形为平行四边形，可以判定四边形为平行四边形，不符合题意； D、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，可能是等腰梯形，不可以判定四边形为平行四边形，符合题意； 故选D． 8. 如图，、分别为的边、的中点，连接，过点作平分，交于点，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据角平分线，平行线和等腰三角形的性质可求出线段DE的长度，进一步根据中位线的性质即可求出BC的长． 【详解】解：，为，中点，AD=7， ，且，AD=BD=7 ， 又平分， ，即， ， 则， ． 故选：A． 【点睛】此题考查了角平分线，平行线，等腰三角形，三角形中位线的性质，熟练运用角平分线，平行线，等腰三角形，三角形中位线的性质是解题的关键． 9. 如图，在中，，，，动点，同时从出发，点以每秒3个单位长度沿向终点运动；点以每秒1个单位长度沿向终点运动，当其中一动点运动至终点时，另一动点随之停止运动．设运动时间为，的面积为，则关于的函数关系的图像是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的知识点是动点问题函数图象、一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质，解题关键是分段考虑，正确表示出时关于的函数解析式． 分三种情况可得该时间段内关于的函数解析式，结合二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质即可判断正确图象． 【详解】解：∵在中，，，， ∴，， ∴点达到点所需要的时间为：（秒）， 点达到点所需要的时间为：（秒）， ∴，故选项C、D错误； 当时，点在上运动，此时，， 如图，作交于点， ∴， ∴， 根据二次函数的性质可得，此时表示与函数关系的图象应为开口向上的抛物线， 当，点在上运动， 如图，过点作交于点， ， ∴； 根据一次函数的性质此时表示与函数关系的图象是一条斜向上的线段； 当，点在上运动，作交延长线于点， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据二次函数的性质可得，此时表示与函数关系的图象应为开口向下的抛物线； 则选项错误、选项正确． 故选：B． 10. 如图，在等腰中，，，是边上的中点，点，分别在，边上运动，且保持．连接，，．在此运动变化的过程中，下列结论：①是等腰直角三角形；②四边形不可能为正方形，③长度的最小值为；④四边形的面积保持不变；⑤面积的最大值为4，其中正确的结论是（ ） A. ①②④ B. ①④⑤ C. ①③④ D. ①③④⑤ 【答案】C 【解析】 【分析】①连接，证明，得到是等腰直角三角形；②根据中点的性质和直角三角形的性质得到四边形是菱形，利用正方形的判定定理进行判断；③当最小时，也最小，利用垂线段的性质求出的最小值，进行计算即可；④根据，得到；⑤由③的结论进行计算即可． 【详解】①连接， ∵是等腰直角三角形，且F是边上的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，①正确； ②当D、E分别为、中点，即、分别为和斜边上的中线， ∴，， ∴， ∴四边形是菱形，又， ∴四边形是正方形，②错误； ③由于是等腰直角三角形，因此当最小时，也最小， 当时，最小，此时． ∴，③正确； ④∵， ∴， ∴， ∵F 是边上的中点， ∴ ∴四边形的面积保持不变，④正确； ⑤由③可知当最小时，也最小，的最小值是3，则的最小值为， 当面积最大时，此时的面积最小． 此时 ，⑤错误． 综上，正确的是：①③④． 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的判定、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线，掌握正方形的判定定理、全等三角形的判定定理和性质定理、理解点到直线的距离的概念是解题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分 20分） 11. 分式方程的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，去分母将方程化为，解此方程，检验，即可求解；掌握分式方程的解法是解题的关键． 【详解】解：方程两边同时乘以（）得 ， 解得：， 检验：当时， ， 故原方程的解为． 12. 计算： ___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查零指数幂和负整数指数幂，熟练掌握零指数幂和负整数指数幂的计算方法是解题的关键．利用零指数幂和负整数指数幂的计算方法计算即可． 【详解】解： ． 13. 为了培养同学们的创新精神和实践能力，某校组织学生开展了为期一周的社会实践活动．学校开设了A．“皮影戏”，B．“香包绣制”，C．“甘肃勇纸”，D．“洮砚制作技艺”四门实践课程供学生选择，且每人只能参加一门实践课程．甲、乙两位同学各自从这四门实践课程中随机选一门，他们选择的实践课程相同的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法求解概率：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式求出事件或的概率即可． 【详解】解：列表如下： 由表格可知，一共有16种等可能性的结果数，其中他们选择的实践课程相同的结果数有4种， ∴他们选择的实践课程相同的概率为， 故答案为：． 14. 如图，四边形是矩形纸片，，．在边上取一点E．将纸片沿折叠，使点B落在边上的F处， （1）如图1，则的长等于______； （2）如图2，作，点M为的中点，则的长为______； 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质可得，根据勾股定理求出的长度，则得出的长度，设，则，在中，根据列出方程求解即可； （2）过点作，分别交于点，根据面积法求出的长度，证明，从而得出的长度，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）根据折叠的性质可得， 在中， ∴， 设，则， 则在中，， 即， 解得：， ∴， 故答案为：； （2）过点作，分别交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵M为的中点， ∴， ∴， ∴在中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，勾股定理，相似三角形的判定与性质，灵活运用所学知识点解题是本题的关键． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程：． 【答案】无实数根． 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，一元二次方程根的判别式，先将分式方程两边同时乘以化为一元二次方程，再根据根的判别式即可求解，熟练掌握分式方程的解法及一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【详解】解： ∵， ∴一元二次方程无实数根， ∴原分式方程无实数根． 16. 某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我间开店李三公，众客都来到店中，一房五客多五客，一房七客一房空诗中后两句的意思是：如果每一间客房住5人，那么有5人无房住：如果每一间客房住7人，那么就空出一间房．求该店有客房多少间？房客多少人？ 【答案】该店有客房6间，房客35人 【解析】 【分析】根据题意设出房间数，进而表示出总人数得出等式方程求出即可． 【详解】解：该店有客房间，房客人．则 解得 当时， 答：该店有客房6间，房客35人． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握一元一次方程的解题方法是解题的关键． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． （1）将向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到，请画出； （2）已知点M为的中点，以点M为旋转中心，将线段顺时针旋转，得到线段，请画出线段． 【答案】（1）如图，即为所求． （2） 如图，即为所求： 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质可将点、、向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，再把平移后得到的点连接，即可得到； （2）取的中点，根据旋转的性质将、分别绕点顺时针旋转，把旋转后所得到的点连接，即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了平移变换和旋转变换作图，熟练掌握旋转和平移的性质是解决问题的关键． 18. 观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …… （1）请直接写出第6个等式：___________； （2）请根据上述等式的规律，猜想出第个等式（用含的式子表示，为正整数），并证明你的猜想． 【答案】（1）； （2）猜想：． 证明：等式左边等式右边， 故猜想成立． 【解析】 【分析】（1）根据前五个等式即可直接写出第6个等式； （2）根据题干中等式的规律即可猜想出第个等式，根据整式的混合运算计算等式的左边，即可得到左边=右边． 【详解】解（1）第6个等式：， 故答案为：； （2）略 【点睛】本题考查了整式运算中从特殊到一般的规律探究问题，解题的关键是认真观察题中给出的等式的共同特点，猜想出一般规律，熟练掌握整式的混合运算发则进行证明． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，无人机在塔树上方处悬停，测得塔顶的俯角为，树顶的俯角为，树高为米，无人机竖直高度为60米，、、在一条直线上，且点到塔底的距离比到树底的距离多米，求塔高的值．（结果可保留根号，参考数据：，，） 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，延长交于点，延长交于点，由题意得：，，米，，，从而可得（米），在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，用锐角三角函数的定义求出的长即可求解，解题的关键是根据题意添加适当的辅助线． 【详解】解：如图：延长交于点，延长交于点， 由题意得：，，米，，， ∵米， ∴（米）， 在中，， ∴（米）， ∵， ∴， ∴米， 在中，， ∴米， ∴米， ∴塔高的值为米， 20. 如图，是的外接圆，是的直径，在上取点E，线段的延长线交于点D，交过点A的切线于F点，若． （1）求证：平分； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：如图:连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵, ∴， ∴， ∴平分． （2） 【解析】 【分析】（1）如图:连接，根据切线的性质可得，进而得到；同理可得：；再根据等腰三角形的性质可得，进而得到，即可证明结论； （2）由勾股定理可得，然后再证可得，进而得到，再根据求得即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴ ∵， ∴， ∴,即， ∵， ∴， ∵，即,解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查圆的切线的性质、角平分线的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，理解圆的切线的性质是解答本题的关键． 六、（本题满分12分） 21. 生命在上，安全为天！远离伤痛，珍爱生命！为了提高全县学生的安全防范意识，加强学生的自我保护能力，孝昌县教育局组织抽查了全县1500名学生的“防溺水等安全知识”问答，抽查结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分成如下表所示的，，，，五个等级，并绘制了如图不完整的统计图，请结合统计图，解答下列问题： 等级 成绩 学生成绩频数分布直方图 学生成绩扇形统计图 （1）本次调查一共随机抽取了_____名学生的成绩，频数分布直方图中_____； （2）补全学生成绩频数分布直方图；组所在扇形的圆心角的度数是______； （3）若成绩在80分及以上为优秀，估计该样本中成绩优秀的学生大约有______人． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了频数分布直方图（表），扇形统计图，样本估计总体等知识，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）根据等级的人数和所占的百分比求出样本的总人数，再用总人数乘以等级所占的百分比求出； （2）求出等级的人数即可补全频数分布直方图，再利用等级的人数除以样本的总人数乘以即可解题； （3）根据图表信息先求出优秀所占的百分比，再与总数相乘即可解题． 【小问1详解】 解：由图表可知：等级的人数有人，占扇形图的， 故本次调查抽取的学生总人数为：（人）， 等级占扇形图的， 等级的人数为：（人）， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由题可知：等级的人数为：（人）， 补全频数分布直方图如下： 由图表可知：等级的人数为人，故组所在扇形的圆心角的度数为：， 故答案为：； 【小问3详解】 解：由图表可知：成绩在80分及以上的有等级、，人数分别为、， 该样本中成绩优秀的学生为：（人）， 故答案为：． 七、（本题满分12分） 22. 已知矩形，，把矩形绕点C顺时针旋转，得到矩形，连接，交于点N． （1）如图1，若点F落在边上，过点B作，垂足为点M，连接，求证：； （2）如图2，若点F在上方，连接交于点P，连接，若， ①求证：； ②求的长． 【答案】（1） 证明：， ， 矩形， ，，， ， ， ，， ， ， ， ， 在与中， ， ； （2）①过点作，垂足为点 矩形，， ，， ， ， ， ， ，， ，， ∴， （舍），， ，， ， ， ， 设，则， 在中， ， ， 解得，（舍）， ， ② 【解析】 【分析】（1）先证明，由角平分线的性质得，进而可证，然后根据可证； （2）①证明得，可得，求出，证明得，设，则，在中利用勾股定理求得，然后利用即可求解； ②证明得，代入数值可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②，， ， ， ， ， ，，， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，等边对等角等等，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 八、（本题满分14分） 23. 如图，直线与轴交于点，与轴交于点，经过、两点的抛物线与轴的另一交点为． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点是该抛物线上的动点，过点作轴于点，交于点，设点的横坐标为． ①求面积S与的函数表达式，并求S的最大值； ②当为等腰三角形时，直接写出所有满足条件的的值． 【答案】（1）； （2）①，S的最大值6；②满足条件的t的值为或或． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键． （1）设，将点代入即可求解； （2）①由，则，求出，再由即可求解； ②分三种情况讨论：当时，；当时，过点C作交于M，则M为的中点；当时，过点P作交于N，则N是的中点；分别求出t的值即可． 【小问1详解】 解：直线与x轴，y轴的交点坐标分别为， ∵抛物线与x轴的另一交点为， 设所求抛物线的函数表达式为， 把点代入，得， 解得， ∴所求抛物线的函数表达式为，即； 【小问2详解】 解：①，则， ∴， ∵，， ∴ ， ∵， ∴当时，S有最大值6； ②过点C作交于M， 则，， ∴ 分三种情况讨论： 当时，， 解得或（舍）； 当时，则M为的中点，如图1， ∴， 解得或（舍）； 当时，过点P作交于N，则N是的中点，如图2， ∴， ∴， 解得或（舍去）； 综上所述：满足条件的t的值为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年下学期九年级5月份月考数学试卷 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 3．考试结束后，请将"试题卷"和"答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的） 1. 下列各数中，是负数的是（　　） A. B. 0 C. D. 2. 是由幻方量化创立的人工智能公司，专注语言模型研究．它发布的模型总参数为6710亿，每个激活370亿参数．数据“370亿”用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 某校举办运动会，运动会的领奖台可以近似的看成如图所示的立体图形，下面四幅图中，不可能是该几何体的三视图的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，AB是⊙O的直径，点C、D都在⊙O上，若∠ABD＝63°、∠DCO＝24°，则∠BDC的度数是（ ） A. 15° B. 24° C. 39° D. 63° 6. 今年是蛇年，生物学研究表明，某种蛇在一定生长阶段，其体长 y（单位：）是尾长x（单位：）的一次函数，部分数据如下表所示，则当蛇的尾长为时，它的体长为（　　） 尾长x（单位：） 4 8 20 体长y（单位：） 30.5 60.5 150.5 A. B. C. D. 7. 如图，四边形中，对角线，相交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 如图，、分别为的边、的中点，连接，过点作平分，交于点，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，，动点，同时从出发，点以每秒3个单位长度沿向终点运动；点以每秒1个单位长度沿向终点运动，当其中一动点运动至终点时，另一动点随之停止运动．设运动时间为，的面积为，则关于的函数关系的图像是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在等腰中，，，是边上的中点，点，分别在，边上运动，且保持．连接，，．在此运动变化的过程中，下列结论：①是等腰直角三角形；②四边形不可能为正方形，③长度的最小值为；④四边形的面积保持不变；⑤面积的最大值为4，其中正确的结论是（ ） A. ①②④ B. ①④⑤ C. ①③④ D. ①③④⑤ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分 20分） 11. 分式方程的解为______． 12. 计算： ___________． 13. 为了培养同学们的创新精神和实践能力，某校组织学生开展了为期一周的社会实践活动．学校开设了A．“皮影戏”，B．“香包绣制”，C．“甘肃勇纸”，D．“洮砚制作技艺”四门实践课程供学生选择，且每人只能参加一门实践课程．甲、乙两位同学各自从这四门实践课程中随机选一门，他们选择的实践课程相同的概率为________． 14. 如图，四边形是矩形纸片，，．在边上取一点E．将纸片沿折叠，使点B落在边上的F处， （1）如图1，则的长等于______； （2）如图2，作，点M为的中点，则的长为______； 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程：． 16. 某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我间开店李三公，众客都来到店中，一房五客多五客，一房七客一房空诗中后两句的意思是：如果每一间客房住5人，那么有5人无房住：如果每一间客房住7人，那么就空出一间房．求该店有客房多少间？房客多少人？ 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． （1）将向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到，请画出； （2）已知点M为的中点，以点M为旋转中心，将线段顺时针旋转，得到线段，请画出线段． 18. 观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …… （1）请直接写出第6个等式：___________； （2）请根据上述等式的规律，猜想出第个等式（用含的式子表示，为正整数），并证明你的猜想． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，无人机在塔树上方处悬停，测得塔顶的俯角为，树顶的俯角为，树高为米，无人机竖直高度为60米，、、在一条直线上，且点到塔底的距离比到树底的距离多米，求塔高的值．（结果可保留根号，参考数据：，，） 20. 如图，是的外接圆，是的直径，在上取点E，线段的延长线交于点D，交过点A的切线于F点，若． （1）求证：平分； （2）若，求的长． 六、（本题满分12分） 21. 生命在上，安全为天！远离伤痛，珍爱生命！为了提高全县学生的安全防范意识，加强学生的自我保护能力，孝昌县教育局组织抽查了全县1500名学生的“防溺水等安全知识”问答，抽查结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分成如下表所示的，，，，五个等级，并绘制了如图不完整的统计图，请结合统计图，解答下列问题： 等级 成绩 学生成绩频数分布直方图 学生成绩扇形统计图 （1）本次调查一共随机抽取了_____名学生的成绩，频数分布直方图中_____； （2）补全学生成绩频数分布直方图；组所在扇形的圆心角的度数是______； （3）若成绩在80分及以上为优秀，估计该样本中成绩优秀的学生大约有______人． 七、（本题满分12分） 22. 已知矩形，，把矩形绕点C顺时针旋转，得到矩形，连接，交于点N． （1）如图1，若点F落在边上，过点B作，垂足为点M，连接，求证：； （2）如图2，若点F在上方，连接交于点P，连接，若， ①求证：； ②求的长． 八、（本题满分14分） 23. 如图，直线与轴交于点，与轴交于点，经过、两点的抛物线与轴的另一交点为． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点是该抛物线上的动点，过点作轴于点，交于点，设点的横坐标为． ①求面积S与的函数表达式，并求S的最大值； ②当为等腰三角形时，直接写出所有满足条件的的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $