2025年广东省中学生数学冬令营测试（二）试题

2025年广东省中学生数学冬令营测试（二） 一试 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分． 1． 设a为实数，函数的定义域为，值域为，若，则a的取值范围为_________． 2． 已知在△ABC中，，，则_________． 3． 在平面直角坐标系xOy中，为第一象限内的整点（横纵坐标均为整数的点），若两两的数量积分别为，则_________． 4． 设复数满足，且，则_________． 5． 在平面直角坐标系xOy中，已知点，点在曲线上，满足轴，则四边形ABCD周长的最小值为_________． 6． 设为复数，关于复数的方程的所有解构成无穷集合，设，则的最小值为_________． 7． 将排成一行，满足任意相邻两数互素，则符合条件的排法共有_________种． 8． 在正方体中，为棱的中点，在平面上，满足，设动点的轨迹为圆锥曲线，则的离心率为_________． 二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9．（16分） 已知正整数n，正整数列递增，且，，求的最小值． 10．（20分） 设非负实数满足，求的最小值． 11．（20分） 设p为实数，若存在实数，使得对任意实数，存在实数，使得，求实数p的取值范围． 加试 一、（本题满分40分） 设数列和满足对任意正整数n，有或，若，求的最大值． 二、（本题满分40分） 是否可以将平面上的点红、黄、蓝三染色，满足每种颜色的点都有，且每对红色点与黄色点间距离不为1，任意两个蓝色点间距离不为1？若可以，请写出染色方法并证明；若不可以，请说明理由． 三、（本题满分50分） 如图，△ABC的外心为O，垂心为H，点D,P在△ABC的外接圆上，满足AD⊥OH，CP＝CB，点E满足EA⊥AP，ED⊥DB，证明：OE⊥BC． 四、（本题满分50分） 表示正整数n的正因数个数，证明：对任意正整数，． 学科网（北京）股份有限公司 $$