2025年广东省中学生数学冬令营测试（一）试题

2025年广东省中学生数学冬令营测试（一） 一试 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分． 1． 设m为实数，集合，若，则m的所有可能值之和为_________． 2． 已知正三角形ABC的边长为1，λ为实数，则的最小值为_________． 3． 设a为实数，若关于实数x的不等式的解集为，则a的值为_________． 4． 设x,y为正实数，满足，则t的取值范围为_________． 5． 将4对夫妻排成一行，则至少有1对夫妻相邻的排列方法为_________种． 6． 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆，点，P为C上一动点，Q为线段AB上一动点，则的取值范围为_________． 7． 已知正九边形，将其每个顶点染红、黄、蓝三种颜色中的一种（不一定使用所有颜色），将任意两个同色的顶点用线段连结，设这些线段的长度构成集合，若对任意的，均可作为某个三角形的三边长，则满足条件的染色方法数为_________． 8． 设复数z满足，则的最小值为_________． 二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9．（16分） 设x为实数，集合，，若，求x． 10．（20分） 已知正整数a，证明：对任意正整数，都存在正整数，使得构成等差数列． 11．（20分） 设a,b为实数，记定义在上的函数 的最大值为，求的最小值． 加试 一、（本题满分40分） 如图，△ABC的内心为I，M是BC的中点，作ID⊥BC，垂足为D，作MN⊥AI，垂足为N，设O是△ADN外接圆的圆心，证明：OM⊥BC． 二、（本题满分40分） 设是实数，满足，记，求的最大值． 三、（本题满分50分） 求所有的映射，满足对任意，有 ． 四、（本题满分50分） 对有限实数集A，记（其中规定）．给定正整数，对n元实数集S及实数t，定义集合，证明：对任意的S,t， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$