第09讲 函数的实际应用及零点讲义——2026年广东省春季高考数学复习资料

第09讲 函数的实际应用及零点 考向一 零点 【例1】（1）函数的零点是（   ） A． B． C． D． （2）函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 （3）函数的零点为（    ） A．2 B． C．或 D．2和 【答案】（1）C（2）C（3）D 【解析】（1）由，得，所以函数的零点是.故选：C （2）当时，令，解得， 当时，，，在连续， 所以在上存在零点，又因为单调递增，所以函数在上有唯一零点，综上，的零点个数为2.故选：C （3）令，则，解得或．故选：D. 【变式】 1．函数的零点是（   ） A．1 B． C． D．或1 【答案】A 【解析】由，即，所以函数的定义域为。 令，解得（舍去）或，所以函数的零点是1.故选：A. 2．函数的零点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，可得，所以，故.所以函数的零点是. 故选：B. 3．函数的零点是（    ） A． B．1，2 C． D． 【答案】D 【解析】令，解得，由零点定义可得函数的零点是. 故选：D 4．函数的所有零点之和为（    ） A．8 B．7 C．5 D．4 【答案】B 【解析】当时，，解得；当时，，解得， 所以函数的零点和为7.故选：B 考向二 零点区间 【例2-1】函数的零点所在区间为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】显然在上单调递增，由于，则由零点存在性定理知选C． 故选：C. 【例2-2】函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，，且为增函数，所以的零点所在的区间为.故选：C. 【变式】 1．函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在上单调递增，，在区间上单调递减， 函数在区间上单调递增， ，， 函数的唯一零点所在的区间是. 故选：B. 2．已知函数．在下列区间中，包含零点的区间是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时， 在上恒成立，这表明函数在上没有零点，故A选项错误. 在，，连续，且单调递减，下面证明： 设，则. 对其进行化简： ， 因为，所以，，，，那么. 所以，即，也就是. 根据函数单调性的定义，函数在上是减函数. 当时，，当，， 当，，当，. 根据函数零点存在定理可知，可以判定函数在区间内有一个零点，故C选项正确. 在区间， 没有零点，故B选项错误. 在区间，也没有零点，故D选项错误. 故选：C 3．函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】易知是上的增函数，又，，所以的零点所在区间是． 故选：A. 4．对于函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数，结合选项，只考虑上的情况即可，设， 则 ， 因为，故， 即， 故在上单调递增， 由于，， ，结合选项知函数的零点所在的区间为，故选：B． 考向三 函数的实际应用 【例3-1】．某公司租地建仓库，每月土地占用费与车库到车站的距离成反比，而每月的库存货物的运费与车库到车站的距离成正比如果在距离车站公里处建立仓库，这两项费用和分别为万元和万元． (1)分别求出和关于距离的关系式； (2)求若要使得这两项费用之和最小时，仓库应建在距离车站多远处？此时最少费用为多少万元？ 【答案】(1)，． (2)仓库应建在距离车站公里处，此时最少费用为万元． 【解析】（1）设，， 由题意可得：，，解得，． 所以，. （2）设这两项费用之和为， 则 ， ， 当且仅当，即时取得等号． 答：若要使得这两项费用之和最小时，仓库应建在距离车站公里处，此时最少费用为万元． 【例3-2】某公司投资5万元，成功研制出一种市场需求量大的高科技替代产品，并投入资金15万元进行批量生产．已知生产每件产品的成本为4元，在销售过程中发现：当销售单价定为10元时，年销售量为2万件；销售单价每增加1元，年销售量将减少万件．设销售单价为x元．第一年获利y万元．（年获利=年销售额-生产成本-投资） (1)试写出y与x之间的函数关系式； (2)公司计划：在第一年按年获利最大确定的销售单价进行销售，第二年获利不低于万元．请问第二年的销售单价应定在什么范围内？ 【答案】(1)； (2). 【解析】（1）依题意，年销量为（万件）， 所以. （2）由（1）知，，当时，， 即当销售单价定为17元时，年获利最大，并且第一年年底公司还差万元就可收回全部投资， 因此第二年的销售单价应定元，年获利万元， ，而， 即，整理得，解得， 所以第二年的销售单价的范围是. 【例3-3】“绿色出行，低碳环保”已成为新的时尚，近几年，国家相继出台了一系列的环保政策，在汽车行业提出了重点扶持新能源汽车的政策，为新能源汽车行业的发展开辟了广阔的前景．某新能源沉车配件公司为扩大生产，计划改进技术生产某种组件，已知生产该产品的年固定成本为2000万元，每生产万件，需另投入成本万元，且时，；当时，，由市场调研知，该产品每件的售价为2000元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． (1)年利润y（万元）与年产量x（万件）的关系式（利润=销售收入-成本）； (2)当该产品的年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】(1) (2)50；2200 【解析】（1）由题意可知， 当时，， 当时，， 所以年利润y（万元）与年产量x（万件）的关系式为. （2）当时，，开口向下， 所以当时，； 当时， ， 当且仅当即时，等号成立，此时， 因为， 所以，该产品的年产量为50万件时，公司所获年利润最大，利润最大为2200 【变式】 1．某厂家对某品牌热销按摩椅的销售情况做了统计，发现月销售量（台）与零售价（元）间满足：，已知第一、二月份销售情况如下表所示： 月份 1月 2月 零售价（元） 6000 6500 月销售量（台） 60 55 (1)若厂家某月将该按摩椅定价为6700元/台，则该厂家这个月能销售多少台按摩椅？ (2)若厂家生产一台按摩椅的成本为4000元，则该厂家应该如何定价才能使厂家每月利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)53台 (2)当该按摩椅定价为8000元/台时，月利润最大，最大利润为160000元 【解析】（1）由题意知，将和分别代入 得，解得，故． 当时，，故该厂家这个月能销售53台按摩椅． （2）设月利润为元，则， 当元时，，故当该按摩椅定价为8000元/台时，月利润最大， 最大利润为160000元． 2．辽阳大果榛子外形美观、果大皮薄，深受消费者欢迎.某辽阳大果榛子网店为回馈新老顾客，提供两种购买大果榛子的优惠方案：第一种方案，每斤的售价为24元，顾客买x（）斤，每斤的售价降低x元；第二种方案，顾客买x（）斤，每斤的售价为元．已知每位顾客限购9斤大果榛子.设一名顾客按照第一种方案购买大果榛子的付款额为元，按照第二种方案购买大果榛子的付款额为元． (1)分别求函数，的解析式； (2)已知顾客甲、乙在这家网店均选择了更经济实惠的方案购买大果榛子，甲、乙的付款总额为135元，且甲购买了5斤大果榛子，试问乙购买了多少斤大果榛子？ 【答案】(1)，；，. (2)乙购买了2斤大果榛子 【解析】（1）根据题意，，， ，. （2）由（1），，，所以，则甲选择方案二购买，花费91元， 则乙花费元， 若乙按照方案一购买，则，解得或，又， ，即乙可以购买2斤大果榛子， 若乙按照方案二购买，则，解得， 所以乙应该按照方案一购买，乙购买2斤大果榛子. 3．设某商品的利润只由生产成本和销售收入决定．生产成本C（单位：万元）与产量x（单位：百件）的函数关系是；销售收入S（单位：万元）与产量x的函数关系式为 (1)求该商品的利润关于产量x的函数解析式；（利润＝销售收入－生产成本） (2)为使该商品的利润最大化，应如何安排产量？ 【答案】(1) (2)为使该商品的利润最大化，产量为百件. 【解析】（1）由题意，利润， 所以. （2）由（1）知，当时，， 在上单调递增，所以， 当时，在上单调递减， 所以. 综上，为使该商品的利润最大化，产量为百件. 4．某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产台的收入函数为（单位：元），其成本函数为（单位：元），利润是收入与成本之差． (1)求利润函数及利润函数的最大值； (2)为了促销，如果每月还需投入500元的宣传费用，设每台产品的利润为，求的最大值及此时的值． 【答案】(1)利润函数，最大值为（元） (2)当台时，每台产品的利润取到最大值1900元 【解析】（1）由题意知， ， 易得的对称轴为， 所以当或时，取得最大值为（元）． 所以利润函数，最大值为（元）； （2）依题意，得 （元）. 当且仅当时等号成立，即时，等号成立． 所以当台时，每台产品的利润取得最大值元． 题组一 零点 1．函数的零点为（    ） A．1， B．， C．2， D．， 【答案】B 【解析】令，即，解得：，， 所以函数的零点为和. 故选：B 2．函数的零点是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】令，解得， 故零点为， 故选：A 3．函数的零点是（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】C 【解析】由，设，则得， 解得，从而，所以. 故选：C. 4．函数的零点是 ． 【答案】1和5 【解析】令，解得函数的零点是1和5． 故答案为：1和5. 5．若函数有一个零点是1，则函数的零点是 ． 【答案】，0，1 【解析】由题意可得，可得．可得， 令，得，解得或或． 因此函数的零点是，0，1． 故答案为：，0，1． 6．函数的零点是 ． 【答案】 【解析】令，解得，所以函数的零点是． 故答案为：. 7．函数的零点为 . 【答案】 【解析】由得或， 即或或. 由得或，则不合题意， 故函数的零点为. 故答案为：. 8．函数的零点的集合为 【答案】 【解析】令，解得或， 所以函数的零点的集合为. 故答案为：. 9．函数的零点是 ． 【答案】 【解析】由已知可得，当时，； 当时，由，得， 故的零点是． 故答案为：. 10．函数的零点为 ． 【答案】 【解析】由.故答案为： 题组二 零点区间 1．函数的零点所在的大致区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】将代入函数， . 把代入函数，则. 由于，，满足，且内图像连续，根据零点存在定理可知函数在区间内有零点. 故A正确. 将代入函数，得到. 因为，，则，所以函数在区间不一定有零点. 把代入函数，可得. 由于，，即，所以函数在区间内不一定有零点. 将代入函数，得到. 因为，，则，所以函数在区间内不一定有零点. 再由于中，时，单调递增，单调递增，则时，随着变大增大. 综上所得，函数的零点所在的大致区间是， 故选：A 2．函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数、在上均为增函数， 故函数在上单调递增，且连续， 又由于，， . 由零点存在定理可知，函数的零点所在区间为. 故选：B. 3．函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为在定义域内单调递增，可知在定义域内单调递增， 且，， 所以的唯一零点在区间内． 故选：B. 4．函数，则零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】】易知是上的增函数，且，，由零点存在定理知，零点所在区间为. 故选：C. 5．已知函数，则的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】易知函数在上单调递增， 易知， ， 满足，因此的零点所在区间为. 故选：C 6．函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】是上的增函数, 又函数是上的增函数, 故是上的增函数. , , 因为,所以函数的零点所在区间是. 故选:B. 7．函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由可知，该函数在上减函数， 又，而， 由,利用零点存在定理，可得函数的零点所在区间是. 故选：C. 8．函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由函数可知：该函数在上单调递增， ，， ，， ，结合选项所给区间， 只有，根据零点存在性定理知， 的零点所在区间为， 故选：B. 9．函数的零点所在大致区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】的定义域为， 又与在上单调递增， 所以在上单调递增， 又，， 所以， 根据函数零点存在性定理可得函数的零点所在的大致区间为， 故选：A. 10．函数的零点所在的一个区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵，在区间上单调递减， 则在区间上单调递减， 且，， ，， ，∴函数的零点在上． 故选：C． 11．已知函数，则在下列区间中使函数有零点的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数为R上增函数，函数在内单调递减，函数在上单调递增， 又， 因此函数在区间内有零点，在区间上不存在零点， 当时，，则，当时，，则， 当时，，则，因此函数在上都不存在零点. 故选：B 12．函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为均在上单调递增，则在上单调递增， 由已知，，， ，， ， 由零点存在性定理可得函数的零点所在区间是. 故选：C. 13．函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由于在上均单调递增， 故在上单调递增， 又，，， ，， 即，故函数的零点所在区间是， 故选：B 题组三 函数的实际应用 1．某工厂2022年年初用100万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为50万元.设使用x年后该设备的维修、保养费用为万元，盈利总额为y万元. (1)写出y与x之间的函数关系式； (2)从第几年开始，使用该设备开始盈利? 【答案】(1) (2)第三年 【解析】（1）由已知可得，. （2）当时，开始盈利， 即，整理可得， 解得. 又，所以，即从第三年开始盈利. 2．近几年来，“盲盒文化”广为流行，这种文化已经在中国落地生根，并发展处具有中国特色的盲盒经济，某盲盒生产及销售公司今年初用98万购进一批盲盒生产线，每年可有50万的总收入，已知生产此盲盒年（为正整数）所用的各种费用总计为万元. (1)该公司第几年首次盈利（总收入超过总支出，今年为第一年）？ (2)该公司第几年年平均利润最大，最大是多少？ 【答案】(1)第3年 (2)第7年平均利润最大，为12万元 【解析】（1）设利润为，则， 由整理得， 解得，由于， 所以，所以第3年首次盈利. （2）首先， 由（1）得平均利润万元， 当且仅当，万元时等号成立， 综上，第7年，平均利润最大，为12万元. 3．实行垃圾分类，关系生态环境．某企业新建了一座垃圾回收利用工厂，于2024年年初用98万元购进一台垃圾回收分类生产设备，并立即投入生产使用．该设备使用后，每年的总收入为50万元．若该设备使用x年所需维修保养费的总和为万元（2024年为第一年），设该设备产生的盈利总额（纯利润）为y万元． (1)写出y与x之间的函数关系式，并求出该机床从第几年开始全年盈利（盈利总额为正值）； (2)使用若干年后，对设备的处理方案有两种： ①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该设备（年平均盈利额＝盈利总额使用年数）； ②当盈利总额达到最大值时，以10万元价格处理该设备． 试问以上哪种方案处理较为合理？请说明你的理由． 【答案】(1)，从第 3 年开始该设备开始全年盈利； (2)方案①比较合理，理由见解析. 【解析】（1）依题意，， 解不等式，得，而，则， 所以从第 3 年该设备开始全年盈利. （2）①， 当且仅当时，即时等号成立， 到2030年，年平均盈利额达到最大值，该设备可获利万元， ②，当时，， 则到 2033年，盈利额达到最大值，该设备可获利 万元， 由于两种方案企业获利总额相同，而方案①所用时间较短，所以方案①比较合理. 4．某科技公司生产某种产品的固定成本为2万元，每月生产件，需要另外投入成本万元，其中，每件产品的售价为8万元，若该公司所生产的产品本年度都可以销售完毕，求： (1)将利润（单位：万元）表示为月产量的函数； (2)为了让公司所获得利润不低于10万元，求月产量的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【解析】（1）由题可知利润表示总收入减去固定成本和投入成本所得， 故. 所以利润表示为月产量的函数为. （2）当时，，令，解得； 当时，，令，解得，所以， 所以月产量的取值范围是． 5．冬季流感高发，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产.生产口罩的固定成本为400万元，每生产万箱，需另投入成本万元，当产量不足40万箱时；当产量不小于40万箱时，，若每箱口罩售价140元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完. (1)求口罩销售利润（万元）关于产量（万箱）的函数关系式；（销售利润销售总价固定成本生产成本） (2)当产量为多少万箱时，该口罩生产厂所获得利润最大，最大利润值是多少（万元）？ 【答案】(1) (2)当产量为60万箱时，该口罩生产厂所获得利润最大，最大利润值是580万元 【解析】（1）当时， 当时，， 所以． （2）当时，， ∴当时，取得最大值为500； 当时，， 当且仅当，即时，取得最大值580， 综上，当产量为60万箱时，该口罩生产厂所获得利润最大，最大利润值是580万元． 6．某服装厂生产一批羽绒服，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，其次品率p与日产量x（万件）之间满足关系：（其中m为小于24的正整数）．已知每生产1万件合格的羽绒服可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量（注：次品率=次品数/生产量，如表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品）． (1)试将生产这批羽绒服每天的盈利额y（万元）表示为日产量x（万件）的函数； (2)当日产量为多少时，可获得最大利润？ 【答案】(1) (2)答案见解析 【解析】（1）， 因为， 故当时，， 当时，， 所以； （2）m为小于24的正整数， 当时，，每天利润为0元， 当时，， 令，则， 则， 当，即时，， 当且仅当，即，时，等号成立， 当，即时，在上单调递减， 故当，即时，取得最大值， 综上，当时，日产量为万件，可获得最大利润， 当时，日产量为万件，可获得最大利润. 7．某企业生产某种产品的年固定成本为1000万元，每生产千件，需另投入生产成本（万元）.若年产量低于100千件，则生产成本；若年产量不低于100千件时，则生产成本.每千件产品售价为10万元，且生产的产品能全部售完.（“年利润”“年总收入”“生产成本”“固定成本”） (1)写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式； (2)当年产量为多少千件时，企业所获得年利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当年产量为千件时，年利润最大，最大值为万元 【解析】（1）当时，， 当时，， 所以. （2）当时，， 所以当时，利润取最大值， 当时，， 当且仅当，即时等号成立，此时利润取最大值， 因为，所以该企业年产量为千件时，所获得的利润最大，为万元. 8．随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． (1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润＝销售收入－成本）； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)； (2)年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元 【解析】（1）当时，； 当时，， ． （2）若，当时，万元； 若， ， 当且仅当时，即时，万元， 由于，故该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大， 最大利润是1680万元． 9．某科研小组研究发现：一颗梨树的产量（单位：百千克）与肥料费用（单位：百元）满足如下关系：投入的肥料费用不超过6百元时，；投入的肥料费用超过6百元且不超过10百元时，．此外，还需要投入其他成本（如施肥的人工费等）百元．已知这种梨的市场售价为18百元／百千克，且市场需求始终供不应求．记该棵梨树获得的利润为（单位：百元）． (1)求利润的函数解析式； (2)当投入的肥料费用为多少时，该梨树获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当投入的肥料费用为2百元时，该梨树获得的利润最大，最大利润是52百元 【解析】（1）由题意，， 即； （2）当时，， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，取得最大值52； 当时，， 所以当时，取得最大值，最大值为， 所以当投入的肥料费用为2百元时，该梨树获得的利润最大，最大利润是52百元． 10．已知某企业生产某种设备的最大产能为70台，每台设备的售价为80万元．记该企业生产台设备需要投入的总成本为（单位：万元），且假设生产的设备全部都能售完． (1)求利润（单位：万元）关于生产台数的函数解析式，并求该企业生产20台设备时的利润（利润销售额-成本）； (2)当生产多少台该设备时，该企业所获利润最大？最大利润是多少万元？ 【答案】(1)，400万元． (2)生产60台该设备时，该企业所获利润最大，最大利润为820万元． 【解析】（1）当时，； 当时，； 综上， 当台时，万元， 所以该企业生产20台该设备时，所获利润为400万元． （2）当时，， 故当台时，取得最大值，最大值为500万元； 当时， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故当台时，取得最大值，最大值为820万元； 因为，所以当生产60台该设备时，该企业所获利润最大，最大利润为820万元． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 函数的实际应用及零点 考向一 零点 【例1】（1）函数的零点是（   ） A． B． C． D． （2）函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 （3）函数的零点为（    ） A．2 B． C．或 D．2和 【变式】 1．函数的零点是（   ） A．1 B． C． D．或1 2．函数的零点是（    ） A． B． C． D． 3．函数的零点是（    ） A． B．1，2 C． D． 4．函数的所有零点之和为（    ） A．8 B．7 C．5 D．4 考向二 零点区间 【例2-1】函数的零点所在区间为（    ）． A． B． C． D． 【例2-2】函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 【变式】 1．函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 2．已知函数．在下列区间中，包含零点的区间是 （    ） A． B． C． D． 3．函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 4．对于函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 考向三 函数的实际应用 【例3-1】．某公司租地建仓库，每月土地占用费与车库到车站的距离成反比，而每月的库存货物的运费与车库到车站的距离成正比如果在距离车站公里处建立仓库，这两项费用和分别为万元和万元． (1)分别求出和关于距离的关系式； (2)求若要使得这两项费用之和最小时，仓库应建在距离车站多远处？此时最少费用为多少万元？ 【例3-2】某公司投资5万元，成功研制出一种市场需求量大的高科技替代产品，并投入资金15万元进行批量生产．已知生产每件产品的成本为4元，在销售过程中发现：当销售单价定为10元时，年销售量为2万件；销售单价每增加1元，年销售量将减少万件．设销售单价为x元．第一年获利y万元．（年获利=年销售额-生产成本-投资） (1)试写出y与x之间的函数关系式； (2)公司计划：在第一年按年获利最大确定的销售单价进行销售，第二年获利不低于万元．请问第二年的销售单价应定在什么范围内？ 【例3-3】“绿色出行，低碳环保”已成为新的时尚，近几年，国家相继出台了一系列的环保政策，在汽车行业提出了重点扶持新能源汽车的政策，为新能源汽车行业的发展开辟了广阔的前景．某新能源沉车配件公司为扩大生产，计划改进技术生产某种组件，已知生产该产品的年固定成本为2000万元，每生产万件，需另投入成本万元，且时，；当时，，由市场调研知，该产品每件的售价为2000元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． (1)年利润y（万元）与年产量x（万件）的关系式（利润=销售收入-成本）； (2)当该产品的年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【变式】 1．某厂家对某品牌热销按摩椅的销售情况做了统计，发现月销售量（台）与零售价（元）间满足：，已知第一、二月份销售情况如下表所示： 月份 1月 2月 零售价（元） 6000 6500 月销售量（台） 60 55 (1)若厂家某月将该按摩椅定价为6700元/台，则该厂家这个月能销售多少台按摩椅？ (2)若厂家生产一台按摩椅的成本为4000元，则该厂家应该如何定价才能使厂家每月利润最大？最大利润是多少？ 2．辽阳大果榛子外形美观、果大皮薄，深受消费者欢迎.某辽阳大果榛子网店为回馈新老顾客，提供两种购买大果榛子的优惠方案：第一种方案，每斤的售价为24元，顾客买x（）斤，每斤的售价降低x元；第二种方案，顾客买x（）斤，每斤的售价为元．已知每位顾客限购9斤大果榛子.设一名顾客按照第一种方案购买大果榛子的付款额为元，按照第二种方案购买大果榛子的付款额为元． (1)分别求函数，的解析式； (2)已知顾客甲、乙在这家网店均选择了更经济实惠的方案购买大果榛子，甲、乙的付款总额为135元，且甲购买了5斤大果榛子，试问乙购买了多少斤大果榛子？ 3．设某商品的利润只由生产成本和销售收入决定．生产成本C（单位：万元）与产量x（单位：百件）的函数关系是；销售收入S（单位：万元）与产量x的函数关系式为 (1)求该商品的利润关于产量x的函数解析式；（利润＝销售收入－生产成本） (2)为使该商品的利润最大化，应如何安排产量？ 4．某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产台的收入函数为（单位：元），其成本函数为（单位：元），利润是收入与成本之差． (1)求利润函数及利润函数的最大值； (2)为了促销，如果每月还需投入500元的宣传费用，设每台产品的利润为，求的最大值及此时的值． 题组一 零点 1．函数的零点为（    ） A．1， B．， C．2， D．， 2．函数的零点是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．函数的零点是（    ） A．0 B．1 C．2 D． 4．函数的零点是 ． 5．若函数有一个零点是1，则函数的零点是 ． 6．函数的零点是 ． 7．函数的零点为 . 8．函数的零点的集合为 9．函数的零点是 ． 10．函数的零点为 ． 题组二 零点区间 1．函数的零点所在的大致区间是（    ） A． B． C． D． 2．函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 3．函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 4．函数，则零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，则的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 6．函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 7．函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 8．函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 9．函数的零点所在大致区间是（   ） A． B． C． D． 10．函数的零点所在的一个区间是（   ） A． B． C． D． 11．已知函数，则在下列区间中使函数有零点的区间是（    ） A． B． C． D． 12．函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 13．函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 题组三 函数的实际应用 1．某工厂2022年年初用100万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为50万元.设使用x年后该设备的维修、保养费用为万元，盈利总额为y万元. (1)写出y与x之间的函数关系式； (2)从第几年开始，使用该设备开始盈利? 2．近几年来，“盲盒文化”广为流行，这种文化已经在中国落地生根，并发展处具有中国特色的盲盒经济，某盲盒生产及销售公司今年初用98万购进一批盲盒生产线，每年可有50万的总收入，已知生产此盲盒年（为正整数）所用的各种费用总计为万元. (1)该公司第几年首次盈利（总收入超过总支出，今年为第一年）？ (2)该公司第几年年平均利润最大，最大是多少？ 3．实行垃圾分类，关系生态环境．某企业新建了一座垃圾回收利用工厂，于2024年年初用98万元购进一台垃圾回收分类生产设备，并立即投入生产使用．该设备使用后，每年的总收入为50万元．若该设备使用x年所需维修保养费的总和为万元（2024年为第一年），设该设备产生的盈利总额（纯利润）为y万元． (1)写出y与x之间的函数关系式，并求出该机床从第几年开始全年盈利（盈利总额为正值）； (2)使用若干年后，对设备的处理方案有两种： ①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该设备（年平均盈利额＝盈利总额使用年数）； ②当盈利总额达到最大值时，以10万元价格处理该设备． 试问以上哪种方案处理较为合理？请说明你的理由． 4．某科技公司生产某种产品的固定成本为2万元，每月生产件，需要另外投入成本万元，其中，每件产品的售价为8万元，若该公司所生产的产品本年度都可以销售完毕，求： (1)将利润（单位：万元）表示为月产量的函数； (2)为了让公司所获得利润不低于10万元，求月产量的取值范围． 5．冬季流感高发，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产.生产口罩的固定成本为400万元，每生产万箱，需另投入成本万元，当产量不足40万箱时；当产量不小于40万箱时，，若每箱口罩售价140元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完. (1)求口罩销售利润（万元）关于产量（万箱）的函数关系式；（销售利润销售总价固定成本生产成本） (2)当产量为多少万箱时，该口罩生产厂所获得利润最大，最大利润值是多少（万元）？ 6．某服装厂生产一批羽绒服，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，其次品率p与日产量x（万件）之间满足关系：（其中m为小于24的正整数）．已知每生产1万件合格的羽绒服可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量（注：次品率=次品数/生产量，如表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品）． (1)试将生产这批羽绒服每天的盈利额y（万元）表示为日产量x（万件）的函数； (2)当日产量为多少时，可获得最大利润？ 7．某企业生产某种产品的年固定成本为1000万元，每生产千件，需另投入生产成本（万元）.若年产量低于100千件，则生产成本；若年产量不低于100千件时，则生产成本.每千件产品售价为10万元，且生产的产品能全部售完.（“年利润”“年总收入”“生产成本”“固定成本”） (1)写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式； (2)当年产量为多少千件时，企业所获得年利润最大？最大利润是多少？ 8．随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． (1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润＝销售收入－成本）； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 9．某科研小组研究发现：一颗梨树的产量（单位：百千克）与肥料费用（单位：百元）满足如下关系：投入的肥料费用不超过6百元时，；投入的肥料费用超过6百元且不超过10百元时，．此外，还需要投入其他成本（如施肥的人工费等）百元．已知这种梨的市场售价为18百元／百千克，且市场需求始终供不应求．记该棵梨树获得的利润为（单位：百元）． (1)求利润的函数解析式； (2)当投入的肥料费用为多少时，该梨树获得的利润最大？最大利润是多少？ 10．已知某企业生产某种设备的最大产能为70台，每台设备的售价为80万元．记该企业生产台设备需要投入的总成本为（单位：万元），且假设生产的设备全部都能售完． (1)求利润（单位：万元）关于生产台数的函数解析式，并求该企业生产20台设备时的利润（利润销售额-成本）； (2)当生产多少台该设备时，该企业所获利润最大？最大利润是多少万元？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$