第08讲 对数的运算及对数函数讲义——2026年广东省春季高考数学复习资料

第08讲 对数的运算及对数函数 考向一 指对数的互化 【例1】将下列指数式与对数式进行互化． (1) (2) (3). (4)； (5)； (6)； (7). 【变式】 1．将下列指数式与对数式互化． (1)； (2)； (3)； (4). (5)； (6)； (7)； (8)． (9)； (10)； (11)； (12)． 2.将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 考向二 对数的运算 【例2-1】求下列各式的值： (1)；(2)；(3)；(4)． 【例2-2】．求下列各式中x的值． (1)；(2)；(3)；(4)． 【例2-3】（1） （2） 【变式】 1． . 2． . 3．的值为 4．计算： ． 5．的值为 . 6． . 7．求值： . 8． 9．计算 10．求下列各式中x的值： (1)；(2)；(3) 11．求下列各式中的值： (1)；(2)；(3)；(4)． 考向三 对数函数的辨析 【例3-1】下列函数是对数函数的是（   ） A． B． C． D． 【例3-2】．下列函数是对数函数的是（    ） A．（且） B． C． D．（且） 【例3-3】．若函数是对数函数，则a的值是（    ） A．1或2 B．1 C．2 D．且 【例3-4】．若某对数函数的图象过点，则该对数函数的解析式为 ． 【变式】 1．下列函数中是对数函数的为（    ） A． B． C． D． 2．下列函数是对数函数的是（　　） A． B． C． D． 3．已知函数①；②；③；④；⑤；⑥.其中是对数函数的是（    ） A．①②③ B．③④⑤ C．③④ D．②④⑥ 4．若函数是以为自变量的对数函数，则实数 ． 5．对数函数的图像过点，则此对数函数的表达式为 ． 6．点，都在同一个对数函数上，则t= . 7．已知对数函数过点，则其解析式为 ． 8．函数为对数函数，则 ． 考向四 对数函数的定义域 【例4】（1）函数的定义域为（　　） A． B． C． D． （2）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式】 1．已知函数，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 3．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 5．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 6．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 考向五 对数函数的定点 【例5-1】函数（且）的图象所过定点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【例5-2】函数的图象经过的定点是（   ） A． B． C． D． 【例5-3】．已知函数（且）恒过定点，则过点的幂函数经过（   ） A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 【变式】 1．函数过定点（   ） A． B． C． D． 2．函数 的图象恒过定点A，则A点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．函数（，且）的图象经过定点P，则点P的坐标为（   ）． A． B． C． D． 4．函数（且）的图象恒过定点，若且，，则的最小值为（   ） A．9 B．8 C． D． 5．已知函数且的图象过定点，函数且也经过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 考向六 对数函数的图像 【例6-1】函数的图象是（    ） A．B．C．D． 【例6-2】在同一直角坐标系中画出函数的图象，正确的是（   ） A．  B．  C．  D．   【例6-3】在同一直角坐标系中，函数的图象可能是（   ） A．B．C． D． 【变式】 1．当时，在同一平面直角坐标系中，函数与的图象是（    ）． A．  B．  C．  D．   2．在同一平面直角坐标系中，函数，（且）的图象可能是（    ） A．B．C．D． 3．已知函数的图象如图所示，则函数与在同一坐标系中的图像是（    ） A．B．C．D． 4．函数与（其中）的图象只可能是（    ） A．  B．  C．  D．   5．在同一平面直角坐标系中，函数，且的图象可能是（    ） A．B．C．D． 6．在同一直角坐标系中的函数与的图象可能是（    ） A．B．C．D． 考向七 对数函数型的单调性 【例7】（1）函数的增区间为（   ） A． B． C． D． （2）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【变式】 1．函数的单调递减区间为（   ）． A． B． C． D． 2．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 3．函数的减区间为（    ） A． B． C． D． 4．函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 5．已知函数单调递减区间是（      ） A． B． C． D． 考向八 比较大小 【例8-1】．已知，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【例8-2】设，，，则，，的大小关系是（   ）. A． B． C． D． 【例8-3】．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式】 1．已知，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2．已知，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 3．已知，则（   ） A． B． C． D． 4．已知，则（   ） A． B． C． D． 5．设则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 题组一 指对数的互化 1．将下列对数式改写为指数式： (1)；(2)；(3)；(4)． 2．将下列指数式改写为对数式： (1)；(2)；(3)；(4)． 3．将下列对数式改写为指数式： (1)；(2)；(3)；(4). 4．将下列指数式改写为对数式： (1)；(2)；(3)；(4). 题组二 对数的运算 1． . 2．计算 . 3． ． 4．化简求值： . 5． ． 6． . 7．计算： ． 8． . 9． . 10．计算 ． 11．计算：= ． 12．计算 . 13． ． 14．计算： . 15．= . 题组三 对数函数的辨析 1．若函数为对数函数，则 ． 2．若函数是对数函数，则 ． 3．函数为对数函数，则 ． 4．下列函数是对数函数的有 ． ①；②；③；④． 5．函数（，且）是对数函数，且过点，则 ． 6．已知函数（，且）的图象过点，则函数的解析式为 ． 7．已知为对数函数，，则 ， ． 8．已知函数是对数函数，且，则 ． 9．函数是对数函数，则实数a＝ . 10．对数函数的图象过点，则对数函数的解析式为 . 11．已知对数函数过点，则的解析式为 . 12．已知函数是对数函数，则 ． 13．已知对数函数的图象过点，则 ． 14．若对数函数的图象过点，则 ． 15．若函数是对数函数，则实数a的值为 ． 16．若对数函数的图象过点，则此函数的表达式为 . 17．若对数函数且）的图象经过点，则实数 . 18．对数函数f（x）的图象过点(3，－2），则f()＝ . 题型四 对数函数的定义域 1．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 2．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．函数的定义域是（    ） A． B． C． D．且 4．函数的定义域为 . 5．函数的定义域为 . 6．函数的定义域为 . 7．已知函数，则函数的定义域为 . 8．函数的定义域是 . 9．函数的定义域是 . 10．函数的定义域为 ． 11．函数的定义域是 12．函数的定义域为 13．函数的定义域为 . 14．函数的定义域为 . 15．函数的定义域为 . 题组五 对数函数的定点 1．函数且的图象所过定点的坐标为 . 2．函数（常数且）的图像必定经过点 ． 3．函数 的图像过定点 . 4．已知函数恒过定点，则 . 5．函数（且）的图象过定点 ． 6．函数（，且）的图象恒过定点 . 7．函数图象过定点 ． 8．函数（且）的图象过定点P，则P的坐标是 . 9．设且，则函数的图象恒过点 . 10．已知函数过定点，则的最小值为 11．函数，且的图象恒过定点 . 12．函数，且的图象恒过点 ． 13．函数且的图象恒过定点，则点的坐标是 . 14．函数 图象所过定点的坐标为 ． 15．已知函数过定点，则点的坐标为 . 16．若函数（且）的图象恒过定点A，则点A的坐标是 ． 题组六 对数函数的图像 1．函数与的图象只可能是下图中的（   ） A．  B．  C．   D．   2．已知（且），若，则与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 3．函数与的图象可能是（    ） A．B．C．D． 4．已知，，则函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题组七 对数函数型的单调性 1．函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 2．函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 3．函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，则的单调减区间为（   ） A． B． C． D． 5．已知函数，则函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 6．函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 7．函数的单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 8．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 9．函数的单调递增区间（    ） A． B． C． D． 10．函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 11．函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 12．函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 13．函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 14．函数的递增区间是（   ） A． B． C． D． 题组八 比较大小 1．已知，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D2．已知，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 对数的运算及对数函数 考向一 指对数的互化 【例1】将下列指数式与对数式进行互化． (1) (2) (3). (4)； (5)； (6)； (7). 【答案】(1)(2)(3)(4)；(5)；(6)； (7). 【解析】（1）由可得. （2）由，可得. （3）由，可得. （4）由，可得； （5）由，可得； （6）由，可得； （7）由，可得. 【变式】 1．将下列指数式与对数式互化． (1)； (2)； (3)； (4). (5)； (6)； (7)； (8)． (9)； (10)； (11)； (12)． 【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7) (8)(9)(10)(11)(12) 【解析】（1）因为，所以； （2）因为，所以； （3）因为，所以； （4）因为，所以. （5），可得. （6），可得. （7），可得. （8），可得. （9） （10） （11） （12） 2.将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6) 【解析】（1）因为，所以 （2）因为，所以 （3）因为，所以 （4）因为，所以 （5）因为，所以 （6）因为，所以 考向二 对数的运算 【例2-1】求下列各式的值： (1)；(2)；(3)；(4)． 【答案】(1)3(2)0(3)5(4)441 【解析】（1）由题意可得：. （2）由题意可得：. （3）由题意可得：. （4）由题意可得： 【例2-2】．求下列各式中x的值． (1)；(2)；(3)；(4)． 【答案】(1)27(2)(3)(4) 【解析】（1）因为，所以. （2）因为，可得，又因为且，得． （3）因为，得，则，所以． （4）因为，可得，则，所以． 【例2-3】（1） （2） 【答案】（1）1（2）5 【解析】（1）. （2）。故选：C. 【变式】 1． . 【答案】2 【解析】.故答案为：2. 2． . 【答案】 【解析】.故答案为：. 3．的值为 【答案】1 【解析】. 4．计算： ． 【答案】4 【解析】由题意可知：.故答案为：4. 5．的值为 . 【答案】5 【解析】原式.故答案为：5. 6． . 【答案】2 【解析】.故答案为：2 7．求值： . 【答案】1 【解析】.故答案为：1. 8． 【答案】 【解析】. 9．计算 【答案】-1 【解析】. 10．求下列各式中x的值： (1)；(2)；(3) 【答案】(1)5(2)1000(3) 【解析】（1）因为，可得，所以. （2）因为，可得，所以. （3）由题意可得. 11．求下列各式中的值： (1)；(2)；(3)；(4)． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)1000. 【解析】（1）∵，∴，即，∴，解得． （2）∵，∴，∴． （3）∵，∴，∴． （4）∵，∴，∴． 考向三 对数函数的辨析 【例3-1】下列函数是对数函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】形如，且的函数为对数函数，故B正确. 故选：B. 【例3-2】．下列函数是对数函数的是（    ） A．（且） B． C． D．（且） 【答案】B 【解析】根据对数函数的定义且,分析A,B,C,D函数形式，函数为对数函数.故选：B. 【例3-3】．若函数是对数函数，则a的值是（    ） A．1或2 B．1 C．2 D．且 【答案】C 【解析】∵函数是对数函数，∴，且， 解得或，∴，故选：C． 【例3-4】．若某对数函数的图象过点，则该对数函数的解析式为 ． 【答案】 【解析】设函数解析式为，且， 由函数的图象过点，得，即，解得， 所以该对数函数的解析式为为. 故答案为： 【变式】 1．下列函数中是对数函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据对数函数概念，形如且的函数是对数函数.结合选项知道为对数函数.故选：D. 2．下列函数是对数函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在对数函数的定义表达式（且）中，前面的系数必须是1，自变量在真数的位置上，否则不是对数函数， 所以只有选项C满足定义.故选：C. 3．已知函数①；②；③；④；⑤；⑥.其中是对数函数的是（    ） A．①②③ B．③④⑤ C．③④ D．②④⑥ 【答案】C 【解析】根据对数函数的定义，只有符合（且）形式的函数才是对数函数， 其中x是自变量，a是常数， 易知，①是指数函数；②中的自变量在对数的底数的位置，不是对数函数； ③中，是对数函数；④中，是对数函数； ⑤⑥中函数显然不是对数函数，由此可知只有③④是对数函数. 故选：C. 4．若函数是以为自变量的对数函数，则实数 ． 【答案】3 【解析】因为函数是以为自变量的对数函数， 所以，解得.故答案为：3 5．对数函数的图像过点，则此对数函数的表达式为 ． 【答案】 【解析】设，由题意可得，解得. 所以此对数函数的表达式为. 故答案为：. 6．点，都在同一个对数函数上，则t= . 【答案】9 【解析】设对数函数为，因为在函数上，所以，解得； 因为也在函数上，所以，解得. 故答案为：9 7．已知对数函数过点，则其解析式为 ． 【答案】 【解析】设对数函数解析式为（，且）， 因为对数函数过点， 所以，解得， 所以对数函数解析式为. 故答案为： 8．函数为对数函数，则 ． 【答案】4 【解析】由题意知，，故答案为：4. 考向四 对数函数的定义域 【例4】（1）函数的定义域为（　　） A． B． C． D． （2）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】（1）C（2）B 【解析】（1）对于函数，有，解得， 因此，函数的定义域为.故选：C. （2）若使得函数有意义，则且，解得， 故的定义域为.故选：B. 【变式】 1．已知函数，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】要使函数有意义，需要满足，解得且， 所以的定义域为， 故选：D. 2．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于函数，有，解得， 故函数的定义域为.故选：D. 3．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得：得定义域为. 故选：D. 4．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵，∴函数的定义域为，故选：A. 5．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由.所以函数的定义域为故选：B 6．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，解得或， 所以函数的定义域为.故选：B. 考向五 对数函数的定点 【例5-1】函数（且）的图象所过定点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，得，此时，故定点坐标为.故选：A 【例5-2】函数的图象经过的定点是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由条件可知，，所以函数的图象经过的定点是. 故选：C 【例5-3】．已知函数（且）恒过定点，则过点的幂函数经过（   ） A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 【答案】A 【解析】由，得，则，所以函数（且）恒过定点， 设过点的幂函数为，则，得，所以过点的幂函数为， 此幂函数的图象只经过第一、二象限，故选：A 【变式】 1．函数过定点（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由于函数恒过点，令，则，， 故函数恒过定点， 故选：C. 2．函数 的图象恒过定点A，则A点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，当，即时，恒有， 所以A点的坐标为. 故选：C 3．函数（，且）的图象经过定点P，则点P的坐标为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，则，此时， 所以图象经过定点P，则点P的坐标为， 故选：A. 4．函数（且）的图象恒过定点，若且，，则的最小值为（   ） A．9 B．8 C． D． 【答案】B 【解析】由的图象恒过定点，可得，，则； 因， 当且仅当时等号成立， 由，可解得， 故当时，的最小值为8. 故选：B. 5．已知函数且的图象过定点，函数且也经过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，当，即，所以， 由的图象经过，所以，因为，得. 故选：C 考向六 对数函数的图像 【例6-1】函数的图象是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【解析】图象就是的图象在轴上方部分不变， 将轴下方的图象对称的翻折到轴上方，则D选项正确． 故选：D． 【例6-2】在同一直角坐标系中画出函数的图象，正确的是（   ） A．  B．  C．  D．   【答案】D 【解析】函数与的单调性相同，由此可排除C； 直线在y轴上的截距为， 则选项A中，选项B中，显然的图象不符，排除A，B. 故选：D． 【例6-3】在同一直角坐标系中，函数的图象可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【解析】函数，由对数函数可知，且， 当时，为过原点的减函数，为减函数，则B错误，D正确； 当时，为过原点的增函数，为增函数，则A错误，C错误； 故选：D. 【变式】 1．当时，在同一平面直角坐标系中，函数与的图象是（    ）． A．  B．  C．  D．   【答案】A 【解析】当时，函数与分别在各自的定义域内单调递减、单调递增， 故可排除BCD，且函数与图象分别过定点，经检验，A符合题意. 故选：A. 2．在同一平面直角坐标系中，函数，（且）的图象可能是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【解析】当时，与单调递增，A，B均不符合题意； 当时，与单调递减， 对于，当时，C不正确. 故选：D. 3．已知函数的图象如图所示，则函数与在同一坐标系中的图像是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【解析】由幂函数图象知：， 所以与在各自定义域内都递减，显然只有D满足. 故选：D 4．函数与（其中）的图象只可能是（    ） A．  B．  C．  D．   【答案】B 【解析】对于A，因为，故为R上的减函数，其图象应下降，A错误； 对于B，时，为R上的减函数，为上增函数，图象符合题意； 对于C，时，为上增函数，图象错误； 对于D，时，为上增函数，图象错误； 故选：B 5．在同一平面直角坐标系中，函数，且的图象可能是（    ） A．B．C．D． 【答案】A 【解析】对于AB，若图象正确，则，单调递减， 又时，，A正确，B错误； 对于CD，若图象正确，则，单调递增，CD错误. 故选：A. 6．在同一直角坐标系中的函数与的图象可能是（    ） A．B．C．D． 【答案】A 【解析】当时，函数在上单调递减； 函数在上单调递减，且当时，，故A正确，C错误； 当时，函数在上单调递增； 函数在上单调递减，且当时，，故B、D错误． 故选：A． 考向七 对数函数型的单调性 【例7】（1）函数的增区间为（   ） A． B． C． D． （2）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】（1）D（2）A 【解析】（1）由，则，分解因式可得， 解得，所以函数的定义域为， 由函数在上单调递增，在上单调递减， 且函数在上单调递减， 则函数的增区间为. 故选：D. （2）因为函数，则， 解得或，所以函数的定义域为， 令，则函数在定义域上为单调递减函数， 而在上单调递减，在单调递增， 根据复合函数“同增异减”原则可得的单调递减区间为.故选：A. 【变式】 1．函数的单调递减区间为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由， 可得：或， 易知当时，单调递减； 再由对数型复合函数的单调性可知：在上单调递减； 故选：B 2．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得，即，解得. 所以函数的定义域为， 又的对称轴为，开口向下， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又在上单调递增， 故由复合函数的单调性可得的单调递增区间是. 故选：B. 3．函数的减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，解得或， 则的定义域为， 令在上单调递减. 又在上单调递减，所以在上单调递增， 在上单调递增，所以在上单调递减. 故选：A. 4．函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 由题设有，故或， 设或，，则在上为增函数， 而在上为减函数，在上为增函数， 故在上为减函数，在上为增函数， 故选：A. 5．已知函数单调递减区间是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由得或，     ∴的定义域为. ∵对称轴为直线， ∴在上为减函数， ∵在为增函数， ∴根据复合函数单调性可得单调递减区间为. 故选：A. 考向八 比较大小 【例8-1】．已知，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为在上单调递增，且， 所以，得，即， 因为在上单调递减，且， 所以，即， 因为在上单调递减，且， 所以，即， 所以. 故选：A. 【例8-2】设，，，则，，的大小关系是（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，，所以. 故选：B 【例8-3】．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为在上单调递增，所以， 由在R上单调递增，则， 由在上单调递增，所以，即， 所以. 故选：A. 【变式】 1．已知，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由是减函数，所以有，则； 函数为上的减函数，所以有， 所以，故. 故选：D 2．已知，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可得，，， 所以，即. 故选：D. 3．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由单调递减，则， ，又，则， 所以.故选：A. 4．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以. 又，所以.故选：B. 5．设则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为指数函数在上为减函数,所以, 因为指数函数在上为增函数,所以, 因为对数函数在上为减函数,所以,所以.故选: D 题组一 指对数的互化 1．将下列对数式改写为指数式： (1)；(2)；(3)；(4)． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【解析】（1）由可得； （2）由可得； （3）由可得； （4）由可得 2．将下列指数式改写为对数式： (1)；(2)；(3)；(4)． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【解析】（1）（且）化为对数式是， 所以化为对数式是； （2），对数式是； （3），对数式是； （4），对数式是. 3．将下列对数式改写为指数式： (1)；(2)；(3)；(4). 【答案】(1)(2)(3)(4) 【解析】（1）由得. （2）由得. （3）由得. （4）由得. 4．将下列指数式改写为对数式： (1)；(2)；(3)；(4). 【答案】(1)(2)(3)(4) 【解析】（1）由得. （2）由得. （3）由得. （4）由得. 题组二 对数的运算 1． . 【答案】6 【解析】,故答案为：6 2．计算 . 【答案】 【解析】由题知，.故答案为： 3． ． 【答案】6 【解析】．故答案为：6 4．化简求值： . 【答案】 【解析】.故答案为：. 5． ． 【答案】 【解析】. 故答案为： 6． . 【答案】2 【解析】原式.故答案为：2 7．计算： ． 【答案】 【解析】，故答案为：. 8． . 【答案】 【解析】.故答案为： 9． . 【答案】 【解析】.故答案为： 10．计算 ． 【答案】/0.5 【解析】原式，故答案为：． 11．计算：= ． 【答案】7 【解析】.故答案为：7. 12．计算 . 【答案】/0.5 【解析】，故答案为：. 13． ． 【答案】18 【解析】.故答案为：18 14．计算： . 【答案】3 【解析】.故答案为：3. 15．= . 【答案】2 【解析】故答案为：2 题组三 对数函数的辨析 1．若函数为对数函数，则 ． 【答案】2 【解析】因为函数为对数函数， 所以，且，则（舍去）或． 故答案为：2 2．若函数是对数函数，则 ． 【答案】 【解析】由对数函数的定义可知，解得. 故答案为：. 3．函数为对数函数，则 ． 【答案】3 【解析】函数为对数函数， 则，且，所以. 故答案为：3 4．下列函数是对数函数的有 ． ①；②；③；④． 【答案】② 【解析】由对数函数的定义：形如（且）的形式，则函数为对数函数，只有②符合. 故答案为：②. 5．函数（，且）是对数函数，且过点，则 ． 【答案】1 【解析】由题设，可得，故， 所以. 故答案为：1 6．已知函数（，且）的图象过点，则函数的解析式为 ． 【答案】 【解析】由题可得，即， 因为，且，所以， 故函数解析式为． 故答案为：. 7．已知为对数函数，，则 ， ． 【答案】 【解析】设且，则，即，解得， 所以， 所以． 故答案为：， 8．已知函数是对数函数，且，则 ． 【答案】/ 【解析】设，且， 因为， 所以，解得， 所以， 所以. 故答案为：. 9．函数是对数函数，则实数a＝ . 【答案】1 【解析】由题意得， 解得或1， 又且， 所以 故答案为：1 10．对数函数的图象过点，则对数函数的解析式为 . 【答案】 【解析】设对数函数的解析式为 (且)， 由已知可得，即， 解得，即函数解析式为， 故答案为： 11．已知对数函数过点，则的解析式为 . 【答案】 【解析】设，结合已知有， ∴，又且， ∴，则， 故答案为：. 12．已知函数是对数函数，则 ． 【答案】1 【解析】因为函数是对数函数， 则，解得． 故答案为：1. 13．已知对数函数的图象过点，则 ． 【答案】 【解析】设且， 过点，，即，解得：，， . 故答案为：. 14．若对数函数的图象过点，则 ． 【答案】 【解析】设对数函数（，且），因为函数图象过点， 所以，得， 所以. 故答案为： 15．若函数是对数函数，则实数a的值为 ． 【答案】2 【解析】因为函数是对数函数， 所以，解得． 故答案为：2. 16．若对数函数的图象过点，则此函数的表达式为 . 【答案】 【解析】设对数函数为，，因为对数函数的图象过点，所以，即，解得，所以. 故答案为： 17．若对数函数且）的图象经过点，则实数 . 【答案】2 【解析】将点代入得，解得 故答案为：2. 18．对数函数f（x）的图象过点(3，－2），则f()＝ . 【答案】－1 【解析】设f(x)＝logax，则loga3＝－2，∴a－2＝3， ∴a＝，∴f（x）＝, ∴f()＝＝－1. 故答案为：－1 题型四 对数函数的定义域 1．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得，解得. 故选：A. 2．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，解得或， 所以函数的定义域为. 故选：B. 3．函数的定义域是（    ） A． B． C． D．且 【答案】D 【解析】要使有意义，则应有， 解得且. 故选：D. 4．函数的定义域为 . 【答案】 【解析】由已知，则，解得或， 即函数的定义域为，故答案为：. 5．函数的定义域为 . 【答案】 【解析】由题可知，解得 故答案为：. 6．函数的定义域为 . 【答案】 【解析】要使函数有意义，则，解得， 所以的定义域为. 故答案为： 7．已知函数，则函数的定义域为 . 【答案】 【解析】函数的定义需满足，得， 所以函数的定义域为. 故答案为： 8．函数的定义域是 . 【答案】 【解析】要使函数有意义，则满足：， 解得： 所以函数的定义域为. 故答案为： 9．函数的定义域是 . 【答案】且 【解析】要使函数有意义， 则，解得且， 所以该函数的定义域为且， 故答案为：且. 10．函数的定义域为 ． 【答案】 【解析】要使函数有意义，则，解得且， 故答案为: . 11．函数的定义域是 【答案】 【解析】由题意可知，定义域为，解得. 故答案为： 12．函数的定义域为 【答案】 【解析】由题意可得，解得， 故答案为：. 13．函数的定义域为 . 【答案】 【解析】， 解得且， 函数的定义域为. 故答案为：. 14．函数的定义域为 . 【答案】 【解析】要使函数有意义，须有：或. 故答案为： 15．函数的定义域为 . 【答案】 【解析】由题意函数有意义当且仅当，解得， 即函数的定义域为. 故答案为：. 题组五 对数函数的定点 1．函数且的图象所过定点的坐标为 . 【答案】 【解析】当时，，即时，，所以函数图象所过定点的坐标为. 故答案为： 2．函数（常数且）的图像必定经过点 ． 【答案】 【解析】对于函数（常数且）， 令，解得，此时， 即函数（常数且）的图像必定经过点. 故答案为： 3．函数 的图像过定点 . 【答案】 【解析】令，则， 所以函数图象过定点， 故答案为：. 4．已知函数恒过定点，则 . 【答案】 【解析】令，则，又，所以过定点， 即，，所以 故答案为： 5．函数（且）的图象过定点 ． 【答案】 【解析】当时，， 则其所过定点为. 故答案为：. 6．函数（，且）的图象恒过定点 . 【答案】 【解析】的定点坐标为， 所以的图象恒过定点. 故答案为：. 7．函数图象过定点 ． 【答案】 【解析】函数中，当时，恒有， 所以函数图象过定点. 故答案为： 8．函数（且）的图象过定点P，则P的坐标是 . 【答案】 【解析】由，即函数图象恒过点. 故答案为： 9．设且，则函数的图象恒过点 . 【答案】 【解析】令有，所以恒过定点. 故答案为：. 10．已知函数过定点，则的最小值为 【答案】2 【解析】因为函数过定点， 所以，化简可得， 所以， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为2， 故答案为：2. 11．函数，且的图象恒过定点 . 【答案】 【解析】令，则恒成立， 故函数，且的图象恒过定点. 故答案为： 12．函数，且的图象恒过点 ． 【答案】 【解析】令，解得，此时， 故，且的图象恒过点. 故答案为： 13．函数且的图象恒过定点，则点的坐标是 . 【答案】 【解析】因为且， 当时，， 所以且的图象恒过定点. 故答案为：. 14．函数 图象所过定点的坐标为 ． 【答案】 【解析】因且 时，， 在 中，令解得， 此时，即函数图象过定点． 故答案为：. 15．已知函数过定点，则点的坐标为 . 【答案】 【解析】由函数， 当时，真数为， 所以. 因此，函数过定点. 故答案为：. 16．若函数（且）的图象恒过定点A，则点A的坐标是 ． 【答案】 【解析】令得，此时， 即函数（且）恒过定点. 故答案为： 题组六 对数函数的图像 1．函数与的图象只可能是下图中的（   ） A．  B．  C．   D．   【答案】C 【解析】A中，由的图象知，则为增函数，A错； B中，由的图象知，则为减函数，B错； C中，由的图象知，则为减函数，所以C对； D中，由的图象知，此时无意义，D错． 故选：C. 2．已知（且），若，则与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以可排除BD， 当时，与同为减函数，当时，与同为增函数，排除A， 故选：C 3．函数与的图象可能是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【解析】时，与均单调递减， 又过点，时，； 又由可知，时，，A，B错误； 时，过点，且时，， 又由可知，时，，C错误，D正确． 故选：D. 4．已知，，则函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】，，函数的定义域为， 而在上递增，又在上递增，因此在上递增， 当时，有，，函数的图象在第三象限， 当时，有，，函数的图象在第二象限， 当时，有，，函数的图象在第一象限， 所以函数的图象不经过第四象限. 故选：D 题组七 对数函数型的单调性 1．函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由可得：或， 函数定义域为， 由二次函数单调性可知：函数在单调递增，在单调递减； 由对数型复合函数单调性可知：的单调递减区间是， 故选：B 2．函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知得， 在上递增，在上递减， 所以的增区间是， 故选：C． 3．函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知函数， 令，所以， 则由复合而成， 由于在上单调递减， 要求的单调递减区间， 即求，的单调递增区间， 而的对称轴为， 则，的单调递增区间为， 则函数的单调递减区间为. 故选：B. 4．已知函数，则的单调减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知函数，解得， 即函数定义域为， 设，则， 又在上单调递减，在上单调递增， 且在定义域内单调递增， 综上所述在上单调递减，在上单调递增， 即函数的单调递减区间为， 故选：C. 5．已知函数，则函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由得,或， ∴的定义域为． ∵二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， ∴在上为增函数， ∵函数在上单调递减， ∴根据复合函数单调性法则可知函数的单调递减区间是． 故选：C． 6．函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，解得或， 所以函数的定义域为. 令，则在上单调递增，在上单调递减， 又在上单调递增， 由复合函数的单调性可知 函数在上单调递减，在上单调递增. 所以函数的单调递减区间为. 故选：D. 7．函数的单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数中，由，解得， 令，则函数在上单调递增，在上单调递减， 而函数为减函数，因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递增区间是. 故选：D 8．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由对数函数的性质知，解得或， 所以函数的定义域为， 因为函数的图象的对称轴为，开口向上， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又，则函数为减函数， 由复合函数单调性知，函数的单调递增区间为. 故选：D 9．函数的单调递增区间（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由得， 所以函数的定义域为， 函数在上单调递增，在上单调递减， 为单调递减函数， 所以函数的单调递增区间为. 故选：C. 10．函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于， 有，解得或， 则函数的定义域为； 令，则恒成立， 又的图象开口向上，对称轴为， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又函数在上单调递增， 所以的单调递增区间为. 故选：C. 11．函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数中，，解得或， 函数在上单调递减，在上单调递增， 而函数在上单调递增， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递增区间是. 故选：D 12．函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得，解得， 即函数的定义域为， 函数在上单调递增，在上单调递减，而函数是增函数， 所以函数的单调递减区间是. 故选：B 13．函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题知，， 可得函数的定义域为， 可分解为和， 因为函数在上单调递减， 且在上单调递减， 在上单调递增， 综上，函数的单调递减区间为. 故选：D 14．函数的递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知，则， 解得，即的定义域为. 设，则. 因为在上单调递减， 在上单调递增，在上单调递减， 则在上单调递减，在上单调递增. 故选：A. 题组八 比较大小 1．已知，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，， 且， 所以. 故选：D. 2．已知，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 因为函数在上单调递增， 所以，即， 因为函数在上单调递减， 所以，即， 故. 故选：D. 3．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题可知，， 所以， 因为，，所以， 因为在上单调递减，且， 所以，即， 因为在上递增，且， 所以，即， 故． 故选：A 1 学科网（北京）股份有限公司 $$