第06讲 幂函数与函数的奇偶性讲义——2026年广东省春季高考数学复习资料

第06讲 幂函数与函数的奇偶性 考向一 幂函数辨析 【例1】（1）下列函数是幂函数的是（　　） A． B． C． D． （2）已知幂函数的图象经过点，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 （3）函数是幂函数，则实数的值是（    ） A． B． C．或 D．且 【变式】 1．若幂函数的图象过点，则该幂函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 2．已知幂函数的图象经过点，则等于（    ） A． B．2 C． D． 3．已知是幂函数，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 考向二 幂函数的单调性 【例2】（1）已知函数是幂函数，若为增函数，则等于（    ） A． B． C．或1 D．1 （2）函数 是幂函数，且在 上是减函数，则实数m为（   ） A．1 B．- 1 C．2 D．- 1或2 【变式】 1．若幂函数在区间上是严格减函数，则实数的值可能为（    ）． A．1 B． C． D．2 2．若函数为幂函数，且在区间上单调递增，则（    ） A． B．3 C．或3 D．2或 3．已知函数是幂函数，且在上单调递减，则实数的值为（   ） A．2 B． C．4 D．2或 考向三 函数奇偶性的判断 【例3】下列函数中为不是奇函数的是（   ） A． B． C． D． （2）下列函数中，是偶函数的是（    ） A．（） B． C． D． （3）下列函数图象中，可以表示偶函数的有（ ） A．B．C．D． 【变式】 1．下列函数中为偶函数的是 （    ） A． B． C． D． 2．下列函数中，是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 3．下列函数中是偶函数的是（    ） A．， B． C． D．， 4．下列图象表示的函数中具有奇偶性的是（    ） A．B．C．D． 考向四 已知奇偶性求值 【例4】（1）已知是定义在上的偶函数，当时，，则（   ） A． B．7 C． D．5 （2）已知是奇函数，当时，=，则=（    ） A．-10 B．10 C． D．6 【变式】 1．若函数为上的偶函数，且，则（    ） A．-3 B．3 C．2 D．-2 2．若函数是定义在R上的奇函数，当时，，则（   ） A． B． C．5 D．7 3．已知函数是奇函数，当时，，则（    ） A． B． C．1 D． 4．若函数是定义在上的奇函数，则（    ） A． B．0 C．2 D．不确定 考向五 已知奇偶性求参数 【例5】（1）．已知函数为定义在区间上的奇函数，则（   ） A． B．3 C．8 D．无法确定 （2）．已知函数是定义在区间上的奇函数，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 （3）．设是定义在上的偶函数，则（   ） A． B． C． D．0 （4）若幂函数是偶函数，则 . 【变式】 1．已知定义在上的函数是奇函数，则实数的值为 ． 2．若函数是区间内的偶函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．若函数是定义在上的偶函数，则（    ） A． B． C． D． 4．设是定义在区间上的奇函数，则（    ） A． B．38 C．26 D． 5．已知幂函数是上的奇函数，则实数的值为 . 6．已知函数为幂函数，且其图象关于原点对称，则实数 ． 考向六 奇偶性与单调性的综合应用 【例6】（1）下列函数中，既是奇函数又是严格增函数的是（    ）． A． B． C． D． （2）下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为（    ） A． B． C． D． 【变式】 1．下列函数既是偶函数又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 2．下列四个函数中,在上为增函数且为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 3．下列函数是奇函数且在上是减函数的是（    ） A． B． C． D． 4．下列函数中是奇函数，且在上单调递增的是 A． B． C． D． 5．下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 考向七 利用函数性质解不等式 【例7】（1）已知函数是上单调递增的奇函数．若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． （2）已知偶函数在区间上单调递增，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． （3）函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式】 1.若定义在上的奇函数在上是增函数，又，则的解集为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 2.若定义域为R的奇函数f（x）在区间[0，＋∞）上单调递增，则不等式f（2x﹣1）﹣f（x）＜0的解集为（     ） A．（﹣∞，1） B．[0，1） C． D．（1，＋∞） 3．定义在上的偶函数满足：在上单调递减，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知偶函数在区间上单调递增，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 题组一 幂函数辨析 1．若幂函数的图象过点，则表达式为 ． 2.已知幂函数过点，则 . 3．若幂函数的图像经过点，则函数的表达式为 ． 4．已知幂函数的图像过点，则 . 5.函数是幂函数，则实数的值为______________． 6.已知y＝(m2＋2m－2)＋2n－3是幂函数，求m= ，n= 7.已知函数为幂函数，则___. 题组二 幂函数的单调性 1．已知幂函数在上单调递减，则 . 2．若幂函数在上单调递减，则实数 ． 3.幂函数在为增函数，则的值是 4.已知幂函数在上是减函数，则的值为 5.幂函数在上单调递减，则实数m的值为 题组三 函数奇偶性的判断 1．函数的奇偶性为（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数 2．下列函数是偶函数的是（    ） A． B． C． D．， 3．下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 4．下列函数为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 5．下列函数中，是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 6．下列函数中是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 7．下列函数中是奇函数的是（   ） A． B． C． D． 8．函数的图象关于 A．轴对称 B．轴对称 C．坐标原点对称 D．直线对称 9．函数的图象关于 A．轴对称 B．直线对称 C．坐标原点对称 D．直线对称 10．下列函数中是奇函数的为（    ） A． B． C． D． 题组四 已知奇偶性求值 1.函数为上的奇函数，时，，则= 2.已知函数，且，则 3．已知函数f(x)=-bx+2，若f(2)=5，则f(-2)= 4．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则____. 5.已知函数，，则的值是_______. 6.已知分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且，则______ 7.若函数是偶函数，且，则______． 题组五 已知奇偶性求参数 1．已知函数，是奇函数，则 . 2．已知函数是上的偶函数，则 ． 3．设是定义在上的奇函数，则 4．已知函数是偶函数，则 ． 5．设函数，且为奇函数，则 . 6．若函数是偶函数，则的值是 . 7．若是偶函数，且定义域为，则＝ ， ＝ 8．已知定义在上的函数是偶函数，则实数的值为 ． 题组六 奇偶性与单调性的综合应用 1．下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 2．下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（    ）. A． B． C． D． 3．下列函数中既是偶函数，又在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 4．在定义域内既是奇函数又是减函数的是（    ） A． B． C． D． 5．下列函数中，既是偶函数，又在区间内单调递增的有（    ） A． B． C． D． 题组七 利用函数性质解不等式 1．函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是 2．已知偶函数在上单调递增，且，则的解集是 3．若偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集是____________. 4.已知偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为_______ 5.已知奇函数是定义在[－1，1]上的增函数，且，则的取值范围为____. 6若定义域为R的奇函数f（x）在区间[0，＋∞）上单调递增，则不等式f（2x﹣1）﹣f（x）＜0的解集为 7.若函数为上的奇函数，且图象连续不断，在上为增函数，，则不等式的解集为 8.已知函数，则不等式的解集为______. 9．设偶函数在上单调递增，则满足的的范围是 10．已知定义域为的偶函数在上为严格减函数，则不等式的解集为 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 幂函数与函数的奇偶性 考向一 幂函数辨析 【例1】（1）下列函数是幂函数的是（　　） A． B． C． D． （2）已知幂函数的图象经过点，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 （3）函数是幂函数，则实数的值是（    ） A． B． C．或 D．且 【答案】（1）D（2）D（3）C 【解析】（1）根据幂函数的定义，A、B、C均不是幂函数，只有D选项，形如（为常数），是幂函数，所以D正确故选：D. （2）设，由，得，，则.故选：D （3）由幂函数的定义知，即，解得或．故选：C 【变式】 1．若幂函数的图象过点，则该幂函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设幂函数解析式为，代入点可得，即，所以 所以该幂函数的解析式是.故选：B 2．已知幂函数的图象经过点，则等于（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【解析】幂函数的图象经过点， 设幂函数，将点代入解析式得到，即，解得.故.故.故选：A. 3．已知是幂函数，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】D 【解析】因为是幂函数，所以，解得，则，所以.故选：D. 考向二 幂函数的单调性 【例2】（1）已知函数是幂函数，若为增函数，则等于（    ） A． B． C．或1 D．1 （2）．函数 是幂函数，且在 上是减函数，则实数m为（   ） A．1 B．- 1 C．2 D．- 1或2 【答案】（1）D（2）B 【解析】（1）由题意可得，，解得或， 当时，，则函数不是增函数，不符合题意； 当时，，易知函数是增函数，符合题意. 故选：D. (2)由函数是幂函数， 得，解得或2． 当时，函数为，且在区间上单调递减，满足题意； 当时，函数为，且在上单调递增，不符合题意． 故选：B. 【变式】 1．若幂函数在区间上是严格减函数，则实数的值可能为（    ）． A．1 B． C． D．2 【答案】C 【解析】若幂函数在区间上是严格减函数，只要即可．故选：C. 2．若函数为幂函数，且在区间上单调递增，则（    ） A． B．3 C．或3 D．2或 【答案】A 【解析】由题意可得，对于,解得或， 当时，满足，但时，不满足， 故，故选：A 3．已知函数是幂函数，且在上单调递减，则实数的值为（   ） A．2 B． C．4 D．2或 【答案】A 【解析】由幂函数定义知，解得或， 当时，，则在上为常数函数，不符合题意； 当时，，则，在上单调递减，符合题意. 故.故选：A. 考向三 函数奇偶性的判断 【例3】(1下列函数中为不是奇函数的是（   ） A． B． C． D． （2）下列函数中，是偶函数的是（    ） A．（） B． C． D． （3）下列函数图象中，可以表示偶函数的有（ ） A．B．C．D． 【答案】(1)D （2）C (3)A 【解析】（1）对于A中，函数的定义域为，且， 所以为的奇函数，符合题意； 对于B中，函数的定义域为，且， 所以为的奇函数，符合题意； 对于C中，函数的定义域为关于原点对称， 且，所以为定义域上的奇函数，符合题意； 对于D中，函数的定义域为关于原点对称， 且，所以为定义域上的偶函数，不符合题意. 故选：D. （2）对于A选项，()定义域不关于原点对称，故A错误； 对于B选项，，所以不是偶函数，故B错误； 对于C选项，函数定义域为R，且，所以是偶函数，故C正确； 对于D选项，，所以不是偶函数，故D错误.故选：C. （3）根据偶函数图象关于y轴对称，结合函数图象可知符合题意是A选项，B，C，D不合题意. 故选：A. 【变式】 1．下列函数中为偶函数的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，函数的定义域为，关于数0不对称，是非奇非偶函数，A不是； 对于B，函数的定义域为，是奇函数，B不是； 对于C，函数的定义域为，，是偶函数，C是； 对于D，函数的定义域为，是奇函数，D不是. 故选：C 2．下列函数中，是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A，的定义域为R，，函数是奇函数，A是； 对于B，的定义域为R，，函数不是奇函数，B不是； 对于C，的定义域为R，，函数不是奇函数，C不是； 对于D，的定义域为R，，函数不是奇函数，D不是. 故选：A 3．下列函数中是偶函数的是（    ） A．， B． C． D．， 【答案】D 【解析】函数，，定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，A选项错误； 函数，，，，函数不是偶函数，B选项错误； 函数，定义域为R，，函数是奇函数，C选项错误； 函数，，定义域关于原点对称，，函数为偶函数 ，D选项正确．故选：D 4．下列图象表示的函数中具有奇偶性的是（    ） A．B．C．D． 【答案】B 【解析】选项A中的图象关于原点或y轴均不对称，故排除； 选项C、D中的图象所示的函数的定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除； 选项B中的图象关于y轴对称，其表示的函数是偶函数.故选：B 考向四 已知奇偶性求值 【例4】（1）已知是定义在上的偶函数，当时，，则（   ） A． B．7 C． D．5 （2）已知是奇函数，当时，=，则=（    ） A．-10 B．10 C． D．6 【答案】（1）B（2）C 【解析】（1）因为是定义在上的偶函数，所以. 当，，所以. 故选：B. （2）由题f（2）=8-2=6，是奇函数，则=- f（2）=-6故选：C 【变式】 1．若函数为上的偶函数，且，则（    ） A．-3 B．3 C．2 D．-2 【答案】B 【解析】函数为上的偶函数，所以，故选：B 2．若函数是定义在R上的奇函数，当时，，则（   ） A． B． C．5 D．7 【答案】C 【解析】因为时，，所以， 因为是定义在R上的奇函数，所以. 故选：C. 3．已知函数是奇函数，当时，，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【解析】因为函数是奇函数，所以，解得， 所以当时，，可得，因为函数是奇函数， 所以，故选：A. 4．若函数是定义在上的奇函数，则（    ） A． B．0 C．2 D．不确定 【答案】B 【解析】因为函数是定义在上的奇函数，且， 所以，故选： B 考向五 已知奇偶性求参数 【例5】（1）．已知函数为定义在区间上的奇函数，则（   ） A． B．3 C．8 D．无法确定 （2）．已知函数是定义在区间上的奇函数，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 （3）．设是定义在上的偶函数，则（   ） A． B． C． D．0 （4）若幂函数是偶函数，则 . 【答案】(1）C(2)C(3) 【解析】(1）奇函数的定义域关于原点对称，，．故选：C. （2）函数是定义在区间上的奇函数， 则，解得，定义域为，，则， ，定义域为，，函数为奇函数，满足， 故.故选：C （3）是定义在上的偶函数，所以其定义域关于原点对称，即，所以，因为，所以，所以恒成立，则，所以， 故选：C． （4）由于是幂函数，所以，解得或， 当时，是奇函数，不符合题意. 当时，是偶函数，符合题意. 故答案为： 【变式】 1．已知定义在上的函数是奇函数，则实数的值为 ． 【答案】或 【解析】因为，为奇函数，又奇函数的定义域关于原点对称， 所以，，解得或，故答案为：或． 2．若函数是区间内的偶函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题得，即，又是偶函数， 则，所以，故． 故选：B. 3．若函数是定义在上的偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为是定义在上的偶函数， 所以，得到， 显然，由图象关于轴对称，得到，解得， 所以，满足要求， 得到. 故选：A. 4．设是定义在区间上的奇函数，则（    ） A． B．38 C．26 D． 【答案】C 【解析】根据奇函数的定义，设函数的定义域为D，则对，都有， 即定义域关于原点对称，所以，即，解得. 要使函数在上为奇函数，需满足， 即，，则，即， 则所以，故选：C. 5．已知幂函数是上的奇函数，则实数的值为 . 【答案】3 【解析】由幂函数，得，解得或， 当时，函数是偶函数，不符合题意；当时，函数是奇函数， 所以实数的值为3.故答案为：3 6．已知函数为幂函数，且其图象关于原点对称，则实数 ． 【答案】1 【解析】由题意，解得或， 当时，为偶函数，它的图象关于轴对称而非原点对称，故不符合题意； 当时，是奇函数，它的图象关于原点对称，故满足题意.故答案为：1. 考向六 奇偶性与单调性的综合应用 【例6】（1）下列函数中，既是奇函数又是严格增函数的是（    ）． A． B． C． D． （2）下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】（1）C（2）B 【解析】（1）函数不是奇函数，不满足题意；函数是偶函数，不满足题意； 函数是奇函数且是增函数，满足题意； 函数定义域为是奇函数，在和上单调递增，在和上单调递减，故不满足题意；故选：C． （2）对于A选项，，故函数为奇函数，在上是减函数， 不满足题意，故错误； 对于B选项，是二次函数，满足， 故是偶函数，在上单调递减，故符合题意，正确； 对于C选项，，故函数为奇函数，在上是增函数， 不满足题意，故错误； 对于D选项，，故函数为奇函数， 在上是增函数，不合题意，故错误；故选：B 【变式】 1．下列函数既是偶函数又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A项，B项均为定义域上的奇函数，排除； D项为定义域上的偶函数，在单调递增，排除； C项为定义域上的偶函数，且在上单调递减. 故选：C. 2．下列四个函数中,在上为增函数且为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在单调递减且不是奇函数，故A错误；在上单调递减，在上单调递增，且不是奇函数，故B错误；在上为增函数且为奇函数，C正确；是偶函数，D错误. 故选：C 3．下列函数是奇函数且在上是减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A：定义域为，故A错误； 对于B：，所以，故为偶函数，故B错误； 对于C：为奇函数，且在上单调递减，故C正确； 对于D：为偶函数，故D错误；故选：C 4．下列函数中是奇函数，且在上单调递增的是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得： A：根据反比例函数的性质图像可知其在上单调递减，不满足单调递增条件，故A错误； B：是偶函数，不满足奇函数的条件，故B错误； C：是非奇非偶函数，不满足奇函数，故C错误； D：是奇函数，且在上单调递增函数，满足条件，故D正确. 故选：D． 5．下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数不是奇函数，故A不正确； 函数是奇函数，但不是增函数，故B不正确； 函数是奇函数，但不是增函数，故C不正确； 的图象如图： 所以函数是奇函数且是增函数.故选：D 考向七 利用函数性质解不等式 【例7】（1）已知函数是上单调递增的奇函数．若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． （2）已知偶函数在区间上单调递增，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． （3）函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】（1）D（2）C（3）C 【解析】（1）将不等式变形可得， 因为函数是上单调递增的奇函数，所以不等式等价于， 所以，即的取值范围为. 故选：D （2）因为为偶函数，且在区间上单调递增，则在区间上单调递减， 而，则，所以．故选：C． （3）因为为上的偶函数，且在上单调递增，所以在上单调递减. 所以或，即或. 所以所求不等式的解集为：. 故选：C 【变式】 1.若定义在上的奇函数在上是增函数，又，则的解集为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【解析】因为定义在上的奇函数在上是增函数，又， 所以在上是增函数，，，所以当时，当时， 当时，当时，所以的解集为或.故选：D 2.若定义域为R的奇函数f（x）在区间[0，＋∞）上单调递增，则不等式f（2x﹣1）﹣f（x）＜0的解集为（     ） A．（﹣∞，1） B．[0，1） C． D．（1，＋∞） 【答案】A 【解析】：∵f（x）为R上的奇函数，∴f（0）＝0； 又f（x）在区间[0，＋∞）上单调递增，奇函数在对称区间上单调性相同， ∴f（x）在R上单调递增；∴由不等式f（2x﹣1）﹣f（x）＜0，得f（2x﹣1）＜f（x）， ∴2x﹣1＜x，解得x＜1，∴不等式f（2x﹣1）﹣f（x）＜0的解集为（﹣∞，1）.故选：A. 3．定义在上的偶函数满足：在上单调递减，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由是定义在上的偶函数，得， 又在上单调递减，因此，整理得，解得， 所以满足不等式的的取值范围是.故选：C 4．已知偶函数在区间上单调递增，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为偶函数在区间上单调递增，故由得：， 解得，故选：C 题组一 幂函数辨析 1．若幂函数的图象过点，则表达式为 ． 【答案】 【解析】设幂函数为,将代入可得，解得，故，故答案为： 2.已知幂函数过点，则 . 【答案】 【解析】设，则，解得，所以，则. 故答案为： 3．若幂函数的图像经过点，则函数的表达式为 ． 【答案】 【解析】设，因为图像经过点，则， 所以．故答案为： 4．已知幂函数的图像过点，则 . 【答案】/ 【解析】设，则，则，则，所以.故答案为： 5.函数是幂函数，则实数的值为______________． 【答案】或 【解析】由题意，解得m=2或-1 6.已知y＝(m2＋2m－2)＋2n－3是幂函数，求m= ，n= 【答案】见解析 【解析】　由题意得解得或所以m＝－3或1，n＝ 7.已知函数为幂函数，则___. 【答案】 【解析】由于函数为幂函数，则，即， ，解得或，所以，，因此，.故答案为：. 题组二 幂函数的单调性 1．已知幂函数在上单调递减，则 . 【答案】 【解析】由题意可得为幂函数，则，解得或. 当时，为增函数，不符合题意； 当时，在单调递减，符合题意. 故答案为：. 2．若幂函数在上单调递减，则实数 ． 【答案】 【解析】由题意.故答案为： 3.幂函数在为增函数，则的值是 【答案】3 【解析】为幂函数，，解得：或； 当时，，则在上为减函数，不合题意； 当时，，则在上为增函数，符合题意； 综上所述：. 4.已知幂函数在上是减函数，则的值为 【答案】1 【解析】由函数为幂函数知，，解得或. ∵在上是减函数，而当时，，在是增函数，不符合题意， 当时，，符合题意，∴，，∴.故选：C. 5.幂函数在上单调递减，则实数m的值为 【答案】-1 【解析】因为是幂函数，故，解得或， 又因为幂函数在上单调递减，所以需要，则故选：A 题组三 函数奇偶性的判断 1．函数的奇偶性为（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数 【答案】A 【解析】因为函数的定义域为，，所以函数为奇函数.故选：A. 2．下列函数是偶函数的是（    ） A． B． C． D．， 【答案】B 【解析】对于A，的定义域为，所以， 所以是奇函数，所以A不正确； 对于B，的定义域为，所以， 所以是偶函数，所以B正确； 对于C，的定义域为，所以， 所以不是偶函数，所以C不正确； 对于D，的定义域为，定义域不关于原点对称， 所以不是偶函数，所以D不正确； 故选：B. 3．下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A：定义域为，不关于原点对称，所以为非奇非偶函数，故A错误； 对于B：定义域为，则，即为偶函数，故B错误； 对于C：定义域为，则，故为奇函数，故C正确； 对于D：定义域为，则，所以为偶函数，故D错误； 故选：C 4．下列函数为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A：定义域为，且， 所以为偶函数，故A错误； 对于B：定义域为，且， 所以为奇函数，故B正确； 对于C：定义域为，且， 所以为偶函数，故C错误； 对于D：定义域为，定义域不关于原点对称， 故为非奇非偶函数，故D错误； 故选：B 5．下列函数中，是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A. ，定义域为R，，故不是奇函数； B. ，定义域为R，，故不是奇函数； C. ，定义域为，，故是奇函数； D. ，定义域为R，，故不是奇函数， 故选：C. 6．下列函数中是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，因为函数的定义域不关于原点对称，所函数不具有奇偶性，故A不符题意； 对于B，函数的定义域为， ，所以函数为偶函数，故B符合题意； 对于C，函数的定义域为， ，所以函数不是偶函数，故C不符题意； 对于D，函数的定义域为， 因为，所以函数不是偶函数，故D不符题意. 故选：B. 7．下列函数中是奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对A，函数定义域为，关于原点对称，，不满足，故A不符合题意； 对B，函数定义域为，关于原点对称，，不满足，故B不符合题意； 对C，函数定义域为，关于原点对称，，满足，故C符合题意； 对D，函数定义域为，关于原点对称，，不满足，故D不符合题意. 故选：C. 8．函数的图象关于 A．轴对称 B．轴对称 C．坐标原点对称 D．直线对称 【答案】A 【解析】函数f（x）的定义域是实数集合，关于原点对称，f（x）， 是偶函数，∴函数f（x）图象关于原点y轴对称，故选：A． 9．函数的图象关于 A．轴对称 B．直线对称 C．坐标原点对称 D．直线对称 【答案】C 【解析】是奇函数，所以图象关于原点对称． 10．下列函数中是奇函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】A.，函数的定义域是，并且满足，所以是偶函数，故A不正确；B.的定义域是，满足，所以是奇函数，故B正确；C.的定义域是，即不满足，也不满足，所以函数既不是奇函数，也不是偶函数，故C不正确；D. 的定义域是，即不满足，也不满足，所以函数既不是奇函数，也不是偶函数；故D不正确.故选：B 题组四 已知奇偶性求值 1.函数为上的奇函数，时，，则= 【答案】-1 【解析】因为为上的奇函数，且时，，所以，所以； 2.已知函数，且，则 【答案】3 【解析】由函数，令，则， 由可知：奇函数， 故，则，所以 3．已知函数f(x)=-bx+2，若f(2)=5，则f(-2)= 【答案】-1 【解析】由得：，所以 4．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则____. 【答案】3 【解析】因为函数是定义在上的奇函数，故，，故.故答案为：3. 5.已知函数，，则的值是_______. 【答案】 【解析】是奇函数           .故答案为: . 6.已知分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且，则______ 【答案】 【解析】由题意，，∴，即，∴.故答案为： 7.若函数是偶函数，且，则______． 【答案】0 【解析】由函数是偶函数可得，又，故.故答案为：0. 题组五 已知奇偶性求参数 1．已知函数，是奇函数，则 . 【答案】 【解析】令，， 因为是奇函数，所以，即，解得， 所以.故答案为： 2．已知函数是上的偶函数，则 ． 【答案】 【解析】函数是上的偶函数,则，则. 故答案为：. 3．设是定义在上的奇函数，则 【答案】 【解析】是定义在的奇函数， ， 即， ，且， 解得，或 当时，定义域为，不合题意，舍去； 当时，定义域为，合题意， ， . 故答案为：. 4．已知函数是偶函数，则 ． 【答案】1 【解析】因为函数是偶函数， 所以，即，即， 于是有，解得. 故答案为：. 5．设函数，且为奇函数，则 . 【答案】2 【解析】若函数为奇函数， 则， 解得：. 故答案为：. 6．若函数是偶函数，则的值是 . 【答案】0 【解析】函数是偶函数，即， ∴，即有恒成立， ∴，故答案为：0 7．若是偶函数，且定义域为，则＝ ， ＝ 【答案】 0 【解析】因为是偶函数，且定义域为， 所以，解得，且，所以. 故. 8．已知定义在上的函数是偶函数，则实数的值为 ． 【答案】或 【解析】由题设，函数的定义域关于原点对称，即，解得或，故答案为：或. 题组六 奇偶性与单调性的综合应用 1．下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由于，则是奇函数，结合图①可知，A错误； ，且 则函数在上是奇函数，结合图②可知其是增函数，B正确； ，则是在上奇函数，结合图③可知其是减函数，C错误； ，则不是奇函数，D错误. 故选：B. 2．下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，函数是R上的奇函数，A不是； 对于B，函数是R上的偶函数，且在上单调递增，B是； 对于C，函数是R上的偶函数，在上单调递减，C不是； 对于D，函数是上的奇函数，D不是. 故选：B 3．下列函数中既是偶函数，又在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】、是奇函数，不符合题意. 在上单调递减，不符合题意. 是偶函数，且， 所以在上单调递增. 故选：D 4．在定义域内既是奇函数又是减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A．在定义域内没有单调性，∴该选项错误； B．时，，x＝1时，y＝0；∴该函数在定义域内不是减函数，∴该选项错误； C．的定义域为R，且；∴该函数为奇函数； ，∴该函数在，上都是减函数， 且，∴该函数在定义域R上为减函数，∴该选项正确； D．，∵；∴该函数在定义域R上不是减函数，∴该选项错误．故选：C． 5．下列函数中，既是偶函数，又在区间内单调递增的有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，函数，其在区间内单调递减，故A不正确； 函数的定义域为，且，所以是奇函数，故B不正确； 函数的定义域为，且，所以是偶函数，由二次函数的性质可知函数在区间内单调递增，故C正确； 函数的定义域为，且，所以是奇函数，故D不正确； 故选：C. 题组七 利用函数性质解不等式 1．函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是 【答案】[1，3] 【解析】由函数为奇函数，得，不等式即为， 又在单调递减，∴得，即﹒故选：D． 2．已知偶函数在上单调递增，且，则的解集是 【答案】或 【解析】因为，则，所以， 因为为偶函数，所以，因为在上单调递增， 所以，解得或，所以不等式的解集为或 3．若偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集是____________. 【答案】 【解析】因为偶函数在上单调递减，所以在上单调递增， 又，所以，所以当时， 则不等式等价于，解得， 所以原不等式的解集为.故答案为： 4.已知偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为_______ 【答案】 【解析】解：因为是偶函数，且，，所以， 又在上单调递增，所以，即，解得，故答案为： 5.已知奇函数是定义在[－1，1]上的增函数，且，则的取值范围为____. 【答案】 【解析】因为奇函数在[－1，1]上是增函数，所以有，可化为，要使该不等式成立，有，解得 ，所以的取值范围为.故答案为：. 6若定义域为R的奇函数f（x）在区间[0，＋∞）上单调递增，则不等式f（2x﹣1）﹣f（x）＜0的解集为 【答案】（﹣∞，1） 【解析】：∵f（x）为R上的奇函数，∴f（0）＝0； 又f（x）在区间[0，＋∞）上单调递增，奇函数在对称区间上单调性相同， ∴f（x）在R上单调递增；∴由不等式f（2x﹣1）﹣f（x）＜0，得f（2x﹣1）＜f（x）， ∴2x﹣1＜x，解得x＜1，∴不等式f（2x﹣1）﹣f（x）＜0的解集为（﹣∞，1） 7.若函数为上的奇函数，且图象连续不断，在上为增函数，，则不等式的解集为 【答案】 【解析】 函数为上的奇函数，，，的图象连续不断且在上为增函数，. 8.已知函数，则不等式的解集为______. 【答案】 【解析】因为定义域为，且，即为奇函数， 又与在定义域上单调递增，所以函数在上单调递增， 则不等式等价为， 即，解得，即不等式的解集为.故答案为： 9．设偶函数在上单调递增，则满足的的范围是 【答案】 【解析】由于是偶函数，且在上递增，故原不等式等价于. 此即，解得. 故选：C. 10．已知定义域为的偶函数在上为严格减函数，则不等式的解集为 . 【答案】 【解析】因为是定义域为的偶函数，且在上为严格减函数， 由，得到，整理得到，解得或， 故答案为：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$