第一章特殊平行四边形 章末检测卷-2025-2026学年北师大版数学九年级上册

第一章特殊平行四边形章末检测卷-2025-2026学年数学九年级上册北师大版 一、单选题 1．一个菱形的对角线长分别是3和4，则该菱形的周长为（    ）． A．5 B．10 C．15 D．20 2．如图，在菱形中，，，则（    ） A． B． C． D． 3．如图，正方形绕着点逆时针旋转得到正方形，连接，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在矩形中，分别以点B，D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点M，N．作直线与，分别交于点E，F，连接．已知，，则的长为（   ） A．2 B． C．3 D． 5．小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（   ） A．（1）处可填 B．（2）处可填 C．（3）处可填 D．（4）处可填 6．如图，在中，，，分别为，，边的中点，于，，则等于（   ） A．5 B．4 C．2 D．2.5 7．如图，矩形中，，点是上一点，且，的垂直平分线交的延长线于点，交于点，连接交于点．若是的中点，则的长是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 8．如图，点是矩形的中心，是上的点，沿折叠后，点恰好与点重合．若，则矩形的面积为（    ） A． B． C． D． 9．如图，矩形中，点E为边的中点，连接，过E作交于点F，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 10．如图，正方形中，其中，，将正方形绕点逆时针旋转，每次旋转，问次旋转后点的坐标为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，在正方形的外侧，作等边，则 度． 12．如图，在中，，，点D、E分别是、的中点，于点F，则线段的长为 ． 13．矩形中，，，点P为边上一个动点，将沿折叠得到，点D的对应点为Q，当射线恰好经过的中点M时，的长为 ． 14．如图，在中，，D为的中点，，则的长是 ．    15．大约公元年我国汉代数学家赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”，如图，四个全等的直角三角形拼成大正方形，中空的部分是小正方形，连接，相交于点，与相交于点，若，则 ；直角三角形的边与之比是 ． 16．如图，在菱形中，，E是上一点，M、N分别是的中点，且，则菱形的周长为 ． 三、解答题 17．如图，在正方形中，G是边上一点，连接，过点D作于点E，过点B作，且交于点F．求证：． 18．如图，在矩形中，点是的中点，将矩形沿所在的直线折叠，，的对应点分别为，，连接交于点． (1)若，求的度数； (2)连接，试判断四边形的形状，并说明理由． 19．如图，在四边形中，，是对角线． (1)用尺规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交于点O，E，F．连接．（只保留作图痕迹） (2)在（1）问所作的图形中，求证：四边形为菱形． 20．如图，在正方形中，E是边上任意一点，于点F，于点G． (1)如图1，求证：； (2)如图2，E为的中点时，连接，若，求的长度． 21．如图，，平分，且交于点，平分，且交于点，连接． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，，求四边形的面积． 22．如图，四边形是正方形，点为对角线的中点． (1)问题解决：如图①，连接，分别取，的中点，，连接，则与的数量关系是_____，位置关系是___ ； (2)问题探究：如图②，是将图①中的绕点A按顺时针方向旋转得到的三角形，连接，点P，Q分别为，的中点，连接．判断的形状，并证明你的结论； (3)拓展延伸：如图③，是将图①中的绕点A按逆时针方向旋转得到的三角形，连接，点P，Q分别为，的中点，连接．若正方形的边长为1，求的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第一章特殊平行四边形章末检测卷-2025-2026学年数学九年级上册北师大版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C B C A A D A B 1．B 【分析】本题考查菱形的性质，根据菱形的对角线互相垂直且平分，结合勾股定理求出菱形的边长，进而求出菱形的周长即可． 【详解】解：如图，菱形中，对角线， 则：， ∴， ∴该菱形的周长为； 故选B． 2．C 【分析】本题考查了菱形的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键．由菱形的性质得到，利用等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：在菱形中，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 3．C 【分析】本题考查了正方形的性质和旋转的性质，等边对等角．先根据正方形的性质和旋转的性质得到的度数，，再根据等腰三角形的性质即可求得的度数． 【详解】解：∵正方形绕着点逆时针旋转得到正方形， ∴°，， ∴． 故选：C． 4．B 【分析】本题考查矩形的性质，垂直平分线的性质以及勾股定理，解题关键是熟练掌握几种尺规作图，在直角三角形中长度不能直接求的可通过方程思想根据勾股定理求解． 根据尺规作图，可知是的垂直平分线，则可得，再利用勾股定理列方程求解． 【详解】解：由题意知是的垂直平分线， ∴， 在矩形中，， 设， 则， ∴由得， 解得：． 故选：B． 5．C 【分析】本题主要考查了矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定， 先根据矩形的定义判断A，再根据正方形的判定说明B，然后根据对边相等的平行四边形是否是菱形解答C，最后根据正方形的判定说明D即可． 【详解】解：∵，四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）． 则A正确； ∵，四边形是矩形， ∴四边形是正方形（有一组邻边相等是矩形是正方形）． 则B正确； ∵四边形是平行四边形，就有， ∴加上条件，不能说明四边形是菱形． 则C不正确； ∵，四边形是菱形， ∴四边形是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）． 则D正确． 故选：C． 6．A 【分析】本题主要考查了三角形中位线的判定和性质，直角三角形斜边中线定理，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 根据条件先得出是的中位线，求出长度，再利用直角三角形斜边中线定理进行求解即可． 【详解】解：∵，分别为，边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵于，点是的中点， ∴, 故选：A． 7．A 【分析】过点作于点，证四边形和四边形为矩形，得出，，根据证，得出，又垂直平分，得出，令，则，进而，，，在中，，进行求解即可． 【详解】解：过点作于点， 在矩形中，， 四边形和四边形为矩形， 又，， ，， 是的中点， ， 又， ， 又， ， ， 垂直平分， ， 令，则， 又， ， ，， 在中，， 解得． 故选：A． 【点睛】本题考查矩形的判定和性质，垂直平分线的性质，利用勾股定理解直角三角形以及全等三角形的判定和性质，作辅助线构造直角三角形利用勾股定理求边长是解决本题的关键． 8．D 【分析】此题考查了矩形的性质、勾股定理、折叠性质，熟练掌握矩形的性质和勾股定理的运用是解题的关键．先根据矩形性质和折叠性质求出线段的长度，再根据勾股定理求出线段，然后利用矩形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵点是矩形的中心， ∴，， 由折叠性质可知：， ∴， 在中，， ∴矩形的面积为， 故选：D． 9．A 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，三角形外角的性质．延长交于点G，证明，可得，从而得到，进而得到，然后根据余角的性质可得，再根据三角形外角的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点G， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∵点E为边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A 10．B 【分析】本题考查了坐标与图形变化-旋转，灵活运用旋转的性质和全等三角形的判定与性质是解决问题的关键，也考查了正方形的性质和点的坐标变换规律问题解决方法． 过C点作轴于H点，如图，先证明得到，，则，所以，由于，则逆时针旋转503次相对于顺时针旋转，然后根据旋转的性质得到次旋转后点的坐标为，即可作答． 【详解】解：过C点作轴于H点，如图， ∵，， ∴ ∵四边形是正方形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵将正方形绕点逆时针旋转，每次旋转，且旋转次 ∴ ∴逆时针旋转503次相对于顺时针旋转， 即把绕点顺时针旋转，得，过作轴， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵点在第四象限 ∴点的坐标为 故选：B 11．45 【分析】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，根据正方形的性质，等边三角形的性质，推出为等腰三角形，三角形的内角和定理求出的度数，再根据角的和差关系求出的度数即可． 【详解】解：∵正方形，等边， ∴， ∴，， ∴； 故答案为：45． 12．2 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，直角三角形斜边中线定理等知识点，解题的关键是熟练掌握三角形中位线定理． 利用三角形中位线定理得出，利用直角三角形斜边中线定理得出，即可得出结果． 【详解】解：点、分别是、的中点， 是的中位线， ， ， ， ， ， 在中，点是的中点，， 则， ， 故答案为：． 13．2或8 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，运用分类讨论思想解答并正确画出图形是解题的关键． 分点在线段中点的左边和右边两种情况，画出图形解答即可求解． 【详解】解：如图 1，过点作于， ∵四边形是矩形， ， ∴四边形为矩形，， ， 由折叠可得，， ， ∵点为的中点， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ； 如图 2，过点作与， 则四边形是矩形，， ， 由折叠可得， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ； 综上，的长为2或8， 故答案为：2或8． 14．3 【分析】本题考查的是直角三角形的性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可． 【详解】解：∵在中，，D为的中点，， ∴． 故答案为：3． 15． / 【分析】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定与性质及等腰三角形性质，先求出，根据等腰三角形性质求出，再证明，设，求出即可求出边与之比． 【详解】四边形为正方形， ，， ， ， ， 又， ， ， ，， ， ， 设， 为，的交点，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”， ，， ， ， ， 故答案为：，． 16． 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，三角形中位线定理，连接，由三角形中位线定理可得，再由菱形的性质得到，则可证明是等边三角形，得到，据此根据菱形周长计算公式求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵M、N分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴菱形的周长， 故答案为：． 17．见解析 【分析】本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质以及全等三角形的判定定理是解题的关键．通过正方形的性质得出相关角和边的关系，再结合垂直的性质得到角的等量关系，最后利用全等三角形的判定定理证明两个三角形全等，从而得出对应边相等． 【详解】证明：∵ 四边形 是正方形， ∴ ，， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 在和中， ∴ ， ∴ ． 18．(1) (2)矩形，见解析 【分析】本题主要考查矩形的性质，矩形的判定，折叠的性质，全等三角形的判定和性质的综合，掌握矩形折叠的性质，全等三角形的判定和性质，图形结合分析是解题的关键． （1）根据点是的中点，沿所在的直线折叠，可得是等腰三角形，根据三角形的外角的性质即可求解； （2）如图所示，连接，点是上的一点，根据矩形和折叠的性质可得四边形是平行四边形，如图所示，连接，，过点作于点，可证四边形是平行四边形，再根据折叠的性质得，由此即可求证． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，点是的中点， ∴， ∵沿所在的直线折叠，的对应点分别为，， ∴， ∴，则是等腰三角形， ∴， ∵，即， ∴， ∴的度数为． （2）解：如图所示，连接，点是上的一点，    ∵四边形是矩形， ∴，，即， ∵沿所在的直线折叠，的对应点分别为，， ∴，，是的角平分线， 由（1）可知，， ∴， ∴，且， ∴四边形是平行四边形，则，， 如图所示，连接，，过点作于点，      ∵点是的中点，， ∴点是线段的中点，则， ∴在中， ， ∴， ∴，， ∵沿所在的直线折叠，的对应点分别为，， ∴，，， 在中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形． 19．(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】（1）根据线段垂直平分线的尺规作图方法，分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于两点，过这两点作直线，即为的垂直平分线． （2）先利用垂直平分线的性质得到且，再由得出内错角相等，通过角边角定理证明三角形全等，得到，结合证明四边形是平行四边形，最后根据对角线垂直的平行四边形是菱形来证明． 【详解】（1）解：如图，为所求作的线段的垂直平分线； （2）证明：∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形，     ∵， ∴四边形为菱形（对角线垂直的平行四边形为菱形） 【点睛】本题主要考查了尺规作图、全等三角形的判定及性质、菱形的判定，熟练掌握线段垂直平分线的尺规作图方法以及菱形的判定定理是解题的关键． 20．(1)见解析 (2)10 【分析】（1）证明即可． （2）利用直角三角形面积公式，勾股定理，正方形的性质解答即可． 本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的面积公式，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】（1）解：∵正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵正方形，, ∴， ∵E为的中点 ∴， ∴， ∴， 根据（1）得， ∴， 根据， 得， ∴． 21．(1)见解析； (2) 【分析】（1）根据平行线的性质得出，，根据角平分线的定义得出，，求出，，根据等腰三角形的判定得出，，根据平行四边形的判定得出四边形是平行四边形，即可得出答案； （2）先求出的长，进而即可求出菱形的面积． 【详解】（1）解：， ，， 平分，平分， ，， ，， ，， ， ∵， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形； ∴，， ， ∴ ， 四边形的面积为． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的判定，平行线的性质，角平分线的定义，勾股定理等知识，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 22．(1)，； (2)的形状是等腰直角三角形，理由见解析； (3) 【分析】（1）根据题意可得为的中位线，再根据中位线的性质即可求解； （2）连接并延长交于点，根据题意证出，为等腰直角三角形，也为等腰直角三角形，由且可得是等腰直角三角形； （3）延长交边于点，连接，．证出四边形是矩形，为等腰直角三角形，，再证出为等腰直角三角形，根据图形的性质和勾股定理求出，和的长度，即可计算出的面积． 【详解】（1）解：∵点P和点Q分别为，的中点， ∴为的中位线， ∵四边形是正方形，点为对角线的中点 ∴，， ∴，； 故答案为：，； （2）解：的形状是等腰直角三角形．理由如下： 连接并延长交于点， 由正方形的性质及旋转可得，∠， 是等腰直角三角形， ∴，． ∴，． 又∵点是的中点， ∴． ∴． ∴，． ∴， ∴． ∴为等腰直角三角形． ∴，． ∴也为等腰直角三角形． 又∵点为的中点， ∴，且． ∴的形状是等腰直角三角形． （3）解：延长交边于点，连接，． ∵四边形是正方形，是对角线， ∴． 由旋转得，四边形是矩形， ∴，． ∴为等腰直角三角形． ∵点是的中点， ∴，，． ∴． ∴，． ∴． ∴． ∴为等腰直角三角形． ∵是的中点， ∴，． ∵， ∴，， ∴． ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、旋转图形的性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质和勾股定理，二次根式的乘法运算，根据题意作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$