第六章反比例函数 章末检测卷-2025-2026学年北师大版数学九年级上册

第六章反比例函数章末检测卷-2025-2026学年数学九年级上册北师大版 一、单选题 1．下列函数中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2．正比例函数与反比例函数在同一直角坐标系内的大致图象可以是（    ） A． B． C． D． 3．如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴于点B，作轴于点C，连接，则的面积为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 4．反比例函数的图象与函数的图象没有交点，若点、、在这个反比例函数的图象上，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在直角坐标系中，直线与函数的图象相交于点A，B，设A点的坐标为，那么长为，宽为的矩形面积和周长分别是（    ） A．4，12 B．4，6 C．8，12 D．8，6 6．如图，点是反比例函数图象上任意一点，过点平行于轴的直线交反比例函数的图象于点，以为边作平行四边形，其中，在轴上，则四边形的面积为（   ） A．6 B．5 C．3 D．2.5 7．如图，点A，在反比例函数的图象上，轴，垂足为，．若四边形的面积为8，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．根据图①所示的程序，得到了y与x的函数图象，如图②，若点M是y轴正半轴上任意一点，过点M作平行x轴交图象于点P，Q，连接，则以下结论：①时，；②的面积为定值；③时，y随x的增大而增大；④；⑤可以等于．其中正确结论是（　　） A．①②⑤ B．②④⑤ C．③④⑤ D．②③⑤ 二、填空题 9．若是反比例函数，那么的值是 ． 10．点和点是同一个反比例函数图象上的两点，则的值为 ． 11．函数与图象交点的横坐标分别为a，b ，则的值为 ． 12．如图，点在双曲线上，点在轴的负半轴上，直线交轴于点C．若，的面积为6，则k的值为 ． 13．若反比例函数的图象的分支位于第一、三象限，则的取值范围是 ． 14．如图，点O为坐标原点，的顶点A在反比例函数的图象上，顶点B在反比例函数的图象上，点C在x轴的正半轴上，则的面积是 ． 15．小明在草稿纸上画了某反比例函数在第二象限内的图象，并把矩形直尺放在上面，如图．请根据图中信息，则点坐标为 ． 16．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点、点，交反比例函数的图象于点、点，，过点作轴于点，射线交轴于点，连接．完成下列探究： （1）若点的坐标为，则点的坐标为 （用含，的代数式表示）； （2）若的面积是4，则的值为 ． 三、解答题 17．如图，直线与轴，轴分别交于点，，与反比例函数的图象交于，两点，且点的坐标为． (1)求出点D的坐标； (2)直接写出不等式的解集． 18．如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，，与反比例函数的图象交于点，． (1)直接写出不等式的解集； (2)分别求出两个函数的解析式； 19．已知一次函数与反比例函数的图象交于两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求的面积； (3)点P在x轴上，当为等腰三角形时，直接写出点P的坐标． 20．如图，直线交轴于点，交轴于点，交反比例函数于点(第一象限)．若点的纵坐标为2，且． (1)求出反比例函数的解析式； (2)过线段上一点作轴的垂线，交反比例函数于点．连接，当为等腰直角三角形时，求点的坐标． 21．平面直角坐标系中，反比例函数（）与一次函数的图象相交于点，两点． (1)求函数，的表达式； (2)将函数的图象向下平移个单位，新函数的图象与函数的图象交于点G，如果点G的纵坐标是横坐标的3倍，求p的值． 22．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点，轴上的点，作直线． (1)求反比例函数的解析式； (2)直线与轴交于点，连接，． ①在直线上找点，使得，求出所有点的坐标； ②点在反比例函数的图象上，点在轴上，若以点A，，，为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点坐标． 23．已知，矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，已知点B的坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，且与交于点E，顺次连接O，D，E． (1)求线段的长； (2)在线段上存在一点M，当的面积等于时，求点M的坐标； (3)平面直角坐标系中是否存在一点N，使得O、D、E、N四点构成平行四边形？若存在，请直接写出N的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第六章反比例函数章末检测卷-2025-2026学年数学九年级上册北师大版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C B B A B D B 1．D 【分析】本题考查反比例函数的定义，掌握反比例函数定义是解决问题的关键．形如（为常数且）的函数是反比例函数，逐一分析选项即可判断． 【详解】解：A、是一次函数，故此选项不符合题意； B、是一次函数，故此选项不符合题意； C、不符合反比例函数的形式，不是反比例函数，故此选项不符合题意； D、符合反比例函数的形式，是反比例函数，故此选项符合题意． 故选：D． 2．C 【分析】本题考查的知识点是一次函数与反比例函数图象综合判断，解题关键是熟练掌握相关函数图象． 根据值不同，正比例函数图象、反比例函数图象经过的象限不同对选项进行逐一判断即可． 【详解】解：选项，该图象中正比例函数经过一、三象限， ，则，此时反比例函数图象应经过二、四象限，跟图象不符，选项错误； 选项，该图象中正比例函数经过二、四象限， ，则，此时反比例函数图象应经过一、三象限，跟图象不符，选项错误； 选项，该图象中正比例函数经过二、四象限， ，则，此时反比例函数图象应经过一、三象限，跟图象相符，选项正确； 选项，该图象中不存在正比例函数，不符合题意，选项错误． 故选：． 3．B 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．先判断四边形是矩形，得出，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义求解即可． 【详解】解∶∵轴， 轴，轴轴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 故选∶B． 4．B 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数的图象性质，解答本题的关键是熟练掌握一次函数与反比例函数的性质． 先根据两个函数没有交点，确定的符号，再根据反比例函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象与函数的图象没有交点，且函数的图象经过一、三象限， ， 双曲线位于二，四象限，且在每一个象限内，随的增大而增大， ∵， ∴，即， 故选：B． 5．A 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题； 先联立两函数解析式求出，可得，再根据矩形面积公式和周长公式求解即可． 【详解】解：联立， 解得 或， 经检验，这两组解都是方程组的解， ∴， ∴， ∴长为，宽为的矩形面积为，周长为， 故选：A． 6．B 【分析】本题考查反比例函数的系数k的几何意义，平行四边形的性质； 连接、，设交y轴于E，由于轴，根据反比例函数的系数k的几何意义求出和，则平行四边形的面积． 【详解】解：连接、，设交y轴于E，如图， ∵平行四边形，，在轴上， ∴轴， ∴轴， ∴，， ∴， ∵平行四边形， ∴平行四边形的面积． 故选：B． 7．D 【分析】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键． 设点，可得，，从而得到，再由．可得点，从而得到，然后根据求解即可． 【详解】解：设点，可得，， ∵， ，， 轴，， ∴轴， ∴， ∴， ∵，四边形的面积为8， ∴，解得：． 故选：D． 8．B 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质、勾股定理、坐标与图形，熟知反比例函数图象上的点的坐标特征是解答的关键．根据流程图可判断①；设，，根据流程图可得 ，，利用三角形面积公式可判断②；根据反比例函数的性质可判断③；根据坐标与图形性质和反比例函数的性质可判断④；利用勾股定理可判断⑤，进而可得答案． 【详解】解：①当时，，故①错误； ②、当时，，当时，， 设，， 则，， ∴的面积是，故②正确； ③、时，，y随x的增大而减小，故③错误； ④、设，， ∵， ∴，，， ∵，，， ∴，故④正确； ⑤设，则，， 则， ， 当，， 时，有：， ∴， ∵a有解， ∴可能存在，故⑤正确； 综上，正确的有②④⑤， 故选：B． 9． 【分析】本题考查了反比例函数的概念：形如的函数，其中k为常数；掌握此概念是解题的关键；由题意知，结合即可求解． 【详解】解：∵是反比例函数， ∴且， 解得：； 故答案为：． 10． 【分析】本题考查反比例函数图象上的点，根据反比例函数图象上的点的横纵坐标之积为定值，；进行求解即可． 【详解】解：∵点和点是同一个反比例函数图象上的两点， ∴， 解得：； 故答案为：． 11． 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，一元二次方程根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键．根据题意得，化为整式方程，整理得，进而根据一元二次方程根与系数的关系求即可． 【详解】解：联立解析式得， ∴， 即， ∴ ∴， 故答案为：． 12．6 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，平行线分线段成比例定理，解题的关键是理解反比例函数系数k的几何意义． 如图，过点A作轴于点H．求出的面积可得结论． 【详解】解：如图，过点A作轴于点H． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：6． 13． 【分析】本题考查反比例函数的图象，掌握反比例函数的系数与图象分布关系是解决问题的关键．根据反比例函数的图象可列出不等式进行求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象的分支位于第一、三象限， ， ． 故答案为：． 14．4 【分析】本题考查了反比例函数与平行四边形的综合，熟练掌握平行四边形的性质以及反比例函数k的几何意义是解决本题的关键． 延长交y轴于点M，过点B作轴于点N，根据平行四边形的性质，易证，根据反比例函数k的几何意义，可知，，即可求出的面积． 【详解】解：如图所示，延长交y轴于点M，过点B作轴于点N， 在平行四边形中，， ， ， ， ， ， ， ∴四边形是矩形， ， 的面积． 故答案为：4． 15． 【分析】本题是反比例函数与一次函数综合题，考查了求函数解析式，一次函数的平移问题，一次函数与反比例函数的交点问题，利用数形结合的思想解决问题是关键．由图形可知，，利用待定系数法求出反比例函数解析式和直线的解析式，再根据一次函数的平移得到直线的解析式，联立反比例函数和直线，求出交点坐标即可． 【详解】解：由图形可知，， 设反比例函数解析式为， 反比例函数图象过点， ， 比例函数解析式为， 设直线的解析式为， 则，解得：， 直线的解析式为， 由图象可知，直线可由直线向上平移3个单位得到， 直线的解析式为， 联立，解得：或， 点在第二象限， 故答案为： 16． 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，相似三角形的判定和性质， （1）作，证明，得到，进而得到，根据点的坐标为，得到，，进而得到，求出点坐标即可； （2）根据同高三角形的面积比等于底边比，得到，利用分割法列出方程进行求解即可． 【详解】解：（1）作， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点的坐标为， ∴，， ∴， ∴，即：， 故答案为：； （2）由（1）设点的坐标为，则：，， ∴， ∵，的面积是4， ∴， ∴ ， ∴； 故答案为：． 17．(1) (2) 【分析】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，一次函数与图形综合问题，解题关键是将点转化为直线通过交点求解． （1）将点的坐标代入反比例函数，，可得出和；联立一次函数与反比例函数的解析式可得出的坐标； （2）根据图象可得出结论． 【详解】（1）解：将点代入反比例函数，， ，， 解得，， 反比例的函数为，一次函数的解析式为：； 联立， 解得或， ； （2）解：由图象可知，不等式，即的解集为． 18．(1)或； (2)反比例函数解析式为，一次函数解析式为． 【分析】本题考查了一次函数、反比例函数的图象与性质，待定系数求函数解析式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据函数图象，写出反比例函数在直线上方的自变量的取值范围，即可求解； （）将点的横、纵坐标代入反比例函数的解析式，求得的值，从而点纵坐标已知，将点的横、纵坐标代入一次函数的解析式，求得的值，从而两个函数解析式可求； 【详解】（1）解：∵的图象与反比例函数的图象交于点，， ∴不等式的解集为或； （2）解：∵反比例函数的图象过点，， ∴， 解得：，， ∴反比例函数解析式为，， ∵一次函数的图象过点，， ∴，解得：， ∴一次函数解析式为． 19．(1)， (2)8 (3)或或或 【分析】本题考查反比例函数的性质，一次函数的性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是灵活应用相关知识，学会用分类讨论的思想思考问题． （1）利用待定系数法求解即可． （2）设直线交y轴于C，则，根据求解即可． （3）分三种情形：分别求解即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数经过点， ， 在反比例函数图象上， ， ， 把A，B的坐标代入， 则有， 解得， ∴一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为； （2）设直线交y轴于C，则， ； （3）当时，如图过A作轴，可得，则， 当时，由题意， 则，可得或， 当时，如图过点A作轴，设， 在中，则有， 解得， ∴， 综上所述，满足条件的点P的坐标为或或或． 20．(1)反比例函数的解析式为 (2)当时，为等腰直角三角形 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握交点坐标满足两个函数解析式是关键． （1）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）作，垂足为，设点，则，，根据等腰三角形性质列出方程求出值即可得到点坐标． 【详解】（1）解：直线交轴于点，， 直线的解析式为， 当时，， ， 点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为； （2）如图，作，垂足为， 设点，则，， ，， ， ， ，解得或舍去， 当时，为等腰直角三角形． 21．(1)， (2)4 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题一次函数的平移，熟知反比例函数及一次函数的图象和性质是解题的关键． （1）利用待定系数法即可解决问题． （2）根据点G的纵坐标是横坐标的3倍及点G在函数的图象上，可求出点G的坐标，再将此点向上平移p个单位后的对应点代入函数的解析式即可解决问题． 【详解】（1）将代入反比例函数解析式得，， 所以反比例函数解析式为． 将代入反比例函数解析式得，， 所以点A的坐标为， 将A，B两点坐标代入一次函数解析式得， 解得， 所以一次函数的解析式为． （2）解：设点G的坐标为， 将代入反比例函数解析式得，， 解得，（舍去）， 所以点G的坐标为． 将点G坐标向上平移p个单位长度所得点的坐标为， 则， 解得， 所以p的值为4． 22．(1) (2)①，；②， 【分析】（1）由点和点都在反比例函数的图象上可得，求出m的值，即可得的值，进而可得反比例函数的解析式． （2）①先求出直线的解析式为，进而可得，由可知满足条件的M点有两个，如图 和．当时，可得，进而可得，则，可求得．由，可得，进而可得． ②设，，分两种情况：当四边形是平行四边形时，和当四边形是平行四边形时．根据平行四边形对边平行且相等，列方程求出m、n的值即可得解． 【详解】（1）解：∵点和点都在反比例函数的图象上， ∴， 解得，， ∴，， ∴反比例函数的解析式为． （2）①把，代入中， 得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴． ∵， ∴满足条件的M点有两个，如图 和． ∵， ， 即， 由，，可知，A点是线段的中点， ∴， ∵， ∴当时，，此时， ∴，， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴． 综上，点的坐标为，． ②设，． 如图，当四边形是平行四边形时， ∵，， ∴， 解得， ∴，． 当四边形是平行四边形时， ∴，， ∴， 解得， ∴，． 综上，P点的坐标为，． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数与几何综合，熟练掌握反比例函数的性质及数形结合思想是解题的关键． 23．(1) (2) (3)存在，N的坐标为或或 【分析】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，平行四边形的性质，中点坐标公式，矩形的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． （1）根据B的坐标，利用中点坐标公式求出D的坐标，确定出反比例函数解析式，进而求出E的坐标，即可求出的长； （2）根据D坐标确定出直线与直线解析式，过点M作轴交于点N，设，，由，把已知面积代入求出t的值，即可确定出M坐标； （3）由题意得：，，，设，分三种情况考虑：当四边形为平行四边形时；当四边形为平行四边形时；当四边形为平行四边形时即可． 【详解】（1）解：∵点B的坐标为，D为中点， ∴， ∵反比例函数的图象经过的中点D， ∴， ∴反比例函数解析式为， 把代入得：，即， 则； （2）解：由，得到直线解析式为， 由，得到直线解析式为， 过点M作轴交于点N， 设，则， ∵ ， ∴，解得：， 则点M坐标为； （3）解：存在； 由题意得：，，，设， 分三种情况考虑：当四边形为平行四边形时，可得，， 解得：，，即； 当四边形为平行四边形时，可得，， 解得：，，即； 当四边形为平行四边形时，可得，， 解得：，，即， 综上，N的坐标为或或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$