第二十一章一元二次方程 章末检测卷-2025-2026学年人教版数学九年级上册

第二十一章一元二次方程章末检测卷-2025-2026学年数学九年级上册人教版 一、单选题 1．已知关于x的一元二次方程，则一次项系数为（   ） A． B． C．2 D．1 2．已知是方程的两根，则的值是（    ） A．2 B． C．3 D． 3．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．有一个实数根 5．已知一元二次方程的两根为，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年2月份售价为25万元，4月份售价为20.25万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 7．若关于x的方程有实根，则m的最大整数值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．3 8．关于x的方程的解是，，则方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．无实数解 9．如图，某小区居民休闲娱乐中心是一块长方形（长80米，宽50米）场地，被3条宽度相等的绿化带分成总面积为2000平方米的活动场所，如果设绿化带的宽度为x米，由题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 10．某超市今年一月份总收入为50万元，第一季度总收入为175万元，问2、3月份平均每月的增长率是多少？设平均每月的增长率为x，根据题意得方程为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．把方程化为两个二元一次方程，它们是 ． 12．关于x的一元二次方程的根的情况是 ． 13．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 14．若实数满足 ，则的值为 ． 15．新疆维吾尔自治区体育局要组织一次篮球赛，赛制为每两队之间都赛一场，计划安排21场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？设应邀请x支球队参赛可列出方程 ． 16．关于的一元二次方程的两根记为，．若，则 ． 三、解答题 17．解方程： (1) (2) 18．已知关于x的方程． (1)若这个方程是一元二次方程，求m的值； (2)若是它的一个根，求m的值． 19．在中，，的长恰好是一元二次方程的一个实数根，求该三角形的面积． 20．【阅读材料】若关于的一元二次方程的两根为，则． 这就是一元二次方程根与系数的关系，根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： 【材料理解】一元二次方程的两根为，则______，______； 【类比运用】已知关于的一元二次方程． ①求证：不论为何值，该方程总有两个实数根； ②若该方程的两个实数根、满足，求的值． 21．如图，在矩形中，． (1)在边上求作一点，使得，且；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的图形中，若，，求的长． 22．某公司投入研发费用80万元（80万元只计入第一年成本），成功研发出一种产品．公司按订单生产（产量销售量），此产品年销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足的函数关系式． (1)第一年该产品正式投产后，生产成本为6元/件．若公司希望该产品第一年的利润为20万元，那么该产品第一年的售价是多少？ (2)第二年，该公司将第一年的利润20万元（20万元只计入第二年成本）再次投入研发，使产品的生产成本降为5元/件．为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过12万件．请计算该公司第二年的利润W2为90万元时，那么该产品第二年的售价最多是多少？ 23．定义：若关于的一元二次方程的两个实数根为和，分别以，为横、纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的“两根点”． (1)方程的“两根点”的坐标为______（直接写出）； (2)点是关于的一元二次方程的“两根点”． ①若点在直线上，求的值； ②点为坐标原点，当线段取得最小值时点的坐标为______（直接写出结果）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第二十一章一元二次方程章末检测卷-2025-2026学年数学九年级上册人教版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C B C C A B B C D 1．A 【分析】先将方程化为一元二次方程的一般形式 （），再确定一次项系数． 本题主要考查一元二次方程的一般形式，熟练掌握将方程化为一般形式后确定各项系数的方法是解题的关键． 【详解】解： ， ∴一次项系数为 ， 故选：A． 2．C 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，解题关键是掌握一元二次方程的根与系数的关系． 直接根据一元二次方程的根与系数的关系求解． 【详解】解：∵是方程的两根， ∴， 故选：C． 3．B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程无实数根．根据方程的系数结合根的判别式，得出关于的一元一次不等式，并解不等式得出的取值范围． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， ∴． 故选：B． 4．C 【分析】本题考查了根的判别式．一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据一元二次方程根的判别式进行解答即可． 【详解】解：∵，，，， ∴一元二次方程没有实数根． 故选：C． 5．C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程的根与系数的关系，即可解答． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， 设根为和， 则，， ∴，， ∴． 故选：C． 6．A 【分析】本题考查了一元二次方程的增长率问题，根据某款燃油汽车今年2月份售价为25万元，4月份售价为20.25万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是，列方程，即可作答． 【详解】解：根据题意得：． 故选：A． 7．B 【分析】本题考查了根的判别式和解一元一次不等式组，能得出关于的不等式组是解此题的关键．当方程为一元二次方程时，根据方程有实数根得出且，求出不等式组的解集即可．当方程为一元一次方程时，可求，则问题可解． 【详解】解：当方程为一元二次方程时， 且， 解得：且， 当方程为一元一次方程时，则，方程一定有实根， 综上， 的最大整数解为5， 故选：B． 8．B 【分析】本题考查了一元二次方程的解，理解一元二次方程的结构相同，则解相同是解题的关键．通过换元法，将新方程转化为原方程的形式，从而利用已知解推导出新解． 【详解】解：∵原方程 的解为 ，， ∴令新方程 中的 ，则方程变为 ，与原方程形式相同， ∴新方程的 解与原方程的 解相同，即 或 ， ∴ 或， ∴此时新方程解得 或 ； 故选：B ． 9．C 【详解】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 由各边之间的关系，可得出被分成六块的活动场所可合成长为米，宽为米的长方形， 再根据绿化带分为总面积为2000平方米的活动场所，可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：长方形场地的长为80米，宽为50米，绿化带的宽度为米， 被分成六块的活动场所可合成长为米，宽为米的长方形， 由题意得：， 故选：C． 10．D 【分析】本题主要考査了由实际问题抽象出一元二次方程，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．本题可先用表示出二月份的总收入，再根据题意表示出三月份的总收入，然后将三个月的总收入相加，即可列出方程． 【详解】解：设平均每月的增长率为，则二月份的总收入为：，三月份的总收入为：， 根据题意得：． 故选：D． 11．， 【分析】本题考查因式分解法解方程，解题的关键是熟练掌握因式分解法． 通过因式分解，将原方程转化为两个二元一次方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴方程化为两个二元一次方程：，， 故答案为：，． 12．有两个不相等的实数根 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，掌握根的判别式是解答本题的关键； 求出根的判别式，判断根的判别式和0的关系，然后即可求解； 【详解】解：， ， ∵， ∴， ∴关于x的一元二次方程的根的情况为：有两个不相等的实数根， 故答案为：有两个不相等的实数根； 13．且 【分析】本题考查一元二次方程的定义及根的判别式．熟练掌握一元二次方程成立的条件和根的判别式是解题的关键； 根据一元二次方程成立的条件，方程根的个数，根据根的判别式可得到关于的不等式，则可求得的取值范围． 【详解】一元二次方程中，，，， 所以， ， 因为方程有两个不相等的实数根， 所以，即， 解得． 的取值范围是且； 故答案为：且． 14．1 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的求解方法为解题关键．设，则原方程变形为，运用因式分解法解得，然后确定的值． 【详解】解：设，则， ，即， 解得：， ， ． 故答案为：1． 15． 【分析】本题考查了由实际问题抽象一元二次方程的知识，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数与球队之间的关系． 设应邀请x支球队参赛，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：设应邀请x支球队参赛，根据题意得： ． 故答案为：． 16． 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系．利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，代入式子中计算即可求出m值． 【详解】解：∵，是方程的两根，， ∴， 解得：， 当时，方程， ∴， 当时，方程， ， ∴方程无实数解， 故答案为：． 17．(1) (2) 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键： （1）因式分解法解方程即可； （2）因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， 即， ∴或， 解得：； （2）解：， ∴， ∴， ∴或， 解得：． 18．(1) (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解一元二次方程； （1），化为一般式得：，根据一元二次方程的定义，要求二次项系数不能为0，即 ，解得； （2）根据方程的根的定义将代入 ，进而解方程，即可求解． 【详解】（1）解： ∴ ∵这个方程是一元二次方程， ∴ ， 解得： （2）解：∵是的一个根， ∴ 解得：， 当时，原方程为 解得： ∴或． 19． 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法；三角形的面积；三角形三边关系；勾股定理的逆定理，熟练掌握解方程，勾股定理的逆定理是解题的关键．先用因式分解法求得得两个根，根据三角形的存在条件，确定取舍，利用勾股定理的逆定理判定为直角三角形，后利用直角三角形的面积计算解答即可． 【详解】解：， 解得 当时，，构不成三角形，舍去； 当时，能构成三角形，此时， ∵， ， ， ． ∴该三角形的面积是． 20．材料理解：，；类比运用：①见解析；② 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的判别式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 材料理解：根据一元二次方程根与系数的关系进行计算即可； 类比运用：①证明即可；②通过一元二次方程根与系数的关系表示出两根和，以及两根乘积，然后代入解方程即可． 【详解】材料理解： 解，∵一元二次方程的两根为，， ∴， 故答案为：，； 类比运用： ①证明：∵， ∴， ∴不论m为何值，该方程总有两个实数根； ②∵，是一元二次方程的两根， ∴，， 又∵， ∴， 解得：． 21．(1)见解析 (2) 【分析】（1）先作的垂直平分线找到的中点O，再以O点为圆心，以为半径画圆弧，交于点E，靠近点B的交点即为点E，连接、即可得到答案； （2）根据勾股定理可以得到从而得到 ，建立一元二次方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：如下图所示，作的垂直平分线交于点O，再以为半径画圆弧交于点E，则点E即为所求作的点； 连接，根据作图可知：， ∴，， ∵， ∴， 即； （2）解：在矩形中，，， 设，则， ∵ ∴ ∴， 解得：或， 当时，， 根据勾股定理得：， ， ∵， ∴， ∴不符合题意舍去， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质、矩形的性质、尺规作图、勾股定理，解一元二次方程，解题的关键是熟知等腰三角形的性质． 22．(1)若公司希望该产品第一年的利润为20万元，那么该产品第一年的售价是元 (2)该公司第二年的利润W2为90万元时，那么该产品第二年的售价最多是元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）表示出，根据题意列出二元一次方程，解方程即可得解； （2）根据题意列出一元一次不等式并结合题意可得，求出，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：， ∵公司希望该产品第一年的利润为20万元， ∴， 解得：， ∴若公司希望该产品第一年的利润为20万元，那么该产品第一年的售价是元； （2）解：∵受产能限制，销售量无法超过12万件， ∴， ∴， ∵为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价， ∴， 由题意可得：， ∵该公司第二年的利润W2为90万元时， ∴， 整理可得：， 解得：，， 故该公司第二年的利润W2为90万元时，那么该产品第二年的售价最多是元． 23．(1) (2)①；② 【分析】本题考查了解一元二次方程、一次函数的应用、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先利用因式分解法解方程可得，，再结合定义即可得解； （2）①先解方程得出，再代入直线，计算即可得解；②由①可得点在直线上，令直线交轴于，交轴于，当于时，最小，作于，证明为等腰直角三角形，得出，从而可得，计算即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， ∴，， ∴方程的“两根点”的坐标为； （2）解：①∵， ∴， ∴或， ∴，， ∴， ∵点在直线上， ∴， ∴； ②由①可得， ∴点在直线上， 如图所示，令直线交轴于，交轴于，当于时，最小，作于， ， 在中，当时，，即；当时，，解得，即， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得：， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$