精品解析：辽宁省抚顺市清原县英额门镇中学2024--2025学年九年级4月数学月考试卷

2025年辽宁省抚顺市清原县英额门镇中学九年级4月数学月考 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图是由七个完全相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的左视图是（ ） A. B. C. D. 2. 下列选项记录了我国四个直辖市某年1月份的平均气温，其中气温最高的是（ ） A. B. C. D. 3. “海葵一号”是完全由我国自主设计建造的深水油气田“大国重器”，集原油生产、存储、外输等功能于一体，储油量达立方米．将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，矩形的两条对角线相交于点，已知，，则矩形对角线的长为（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式运算结果为的是（ ） A. B. C. D. 6. 哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．在质数2，3，5中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 8. 《九章算术》中记载这样一个题：牛5头和羊2只共值10金，牛2头和羊5只共值8金，问牛和羊各值多少金？设每头牛值金，每只羊值金，可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，用平移方法说明平行四边形的面积公式时，若平移到，，，则的平移距离为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 12 10. 如图，四边形AOBC四个顶点的坐标分别是，，，，在该平面内找一点P，使它到四个顶点的距离之和最小，则点P的坐标为（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 方程的解为______． 12. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为________． 13. 如图，正方形的对角线相交于点O，点E是的中点，点F是上一点．连接．若，则的值为______． 14. 已知二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是__________． 15. 如图，在等边中，D为边上一点，，连接．以点A为圆心，长为半径画弧，以点C为圆心，长为半径画弧，两弧在直线右侧交于点E；以点B为圆心，长为半径画弧，交边于点G；以点G为圆心，长为半径画弧，交线段于点F，连接，，且与交于点H，则__________． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 为响应国家节能减排的倡议，某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车，B型汽车的售价比A型汽车售价高8万元，本周售出1辆A型车和3辆B型车，销售总额为96万元． （1）求每辆A型车和B型车的售价； （2）随着新能源汽车越来越受消费者认可，汽车专卖店计划下周销售A，B两种型号的汽车共10辆，若销售总额不少于228万元，求B型车至少销售多少辆？ 18. 数学文化有利于激发学生数学兴趣．某校为了解学生数学文化知识掌握的情况，从该校七、八年级学生中各随机抽取10名学生参加了数学文化知识竞赛，并对数据（百分制）进行整理、描述和分析（成绩均不低于70分，用表示，共分三组：，，），下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩是：，，，，，，，，，． 八年级10名学生的竞赛成绩在组中的数据是：，，，． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 86 87 八年级 86 90 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______： （2）该校七年级学生有500人，八年级学生有400人．估计该校七、八年级学生中数学文化知识为“优秀”（）的总共有多少人？ 19. 每年月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”．康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售．根据市场调查，每辆轮椅盈利元时，每天可售出辆；单价每降低元，每天可多售出辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于元．设每辆轮椅降价元，每天的销售利润为元． （1）求与的函数关系式； （2）全国助残日当天，公司共获得销售利润元，请问这天售出了多少辆轮椅？ 20. 如图，将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁的夹角为；向水槽注水，水面上升到的中点E处时，停止注水（直线为法线，为入射光线，为折射光线）．点A，B，C，D，E，F，O，N，在同一平面内，测得，，折射角． （1）求的长； （2）求B，D之间的距离．（结果精确到，参考数据：，，） 21. 如图，在中，，以为直径的交于点D，，垂足为E． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 22. 四边形是平行四边形，连接，于点E，交边于点F． （1）如图1，，，求的长． （2）如图2，，，猜想线段与的数量关系，并说明理由． （3）如图3，，． ①求证：； ②将沿直线翻折得到，连接交边于点P，连接，求的长． 23. 在平面直角坐标系中，如果一个函数的图象与一个正方形有两个不同的交点，这个函数在正方形内部的部分能将正方形分成两部分，我们就称这个函数是这个正方形的“二分函数”．如图1，正方形各顶点的坐标分别为，，，，函数与正方形两边，的交点分别为点E，F，则函数就是正方形ABCD的二分函数． （1）求图1中的面积． （2）如图2，正方形各顶点的坐标分别为，，，，函数（m是常数，且）是正方形的二分函数，请直接写出m的取值范围． （3）在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，B在x轴上，，，抛物线与x轴交于点和点F． ①如图3，若抛物线过点C，求点F的坐标； ②若抛物线是正方形的二分函数，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年辽宁省抚顺市清原县英额门镇中学九年级4月数学月考 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图是由七个完全相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查简单组合体的左视图，解题的关键是明确左视图是从物体左面看所得到的图形． 从左面观察该立体图形，确定看到的小正方形的列数和每列的个数． 【详解】解：从物体左面看，有2列，从左到右每列小正方形的个数分别为、． 故选：B． 2. 下列选项记录了我国四个直辖市某年1月份的平均气温，其中气温最高的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了负数和正数的大小比较，解题的关键是理解温度数值的含义，明确正数大于负数，以及正数之间、负数之间的大小比较规则． 观察四个选项的温度数值，区分正数和负数；正数温度高于负数温度，在正数中比较数值大小，数值大的温度更高． 【详解】解：根据所给选项的温度数据： 北京：，上海：，天津：，重庆：． 温度比较规则：正数大于负数，且正数中数值越大温度越高． 这里上海和重庆的温度为正数，北京和天津为负数，因此上海和重庆的温度高于北京和天津． 又因为，所以重庆的温度最高． 故选：D． 3. “海葵一号”是完全由我国自主设计建造的深水油气田“大国重器”，集原油生产、存储、外输等功能于一体，储油量达立方米．将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选：D． 4. 如图，矩形的两条对角线相交于点，已知，，则矩形对角线的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形的性质得到OA=OB=OD，结合得到，进一步得到BD=2AB． 【详解】因为四边形为矩形， 所以， ， ， 所以， 所以， 因为 所以 因为， 所以， 故． 故选C． 【点睛】本题考查了矩形的性质和含的直角三角形的边角关系，本题也可用等边三角形的性质和矩形的性质进行求解． 5. 下列各式运算结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】需分别根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂乘法、同底数幂除法的法则计算各选项，选出结果为的选项． 【详解】解：选项A：与不是同类项，不能合并，运算结果不是，A错误； 选项B：根据幂的乘方法则，，结果不是，B错误； 选项C：根据同底数幂乘法法则，，结果为，C正确； 选项D：根据同底数幂除法法则，，结果不是，D错误； 故选：C． 6. 哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．在质数2，3，5中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了树状图或列表法求概率，根据题意画出树状图，求和后利用概率公式计算即可． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可知，共有6种不同情况，和是偶数的共有2种情况，故和是偶数的概率是 ， 故选：B 7. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】解：根据轴对称图形与中心对称图形的概念可知： A选项是轴对称图形而不是中心对称图形； B选项是轴对称图形而不是中心对称图形； C选项既是轴对称图形又是中心对称图形； D选项是轴对称图形而不是中心对称图形； 故选：C． 8. 《九章算术》中记载这样一个题：牛5头和羊2只共值10金，牛2头和羊5只共值8金，问牛和羊各值多少金？设每头牛值金，每只羊值金，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．根据未知数，将今有牛5头，羊2头，共值10金；牛2头，羊5头，共值8金，两个等量关系具体化，联立即可． 【详解】解：设每头牛值x金，每头羊值y金， ∵牛5头，羊2头，共值10金；牛2头，羊5头，共值8金， ∴， 故选：A． 9. 如图，用平移方法说明平行四边形的面积公式时，若平移到，，，则的平移距离为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据平移的方向可得，平移到，则点与点重合，故的平移距离为的长． 【详解】解：用平移方法说明平行四边形的面积公式时，将平移到， 故平移后点与点重合，则的平移距离为， 故选：B． 【点睛】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 10. 如图，四边形AOBC四个顶点的坐标分别是，，，，在该平面内找一点P，使它到四个顶点的距离之和最小，则点P的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，两点之间线段最短，设为平面一点，连接，，，，连接，，相交于点，则，，所以，当与和交点重合时，最小，求出解析式为，解析式为，联立，解得，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设为平面一点，连接，，，，连接，，相交于点，如图， ∴，， ∴， 当与和交点重合时，最小， 设解析式为， ∴，解得：， ∴解析式为， 设解析式为， ∴，解得：， ∴解析式为， 联立，解得：， ∴， 故选：． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 方程的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键． 先去分母，化分式方程为整式方程，直接求解即可． 【详解】解：， 去分母，两边同乘以得：， 移项合并同类项得：， 经检验是原方程的解， 故答案为：． 12. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化——旋转、全等三角形的性质与判定，结合图形作垂线构造全等三角形是解题的关键．作轴于点，作轴于点，由旋转的性质得，，通过证明得到，，再结合点的坐标即可求解． 【详解】解：如图，作轴于点，作轴于点， 由旋转的性质得，，， ， 轴，轴， ， ， ， ， ，， 点的坐标为， ，， ，， 点的坐标为． 故答案为：． 13. 如图，正方形的对角线相交于点O，点E是的中点，点F是上一点．连接．若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，正方形的性质，先由正方形的性质得到，，再证明，进而可证明，由相似三角形的性质可得，即． 【详解】解：∵正方形的对角线相交于点O， ∴，， ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 故答案为：． 14. 已知二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是__________． 【答案】第四象限 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象和性质，根据二次函数的图象及对称轴判断a及b的符号，从而得出点所在象限． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， 又∵对称轴位于y轴右侧， ∴a，b异号， ∴， ∴点在第四象限， 故答案为：第四象限． 15. 如图，在等边中，D为边上一点，，连接．以点A为圆心，长为半径画弧，以点C为圆心，长为半径画弧，两弧在直线右侧交于点E；以点B为圆心，长为半径画弧，交边于点G；以点G为圆心，长为半径画弧，交线段于点F，连接，，且与交于点H，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接，，，与交于点M，证明出，得到，证明出，得到，然后求出，进而求解即可． 【详解】解：如图，连接，，，与交于点M． 由作图可知，． ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ． ，，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，求正切值，平行四边形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算、分式的混合运算，涉及零指数幂、二次根式、特殊角的三角函数值，熟练掌握相关运算法则并正确求解是解答的关键． （1）先进行零指数幂运算、二次根式的化简、代入特殊角的三角函数值、绝对值运算，再加减运算即可求解； （2）先计算括号内的分式减法，再将除法转化为乘法，然后根据分式乘法运算法则求解即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 为响应国家节能减排的倡议，某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车，B型汽车的售价比A型汽车售价高8万元，本周售出1辆A型车和3辆B型车，销售总额为96万元． （1）求每辆A型车和B型车的售价； （2）随着新能源汽车越来越受消费者认可，汽车专卖店计划下周销售A，B两种型号的汽车共10辆，若销售总额不少于228万元，求B型车至少销售多少辆？ 【答案】（1）每辆A型车的售价是18万元，每辆B型车的售价是26万元 （2）B型车至少销售6辆 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设每辆A型车的售价是x万元，每辆B型车的售价是y万元，根据“B型汽车的售价比A型汽车售价高8万元，本周售出1辆A型车和3辆B型车，销售总额为96万元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结果； （2）设销售B型车m辆，则销售A型车辆，利用销售总额=每辆A型车的售价×销售A型车的数量+每辆B型车的售价×销售B型车的数量，结合销售总额不少于220万元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结果． 【小问1详解】 解：设每辆A型车的售价是万元，每辆B型车的售价是万元， 根据题意得：，解得： 答：每辆A型车的售价是18万元，每辆B型车的售价是26万元； 【小问2详解】 解：设销售B型车辆，则销售A型车辆， 根据题意得：， 解得：， 的最小值为6． 答：B型车至少销售6辆． 18. 数学文化有利于激发学生数学兴趣．某校为了解学生数学文化知识掌握的情况，从该校七、八年级学生中各随机抽取10名学生参加了数学文化知识竞赛，并对数据（百分制）进行整理、描述和分析（成绩均不低于70分，用表示，共分三组：，，），下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩是：，，，，，，，，，． 八年级10名学生的竞赛成绩在组中的数据是：，，，． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 86 87 八年级 86 90 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______： （2）该校七年级学生有500人，八年级学生有400人．估计该校七、八年级学生中数学文化知识为“优秀”（）的总共有多少人？ 【答案】（1）88；87；40； （2）共有310人 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义可求出a、b的值，先求出把年级A组的人数，进而可求出m的值； （2）用七年级的人数乘以七年级样本中优秀的人数占比求出七年级优秀人数，用八年级的人数乘以八年级样本中优秀的人数占比求出八年级优秀人数，再二者求和即可得到答案． 【小问1详解】 解：八年级C组的人数为人，而八年级B组有4人，则把八年级10名学生的成绩按照从低到高排列，处在第5名和第6名的成绩分别为88分，88分， ∴八年级学生成绩的中位数； ∵七年级10名学生成绩中，得分为87分的人数最多， ∴七年级的众数； 由题意得，， ∴； 故答案为：88；87；40； 【小问2详解】 解：人， ∴估计该校七、八年级学生中数学文化知识为“优秀”的总共有310人． 【点睛】本题主要考查了中位数，众数，用样本估计总体，扇形统计图等知识，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 19. 每年月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”．康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售．根据市场调查，每辆轮椅盈利元时，每天可售出辆；单价每降低元，每天可多售出辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于元．设每辆轮椅降价元，每天的销售利润为元． （1）求与的函数关系式； （2）全国助残日当天，公司共获得销售利润元，请问这天售出了多少辆轮椅？ 【答案】（1） （2）辆 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用（销售问题），一元二次方程的应用（营销问题）等知识点，读懂题意，根据题中的数量关系正确列出函数关系式或方程是解题的关键． （1）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数关系式即可； （2）令，得到关于的一元二次方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：设每辆轮椅降价元，每天的销售利润为元， 则单件利润为元，销量为辆， ， 与的函数关系式为：； 【小问2详解】 解：当公司共获得销售利润元时， 则有：， ， ， ， 解得：，， ， ， 故不合题意，舍去， ， 售出轮椅的辆数为：（辆）， 答：这天售出了辆轮椅． 20. 如图，将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁的夹角为；向水槽注水，水面上升到的中点E处时，停止注水（直线为法线，为入射光线，为折射光线）．点A，B，C，D，E，F，O，N，在同一平面内，测得，，折射角． （1）求的长； （2）求B，D之间的距离．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据等腰三角形的判定求解即可； （2）利用锐角三角函数求出长，进而可求出的长． 【小问1详解】 解：在中，， ， ； 【小问2详解】 由题意可知， ． ， ， ， 、D之间的距离约为． 21. 如图，在中，，以为直径的交于点D，，垂足为E． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线． （2） 【解析】 【分析】本题考查切线的判定，弧长公式，特殊角的三角函数值，掌握相关知识是解决问题． （1） 连接，由已知条件可证明，则可证，则结论可证． （2） 连接，由是的直径，得，由，利用三角函数值可求得，则半径为2，圆心角为，则弧长可求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， 是的直径， ， 在中，，， ， ， ， ， ， ， 的长． 22. 四边形是平行四边形，连接，于点E，交边于点F． （1）如图1，，，求的长． （2）如图2，，，猜想线段与的数量关系，并说明理由． （3）如图3，，． ①求证：； ②将沿直线翻折得到，连接交边于点P，连接，求的长． 【答案】（1） （2） 解：． 理由：四边形是平行四边形，， ，， ， ， 设，则． ， ． ， ， ， ， ． ， ， ； （3） ①证明：四边形是平行四边形， ，， ， ∴， ， ， ， ； ② 【解析】 【分析】（1）根据题意证明出，得到，代数求出，然后利用勾股定理求解即可； （2）证明出，得到，设，则，勾股定理求出，进而得到，，然后代入求解即可； （3）①证明出，得到，然后结合，得到，进而求解即可； ②如图，连接，证明出B，E，F，在一条直线上，过P作于H，证明出，得到，，求出，，证明出，得到，代数求出，然后利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：四边形是平行四边形，， ，， ， ∴，即， 解得． ， ， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①略 ②解：如图，连接， 由折叠得， ∵于点E， ∴B，E，F，在一条直线上，过P作于H． 由折叠得，， 四边形是平行四边形， ， ， ． ，， ，， ， ． ，， ， ，即， ． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，平行四边形的性质，等腰三角形的性质和判定，折叠的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 23. 在平面直角坐标系中，如果一个函数的图象与一个正方形有两个不同的交点，这个函数在正方形内部的部分能将正方形分成两部分，我们就称这个函数是这个正方形的“二分函数”．如图1，正方形各顶点的坐标分别为，，，，函数与正方形两边，的交点分别为点E，F，则函数就是正方形ABCD的二分函数． （1）求图1中的面积． （2）如图2，正方形各顶点的坐标分别为，，，，函数（m是常数，且）是正方形的二分函数，请直接写出m的取值范围． （3）在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，B在x轴上，，，抛物线与x轴交于点和点F． ①如图3，若抛物线过点C，求点F的坐标； ②若抛物线是正方形的二分函数，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）①；②或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的性质，平移变化以及与几何图形的综合应用. （1）先根据正方形边的特征求出点和的坐标，从而得到和的长度，再根据求解即可； （2）先讨论反比例函数与正方形边和边的交点条件，从而得到的初步范围，再排除反比例函数与正方形的交点为的情况 (此时仅一个交点，不满足“二分函数”条件)即可得到的取值范围； （3）①根据抛物线 过点，，代入即可求得抛物线的解析式，再令即可得到点的坐标； ②先根据抛物线过点得到与的关系式，从而得到抛物线的顶点坐标，再根据正方形的“二分函数”性质，分类讨论当抛物线顶点在正方形内部时和当抛物线与直线的交点在点上方，且与直线的交点在点下方时的情况即可. 【小问1详解】 解：当时，， ． 当时，，解得， ， ，． ． 【小问2详解】 解：∵函数(是常数，且)是正方形的二分函数， ∴函数经过第一、三象限且与正方形有两个交点， ∵函数在线段和上都有交点， ∵，，，， ∴直线的表达式为，，直线的表达式为， ∴当时，函数与线段的交点的横坐标的取值范围为， ， ∴当时，函数与线段的交点的横坐标的取值范围为， ， ∵函数与线段和的交点都为即时，函数不是正方形的二分函数， ∴的取值范围为； 【小问3详解】 ①抛物线过点，， ，解得 抛物线的表达式为． 当时，，解得（舍去），， ． ②四边形是正方形，， ，， ， 点A和点D的横坐标为，点B和点C的横坐标为2． 将代入，得， ， 顶点坐标为． 如图1，当抛物线顶点在正方形内部时，与正方形有两个交点， 解得； 如图2，当抛物线与直线BC的交点在点C上方， 且与直线AD的交点在点D下方时，与正方形有两个交点， ，解得． 综上所述，a的取值范围为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $