第六章 专题25 函数中的新定义问题-【6星学霸·高考黑题】2026年高考数学二轮专项冲刺

P()>0在(0，)上恒成立，即F()在(0，：)上没有零点，所以 F)在（子：）上只有1个零点当a>2时，由(（2)可得FP()在 (0,)上恰有1个零点，记该零点为当xe(0,与)时，F()<0。 当xe(,牙)时，P()>0,所以F()在(0，)上单调递减，在 (,)上单调递增而(O)=0,放P)<0,取m e程+1 则6c(,）%)=h。西罗>0，结合 e+ 1-tan %o F)在(0，子)上的单调性可得F()在(，o)上有1个零点，即 P)在(，)上有1个零点，所以P在（号，）上有3个零 点综上，当a≤2时，g()在（年牙）上只有1个零点：当a>2时， s倒在（年，：）上有3个零点 专题25函数中的新定义问题 典型例题(1)解：由题设可知a≤0，有h'(x)=3x2+a. 若a=0,则b=0,则h(x)=x3,此时h(x)仅有一个零点： 若a0,令(=0，解得名=-√号=√号当<√号或 0√号时，(>0：当√号<√号时，e)0,故4(e)在 (,√写）（√胥·）上单离递，在 (√号√号)上单测递减因为4427=0，所以若6<0，则 √受多胥此时（受）-（号）月 胥写0，商（写）k0,故比时有2个 零点 06√罗写此时a(号)（号） √号号=6号=0，商(√)>0，故此时 h(x)有2个零点. 综上，当b>0,h(2)=0,所以h(x)有2个零点.当6<0，h(x1)=0所 以h(x)有2个零点.当a=0,有b=0.则h(x)有1个零点. (2)证明：因为PQ为C在点P处的切线，且QeC,所以P①Q=P,故 P④(P④Q)=P④P=0',故[(P④P)©Q]④Q=0'④Q=Q.因为“⊕" 运算满足交换律，结合律，所以[(P©P)©Q]©Q=P©[P⊕(Q⊕ Q)]=P(P0)=POP,POP=Q. (3)解：直线PQ的斜率A=当，设P0与C的第三个交点为 12 (),则归=A(-)+,代人月=x+a+6得A2()-)产+ 2y(-名)+斤=号+a+6,而乃=号+a1+b,故A2(与1)2+ 2y1(-x1)++1+6■x号+a+6,整理得到A（(与-名)2+2Ay1(x 名)=x号-+a(名-x),故a2(-x1)+2折=x好+号+1*+a,即x号+(x1 A2)与t好+A2名1-2Ay1ta=0①， 同理可得+（和2-A2)3++A22-2A2+=0②. ①②两式相减，得(1)为+-号+(-)-2入()=0，故+ ()+M2-2n=0,所以与+(+)+2-22=0，故3=水2 一学霸高考·黑 名+，因此P©Q的坐标为 y 无1 -1一一 1-2/ +2方月 变式训练1.C解析：因为f八x)=x3-2x,则了'(x)=3x2-2,且/八-1)= 11)=-1,由题意可得2f'(0)=f1)-f(-1)=-2,可得f'(和)）= 3场-2=-1，解得=±3 5，因此函数代x)-2x在区间[-1,1门上的 “中值点"的个数为2 变式训练2.B解析：由给定定义得，对y+加y=2左右两侧同时求 导，可得y+对+ xy=0,将点(2,1)代人，得1+2y+y=0,解得 y 1 一3，故切线斜率为3，得到切线方程为一1一了(x一2)，化简得方 程为x+3y-5=0. 变式训练3.C解析：由题意知∫(x)=e-ex+2x-2,则'(1)=0，令 f'(x)=0,得e=(e-2)x+2,如图，作出函数y=e,y=(e-2)x+2的图象 o-2r*22 由图可知函数y=e,y=(e-2)x+2的图象有两个交点，即函数y= f'(x)有两个零点：1，和，且0<0 令f"(x)>0,得>1或x<0,令f(x)<0,得0<1，所以/八x)在(-m, x),(1,+)上单调递增，在(x0,1)上单调递减，所以(x)的极大值点 为x=,极小值点为x=1 对于A,函数y=x2在(-，0)上单调递诚，在(0，+)单满递增，所以 函数有极小值点，无极大值点，故A选项不符合题意： 对于B,函数y=-x2在(-，0)上单调递增，在(0，+)单调递减，所以 函数有极大值点，无极小值点，故B选项不符合题意： 对于C,y=3x2-3,当x<-1或>1时，y=3x2-3>0,当-1<x<1时y'= 3x2-3<0,所以函数y=x2-3x的极大值点为-1，极小值点为1，故C选 项符合题意： 对于D,y=-x2+3x=-(x3-3x),则函数y=-x3+3x的极小值点为-1，极 大值点为1，故D选项不符合题意. 变式训练4，ABD解析：对于A选项，设f(x)=cosx,则f‘(x)= -inx“(x)=-c0x,所以k=y"（x)1 1c08x 7（a+ |cosx|≤1，所以曲线y=csx上不存在曲率大于1的点，A选项正确： 对于B选项，令f八x)=x2+x,则f‘(x)=2x+1,∫"(x)=2,所以k= 2 1eP号1+(2+号故当号 If"(x)I 时，1+(2x+1)2取最 小值，此时取最大值，且/（号）}子所以曲线y=2 111 在点（宁）处的曲来最大B选项正确： 对FG选瑰，由子号=0>0)可得2V,令e=2个。 2-+2x 2x -g 2 则f(x)=- ·测")1学 ,所以 (1-x2) (0=0(0)=-2,所以曲线2+子=1>0)在点(0,2)处的曲率 为k= f"(0)1 =2,C选项错误： [1+(0)2]量 对于D选项设=h,则f(国=(=子，则y国在点 (x八x))处的曲率k= "(x)l x2 因为 [1+U'(x)2] (x2+1) 1+ 曲线y=nx在点(1，lnx1)与(2，n2)(x1≠2)处曲率相等，即 题·数学·95 (i1)京（好+1）2(+（写+1，即（好+3对+3编+1） 1 3,即号 (+3+3x+1),掖理可得(x子-)[x(好+)+3x好-1]▣0.因 为1且1,2均为正数，所以xx(好)+3xx好-1=0，由基本不 等式可得x(x子+好)+3xx好-1=0>2x好·x11+3x-1,即 2(x12)3+3(x12)2-1<0,令1=x12>0,则23+32-1<0，即(2-1)· (+1)2c0,由于0，解得<乞，即<2D选项正确 变式满练52音 解析：设f(x)=2+2x-1,则f'(x)=32+2, e当e(,)时o0=-10(2）产re 6>0,故可用牛顿切线法求x)=0在区间[a,b]上的根6的近似值由 于e1-42在e[6,]上单调遥增所以国1≥2，所以 '(x)1的最小值为2，即m=2,y=f八x)的图象在点(x1(红1)处 的切线方程为y=(3x1+2)(x-1)+x21+2x1-1,化简得y= (3好1+2)x-(221+1).令y=0,得 2x21+1 3x1+2 因为0=b=},所以 “32 ( 号）(}）广+2x子g,n6d 82 16100/)= )(倍》广（信）（信}六总品 。高放与可作为的近似值，故答案为2一品 变式训练6.(1)解：因为f八x)=x2-41x1,其中xeR,所以f(-x)= (-x)2-41-x=x2-41x|=f八x),所以函数f八x)=x2-41x|为偶函数， f八x)=(1x-2)2-4,故当x=±2时，函数f(x)取最小值， 当x<0时八x)=x2+4x,f"(x)=2x+4f'(-2)=0: 当x>0时fx)=x2-4红f"(x)=2x-4f'(2)=0, 所以函数f代x)在点(-2，-4)处的切线方程为y=-4,在点(2，-4)处的 切线方程为y=-4,如图所示： 所以函数f八x)=x2-41x的一条2阶临界直线方程为y=-4 (2)解：若eh,则国=e(hx)令a-e(h t，令h()=nx+21 x,'() x2-2x42 0,所以g(x)在[1，+x)上单调递增，所以g(x)m= g(1)=e>0,所以∫'(x)在[1，+)上单调递增，所以不存在x1,2e [1,+0),使得∫(x)=∫“（名2），综上可知函数y=八x)不存在2阶临界 直线. (3)证明：当xe[0,1)时，f'(x)=2(x-2inx),令g(x)=x-2in 8(x)=1-2csx<1-2Cs1<0,所以f'(x)在[0,1)上单调递减.因为 f'(0)=0f'(1)=2-4in1,所以当xe[0,1)时，f‘(x)∈(2- 4n1,0j1.因为46os1-3<4x5-3<0,4s1-3-(2-4in1)=4(n1+ 2 m)-54血（+1）5+1（）所以 42n(任154x（1+)-5>0,则存在e[0,),使 f'(xo)=4cos1-3. 当xe[n,n+1)时，neN"八x)=f爪x-1)+4e0%1-3,所以/'(x)=f'(x-1), 一学霸高考·黑 所以f'()=∫'(0+1)=…=∫"(0n)= 因为函数f(x)在（和，∫（和）)处的切线方程为y=∫'()(x-x)+ f八xo),函数f(x)在(xo+n(xo+n)处的切线方程y=f'(+n)(x-x0 n)+/xo+n).又因为八xo+n)=fxo)+(4eos1-3)n,所以f'(+n)(x 0-n)ron)=∫'()(g-)-'(和)+j(和+n)=∫'()(x-) (4cos1-3)n+)+(4c01-3)n=f'(6)(x-)+),所以f'(+ n)(x-和-n)+n)=f'(和)(-)+f(),所以直线y=∫'（和+ n)(x-。-n)++n)与直线y=f'(和)(x)0)重合，则2： …,x。,…为方程f（x)=f'(6)(x-)+f(0)的解，且k=f'(0)= f'(x和+1)=…=f'(x0+n)=…,又因为n可趋近于无穷大，所以存在直 线y=∫'()(x一o)+f八o)为函数y=x)的无限阶临界直线 变式调练7)解：由题宣得)：e)=h(+1)'国 ，则 x+1《)二，三，由心0)=R《0》得。=0所以R(x)=五，x·吗 R'(x)= 0+6,,由f'（0)=R(0),得4=1，所以R()= 41 通ro=r0.得=宁则到艺高故 2b1 1+2 3=h(+1)-=h(+l)-244 2>-L则g（)=中 4 (x+2)2-4(x+1) x2 (+2)2 (x+1)(x+2)2 (+1)(+2)≥0，所以台(x)在区间 (-1,+)内单调递增 (2)解：依题意得a(x+1)1n(x+1)-x2-2x≤0在区间[0，+)内恒成 立.令h(x)=a(x+1)n(x+1)-x2-2x(x≥0)，注意到h(0)=0,则 h'(x）=an(x+1)+a-2x-2. 因为h(x)≤h(0)在区间[0，+∞)内恒成立，所以3o>0,使4(x)在区 间[0，x0)内单调递减，即当xe[0,和)时，h(x)≤0，故(0)=a-2≤ 0,则a≤2当a≤2时，h(x)=a(x+1)n(x+1)-x2-2x≤2(x+1)ln(x+ 1)-x2-2x 令H(x)=2(x+1)ln(x+1)-x2-2x(x≥0)，则f(x)=2ln(x+1)-2x 因为严(x)=- 十≤0，所以F()在区间[0，+)内单调递减，则 H(x)≤开(0)=0，故H(x)在区闻[0，+0)内单调递减，则H(x)≤ H0)=0,所以h(x)≤H(x)≤0，符合题意. 所以a的取值范围是(-，2]， （3)证明：由(1)可知当p0时6)>g0)=0,即a(+1)>0,整 2可奥当0时，b(1是品则（仁+号）(e+1 当o0时，k(上号a+t x2 x2 n (n+1)！·e1 n·n ,则c= ,要（八 [(n+1)1·e11 L(n+1)1·√a+行」 >e3,即证cn>c1>e (n+1)1·e1 因为-n+1)1·+行 ,所以e<<, C n!.e" Ca n.n 由1<1，可知c1<c, 又而<，所以c1=·g,g·….>e C. 151 e成e.…e而▣e2而=e() 是.e>。子，故c,X1>沁产得证 题·数学·96一学霸高考·黑题数学 专题25函数中的新定义问题 命题密钥 新定义问题是高考的热点，考查的是学生运用所学知识理解并解决新定义的相关问题.与 函数有关的新定义问题有两种常见命题方式，一种是给出新的函数或函数性质的定义，另一种 是高等数学内容的下放，例如给出拉格朗日中值定理、泰勒展开等知识的定义，要求学生根据新 定义解题，一定程度上考查的是学生模仿、融会贯通的能力 实战演练 典型例题(2023·四省联考)椭圆曲线加密算法运用于区块链， 椭圆曲线C=1(x,y)1y2=x3+ax+b,4a3+27b2≠0}，P∈C关于x轴的对称点记为P,C在点 P(x,y)(y≠0)处的切线是指曲线y=±√x+ax+b在点P处的切线定义“⊕”运算满足①若P∈C, Q∈C,且直线PQ与C有第三个交点R,则P④Q=R:②若PeC,QeC,且PQ为C的切线，切点为P, 则P④Q=P:③若P∈C,规定P④P=0°，且P④0'=0'①P=P. (1)当4a3+27b2=0时，讨论函数h(x)=x23+ax+b零点的个数； (2)已知“④”运算满足交换律、结合律，若PeC,Q∈C,且PQ为C的切线，切点为P,求证：P④ P=Q; (3)已知P(x1,y1)∈C,Q(x2,y2)∈C,且直线PQ与C有第三个交点，求P④Q的坐标 (参考公式：m3-n3=(m-n)(m2+mn+n2)) 162 第六章函数、导数与不等式学霸 变式训练1.(2025·江苏南京模拟)已知函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可 导，则(a,b)内至少存在一个点x0∈(a,b),使得fb)-f(a)=f'(x)(b-a),其中x=x称为函数y= f(x)在闭区间[a,b]上的“中值点”.则函数f代x)=x3-2x在区间[-1,1]上的“中值点”的个数为() A.0 B.1 C.2 D.3 变式训练2.(2025·湖南长沙模拟)如果方程F(x,y)=0能确定y是x的函数，那么称这种方式表 示的函数是隐函数.隐函数的求导方法如下：在方程F(x,y)=0中，把y看成x的函数y=y(x),则方 程可看成关于x的恒等式F(x,y(x)=0,在等式两边同时对x求导，然后解出y(x)即可.例如，求 由方程x2+y2=1所确定的隐函数的导数y,将方程x2+y2=1的两边同时对x求导，则2x+2y·y= 0(y=y(x)是中间变量，需要用复合函数的求导法则)，得y=-(y≠0).那么曲线y+l加y=2在点 (2,1)处的切线方程为 ( A.x-3y+1=0 B.x+3y-5=0 C.3x-y-5=0 D.2x+3y-7=0 变式训练3.(2025·江西南昌一模)我们约定：若两个函数的极值点个数相同，并且图象从左到右 看，极大值点和极小值点分布的顺序相同，则称这两个函数的图象“相似”.已知八x)=。 2ex+(- 1)己，则下列给出的函数其图象与y=(x)的图象“相似”的是 () A.y=x2 B.y=-x2 C.y=x-3x D.y=-x3+3x 变式训练4.（多选）(2025·山东潍坊二模)曲线的曲率定义如下：若f'(x)是f代x)的导数，f"(x)是 f'(x)的导数，则曲线y=f(x)在点(x,f(x))处的曲率k= f"(x) [1+(f'(x)2] ,则 A.曲线y=cosx上不存在曲率大于1的点 B曲线y=+:在点（分号）处的曲率最大 C商线r号=1(>0)在点(0,2)处的黄率为对 D.曲线y=lnx在点(x1,ln名)与(，ln)(名，≠x)处曲率相等，则x<2 1 变式训练5.(2025·广东广州模拟)若f代x)是区间[a,b]上的单调函数，满足f(a)<0,f(b)>0,且 ∫"(x)>0(f"(x)为函数f'(x)的导数)，则可用牛顿切线法求f(x)=0在区间[a,b]上的根专的近似 值：取初始值x,=b,依次求出y=f(x)图象在点(x-1f(x-1)处的切线与x轴交点的横坐标x(k= 12,3…),当与专的误差估计值八 一(m为f'(x)I(x∈[a,b])的最小值)在要求范围内时， m 可将相应的，作为专的近似值用上述方法求方程+2-1=0在区间0，子]上的根的近似值时， 若误差估计值不超过0.01，则满足条件的k的最小值为 相应的x值为 163 学霸高考·黑题数学 变式训练6.(2025·福建三明三模)若对于函数y=f(x),存在直线y=x+b,使得方程f(x)=x+b 有m个解x1,2,…,xm,且k=∫'(x,)=f'(x2)=…=∫'(xn),则称直线y=kx+b为函数y=f(x)的m阶 临界直线，若m可趋近于无穷大，则称直线y=kx+b为函数y=f(x)的无限阶临界直线。 (1)判断函数f(x)=x2-4|x,x∈R的奇偶性并直接写出它的一条2阶临界直线方程； (2)若f(x)=elnx,x∈[1，+o),判断函数y=f(x)是否存在2阶临界直线，并说明理由； (x2+4cosx,x∈[0,1)， (3)已知函数f代x)= (-1)+4c0s 1-3.xE[n+1),nN 证明：函数y=f(x)存在无限阶临界 直线。 变式训练7.(2025·辽宁沈阳模拟)给定两个正整数m,n,函数f(x)在x=0处的[n,m]阶帕德通 定义为Re-二，且满是0=R0J0=R0./-0=0 f'(x)为f(x)的导函数，f"(x)为f'(x)的导函数，f3)(x)为f"(x)的导函数，以此类推)已知函数 f(x)=ln(x+1). (1)记R(x)为f八x)在x=0处的[1,1]阶帕德逼近，判断函数g(x)=f(x)-R(x)的单调性： (2)Hx≥0，a(x+1)f八x)≤x2+2x,求a的取值范围： >e3(e为自然对数的底数) 164