第六章 专题19 双变量问题(2)用韦达定理代换-【6星学霸·高考黑题】2026年高考数学二轮专项冲刺

2(e+lnx)m+2e+2(lnx)2-k2≥0， 设F(m)=m2-2(e+nx)m+2e2+2(nx)2-2=[m-(e+ In x)]2+e+(In x)2-2e'In x-k2=[m-(e'+In x)]2+(c*-In x)22 关于m开口向上的二次函数， 设H(x)=e+nx-m,则F(x)=e+>0,所以H(x)单调递增，且值 域为R,所以F(m)=F(。+Hnx)=(e'-nx)2-2, 设G()=e-n.则c(s)=c- ，令()= ,则L(x)=e+ 宁>0.所以6)单调适州.因为公（行）6-20.G(0)=-10, 所以存在oe(仔1），使得G(o=0,即e三 0=-血0当xe 1 (0,)时，G(x)<0,当xe(,+x)时，G(x)>0,所以G(x)在(0，a) 上单调递或，在(，+g)上单调递增，所以G(x)=G(x)=c0- In xo =xo+ 由题意可知(G(x))2-k≥0，所以(G(x)m)2-2=(G(x)2-k2≥0， 解得≤G(x0),所以正整数的取值集合为{1,2} 专题19双变量问题(2)—用韦达定理代换 典型例题1.解：(1)对函数八x)求特可得/'(x)严1中(+2 4 22·为1cw20断议当 1-a≤0，即a≥1时/'(x)≥0恒成立，则函数八x)在(0，+g）上单删 递增：当0ca<1时，由f'(x=0x=±2va-a,则函数x在 (,2a-可)上单调递诚，在(a可）上单调递 (2)函数)的定义线为{：。↓且x≠-2}，由()可得当0ca< 时，/'(x)=0年±2va-可，则-2va-,-1且 2a可-2a≠号，即ae(0.）u(分1小则 主2va-a为函数(x)的两个板值点.代人x)+(),可 fx,)+f3)=m1+2a(1-a]+ln[-2a(1-e)] 4√1-a 2/1-a+2a -4√1-a -2√1-a+2a 1-11h2-222 令2-1.g0=hr42-2.由ae(o,）u(分1）知，当a 0,)时a(-1.0,当ae(合时e0.D 当1(-1.0时0)=2咖(-)2.对g0)求学可得g0)= 2.2-<0,所以函数g(0)在(-1,0)上单调递诚，则)< 2 (-1)=-4<0.即fx1)+x)<0.不符合题意 当ta(0.1)时.g()=2ln+ 2-2,对g0)求导可得g0=2 2 2-D<0,所以雨数g()在(0,1)上单调递减.则g)>8(1)=0.即 f八1)+八：》>0恒成立 综上，a的取值范围为 2,1 重难点拨 当舞目所求式子为对称形式时，可以直接利用事达定埋将出，2全 部代换，得到一个只含有参数：的式子，从而将翼变量可题转化为单 变量何愿进行求解. 变式调练1.(1)解：由题意得，函数fx)的定义城为(0，+x),且a>0 一学霸高考·黑 f'(x=↓-a-m2+- 令g(x)=-2+-a, 当1-4r≤0，即a≥时8)≤0相成立.则/r()≤0所以)在 (0,+)上单调递减： 当1-4如>0，即0<a2时，函数g()有两个零点 1-√/1-4a2 2a 1+/1-4a3 当x变化时，八x)f'(x)的变化情况如下表所示： 2a (0,x1） (1,2） (x2,+e) f'(x) 0 + 0 单嗣递减八x,) 单调递增爪) 单调递诚 综上，当0<a<)时x)在 t1-√1-4a21+/1-4a2 上单调递增 在(，仁)和（仁）上单调遥：当≥时。 2a 2a 八x)在(0，+)上单调递减 (2)证明：由(1)知，当0<a<2时)有两个极值点(c),则 南3是方程(x)=0的两个根，由韦达定理，得=1，高+=。 所01)-)h (合hi(信）ha-lge-a-id◆= lhx1+2,0<x<,则'(x)= 2x2,当0<<时， N()<0,则4()在K间(0，子）上单调遥减，从面4()>h(宁） h2,故)*)>h2 典型例题2(1)解：八x)的定义域为(0，+)，厂'(x)=- 21, x2-a+1 2 (i)若a≤2，则f'(x)≤0.当且仅当a=2.x=1时f'(x)=0.所以代x) 在(0，+x)上单洞递减 (i)若a>2.令f'()=0,得x4-4成0+V- 2 2 当xe(4+ 2 2 时，f‘(x)>0.所以f(x)在 )(）上单到在（仁 2 2 a+a2-4 上单闻递增 2 (2)证明：方法一：由(1)知.a>2时f尺x)存在两个极值点. 由于代x)的两个极值点1,2满足x2-+1=0,故2=1.不妨设1< 有，则>1因为八西)》 n-lh=-2+ X12 1-1+“ In x-n2ta-1 2,所)) x1-2 2<4-2等价于写 2ln x2<0. 设函数g(x)=一-x+21nx,由(1)知，g(x)在(0，+x)上单调递减 又g()=0,从面当xe(1,+)时，g(x)<0,所以-3+2n3<0. 题·数学·88一 即)R)a-2 方法二：由(1)知a>2且1南3是方程x2-+1=0的两根，不妨设，<，即 1 八1)-2) taln】 名·=1.此时 11 1 In z-ln 1 In x-In x:1 一1=4 2nL-2<a-2 -X2 1-2=4 1 欲证不等式成立，只需 2nz41 1 因为0<，<，所以0，<1，只需证 -x1+2ln1>0 令g(x)=1 +2hs,g'(x=1 2三。 2 所以g(x)在区间(0,1)上单湖递藏，且g(1)=0,所以】-x1+ 2lnx1>0,即证 重难点拔 当题目所求式子为非对称的形式时，可以先利用韦达定理消去参数， 再根据和与清足的关系式消去其中一个，例如可以消去，从而得 到一个只含有：的式子，将双变量何题转化为单变量问魔进行求解， 变式训练2(1)解：八x)的定义域为(0，+g),由f八x)=2nx-ax+1 0,得a≥2+1 x 令()=+2n,则a(x=1上-21当0<<6时，(e>0,函数 (x)在(0，e)上单调递增，当x>Ve时.a'(x)<0,函数4(x）在(e, +x)上单调递减，所以“()m=6)=2.2 ve e 二所以实收：的取值随街为[5一） 所以a≥ (2)证明：由题意知g(x)=x2-x+2加，故g(x)=2x-a+ 2 22-+2x0),令g(x)=0.则2x2-a+2=0. 当△=a2-16≤0，即-4≤m≤4时，g(x)≥0，此时g(x)在(0，+）上单 调递增，不存在极值点 当4=a2-16>0,即a<-4或a>4时， 若a<-4,则g'(x)>0瓦成立，(x)在(0，+x)上单调递增，此时不存在 极值点 若a>4,则方程22-+2=0的两根为与，=V-16 4 4 4 单调道增.当xe(0V个6.+(6)时g<0,此时 4 4 在（仁(16，+V(6）上单调递减.此时两数g存在两个 4 4 极值点 又=1场=号则0e1<1故2g(-g)=2 世1+2nx,)-(-2+2n2)=2r-21+4ln1-号+aw2-2ln与2= 2-4(x1+x2)x1+4ln1-x+2(x1+3)x2-2n■-2x-2+4n1+ 店5-6为-2， 462x-62+4 令()归子子-6加2ol,则p()=2x+ 一学霸高考·黑 2-32+2》.22-10(2-2）_2(+10(+2)(x-10(x-22.则 当xe(1,2)时，9(x)<0.9(x)在(1.2)上单调递减.当xe(2, +x)时，'(x)>0,(x)在(2，+x)上单调递增.期(x)m=p(2)= (2)22 -61nw2-2=-1-3n2 (迈) 放2g(x1)-g(x2)≥-1-3n2 变式训练3.解：(1)由题意知x∈(0,2)，因为f爪x)有两个极值点，所以 f"(x)11 2 2-tg= 2)+n2是有两个变号零点又自 *(2-x) ,所以-m2+22=0在[子2)有两个不等实鼠。 令g(x)=-ar2+2ax+2=-n(x-1)2+a+2,对称轴为直线x=1,所以 7 8(416+2≥0.g1)=a+2<0.g(2)=2>0, 得2火1≤号解得- 32 ≤a<-2 (2)八x)有对称中心(1，a),无对称轴证明如下：因为x(0.2).定义 城关于x=1对称，且代1)=a, 又2-）=h2+a(2-)≠s0+2-j=h(2周 2二）+2a=2a,故)有对称中心(1，)，无对称轴 2 (3)由(1)得x,+=2,=- (2-)4<1,故有)+，= ++,=l 2-x1 2-12-1 2-x1 2k n-l-*1+ 由/代x)+k红2>0得2k>(1+)2-(1+)n1,记h(t)=(1+t)2-(1+1)n1, e号）则0=21-h-12- 记e0=,期pe)=2+1_2-0.所以g(e)单周通 22 地，又e(号）-9n7<0,e(D-=2>0,故存在6使得e6)-0, 甲，=0，所以40在号一)上单调递减，在()上单调选 地又（行）一gh7.(=44(>t( ,所以h()的值 域为[h(知)，4)，故2张≥4，≥2 专题20双变量向题(3)—极值点偏移 典型例题(1)解：x)的定义域为(0，+x),期f“(x)= 1()()(货）r0=0,得 1.当xe(0.1)时，f(x)<0.八x)单调递减.当xe(1.+)时f'(x)> 0x)单嗣递增./八x)≥f1)=e+1-a,若f(x)≥0，则e+1-a≥0，即 a≤e+1,所以a的取值范国为(-，e+1】. (2)证明：由题知《x)一个零点小于1，一个零点大于1，不妨设x<1< ,要证x<1,即证斯< 二.因为e(0,1).所以即证代x)> (日）又得为).所以只需证（日）即证 In x+x-xe7-In x- 0.e1.,即证号e-2[r( )]o 下面证明当1时， e e 设g(x)= 题·数学·89一第六章函数、导数与不等式学霸 专题19双变量问题(2)— 用韦达定理代换 命题密钥 当所求函数的导数为二次函数型时，两极值，点x,x2之间的关系就可以用韦达定理来表 示，因此当题目中的双变量为极值，点x1,x2时，我们就可以用韦达定理进行代换并化简问题中 的式子，从而解决问题 考点觉醒 题目问题为对称形式 识别 题目问题为非对称形式 利用韦达定理对x,+x2, 先利用韦达定理消去参数 xx进行整体代换，得 代换消元 a,再用x表示x2,并消去 到只含有参数a的式子 x,得到只含有x,的式子 构造函数g(a)并完成计算 构造单变 构造函数gx)并完成计算 量函数 实战演练 题组对称形式的韦达定理 典型例题1.（湖南高考）已知常数a>0,函数f(x)=ln(1+ax) 2x x+2 (1)讨论f(x)在区间(0，+∞)上的单调性； (2)若f(x)存在两个极值点x1,x2,且f(x)+f(x2)>0,求a的取值范围。 14g 学霸高考，黑题数学 变式训练1.(2025·安徽合肥一模)已知函数x)=lnx-a(k),其中a>0, (1)讨论f(x)的单调性： (2)若函数)有两个极值点，(，证明≤))x)>h2子 题组已非对称形式的韦达定理 典型例题2（全国高考）已知函数f代x)=】x+alnx (1)讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)存在两个极值点x1,x2,求证： x)-f）a-2 x1-x2 150 第六章函数、导数与不等式学霸 变式训练2.(2025·河南驻马店模拟)设函数f八x)=2lnx-ax+1(aeR). (1)若f八x)≤0在(0，+∞)上恒成立，求实数a的取值范围； (2)设g(x)=f(x)+x2-1有两个极值点x1,x2,且x1<x2,求证：2g(x1)-g(x2)≥-1-32. 变式训练3.(2025·渐江绍兴模拟)已知函数八)=h产a有两个极值点名，满足}≤ x1<x2 (1)求a的取值范围； (2)判断并证明函数f(x)的对称性： (3)若f八x,)+kx2>0恒成立，求实数k的取值范围. 151