第四章 专题2 外接球-【6星学霸·高考黑题】2026年高考数学二轮专项冲刺

第四章立体几何与空间向量学霸 专题2外接球 命题密钥 外接球是立体几何中的一个重难点问题，也是高考的热门考点.主要考查学生的空间想象 能力和计算能力在高考中多以选择题填空题的形式出现，难度中上，在高考中多是考查一些相 对规则的几何体的外接球.例如在2023年全国乙卷中就考查了有一条侧棱垂直于底面的三棱 锥的外接球， 考点觉醒 墙角模型及其变形 可以补形 对棱相等的一棱锥（包括正四面体） 有一条侧棱垂直丁底面的棱锥 外接球 较为规则的柱体、锥体、台体 不可补形 二面角模型 实战演练 题组口补形求解外接球 典型例题1.(2023·全国乙文)已知点S,A,B,C均在半径为2的球面上，△ABC是边长为3的等 边三角形，SA⊥平面ABC,则SA= 变式训练1.(2025·山东青岛期中)在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=√3，PA,PB,PC两两垂直， 且该三棱锥外接球的体积为 ( π .2 C.15m 2 D.9T 变式训练2.(2025·海南海口月考)在边长为2的正方形ABCD中，点E,F分别是AB,BC的中点， 将△AED,△BEF,△DCF分别沿DE,EF,DF折起，使A,B,C三点重合于点A',则三棱锥A'-EFD外 接球的表面积为 ( A.24m B.18m C.12m D.6T 变式训练3.(2025·江苏南京月考)已知四面体ABCD中，AB=CD=25,AC=BD=√29，AD=BC= √4I,则四面体ABCD外接球的体积为 B. 55m C. 55π A.45T D.245m 2 057 学霸高考·黑题数学 变式训练4.(2025·河南郑州模拟)在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD,∠ABC=∠ADC=90 ∠BAD=60°，PC=23,AB=7,AD=5,则四棱锥P-ABCD外接球的表面积为 ( A.8m B.16m C.32m D.64m 变式训练5.(2025·陕西安康模拟)如图，△ABC为等腰直角三角形，AB=AC=2,D为斜边BC上 一动点，将△ACD沿AD折起，使C的对应点为C,且二面角C'-AD-B的大小为90°，当BC的长最 小时，三棱锥C'-ABD外接球的半径为 A.0 2 B. C.6 D.2 变式训练6.(2025·四川成都模拟)在三棱锥P-ABC中，AB=√3BC=3,∠ABC=∠BCP= ∠PAB=90,c0s∠CPA=V2 则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为 题组口不补形求解外接球 典型例题2.(2022·新高考全国Ⅱ)已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为33和43，其 顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 () A.100m B.128m C.144m D.192m 变式训练7.(2025·山西晋城月考)已知四棱锥P-ABCD的所有顶点都在球0的球面上，且四边 形ABCD是边长为6的正方形，若四棱锥P-ABCD的体积的最大值为6，则球O的表面积为( A.64m B.48m C.16m D.12m 变式训练8.(2025·江苏四市二模)一个底面边长和侧棱长均为4的正三棱柱密 闭容器ABC-A,B,C,其中盛有一定体积的水，当底面ABC水平放置时，水面高为 ,当侧面M,BB水平放置时（知图），容器内的水形成新的几儿何体若该几何体的 所有顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为 00 A.3 C.100m D. 00 3分 变式训练9.(2025·陕西咸阳模拟)中国古建筑闻名于世，源远流长.如图①所示的五脊殿是中国 传统建筑中的一种屋顶形式，该屋顶的结构示意图如图②所示，在结构示意图中，已知四边形ABCD 为矩形，EF∥CD,AB=2EF=2,△ADE与△BCF都是边长为1的等边三角形，若点A,B,C,D,E,F都 在球0的球面上，则球0的表面积为 058 第四章立体几何与空间向量学霸 ① 2 A.I B.I 6 D.lla 变式训练10.(2025·山东青岛期未)如图，几何体ABCDE,其中A-BCD,E-BCD均为正三棱 锥，AE=4,点O,F分别为AE和棱CD的中点，且几何体各顶点都在一个球面上，若tan∠AFE= ,,则该几何体的体积为 变式训练11.(2025·广东广州模拟)已知正四棱锥M-ABCD的一个侧面的周长为10，则该四棱锥 的体积最大时，其外接球表面积为 典型例题3.(2025·河南鹤壁二模)如图，在三棱锥A-BCD中，△ABC和△BCD均为边长为3的 等边三角形，若二面角A-BC-D的大小为90°，则三棱锥A-BCD外接球的表面积为 ( A.5m B.8T C.6π D.9m 变式训练12.(2025·湖南郴州月考)在四面体S-ABC中，AB⊥BC,AB=BC=√2，△SAC为等边三 角形，二面角54C-B的余弦值为.则四面体S-ABC的外接球的表面积为 () 14 16 A.4m B.6T C.3 D 变式训练13.(2025·福建福州四模)在平面四边形ABCD中，△ABC是边长为3的等边三角形， △ACD是以点D为直角顶点的等腰直角三角形，将该四边形沿对角线AC折成四面体B-ACD,在折 起的过程中，四面体的外接球体积的最小值为 臀 4m B.4m C.3 D.3m 2 变式训练14.(2025·浙江杭州月考)在三棱锥A-BCD中，AD1平面BCD,∠ABD+∠CBD= 2 BD=BC=2,则三棱锥A-BCD的外接球表面积的最小值为 0599-18-1 tan∠DAF-tan∠GAF an(∠DAF-∠(GAF)= Ham∠hm26F194.8 2(） 2x2√36-177，所以筏角∠4G的正切值的最大 值为此时余装值有最小慎 ,所以异面直线BC与AD所成角的 余装植的是小值为侣 变式训练5.(1)证明：因为CD是圆O,的直径，所以DP⊥CP.又因 为AD⊥平面PDC,PCC平面PCD,所以AD⊥CP因为AD门DP=D,AD DP都在平面ADP内.所以CP⊥平面ADP,因为CPC平面ACP,所以平 面ACP⊥平面ADP (2)解：方法一：因为0，P1CD.所以P为弧CGD的中点，所以0，P=1. CP=DP=、2.由(1)知CP⊥平面ADP.因为APC平面ADP.所以 CP⊥M在B△APC中，AP=6,CP=Z,放Sa=之APxPC=万， 设D到平面ACP的距离为，由x=得宁2x1=了5， 郭得42 25 3 ,即点D到平面ACP的距离为 方法二：如图.过点D作DE⊥AP,垂足为E, 因为平面ACP⊥平面ADP,平面ACPn平面ADP=AP,DEC平面ADP 所以DE⊥平面ACP因为O,P⊥CD,所以P为弧CD的中点，则CP= P=2,AP=√6，在△AP中，A0xDp=DExP所以DE.2x2 6 23 3.即点D到平面ACP的距离为23 (3)解：由(2)知，DE⊥平面ACP.所以∠DAE即为AD与平面ACP所成 角设DP=1,1e(0,2),在Bt△ADP中，AD=2,AP=√4+7，SAAm= ，×DEXAP)×ADxP,所以E= DE 元：所以im之DAE=D V4+2 4 因为01c2,所以子+1>2.所以血∠E后 V+ (山，受）母0与平面4O所成格的正孩值的k值包调为(，号）】 专题2外接球 典型例题1.2解析：如图，将三棱锥S-ABG转化为正三楼柱 sWN-ABC,设△G的外接圆圈心为0，半径为r.则2 simZACB AB 】=25,可得r=5,设三棱雏S-Bc的外接球球心为0，连接01. 3 2 0,04.则01=2.00，=号1.0,4=.因为0=0+0，，即 4=43.解得=2 一学霸高考·黑 变式训练1.B解析：由于PA=PB=P℃，PA,PB,PC两两垂直，将该三 棱锥放入正方体中，如图： 故该三楼惟的外接球与正方体的外接球相同，故该三棱锥外接球的半 径：四四心-受P=号所以外装球的体积：5心。 2 3 (了罗 变式训练2D解析：如图，显然，A'E,A"F,A'D两两垂直，其中A'E= 1.A'F=I,AD=2, 0 故三棱锥A'-EFD的外接球就是分别以A'EA'F,A'D为长，宽，高的长 方体的外接球，做外接球华径为E万：.放三能 维锥A'-EFD的外接球的表面积为4行· 6)2 2/=6m 变式训练3.C解析：设四面体ABCD的外接球的半径为R,则四面 体ABCD在一个长宽、高分别为a,b,e的长方体中，如图， ) 02+62=29. 则2+2=41，故R=VF+2。V ,放四面体ABCD外接球的体 2 2 a2+c2=20 445V45_455m 积为 8 2 变式训练4.D解析：如图，连接AC,设AC的中点为O,过O,作直线 I⊥平面ABCD,:∠ABC=∠ADC=90P,.AC是RI△ABC,B△ADC的 公共斜边，即O,是四边形ABCD的外接圆园心，直线上的点到 点A,B,C,D的距离相等，故球心0一定在直线1上，即0O1⊥平 面ABCD.现只要保证到点P的距离也相等即可，即球心)也在PC的 垂直平分线上，设P℃中点为M,即M⊥P℃，：∠BMD=6,AB=7AD= BD 5.B0=V7-25x1s60=v3到.nW=2yB=2=ACr为底 面ABCD外接司半径).PC⊥平面ABCD,O0⊥平面ABCD.∴.OO,∥ PC.又OM⊥P℃，，四边形O0,CM为矩形，O01=CM=3,四棱雏外 接球半径R=√0，C+O厅=√3+3=4，则四棱维P-ABCD外接球的 表面积为Sa=4石R2=64 变式训练5.B解析：如图，设∠BD=a,则∠C'AD=∠C0= 2a, 过点C"作C⊥AD于点E因为二面角C-AD-B的大小为90，所以平 面GAD⊥平面ABD,又平面CAD∩平面ABD=AD,C'FC平面CAD,所 以CF⊥平面ABD,过点B作BE⊥AD于点E,则AE=2©osa,BE= 2na.又cf=2n(7a=2owa.r=2mw（a）=2ina, 所以EF=1AB-AF1=21%-sin l.因为二面角C'-AD-B的大小为 题·数学·28一 0,所以BC2=BE2+BF2+C'P=-46in2a+8,当a=年时，BC有最小 值2.此时AD平分∠BAC,且D,E,F三点重合，三棱雏C-ABD可看作 是棱长为2的正方体的一角.设三棱锥C-ABD外接球的半径为R,则 （2R)2=(w2)2+(2)2+(2)2=6,解得R=2 6 D 变式训练6.5r解析：如图.作PE1平而ABC于点E,连接EA,C, BCC平面ABCE.ABC平面ABCE.所以PE⊥AB,PE⊥BC, 因为BC⊥CP,CPOPE=P,CP,PEC平面PEC,所以BC⊥平面PEC ECC平面PEC.所以EC⊥BC,同理得EA⊥AB,四边形EABC为矩形. BG=1,则PA2=1+PE2,PC2=3+PE2,在△PAC中，AC= √AB2+BC2=2.由余弦定理得PA2+PC2-2PA·PCs∠CPA=4,即1+ PE3+3E-2V+PEV3:PE×要=4，解得PE=1,设三核锥P-B 外接球的半径为R,则三棱锥P-ABC的外接球即为四棱锥P-ABCE的 外接球，即为以EA,EP,EC为棱长的长方体的外接球.故(2R)2=PE4 欧4C2=135,解得R=.所以球的表而积为S4扣心。5，故 答案为5π. 典型例题2.A解析：设正三棱台上，下底面外接圆的半径分别为， 所以2而2 33 m6,即=3，=4设球心到上，下联面 的距离分别为d1,d2,球的半径为R,所以山1=√R2-9,山2=√R-16, 故14-d21=1或d1+d2=1,即1√R-9-√R-161=1或R-9+ √R-16=1,解得R=25符合题意，所以该球的表面积S=4行R2= 100m,枚选A. 变式训练7.C解析：如图.设球心0到平面ABCD的距离为h,球O 的半径为r,由题意可知，当P到平面ABCD的距离最大，即P到平 面ABCD的距离为+h时.四棱锥P-ABCD的体积最大， 即o=×(6)'x(r+h)=6,则r+h=3,又顶点A,B,C,D在球面 1 上，设它们所在的圆的圆心为0，则0，A=3.则0=2=h2+(3)2 即得2=(3-)2+(3)2，解得r=2,故球0的表面积为4m2=16m 变式训练8A解析：由当底面C水平放置时，水面高为华可知容 器内的空气占容器体积的6于是侧做时，图中的空气区装的小兰校 住的体积为容器体积的6·因此水三校柱”的底面“小三角形”的面 积为大三角形的则边长之比为1：4，即小三角形”边长为1然后 16 如图，连接BD 一学霸高考·黑 设圆的半径为r,由余弦定理可得BD=√AD+AB-24D·ABx%60°= √9416-2x3x4 /13 2 三不故nB故= sin 603 ,所以外接球 2 的径新- ,所以该球的表面积为S=4- 3 变式训练9.D解析：如图.连接AG.BD,设ACnD=O,因为四边 形ABCD为矩形，所以O1为矩形ABCD外接圆的圆心连接O01,则 OO,⊥平面ABCD,分别取EF,AD,BC的中点M,P,Q,根据儿何体 ABCDEF的对称性可知，直线OO,交EF于点M.连接PQ,则PQ∥AB. 且O1为PQ的中点.因为EF∥AB,所以PQ∥EF,连接EP,FQ,在 △ADE与△BCF中，易知EP=FQ= (兮丁：所以梯形 EFQP为等腰梯形，所以M0,⊥PQ,且WO,= 2 设00，=m,球0的半径为R,连接0E,0A,当0在线段0，M上时， 由球的性质可知R2=OE2=0A2,易得0，A= ()则 ）()=( +m2,此时无解.当0在线段4M0,的延 长线上时，由球的性质可知」 2 得m= 4 所以产=0E2=号所以球0的表面积S=4行R。1 8 2 方法总结 利用度义法求解外接球半径： 到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的 外接圆园心，我其垂线，则球心一定在垂线上，再根据与其他顶点的 拒离也是半径，列关系式求解 3 变式训练10.3 解析：由题意.AE⊥平面BCD.几何体ABCDE的外 接球直径为AE,点O为AE的中点，即为外接球的球心，连接D0 则AO=OE=OD=2,在AE上取一点G,不妨设AG>GE, 设0G=x.GF=0,则AG=2+x,GE=2-x,GD=2a,DC=2DF=2/5a.在 △0G中，0C2+DG2=02,得4n2=4-x2,在△GFA中，an∠AFG= AG 2,同理m∠EFG=EG.2之，m∠AFE=m(∠Ac+∠BFG)= GF a 2+x2- 4 an∠AFG+in∠EFG_ 4 1-tan ZAFGan∠EFG12+红2-3化简得”，金】 1 3,代 a2 题·数学·29一 人4如2=4-2，可得a=3故DC=2,几何休的休积为V4o+ 4 3 变式训练1.29解析：如照，设正周棱锥M-48CD的账面边长为 a,侧棱长为b,高为h, 因为正四棱锥的底而ACD为正方形，顶点M在底而的射影为底面的 中心0，侧棱长相等，侧面为等腰三角形，所以a+2弘=10，所以b=5- 兰，得0<a<10义A=VB-0=,√-号，所以正闪棱维 2=3 [5号】502设e) 54250.则ro=2410受(-10(a+20.当ae 3a3 (o.号）时.g(a)>0,即g(a)在(0.号)上单调递增，当ae (90）时g(a)<0,即x(o)在(90）上鹅递减，所以 10 (得)以(() 500w2 81 此时，a=60k=√尔-了5，设该正两依锥外接球的半 2 2,a2100 径为R.划R2=(h-R)2+ 2952 2解得R=2h“1053 ,故其外接球 3 表面积3=4行R2.200 91 方法总结 解决与球相关的初，接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题栈 化为平面几何问题求解，共解题思维流程如下： (1)定琼心：如果是内切球，那么琼心到切点的距高相等且为球的半 径：如采是外接球，那么球心到项点的距离相等且为辛径： (2)作戴面：选准最佳角度作出战面（要使这个藏面尽可能多的包含 球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系)，达到空间问题平 面化的目的： (3)求举径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径 的方程，并求解 典型例题3.A解析：如图.设E是BC中点，连接AE,DE,设△ABC的 外心为O2,△BCD的外心为0，O是四面体外接球球心，由于△ABG 和△BCD都是边长为3的正三角形，所以AE⊥BC.DE⊥BC,AE=DE √(5)2-(2)=2且0,0，分别在B,靠近的三等分点 33 处，根据二面角A-BC-D的大小为90°及球的性质可知0，⊥平面 BCD,003⊥平面ABC,所以00，⊥DE,002⊥AE.由于0，E=0E,AE⊥ E.所以四边形0,0，是正方形，E0,=0,=了E= 2,0,0 呢=1.设面体外接球的半轻为则，√（）+=受所 2 5 以外接球的表面积为4πR2=4×4=5m 一学霸高考·黑 :D 方法总结 立体几何中的外接球问题，要能画出图形，找到球心和球心在某些特 殊平面上的投影，利用半径建立方程，求出半径，再求解表面积或 体积 变式训练12.B解析：如图①.记AC的中点为O1:因为AB=BC=√2 △SAC为等边三角形，所以SO1⊥AC,BO,⊥AC,所以二面角S-AC-B 的平面角为∠0，B,则∠S0,B=-记△S1C的外接圆圆心为 02,又△4BC的外接圆圆心为01.分别过0，.O2作平面ABC,平面S4C 的垂线，两垂线交于点0.则)为四面体S-AC的外接球球心，如图② 由AB=BC=2,AB⊥BC,得AC=2因为△S4C为等边三角形，所 以0=5.04：票因为m∠B 3·ws∠S0,B= m-(月+0,00）所以m00,0 3,所以cmL0,0,0= 3 00, 00 3 解得m,= ,因此四面 体ac的外接球的径0c=√P（） 6 ,所以外接球的表 面积为红×()广=6 ① 2 变式训练13.C解析：如图，设三棱锥B-ACD的外接球球心为0 取AC的中点E,连接EB.ED,)B,OD.因为△ACD是以点D为直角顶点 的等腰直角三角形，所以△ACD的外接圆圆心是点E.侧由球的性质可 知，OE⊥平面ACD,设外接球半径为R,△ABC是边长为3的等边三 角形，△4CD是以点D为直角顶点的等腰直角三角形，一B= 2,D 2,在△0BD中由勾股定理可知0E=,/了 ,则在△BOE中利 用余弦定理可得，s∠0EB=0E3+EB-0B」 1 20E·EB ,∠OEB∈ 2/R23 4 [0,受）a∠0Be,,则o 发1，得R≥1，所以R 2/R3 4 的最小值为1，外接球体积的最小值为号 、0 变式调练14.(2+25)解析：如图.设∠CBD=.在等腰△BCD中 CD=2,Cn受=4n号，设△BCD的外心是M,外接圆半径是r 题·数学·30一 则2D、 2 =1设外接球球心是口， n02恤号m cos 2 则OM⊥平面BCD,DMC平面BCD,则OM⊥DM,同理AD⊥BD,AD⊥ DM.又AD⊥平面BCD..AD∥OM.四边形OMDA是直角梯形.设 (2+h2=2, )M=h,外接球半径为R.即OD=0A=R.则 所 {2+(AD-h)2=R2, 以AD=2h,在R△ABD中，∠ABD= 2 2 -a,∠BAD=a,tna= 2 ana心6s ,2= 1 cos'a tan a tan'a cos?a sin'a I+cos a 1-coso 2 2s2a+2-2sa.-1+ 3 2 3 1+0sY 1-0s2a 2=,则 (仔）心=-1+ 2t -142 () -2+31 5=-1+ 2 =-1+ 5 21+5,当且仪当=4 3-2t4 3-52 时等号成立.所以外接球表面积的最小值是4：.1+5。(2+ 即=2 25)m.故答案为(2+2w5)T 重难点拔 本题考查三棱锥外接球表面积，解题关键是用一个变量表示出球的 表面积，前提是选定一个象数，由已知设∠(CBD■a,其他量都用a表 示，并利用三角函数恒等变换，换元法、基本不等式等求得最小值. 专题3内切球 典型例题1.B解析：由题意知，AC■√AB2+BC2=10,设△ABC的内 切调半径为期宁68：0宁68=少兰放球的量大 半轻为号子✉（侣）广号故选B 4 变式训练1.C解析：依题意，所有棱长都是2的正四棱锥的高h 22)。2,体积V3×2”×2=3,表而积5=4x 2+2=4(,5+).设该棱锥的内切球半径为，则了=业.即=背 3V 426-√2 4(5+1)2 变式训练2子：解析：该几何体的直魂图如图所示，这两个正四校 柱公共部分所构成的几何体为两个全等的四棱锥S-ABCD和P-ABCD 组成； 由题意，这两个直四棱柱的中心既是外接球的球心，也是内切球的球 心，设内切球的半径为R,设AC的中点为H.连接，SH,可知SH即为 四棱锥S-ABCD的高.在Bt△ABH中，BH=√AB-AP=√6-2=2， 一学霸高考·黑 又4C=0=22.5=2x×22x2=45,又m= 为2心了仪22x8=2x3得R=1,故几何作的内切球的休积 1 为 典型例题2B解析：作出该圆台的轴截面如图所示，切点为￡，F,依 题意，r=16m,m=25m,解得1=4,3=5.因为AE=A01,4,E=A02, 所以圆台的母线长为AE+A,E=r1+2=9,故0,02=√-下=45，故 球0的表面积为m·0,0,2=80m 0 变式训练3.B解析：由对称性知勒洛四面体内切球的球心0是正四 面体ABCD外接球的球心.连接0，并延长交勒洛四面体的曲面于点 E,则)E就是勒洛四面体内切球的半径，如图①.在正四面体ACD 中，M为△BCD的中心，O是正四面体ABCD外接球的球心，连接BM。 B0,AM.如图②，由正四面体的性质知0在AM上，而AB=2,则BM= 2 235 2im60=。.AM=√/AB2-BM2=/22-3)= BM2A4M√6 BA+(AM-B0)2.得B0 21W22,又E=B=2,所以该物洛四 面体内切球的半径0呢=BE-0B=22 6 B 0 3 变式训练4.B解析：依题意，四面体可以在圆锥内任意转动，故该四 面体内接于圆锥的内切球，设球心为P,球P的半径为？，圆锥的轴截面 上球与圆锥母线的切点为Q,圆锥的轴截面如图①： 期0A=0B= 2,0s3 2,所以M=MB=V0°+0F=3,所以△B 为等边三角形，5aw子0：A仙=子×3 4,由等面积法可 得56w子…3M=g-5 24,解得5 ,即四面体的外接球的 3 半径为r= ,另正四面体可以从正方体中截得，如图②： ② 从图中可以得到，当正四面体的棱长为a时，截得它的正方体的棱长为 题·数学·31一