第四章 专题1 空间中的角和距离-【6星学霸·高考黑题】2026年高考数学二轮专项冲刺

第四章立体几何与空间向量学霸 第四章立体几何与空间向量 专题1空间中的角和距离 命题密钥 空间中的角和距离问题是高考的重点、热点内容，属于高考的必考内容之一.从近几年的高 考情况来看，通常在解答题中考查较多，难度中等偏上.除了常规的空间向量法，2023年全国甲 卷和2024年新课标I卷还考查了综合法，要求考生灵活选择方法求解角和距离. 考点觉醒 将两直线平移到同一面内求解 异面直线所成角 利用两直线的方向向量求解 直线上取一点往平面投影，利用点到面的距离求解 空间中的角 线面所成角 利用直线的方向向量和面的法向量求解，需注意余 角的转化 定义法或三垂线法，多利用点到面的距离求解 二面角 利用两个面的法向量求解，需判断锐角还是纯角 根据定义作出垂线段，或者利用等体积法求解 空间中的距离 点到面的距离 利用向量的投影进行计算 实战演练 题组口利用空间向量求解 典型例题1.(2025·全国一卷)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,BC∥AD. (1)证明：平面PAB⊥平面PAD; (2)设PA=AB=√2，BC=2,AD=1+√3，且点P,B,C,D均在球0的球面上 (i)证明：点O在平面ABCD内； (iⅱ)求直线AC与PO所成角的余弦值 053 学霸高考，黑题数学 变式训练1.(2025·四川巴中二模)如图，在直三棱柱ABC-A,B,C1中，AB=AA1=BC=4,平面 A,BC⊥平面ABB,A1,点E,F分别是棱AC,B,C,的中点，点G是线段A1B上的一点. (1)求证：EF⊥BC: (2)若直线AC,与平面E℉G所成角的正弦值为，0，求G 的值， GB 变式训练2.(2025·内蒙古包头二模)如图，在四棱锥S-ABCD中，AD⊥平面SCD,AB∥DC, BC=SD,AB=2CD=6,SC=AD=4,点E在棱SD上，且不与S和D重合，平面ABE交棱SC于点F (1)求证：DC∥EF; (2)若E为棱SD的中点，求二面角D-AE-B的正弦值： (3)记点D,S到平面ABE的距离分别为d1,d2,求d,d2的最大值. 054 第四章立体几何与空间向量学霸 题组口利用综合法求解 典型例题2.(2024·新课标全国I)如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,PA=AC=2,BC= 1,AB=3 (1)若AD⊥PB,证明：AD∥平面PBC; (2)若AD1DC,且二面角A-CP-D的正弦值为 7,求AD D 变式训练3.(2025·山东临沂模拟)如图，在直三棱柱ABC-AB,C,中，ACC,A1为正方形，E,F分别 为AB,BC的中点. (1)若AC⊥CB,求证：AB⊥EF. (2)设AC=CB=2,设∠ACB=0e0,?),当0为何值时，平面AC,A与平面A,BC所成角的余弦值 32 055 学霸高考·黑题数学 变式训练4.(2025·湖北武汉二模)如图，直角梯形ABCD中，BC∥AD,AB⊥AD,BC=8,AD= 9,AB=2√3，点E为线段BC不在端点上的一点，过E作AB的平行线交AD于F,将矩形ABEF翻折 至与梯形ECDF垂直，得到六面体ABCDEF. (1)若CF⊥BD,求BE的长； (2)求异面直线BC与AD所成角的余弦值的最小值 变式训练5.(2025·山西临汾三模)如图，已知圆柱00，的轴截面ABCD是边长为2的正方形，点 P是圆O上异于点C,D的任意一点. (1)证明：平面ACP⊥平面ADP: (2)若O,P⊥CD,求点D到平面ACP的距离； (3)求AD与平面ACP所成角的正弦值的取值范围. 056斥事件，图此Rm=(兮）0=1-rn).代n g(合）广=g,Pna)=C(合)广R2=aPna 19 e(兮)广auw-GP(DaC(兮）广2a G(合）广a3aP=G(行）4品si 1 (6安a)器 变式训练2.解：(1)由题意可得数学优秀的学生有4名，这4名中物理 优秀的有3名同学，由条件概率公式可得户=子 (2)分析r的向量念义.设a=(x1-,2-i,,x-).b=(-,-天， a.b ),则ra。bm(a,b),分别令y的样本相关系数 =ma,x,:的样本相关系数3=eoB,x与：的样本相关系数为 m,则wa号m月是a月e0,1.血a=v1a 4 3 5.sin B=Tcoe-B=5..co r)=cos a-B)=cos orcoe B 412.3563 血mB了×行×365六x,:的样本相关系数的最大值 为 (3),a都是1,2，…，N的一个排列含=三a= 含=含2山==生含 我-2含+N--N2》 6 4 N,月是喜a.D.玄=含4 12 12 》产--（如@]=含48@-2-224-0侧 回=2x0-D-2名(-)(w-),n 12 含4（回 少号越 12 √含6含w N(N+1)(N-1) 12 台D错合僵表得p=10网(442 6 12+22+22+52)=0.56. 第四章立体儿何与空间向量 专题1空间中的角和距离 典型例题1.(I)证明：在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD, AB⊥AD,ABC平面ABCD,ADC平面ABCD,∴，AP⊥AB.AP⊥AD ,APC平面PAD,ADC平面PAD.AP∩AD=A.AB⊥平面PAD ABC平面PAB,平面PAB⊥平面PAD (2)(i)证明：在四棱锥P-ABCD中，AP⊥AB.AP⊥AD,AB⊥AD, BC∥AD.PA=AB=2,BC=2.AD=1+√3，由此建立空间直角坐标系如 图①所示， 一学霸高考·黑 A(0,0.0),B(2,0.0).C(2,2.0),D(0.1+3,0),P(0,0.2),若 P,B,C,D在同→个球面上，则I0P1=|0BI=1OC1=1OD1.在平面x 中.如图② 2 A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,1+3),线段CD的中点为 F(停，）直线m的斜率1525直线D的 0-2 垂直平分线EF的斜率= -1 2:直线你的方程为， 2 2 16气号）2解得0001,在室同直角标 10P1=√02+12+(0-2)=3 0B1=√/(0-2)+12+02=3 系中，0(0,1.0)， ,∴.10P1= 10C1=√/(0-2)2+(1-2)2+02=3. 1001=/0+(1-1-√3)+02=3 10B1=10C1=IOD1,∴.点0在平面ABCD内. (i)解：由题意及图得，A=(2,2,0),P而=(0,1，-√2).设直线AC与 直线PO所成角为8， A花.P 10+2×1+0 2 .00sB= 国花ii1V2)+2+0xV0+P4(-23 变式训练1.(1)证明：连接AB,如图所示，在直三棱柱ABC-A,B,C, 中，BB,⊥平面ABC又AB,BCC平面ABC,所以BB,⊥AB,BB,⊥BC 又AB=AH1,所以四边形ABB,A,是正方形，所以AB,⊥A,B.又平 面A,BC⊥平面ABB,A,平面A,BCn平面ABB,A,=A,B,AB,C平 面ABB,A,所以AB,⊥平面ABC,义BCC平面A,BC,所以AB,⊥BC. 又AB,nBB,=B,AB,BB,C平面ABB,A.所以BC1平面ABB,A, 取A,B,的中点H,连接AH,FH因为H是AB,的中点，F是B,C的中 点，所以FH//A.C,FH=2A,C.又E是棱AC的中点，所以FH/AE, FH=AE,所以四边形AEFH是平行四边形，所以EF∥AL.因为BC⊥平 面ABB,A,AHC平面ABB,A,所以AH⊥BC.义EF∥AH,所以EF⊥BC (2)解：因为BC⊥平面ABB,A,ABC平面ABB,A.所以BC⊥AB. 又BB,⊥AB,BB,⊥BC,所以以B为坐标原点.元，B.BB为x轴， y轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示.所以B(0,0,0), C(4,0,0),4(0,4,0,A1(0,4,4),B1(0,0,4),C1(4,0,4),所以 E(2,2,0),F(2,0,4),所以E=(0,-2,4),设武=AB4=(0,4A,4A) (0≤A≤1)，所以E=B武-B正=(-2,4M-2,4A).设平面EFG的一个法 向量为n=(,),所以·-2+4=0， 令=1，解得 (n·E元=-2x+(4h-2)y+4h=0, y=2,x=6M-2,所以平面EF℃的一个法向量为n=(6M-2,2,1).又1C= (4,-4.0),设直线A,C,与平面FG所成角的大小为8，所以m8= 1(,,G1.n4G 14(6A-2)-81 1m11A,C1。√(6A-2)+2+1下×√+(-4)+0丽 ,化简可得9以2-30+1=0，解得A:号或A:号（合）.所以 10 题·数学·26一 A B2 变式训练2.(I)证明：因为AB∥DC,且CD丈平面ABFE,ABC平 面ABFE,所以CD∥平面ABFE.又因为CDC平而SCD,平面SCDA平 面ABFE=EF,所以DC∥EF. (2)解：取AB的中点P,连接CP,则DC=AP,又DC∥AP,所以四边 形APCD为平行四边形.因为AD⊥平面SCD,CDC平面SCD,所以AD⊥ DC,放四边形APCD为矩形，在△GPB中，CB2=CP2+PB2=16+ 9=25,又SD2=BC2=25.所以在△SCD中，5D2=DC2+SC2,所以5C⊥ CD.因为AD⊥平面SCD.SCC平面SCD.所以AD⊥SC,又因为AD,DCC 平面ABCD.且ADODC=D,所以SC⊥平面ABCD,以GD为x轴，GP为 y轴，CS为：轴，建立如图所示的空间直角坐标系C:. 则G(0.0.0).D(3.0.0).A(3.4,0).B(-3.4,0).S(0.0.4). e(层02）撕-(34）040o.(-60o D房=(-3,0.4).设平面DE的法向量为，=(，，)，则 已.m=0即24-20可取，=(4.0,3).设平面8E的 13 i·m1=0,4y1=0. 法向量为2=（为，），期} E·m=0,3 即2+42，=0可取 i·n2=0,（-63=0, m1=(0,1,2).设二面角D-AE-B的大小为0(0<0<m),则1e%01= ae品名管则二看指-台的正装值 为in0=V个-cs0=y项 25 (3)解：设Di=AD房.Ae(0,1),则正=D元-D=(-3A.0,4h)-(0,4, 0)=（-3M,-4,4A),设平面ABE的法向量为n=(,5,3),则 形.=0+4=0可取=(0A,).因为=(0， a·m=0,-6=0, 4.0),S=(-3.4.-4).所以41= 万·n1.4A S3·1 14A-4.41-.放4d,=16A-》,设6(A=16A0,Ae(0. 2+I+1 A2+1 A2+1 1).则h(A)= A1)0-2A-).令h(A=0,得2+2A-1=0,解 16 得A1=-1-2(含去)，A2=-1+2,故Ae(0,-1+2)时，h'(A)>0, A后(-1+2,1)时，h'(A)<0,所以h(A)≤h(-1+2)=8(2-1),故 dd2的最大值为8(2-1). 典型例题2(1)证明：因为PA⊥底面ABCD,而ADC底面ABCD,所以 PA⊥AD.又AD⊥PB,PB门PA=P,PB,PAC平面PAB,所以AD⊥平面 PAB.面ABC平面PAB,所以AD⊥AB.因为BC2+AB2=1+3=4=AC,所 以BC⊥AB.根据平面知识可知AD∥BC,义AD￠平面PBC,BCC平面 PBG,所以AD∥平面PBC 一学霸高考·黑 (2)解：如图，过点D作DE⊥AC于E,再过点E作EF⊥CP于F,连接 DF因为PA⊥平而ABCD,所以平而PAC⊥平面ABCD.而平面PAG∩平 面ABCD=AC,所以DE⊥平面PAC.又EF⊥CP.所以CP⊥平面DEF.根 据二面角的定义可知，∠DFE即为二面角A-CP-D的平面角，即 in∠DfE= 至，即m∠DFE=6,因为AD1DC,设AD=,则GD 7 √4子，由等面积法可得B=4 2 义E)号而△心为等程直有三角形，所 4 x√4-x 以EF= 4-x2 2 故n∠DFE= =√6，解得x=3,即AD=√3 2w2 4-x2 22 变式训练3.解：(1)在直三棱柱ABC-A,B,C,中，CC⊥平面ABC,面 BCC平面ABC,则CC,⊥BC,而AC⊥CB,AC∩CC,=C,AC,CC,C平 面ACC1A,.于是BC⊥平面ACC,A,.连接AC,,如图，而AC,C平 面ACC,A,,则C⊥AC1,由正方形ACC1A,得A,C⊥AC,,又A,C∩BC= C,A,C,BCC平面A,BC,因此AC1⊥平面ABC,而A,BC平面A,BG 则A:B⊥AC,由E,F分别为AB,BC,的中点，得EF∥AC,所以 AB⊥EF (2)如图，在平面ABC内过B作BO⊥AC于O.面平面ABC⊥平 面ACC,A,平面ABCn平面ACC,A:=AC,则B0⊥平面ACG,A。 又A,CC平面ACC,A1,则B0⊥A,C.过O作0D⊥A,C于D,连接BD,面 B0AOD=O,B0,ODC平面B0D,因此A,C⊥平面B0D.又BDC平面 BOD,则BD⊥A,C,则∠BD0是二面角B-A,C-A的平面角.由 0s∠BD0= 3 ,得1an∠BD0=√2，而an∠BDO= BO 2sin 0 2sin 0 3 D02 20 V2%0 2an8.则an0=1.又0e (0,号）于是0=所以当0=时，平 ,3 面AC,A,与平面A,BC所成角的余弦值为了 变式训练4.解：(1)如图，连接DE,平面ABEF⊥平而ECDF,交线为 EF,由BE⊥EF,有BE⊥平面ECDF,又CFC平面ECDF,所以BE⊥CF 又CF⊥BD.BE∩BD=B,所以CF⊥平面BDE.又DEC平面BDE,所以 CF⊥DE,此时△FEC与△DFE相似，故DF·EC=EF,设BE=(O<< 8).则C=8-4.DF=9-1,(9-1)(8-t)=12.解得1=5，所以BE=5. (2)如图，过C作EF的平行线交DF于点G.连接AG,由CG∥EF∥BA 且CG=EF=BA,得四边形CGAB是平行四边形，故BC∥AG,所以∠DAG 即为异面直线BC与AD所成的角，设BE=t(0<t<8),tan∠D4G= 题·数学·27一 9-18-1 tan∠DAF-tan∠GAF an(∠DAF-∠(GAF)= Ham∠hm26F194.8 2(） 2x2√36-177，所以筏角∠4G的正切值的最大 值为此时余装值有最小慎 ,所以异面直线BC与AD所成角的 余装植的是小值为侣 变式训练5.(1)证明：因为CD是圆O,的直径，所以DP⊥CP.又因 为AD⊥平面PDC,PCC平面PCD,所以AD⊥CP因为AD门DP=D,AD DP都在平面ADP内.所以CP⊥平面ADP,因为CPC平面ACP,所以平 面ACP⊥平面ADP (2)解：方法一：因为0，P1CD.所以P为弧CGD的中点，所以0，P=1. CP=DP=、2.由(1)知CP⊥平面ADP.因为APC平面ADP.所以 CP⊥M在B△APC中，AP=6,CP=Z,放Sa=之APxPC=万， 设D到平面ACP的距离为，由x=得宁2x1=了5， 郭得42 25 3 ,即点D到平面ACP的距离为 方法二：如图.过点D作DE⊥AP,垂足为E, 因为平面ACP⊥平面ADP,平面ACPn平面ADP=AP,DEC平面ADP 所以DE⊥平面ACP因为O,P⊥CD,所以P为弧CD的中点，则CP= P=2,AP=√6，在△AP中，A0xDp=DExP所以DE.2x2 6 23 3.即点D到平面ACP的距离为23 (3)解：由(2)知，DE⊥平面ACP.所以∠DAE即为AD与平面ACP所成 角设DP=1,1e(0,2),在Bt△ADP中，AD=2,AP=√4+7，SAAm= ，×DEXAP)×ADxP,所以E= DE 元：所以im之DAE=D V4+2 4 因为01c2,所以子+1>2.所以血∠E后 V+ (山，受）母0与平面4O所成格的正孩值的k值包调为(，号）】 专题2外接球 典型例题1.2解析：如图，将三棱锥S-ABG转化为正三楼柱 sWN-ABC,设△G的外接圆圈心为0，半径为r.则2 simZACB AB 】=25,可得r=5,设三棱雏S-Bc的外接球球心为0，连接01. 3 2 0,04.则01=2.00，=号1.0,4=.因为0=0+0，，即 4=43.解得=2 一学霸高考·黑 变式训练1.B解析：由于PA=PB=P℃，PA,PB,PC两两垂直，将该三 棱锥放入正方体中，如图： 故该三楼惟的外接球与正方体的外接球相同，故该三棱锥外接球的半 径：四四心-受P=号所以外装球的体积：5心。 2 3 (了罗 变式训练2D解析：如图，显然，A'E,A"F,A'D两两垂直，其中A'E= 1.A'F=I,AD=2, 0 故三棱锥A'-EFD的外接球就是分别以A'EA'F,A'D为长，宽，高的长 方体的外接球，做外接球华径为E万：.放三能 维锥A'-EFD的外接球的表面积为4行· 6)2 2/=6m 变式训练3.C解析：设四面体ABCD的外接球的半径为R,则四面 体ABCD在一个长宽、高分别为a,b,e的长方体中，如图， ) 02+62=29. 则2+2=41，故R=VF+2。V ,放四面体ABCD外接球的体 2 2 a2+c2=20 445V45_455m 积为 8 2 变式训练4.D解析：如图，连接AC,设AC的中点为O,过O,作直线 I⊥平面ABCD,:∠ABC=∠ADC=90P,.AC是RI△ABC,B△ADC的 公共斜边，即O,是四边形ABCD的外接圆园心，直线上的点到 点A,B,C,D的距离相等，故球心0一定在直线1上，即0O1⊥平 面ABCD.现只要保证到点P的距离也相等即可，即球心)也在PC的 垂直平分线上，设P℃中点为M,即M⊥P℃，：∠BMD=6,AB=7AD= BD 5.B0=V7-25x1s60=v3到.nW=2yB=2=ACr为底 面ABCD外接司半径).PC⊥平面ABCD,O0⊥平面ABCD.∴.OO,∥ PC.又OM⊥P℃，，四边形O0,CM为矩形，O01=CM=3,四棱雏外 接球半径R=√0，C+O厅=√3+3=4，则四棱维P-ABCD外接球的 表面积为Sa=4石R2=64 变式训练5.B解析：如图，设∠BD=a,则∠C'AD=∠C0= 2a, 过点C"作C⊥AD于点E因为二面角C-AD-B的大小为90，所以平 面GAD⊥平面ABD,又平面CAD∩平面ABD=AD,C'FC平面CAD,所 以CF⊥平面ABD,过点B作BE⊥AD于点E,则AE=2©osa,BE= 2na.又cf=2n(7a=2owa.r=2mw（a）=2ina, 所以EF=1AB-AF1=21%-sin l.因为二面角C'-AD-B的大小为 题·数学·28一