第三章 专题5 概率统计中的新定义问题-【6星学霸·高考黑题】2026年高考数学二轮专项冲刺

次硬币结果为（反，正）时，(X2,2)=(2,2):当抛掷两次硬币结果为 (反，反)时，(X2,Y2)=(2,3) (2)①易知当=1时，P=0:当a=2时，乃=子：由题知，比-少，1≤1， 当X>y,即X=y+1时，若掷出反面，则Y1=Yn+1,X1=X,此时 X1=Y4当X<Y,即Yn=X+1时，若掷出正面，则y=Y,X1= X+1,此时X,=Y1:当X.=y时，无论抛出正面还是反面，X1 所n=Px,>)P无<)=P>)+P< )1=之1-.所以D寸（寸）所以}是 以即子子为首项，了为公比的等比数列，所以八了子 1 (）厂所以P,=号子(）厂(a≥).当a为商最时， }子（付）广分当为数时北号号（仔）广≤ 乃=宁所以即的最大值为2 ②显然，=1宁2子受由题分析得.，>水与(，<化的概米相 13 等，均设为0，期由①，心.=了(1-P.),若X,>y,当下次投掷硬币 为正面朝上时，X+t=X+1:当下次投椰硬币为反面上时，X,=X。: 若X,=Y,当下次投掷硬币为正面潮上时，X1=X,+1:当下次投掷硬 币为反面朝上时，X=X,;若X<Y。,当下次投掷硬币为正面朝上时， X1=X+1:当下次投挪硬币为反面朝上时，X1=X+1,所以当X1 怎时，幸为宁0号=。：()门此时期望不密：当 x=+1时，概率为1-（行+）=石4-()门此时 期望加上所以=6×6【+()门+(B+1)× 64()门=·64()门做8= -()门+6()]6[ (）]+g*+(]+石x4(分)] 1*6×[+-()门6×[4-()门…*石× ） 4n- -() 号+g(广 号经检验，当a=1时也成立所以，=子+)(）广号 专题5概率统计中的新定义问题 典型例题(1)解：4，可以排在2，b,b4上，有C种排法.不妨设a1推 在上，接下来讨论a2.当，排在b1上时，剩下两个元素a,a,的挂 法有F(2.2)=1种当a2不排在6，上时.可以排在6，b上，有C时种 情况若2排在6，上，剩下两个元素：，：只有1种排法.所以 F(4.4)=C(1+C×1)=9.a,可以排在b2.b,b,6上，有C4种情况 不妨设a,排在2上，接下来讨论m, ①当m2排在6，上时.剩下三个元素a3,a:,a5分别不排在b,b,b 上，则1，a,5的不同排法有F(3,3)=2种 2当a2不排在b1上时，可以排在6，b,上，有C种排法，若a,排 在b上，接下来讨论3 (1)当0，排在b,上时，剩下两个元素a4,45的排法有F(2,2)=1种： (i)当a,不排在b1上时，可以排在b:,b,上，有C种排法，利下两个 元素，3只有1种排法.故F(5,5)=C[2+C(1+C吗×1)]=44. F(2,2) (2)证明：当n=1时，s,=41.)+0.0产0中1，满足8= 一学霸高考·黑 (m+,当n≥2时，要证明8-业，只需证明d,=S-S1=,所 2 F(n+1,n+1) 以只需证明n=Fn,0+Fn,a-Dn≥2当n=2时， F(3,3) F(2,2)+F(1.1)1+0 =2,成立回到定义，当n≥3时，对于F(nm: 不妨从a1开始排列，设a,排在b(2≤k忘n)上，有(n-1)种排法.接下 来讨论a· ①当a1排在6，上时，剩下2，a,…41,1…,共(n-2)个元素 分别不在b2,6,…,b1,b1,…,6。上，共有F(n-2,n-2)种排法. ②当0：不排在b,上时，因为a,a,…,a-,a4,a1…,au分别不在 b2,b3,…,6-1.b,b1…,6n上，所以a2,a3,…,a-,a4,at…,a 共(n-1)个元素分别不在b,b…,b-1b,b…,b,上，共有F(n 1,n-1)种排法.所以F(n,n)=(n-1)[F(n-1,-1)+F(n-2,n-2)] (n≥3).所以F(n+1,n+1)=n[F(n,n)+F(n-1,n-1)],n≥2，即n Fa,+-1-万n≥2综上，及》(neN)成立 F(n+1,n+I) 2 (3)证明：根据定义，P(,m)=:m:m）,先从m个元素中选 A" n! 出m个元素，再对它们进行排列，并使它们均不排在对应位置上，所以 F《,m)=CF(m,m).所以P(n,m)= 0不特起归 D.,则D.=(m-1)(D-1+D-),且D=1,D=0,m≥2， 得D2=(m+1)(D1+Dn),则D2-(m+2)Dt=-[D1- (m+I)Dm],故{D时-(m+I)D}是等比数列，且公比为-1，又 D2-2D1=1,所以D1-(m+1)D=(-1)1=(-1),变形得 D4D。_(-1)t DmnD-t(-1)”.D (m+1mm+则当m≥2时m(m-a“3到 异合出累加片什-日经 -1)2DD_(-1)2 2 验山电符合上式，所以F(m,a=几a:名日所以 P(n.m)= F(m,m)-1贵（-1)' m1(m-m)1(n-m)11 变式训练1，解：(1)设事件X:顶点A与顶点B相互可达，事件Y:A与 B之间有边，当n=3时，A与B相互可达分以下两种情况：①A与B之 间有边，概率为？：21与B之间无边，但都与第三个顶点有边，概率 11 1 1 为(22×2g,放A与B相互可达的概率为P()=? g放P0= 115 8=8 面P(X)=P(=子，故P)= P(XY)4 P(X)5 ,故A与B之间有边的概率为气 (2)设事件C:恰有3个顶点相互可达，任取3个顶点，第4个顶点与这 3个顶点均无边的概率为日✉(-：）广一号，同时这3个顶点亚可 达，故P代C)=子R(3).图G连通以下两种情配： 三个顶点两有边概常为（兮）广女 ②有两个顶点同无边，但都与第3个顶点有边，概*为cx(子)产 131 有3个顶点相互可达的概率为4 (3)周定任意一个顶点A,G2是连通的就是两个顶点间有边时： “R(2)=之，当>2时，设事件D:恰好有(i-1)个顶点与x相互可 达，任取除A以外(-1)个顶点，∴剩下(-)个顶点与这个顶点都无 边的概率为C时×（12)】 ,同时这个顶点相互可达，测 In-47 P(D)=C R(),显然.任意两个事件D,和D均为互 题·数学·25一 斥事件，图此Rm=(兮）0=1-rn).代n g(合）广=g,Pna)=C(合)广R2=aPna 19 e(兮)广auw-GP(DaC(兮）广2a G(合）广a3aP=G(行）4品si 1 (6安a)器 变式训练2.解：(1)由题意可得数学优秀的学生有4名，这4名中物理 优秀的有3名同学，由条件概率公式可得户=子 (2)分析r的向量念义.设a=(x1-,2-i,,x-).b=(-,-天， a.b ),则ra。bm(a,b),分别令y的样本相关系数 =ma,x,:的样本相关系数3=eoB,x与：的样本相关系数为 m,则wa号m月是a月e0,1.血a=v1a 4 3 5.sin B=Tcoe-B=5..co r)=cos a-B)=cos orcoe B 412.3563 血mB了×行×365六x,:的样本相关系数的最大值 为 (3),a都是1,2，…，N的一个排列含=三a= 含=含2山==生含 我-2含+N--N2》 6 4 N,月是喜a.D.玄=含4 12 12 》产--（如@]=含48@-2-224-0侧 回=2x0-D-2名(-)(w-),n 12 含4（回 少号越 12 √含6含w N(N+1)(N-1) 12 台D错合僵表得p=10网(442 6 12+22+22+52)=0.56. 第四章立体儿何与空间向量 专题1空间中的角和距离 典型例题1.(I)证明：在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD, AB⊥AD,ABC平面ABCD,ADC平面ABCD,∴，AP⊥AB.AP⊥AD ,APC平面PAD,ADC平面PAD.AP∩AD=A.AB⊥平面PAD ABC平面PAB,平面PAB⊥平面PAD (2)(i)证明：在四棱锥P-ABCD中，AP⊥AB.AP⊥AD,AB⊥AD, BC∥AD.PA=AB=2,BC=2.AD=1+√3，由此建立空间直角坐标系如 图①所示， 一学霸高考·黑 A(0,0.0),B(2,0.0).C(2,2.0),D(0.1+3,0),P(0,0.2),若 P,B,C,D在同→个球面上，则I0P1=|0BI=1OC1=1OD1.在平面x 中.如图② 2 A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,1+3),线段CD的中点为 F(停，）直线m的斜率1525直线D的 0-2 垂直平分线EF的斜率= -1 2:直线你的方程为， 2 2 16气号）2解得0001,在室同直角标 10P1=√02+12+(0-2)=3 0B1=√/(0-2)+12+02=3 系中，0(0,1.0)， ,∴.10P1= 10C1=√/(0-2)2+(1-2)2+02=3. 1001=/0+(1-1-√3)+02=3 10B1=10C1=IOD1,∴.点0在平面ABCD内. (i)解：由题意及图得，A=(2,2,0),P而=(0,1，-√2).设直线AC与 直线PO所成角为8， A花.P 10+2×1+0 2 .00sB= 国花ii1V2)+2+0xV0+P4(-23 变式训练1.(1)证明：连接AB,如图所示，在直三棱柱ABC-A,B,C, 中，BB,⊥平面ABC又AB,BCC平面ABC,所以BB,⊥AB,BB,⊥BC 又AB=AH1,所以四边形ABB,A,是正方形，所以AB,⊥A,B.又平 面A,BC⊥平面ABB,A,平面A,BCn平面ABB,A,=A,B,AB,C平 面ABB,A,所以AB,⊥平面ABC,义BCC平面A,BC,所以AB,⊥BC. 又AB,nBB,=B,AB,BB,C平面ABB,A.所以BC1平面ABB,A, 取A,B,的中点H,连接AH,FH因为H是AB,的中点，F是B,C的中 点，所以FH//A.C,FH=2A,C.又E是棱AC的中点，所以FH/AE, FH=AE,所以四边形AEFH是平行四边形，所以EF∥AL.因为BC⊥平 面ABB,A,AHC平面ABB,A,所以AH⊥BC.义EF∥AH,所以EF⊥BC (2)解：因为BC⊥平面ABB,A,ABC平面ABB,A.所以BC⊥AB. 又BB,⊥AB,BB,⊥BC,所以以B为坐标原点.元，B.BB为x轴， y轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示.所以B(0,0,0), C(4,0,0),4(0,4,0,A1(0,4,4),B1(0,0,4),C1(4,0,4),所以 E(2,2,0),F(2,0,4),所以E=(0,-2,4),设武=AB4=(0,4A,4A) (0≤A≤1)，所以E=B武-B正=(-2,4M-2,4A).设平面EFG的一个法 向量为n=(,),所以·-2+4=0， 令=1，解得 (n·E元=-2x+(4h-2)y+4h=0, y=2,x=6M-2,所以平面EF℃的一个法向量为n=(6M-2,2,1).又1C= (4,-4.0),设直线A,C,与平面FG所成角的大小为8，所以m8= 1(,,G1.n4G 14(6A-2)-81 1m11A,C1。√(6A-2)+2+1下×√+(-4)+0丽 ,化简可得9以2-30+1=0，解得A:号或A:号（合）.所以 10 题·数学·26一学霸高考·黑题数学 专题5概率统计中的新定义问题 命题密钥 概率统计背景下的新定义问题一般以压轴题的位置命题，难度较大.解题时要求细读定义 关键词，理解本质特征，适时转化为“熟悉”问题解决此类问题，取决于已有知识、技能、数学思 想的掌握和基本活动经验的积累，还需要不断的实践和反思 实战演练 典型例题(2025·湖南长沙长郡中学期末)错排问题最早由伯努利与欧拉系统研究，历史上称为伯 努利-欧拉的装错信封问题.现在定义错排数F(n,m)(neN·,meN)为将a1,a2,a,…,an共 n个元素排列在b,b2,b,…,bn共n个位置上，其中有m个元素不在其对应位置上的情况数(a4的 对应位置为b,keN°，k≤n).容易得到，F(1,1)=0,F(2,2)=1,F(3,3)=2,规定F(0,0)=1. (1)计算：F(4,4),F(5,5): (2)记d= m的前n项和为8正明：8=a(aeN): F(n+1,n+1) (3)定义错排概率P(n,m)为随机将a1,a2,a,…,an共n个元素排列在b1,b2,b,…,bn共n个位置 上，其中恰有m个元素不在其对应位置上的概率，证明：P(n,m)= 1.-1 (n-m)！i! 050 第三章计数原理与概率统计学霸 变式训练1.(2025·四川绵阳三模)图是计算机科学中的一种极为重要的模型.图的连通性常应用 于计算机网络、智能导航及AI算法优化等领域中.一个图G由顶点集V与边集E组成，记为 G=(V,E).顶点集V是这个图所有顶点的集合，图中任意3个顶点不在同一直线上.图的边是指两个 不同的顶点直接相连成的线段，边集E就是这个图所有边的集合，如图所示为一个由4个顶点组成 的图G',其顶点集V={A,B,C,D,边集E=AB,BC,BD}.若图G中依次存在一组边：AoA1,A1A2, …,A-1Am,则称顶点A。,Am相互可达如果图G中任意两个顶点相互可达，则称图G是连通的，如图 所示的图G就是连通的， 一个含有n个顶点的图Gn,任意两个顶点间有边的概率 2设图G,是连通的概率为R(),定义 R(1)=1. (1)当n=3时，在顶点A与顶点B相互可达的条件下，求A与B之间有边的概率； (2)当n=4时，求恰有3个顶点相互可达的概率； (3)求R(5) R。 051 学霸高考，黑题数学 变式训练2.(2025·湖北武汉模拟)在某一次联考中，高三(9)班前10名同学的数学成绩x(i= 1,2,…,10)和物理成绩y(i=1,2,…,10)如下表： 学生编号 1 2 3 4 6 8 9 10 数学成绩 116 131 124 126 121 110 106 99 118 117 数学名次 7 3 2 4 8 9 10 5 6 物理成绩 80 78 79 81 74 65 63 70 73 84 物理名次 3 4 2 6 9 10 8 (1)从这10名同学中任取一名，已知该同学数学优秀（成绩在120分及以上），求该同学物理也优秀 (物理成绩在78分及以上)的概率； (2)已知该校高中生的数学成绩x,物理成绩y,化学成绩z两两成正相关关系，经计算这10名同学 的数学成绩x和物理成绩y的样本相关系数约为0.8，已知这10名同学物理成绩y与化学成绩z 的样本相关系数约为，分析相关系数的向量意义，求x,:的样本相关系数的最大值； 13 (3)设N为正整数，变量x和变量y的一组样本数据为{(x,y:)1i=1,2,…,N,其中x(i=1, 2,…,N)两两不相同，y(i=1,2,…,)两两不相同，按照由大到小的顺序，记x:在{xnn=1,2, …,N}中排名是s,位(i=1,2,…,N),y,在{ynn=1,2,…,N中的排名是0，位(i=1,2,…,N). 定义变量x和变量y的斯皮尔曼相关系数（记为p)为变量x的排名s和变量y的排名w,的样 本相关系数记d=5,0,其中i=1,2,…,N证明p=1 6 N(N2-1) 之，并用上述公式求这组学 生的数学成绩和物理成绩的斯皮尔曼相关系数（精确到0.01）， 参考公式：相关系数r= 含（-0(-月 2=a*12n+D) (x-)2() 6 052