第三章 专题2 概率公式的理解与运算-【6星学霸·高考黑题】2026年高考数学二轮专项冲刺

即这-项为c2)C·2c3=120r放ry的系数 为120. 变式训练6.ABD解析：在(1-2x)7=0ota1+2++ax’中，令x= 0,得o=1,故A正确：在(1-2x)7=nota1x+2x2+…+a2x7中，令x=1, 得-1=a0+a1+a++a,在(1-2x)7=n+1x+x2++ax2中，令 米=-1，得3=o-4,+a2--0,.所以an+2+0,+aw= 号放B正商： 在(1-2x)7=06+a*+n,2+…+,2中，令=之，得0=0g+22 4143 宁义1，所以兰受+学+受-1，故C不正确：在 .a2 (1-2x)7=o+n1x+m2++0x2中，两边对x求导，得7(1-2x)0, (-2)=a1+2n2x+3a3x2+…+7a7,令x=1,得-14=m1+2a2+3n3+…+ 7a2,故D正确. 变式训练7.CD解析：根据苍德蒙德恒等式C,=C2C+CC1+ …+C“C,故A错误对于CgC+CC+…+CC站，这里n=5,m=6.r 6.根据范德蒙德恒等式，此时n+m=5+6=11,r=6所以CgC6+CgC:+ ++CC6=C$6=C,B正确.对于CnCo+CnCo+…+CoC8,这里n= 10,m=10,=9.h范德蒙德恒等式，n+m=10+10=20,r=9.所以C9Cm CleCio+…+CwCB=C+0=C,C正确.对于(Cg)2+(C)2+…+ (C)2.可以看作CC-1+C2C-2+…+C"C(因为C=C-).这里 =m,r=n,根据范德蒙德恒等式CC+CC”++CC=C%n=C, 而CC=1所以(C)2+(C2)2+…+(C)2=C-CC=C3-1,D正确 变式训练8.7解析：因为只有第五项的二项式系数最大，所以n8 故(-云广：eN)的展开式通项为G(士厂 (号)G立，令4子=1，解得2.所以展开式中的系数为 (）广G=1放容案为7 变式调练9.4解析：由题意有“的系数为C+C1+C2*…+C= C+C1+C2+…+Cg=C+C2+…+C=C8=126,解 得m=4. 变式训练10. 解析：若展开式中有且仅有x项的系数最大，a=0不合题意，当a>0 时.所有项的系数均为正数则需清足心即得a<:当 \Cia'>Ca. a<0时，奇数项的系数均为正数，偶数项的系数均为负数，则此时需满 足G>Ca解得-a<-元综上可得。的取值范周是 lc岐a'>Cga‘, 2 5 (四0）u(传)做答案为 /10V/10 2,5 专题2概举公式的理解与运算 典型例题(1)解：由已知得3= n(ad-be)2 (a+b)(e+d)(a+c)(b+d) 200×(40×90-60×10)2 =24>6.635.又P(2≥6.635)=0.01，所以有 50x150×100x100 99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异， (2)(1)证明：因为R=PB1.P(B1M-P(AB),PA) P(BIA)P(BIA)P(A)P(AB) PAD.PD,所以R=PA.P.PA.PB.所以 P(A)P(AB) P(B)P(AB)P(B)P(AB) R=P(AIB)P(AIB) P(AIB)P(AIB) 60 (i)解：由题中表格知P(AB)=物P风AB)=D又P以AB)= 一学霸高考·黑 =0所以R=P2.PA）6 P(B)=10O P(AIB)P(AIB) 变式训练1.ACD解析：A,B为两个互斥事件，P(A)>0,P(B)>0, AB=⑦.即P(AB)=0.故A正确，B错误：，A.B为两个互斥事件。 则A2B.P(AUB)=P(A),故C正确：A.B为两个互斥事件， P(AUB)=P(A)+P(B),放D正确. 变式训练2.ACD解析：P(B1A)+P(B1A)=PAB)+P(B)。 P(A) PD1,A正确，B错误：若A,B独立，则P(B)=P(A)P(B P(A) PC-P代A).C正确：若A,B互斥，则P(AB)=0.P(AB)= P(AIB)=P(B) -0PB4)-界-0.DE P(B) 变式训练3.CD解析：对于A,由题意可知P(B1A)=1-95%=5%, 故A错误：对于B,P(B)=P(A)P(B1A)+P(A)P(B1A)+ P氏A)P(B1A)=20 510%+0x5%+×4%=6%=0058,放B国 20 51 确：对于C.P(M)=0车=Q25,故C正确：对于D,P(,1B) P(A B) P(A)P(BIA) P(B)P(A)P(BIA)+P(A:)P(BIA:)+P(A)P(BIA 5x10% 2 ，6=6-58,故D正确 5 20 变式调练4C解折PA=子，P(B)=子则P(=1-P() 又P代4：=PP()-P(.号与代橱. 1 P(B)= ,放B错误P(AB)+P(B)=P(A,P(AB)+7 P(B)=- 1 。·.P141=(AB)=年=，故A错误； P(A)1 3 PBA)PR=是=子又PCB)年.P(BIA)=P(B)做C正 3 通：P(B)=P(AB)+P(AB).子=手+P(AB).PAB)F了 1 11 (B)=(AB)P(B)=P(AB)P(ABAB)=122- ,故D错误 7 变式训练5.BCD解析：对于A,因为P(B)=P(B1A)P(A)+ P(B1A)P(A),且0<P(A)<I,0<P(A)<1,所以P(B)<P(BIA)+ P(BIA).放A错误：对于B,P(A)P(BIA)P(C1AB)=P(A)· PAB.PBC=PABC),故B正确：对于C,当BCA时，P(B) P(A)P(AB) ,此时P(B1AD=丹，放C正确：对于D,因为P(B1A)门 P(B1D.由条件概率公式可得AB.PB,即P(AB)T1-PA)J= P(A)P(A) P(A)P(AB)=P(A)[P(B)-P(AB)],所以P(AB)=P(A)P(B),故D 正确， 变式训练6.BCD解析：对于A,A与B相互独立，则P(AB)= RAr=U=-P=号 。=子，A错误：对于，因为A与C互斥，所以ACC,所以P以CA)= 题·数学·20一 PC)=3P(C).P(41c)=PC.PCA.3p(CA),所以 P(A) P(C)1-3 1 2 PC1A)=2P(AC.B正确：对于C.P(C1AB)=CM)闲为A与C P(AB) 互斥，即A发生则C一定不发生，所以P(CA)=P(A),所以P(CAB)= P(CAB)P(AB) =1,C正确：对于D,显然P(C)=P(BC)+P(BC)= P(AB)P(AB 号脚PC 3 P(c1,由P(G1B)+Pc1E=行，箱% P(B) P(CB)=3P(BC)+ P(B) [P(C)]子，解得P(BC)=0,所以B 与C互斥，D正确. 变式训练7.解：(1)用A1.A2.A3分别表示1,2.3号箱子里有奖品.用 B,B:,B分别表示主持人打开1.2,3号箱子，由题干可知初次选并的 是1号箱，因为你在做选择时不知道奖品在哪个箱子里，你的选择不影 响奖品在三个箱子中的：率分配.所以事件4女，4的藏率仍为了 此为先验概率.主持人打开1号箱之外的一个空箱子，有以下儿种可能 格况：奖品在1号箱里，主持人可打开2.3号箱，放户（么4，）=奖 品在2号箱里，主持人只能打开3号箱，故P(B31A2)=1:奖品在3号 箱里，主持人只能打开2号箱，放P(B31A,)=0.利用全概率公式，主持 人打开3号箱的餐率为P么)名P4)P(岛，1)：子×（宁小 2再根据贝叶斯公式，在3号箱打开的条件下，1号箱和2号箱里有 奖品的条件概率分别为P(1B,)=P4)P岳M)。1 P(B3) 3 P(A:IB3)= P(A2)P(BIA:)2 P(B,) ，所以政选2号箱因为这样会增加 中奖的概率 (2)用A,(1≤i6m)表示i号箱子里有奖品，则P(4)=上(1≤i≤m). 用B(1≤i≤m)表示主持人打开i号箱子，则P(B1)Fn P(B,A3)=0,P(B1A)= -2i≠2,3)，则P(B=三P(4)· P(B,A)=1 P A2 I B 11 P风A)P(BA).日`.上，所以P(AB,)= P(A )P(BIA.) P(B) P(B) n-1 11 。2。->1（≠2,3)，所以政选2号.3号以外的箱子.因为 1 n(n-2)n n-I 这样会增加中奖的概案 变式训练8.(1)解：X的可能取值为1,3,5.P(X=1)=C× (行）广2=所以的分布列为 3 5 1616 数学期望E(X)▣1× 65* 8*3 115 168 (2)PA,)=0,P代BA=号PBIA,-P(B三)L 8 一学霸高考·黑 解析：当p=子时共进行(2a+1)(a∈N且m≥2)局比赛，前(2n+) 局，甲赢的局数不足（一1）局.再赢2局.甲不能获胜，因此 P(B三A:)=0:前(2+)局，甲已赢(m-)局，最后2局全赢，甲能获 胜，因此P(B1An-1)= 212 3 :号：前(2+1)局，甲已瓶n局最后 2局甲至少赢1局，甲能获鞋，因此P(B14)=1+?) 号2 1)局，甲已赢(n+1)局，甲必胜，因此P(B1三A)=1 (3)证明：由全概率公式得，P1=C(1-p)”·p2+ C5-p(1-p,[I-(1-p)2]+[P。-Cn-1p(1-p)-]=P.+ Cip(1-p)”·p2-C-p(1-p)"m·(1-p)2=P。+C5-1p(1- p)-Cnp(1-p)=Pn+C2-1P(1-p)(2p-1),则P1-P。= P-P1= D-p2p-1.当2<p<1时.P,-P,>0.P- (2m+1)1 Cp*'(1-p)'(2-1) C+P(1-p） (m+1)！(1-p) C2-1p(1-p)(2p-1) C- (2n-1)！ n!(n-l)目 (2n+1)2n 4m+2 (a+a1-p)=+p(1-p）<4p(1-p)<4 pt1-p)12 =1.因为 2 P+1-P>0.所以P2-P1<P1-P.即P+P2<2P 专題3随机变量及其分布 典型例题1.(1)解：打完3个球后甲比乙至少多得2分，只能是甲得 3分乙得0分，因此3=3： 打完4个球后甲比乙至少多得2分，可能是甲得4分乙得0分，或者甲 得3分乙得1分. 因此p=Cpg+p=4p'qtp=4p入(1-p)+p=4p-3p (2)解：根据对称性以及(1)的结果.可得=？，4=4q3-3 因此-p-p1p）P9=4. 94-934g-3g-3g(1-g）gp 因此2=2，又p+9=1.故P=3 (3)证明：记a。(x)表示打完m个球后甲得x分的概率 Pm+t=P2m一9·a2(m+1)， 92m1=92p·a2(m-1), t放PPm=-9·2n（m+l), 92m1-92a=-p·a2(m-1）. 故要证： Pm+1-92n12e-92m: 只需证： P2m+1-P2a 5q20+1-92m 只需证： p·2m(m-1)<g·2.(m+1）. 即只需证： p·C·p-·gl<g·C·p·gl 即只需证： p"qmi<q"p. 即q印，由题意可知g=1-p<2,放结论成立 由P2m2=a1tp·2+1(m+1)=Patp·a2(m+I)-4·n(m+1) 9m2=91tq·m+i(m)=92atg·2m(m)-p·a2n(m-1）, 现在考虑右边的不等式P2n-q2印2292m+2, 只需证： P·a2+i(m+1）-9"a2(m+1》>g·a2m1(m)-p·3m(m-1), 只需证： Cahp-Cp>Cp"Cp" 只需证： Cp-C p>cag--C2g. 只斋证： (p-q)(p+q)C>(p-)C 只需证： C>C 因为C=C'+C,且C>0,故上面不等式成立.证毕 题·数学·21一第三章计数原理与概率统计学霸 专题2概率公式的理解与运算 命题密钥 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式在新教材中的地位得到了提升，一方面是其重 要的应用价值，另一方面则是三者之间的相互关联与铺垫，近年来的新高考卷更是着重考查了 这三个模块的知识，难度中等 考点觉醒 互斥、对立、独立事件的概率计算 基本知识 概率公式 条件概率、全概率公式及贝叶斯公式 转化技巧 P(A)=P(AB)+P(AB).P(B)=P(AB)+P(AB) 实战演练 典型例题(2022·新高考全国I)一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习 惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病 例组)，同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到下表数据： 不够良好 良好 病例组 40 60 对照组 10 90 (1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？ (2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患 有该疾病 P(B1A)与P(B1A)的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指 P(BIA)P(BIA) 标，记该指标为R （i)证明：R=P(AB). P(AIB) P(AIB)P(AIB) (ⅱ)利用该调查数据，给出P(AIB),P(A1B)的估计值，并利用(1)的结果给出R的估计值 n(ad-be)2 附：K=atb)(c+d(ate)btd),n=a6+ch P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 039 学霸高考·黑题数学 变式训练1.（多选）(2025·广东广州期中)设A,B为两个互斥的事件，且P(A)>0,P(B)>0,则下 列各式正确的是 A.P(AB)=0 B.P(AB)=P(A)P(B) C.P(AUB)=P(A) D.P(AUB)=P(A)+P(B) 变式训练2.（多选）(2025·山东省实验中学月考)已知A,B分别为随机事件A,B的对立事件， P(A)>0,P(B)>0,则 A.P(BIA)+P(BIA)=1 B.P(BIA)+P(BIA)=P(A) C.若A,B独立，则P(AIB)=P(A) D.若A,B互斥，则P(AIB)=P(BIA) 变式训练3.（多选）(2025·陕西咸阳三模)某商场在五一节开展促销抽奖活动，用编号分别为 1,2,3的三个箱子装了一定数量的红球和白球，总数之比为5：6：9，三个箱子中白球所占的比例分 别为90%，95%，96%，顾客从这三个箱子中任意摸取1球，取到红球获奖记事件A=“此球来自编 号为i的箱子”(i=1,2,3),事件B=“顾客获奖”，则 A.P(BIA)= 1 B.P(B)=0.058 25 C.P(A1)=0.25 D.P(A,IB)= 58 变式训练4.(2025·河南驻马店月考)设A,B是一个随机试验中的两个事件，且P(4)= 3 P(B)=,P4+=2则 ( A.P(A) BP4-店 C.P(B)=P(BIA) D.P氏AB+AB)= 5 变式训练5.（多选）(2025·河南焦作月考)设A,B,C均为随机事件，且0<P(A)<1,0<P(B)<1,0< P(C)<1,则下列结论中一定成立的是 A.P(B)=P(BIA)+P(BIA) B.P(ABC)-P(BIA)P(CIAB) P(A) C.若BSA,则P(BIA)FPA P(B) D.若P(BIA)=P(BIA),则P(AB)=P(A)P(B) 变式训练6.（多选）(2025·广东广州月考)在一个有限样本空间中，假设P(A)=P(B)=P(C)= 3,且A与B相互独立，A与C互斥，则 ( A.P(AUB)=月 B.P(CIA)=2P(AIC) C.P(CIAB)=1 D.若P(CB)+P(CIB)=2则B与C互诉 第三章计数原理与概率统计学霸 变式训练7.(2025·安徽合肥模拟)某学校2025年元旦联欢会上有一个抽奖游戏，主持人从编号 为1,2,3，…，n(n∈N,n≥3)的n个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将n个 箱子关闭.主持人知道奖品在哪个箱子里.游戏规则是主持人请抽奖人在个箱子中选择一个，若奖 品在此箱子里，则奖品由抽奖人获得抽奖人当然希望选中有奖品的箱子！假定你是抽奖人，不妨设 你选择了k号箱.在打开k号箱之前，主持人先打开了另外(-1)个箱子中的一个空箱子.按游戏规 定，主持人打开你的选择之外的空箱子，当你的选择之外有多个空箱子时，主持人随机选择其中一 个打开 (1)若n=3,k=1,不妨设主持人打开的是3号箱.现在给你一次重新选择的机会，你是坚持选1号 箱，还是改选2号箱？试说明理由. (2)若=2，不妨设主持人打开的是3号箱现在给你一次重新选择的机会，你是坚持选2号箱，还是 改选其他号码的箱？试说明理由. 变式训练8.(2025·山东济南三模)甲、乙两人比赛，比赛规则为：共进行奇数局比赛，全部比完后， 所赢局数多者获胜.假设每局比赛甲赢的概率都是p(0<p<1),各局比赛之间的结果互不影响，且没 有平局： ()=时，若两人共进行5局比赛设两人所赢局数之差的绝对值为X,求X的分布列和数学 期望； (2)p=号时，若两人共进行(2+1)(aeN:且n≥2)局比赛记事件A表示“在前(2-1）局比赛中 甲赢了6(=0.1,2,2n-)局事件B表示“甲最终获胜，请写出P(B1宫A,)P(B1A, P(B1A).P(8三A,)的值（直接写出结果脚可）： (3)若两人共进行了(2n-1)(neN~)局比赛，甲获胜的概率记为P证明：当2<p<1时，P.+ Pn2<2P.+1 041