第三章 专题1 排列组合与二项式定理-【6星学霸·高考黑题】2026年高考数学二轮专项冲刺

1∈Z,n∈Z,所以a。∈M,所以数列{a,{是“平方差数列” (2)解：假设2=x2-y2=(x+y)(xy).因为x+y与xy同奇偶性若x+y 与y都是奇数，那么(x+y)(xy)也是奇数，而2是偶数，矛盾若x+ y与x-y都是偶数，设x+y=2印，x-y=24,则2”=4p网，即22=m.当n=1 时，22=2*p网p9∈2Z),所以6=2M,6,不是平方差数列 (3)证明：c9eM,因为GeM,设c4=x子-，9eM,设g=x号-分 则c9=(好-)（好-乃）=(x1名+y2)2-(11)只因为，为 名y2eZ,所以x1名y12eZ,出12+1eZ,所以c9eM. 变式训练3.解：(1)由生成数列的定义可知数列1,0,3,4的“生成数 列”的前4项是1,2,2,3：数列2，√3,2,5的“生成数列”的前4项是 0,2,4,4. (2){a。为2,4,6,8，…，则{a.}中小于1的项的个数b1=0,小于2的 项的个数b2=0,小于3的项的个数b3=1,小于4的项的个数b=1,小 于5的项的个数b=2,小于6的项的个数b6=2,…,在引b。1中，当n为 奇数时，设a=2k-1,keN,则小于(2k-1)的偶数有(k-1)个，所以 医=k-1=”;在6，中，当n为偶数时，设n=2冰，keN,则小于2 - 的假数有(-)个，所以6，=1受，所以= 2,n为奇数， 2,n为偶数 n-2 (3)因为1a.为等比数列，且a1=2,公比g=3,所以a,=2×31.下面我 们来证明：e。=a。因为b表示a。中小于k的项的个数，b1表示a,} 中小于(k+1)的项的个数，所以易得b≤b1,即0≤b1≤b2≤6≤…≤ b1≤b,≤，设cn=1,由b,<m,b-1≥n,可得a.≥1，a.<1+1.又因为 a,eN”,所以a==c,所以c,=a,=2×3- 变式训练4(1)解：1,62，b3,2,4为等积数列，六a=1×4=4, .62×2=a=4,b3×b1=a=4,b2=2,b3=±2 (2)证明：当m=4r+2(reN·)时，16，|是公共积为a的等积数列， b2r+1b2+2=a,又b2+1b2+2=c,a=e 又：b1ba2=a,b1b2=c=a,-.b2=64n2,即原命题得证 (3)证明：设m=24+1(teN),b1,b2,b,…,b21是公共积为1的等 积数列，且0<b<b1(i=1,2,3,…,2),b品1=1，b1=1.:b1<2<6< <b21.b1<b2<b3<…<6,<b1=1<62<…<b1对任意的6，b （6e[+1,24+1门)，都存在正整数，使得。=6.(ae[1,2x+1]), 如b如5…2，这(4-1）项均为6中的项，由题可知，1 ,b2 六bn2'bnab2 be b+2b+2b+2 a<b必有6 boat but sbp3' bwL=bg小b …1bw2 bw5eb2r…bn bome 6+2,b1,b62,…,b21是公比为b2f的等比数列.6：b224=1(i= 1 1-2空会e12w b2*2 是公比为62的等比数列 变式训练5.()解：1=a2=l,a2=a+a1,6。an ,neN°， ∴.a3=a1ta2=2,a4=a3ta2=3,ay=aw+a3=5,a6=ayta4=8,.b1=1, 2 33 61=2=3b=5bs=8 (2)证明：b1 1 √5-11 da+l √5-1 √5-1 b.2 51-(-0x2, ba+12 5-11 2 5-1 26+而当 ba 2 11 ≥2时，01=4+0-120，6=320≤子，故 da+l 一学霸高考·黑 5-1 5-1 b+1 2 5-1 5-1 故 2 5-1 b.+1 3 5-1 5-1 5-1 bs-1 2 2 5-1 5-1 b.-2 2 2 √5-1 5-1 3-5 2 2 Ve>0,要想使得 <8,即n-1> logS8,只需取s= lee+2,其中[oee为1oee的整数 部分，此时n-1>g，即b.2 5-1 <e,原命遐得证 (3)解：当n≥2时，a,=a1-a。1,故a=ana1-ar1an=-an1a,十 aa1taj++0=-a102+a2d3-aaa3+ag94+-0a-18+a da+1= a,a1-1,则S.=a+a+…+a2=aaet1S.被9整除，有3种情况：①a。 被9整除；②aa1被9整除；⑤a.,a1都能被3整除第③种情况：若 a,aa1都能被3整除，则a。1=a1-4,能被3整除，则a-2,4r-3,, a1能被3整除，显然错误，设a,除以9的余数为，将，2，，。 -列出：1,1,2,3,5,8,4,3,7,1,8,0,8,8,7,6,4,1,5,6,2,8,1.0,1,1 …发现：(r1,2)=(s,r36)=(1,1),再由{a,的特点：aa2=4,+ a1,可知557，…，，将会重复n1,2,3,…,2的排列次序，故 {7,是以24为周期的数列，在一个周期内，12=24=0，即S:■ a1a2,S2=a124B,Sz=a23024,S4=a4a2s能被9整除，故所求概率为 41 2461 第三章计数原理与概率统计 专题1排列组合与二项式定理 典型例题1，B解析：因为丙、丁要在一起，先把丙、丁捆绑，看成一个 元素，连同乙、戊看成三个元素排列，有3！种排列方式：为使甲不在两 端，只需甲在这三个元素的中间两个位置任选一个位置插人，有2种插 空方式：注意到丙、丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这 5名同学共有3！×2×2=24（种）不同的排列方式故选B. 变式训练1.D解析：依题意，“礼"不排在第一也不排在最后，且“射” 和“御”相邻的不同次序数为A3AA号=144. 变式训练2.D解析：首先4,5,6三个区域有A种涂法，当2号区域 和6号区域同色时，有A×2×3=144(种)涂法：当2号区域与4号区域 同色时，有A×2×3=144(种)涂法；当2号区域与4号区域，6号区域 均不同色时，有A×2×2=96(种)涂法综上，共有384种涂法.故选D. 变式训练3.B解析：若四位数中含有数字0不含数字5，则选法是 C号C4,可以组成四位数CC1A号=12×6=72（个）：若四位数中含有数字 5不含数字0，则选法是CC保，可以组成四位数CC匠A号=18×6= 108(个)：若既含数字0，又含数字5，选法是CC:,排法是若0在个位 有A=6种，若5在个位，有2A=4种，故可以组成四位数CC叫×(6+ 4)=120(个).根据加法原理.共有72+108+120=300（个）. 变式训练4.A解析：若6人乘坐3只船：先将4个大人分成2,1,1三 组有C=6种方法，然后将三组排到3只船有A=6种方法，再将两个 小孩排到3只船有3×3-1=8（种）方法，所以共有6×6×8=288（种）方 法若6人乘坐2只船：共有S×A=60(种)方法综上，共有28+60 43 348(种)方法 典型例题2.115解析：令x=0,则。=1，又(1-2x)4=a。-2a1x+ 4a22-8a3x2+16a4x4,故(1-2x)4=0+a1(-2x)+42(-2x)2+ a(-2x)3+a(-2x)',令t=-2x,则(1+t)4=a+a1t+a2+a32+a4,令 =1,则an+a1+a2tata=2°，放a1+a+a3*a,=15. 变武训练5B解折：要得到了这一项相当于从6个含有2，名 三项的因式x2+ y中的3个因式取2,1个因式取22个因式取 题·数学·19一 y,即y这-项为Cg2),Cg,2.C3y=120ry故的系数 为120. 变式调练6.ABD解析：在(1-2x)7=o*a1x*a2x2+…+ax2中，令x= 0,得ao=1,故A正确；在(1-2x)7=6+a1*+x2++ax2中，令x=1, 得-1=a+a1+a2+…+a7,在(1-2x)7=a0+a1x+a22+…+ax3中，令 x=-l,得3=ao-a1+a2--a1,所以ag+a2+a4+a6= 故B正确； 37-1 在（1-27=*a+a,24…+a,27中，令宁得0=+号受 宁又=1，所以号受+…+产宁=-1，故C不正确：在 .42 (1-2x)=a6+a1x+a2x2++ax7中，两边对x求导，得7(1-2x). (-2)=a1+2ax+3a3x2+…+7a,x5,令x=1,得-14=a1+2a2+3a+…+ 7a,故D正确. 变式训练7.BCD解析：根据范德蒙德恒等式C.=CC+CC1+ …+CC9,故A误对于CgC哈+CC略+…+CC%,这里n=5,m=6,r= 6.根据范德蒙德恒等式，此时n+m=5+6=11,r=6所以CC+CgC2+ …+CC4=C6=C,B正确.对于CoCo+CoC。+…+CC8,这里n= 10,m=10,r=9.由范德蒙德恒等式，n+m=10+10=20,r=9.所以CCo+ CoC+…+CC8=Co+0=C3n,C正确.对于(C)2+(C2)2+…+ (C)2,可以看作CC+C2C2+…+CC(国为C=C).这里 n=m,r=n,根据范德蒙德恒等式CC%+CC'++CCg=Cn=C2n, 而C8C:=1.所以(C)2+(C2)2+…+(C)2=C2-C8C=C。-1,D正确. 变式训练8.7解析：因为只有第五项的二项式系数最大，所以n=8, 故(6)广aeN,)的展开式通项为=G()”(士）广 (）广C，令41，解得=2.所以展开式中的系数为 (宁）广c=7放答案为7 变式训练9.4解析：由题意有x”的系数为C+C1+C%2++C%= C+C%,+C2+…+C2=C+Cm2+…+C以=C1=126,解 得m=4. 变式练0()（倍） 解析：若展开式中有且仅有x项的系数最大，a=0不合题意，当a>0 时，所有项的系数均为正数，则需满足 C0>8即得g<a子当 \Cfa>Cia. 红<0时，奇数项的系数均为正数，偶数项的系数均为负数.则此时需满 '解得- <a(-综上可得a的取值范围是 2 5 (）u(故答案为 00） 2， U 5 专题2概率公式的理解与运算 典型例题(1)解：由已知得2= n (ad-be)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 200×(40×90-60×10)2 =24>6635.又P(2≥6.635)=0.01，所以有 50×150×100x100 99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异 (2)(1)证明：因为R=PB1A.PB面_P(AB.P(A P(BIA)P(BIA)P(A)P(AB) PA.P,所以R=PA.P(B).P1.P,所以 P(A)P(AB) P(B)P(AB)P(B)P(AB) R=P(AIB).P(AIB) P(AIB)P(AIB) (i)解：由题中表格知P代41)-恕P氏A1®)=品又P(B)=0 40 60 一学霸高考·黑 P=器所以R,PME6 P(AIB)P(AIB) 变式训练1.ACD解析：A,B为两个互斥事件，P(A)>0,P(B)>0, AB=☑，即P(AB)=0,故A正确，B错误；，A,B为两个互斥事件 则A2B,P(AUB)=P(A),故C正确：A,B为两个互斥事件. ,P(AUB)=P(A)+P(B),故D正确， 变式训练2ACD解析：~P(B1A)+P(B1A)=P(AB)+P(@。 P(A) 》-1,A正确，B错误；若A,B独立，则P(AB)=P(4)P(B), P(A) _PAB》=PA),C正确；若A,B互斥，则P(MB)=0,P(AIB)= P(AIB)=P(B) B)-0,P(BA)=PA)）=0,D正确 P(B) P(A) 变式训练3.BCD解析：对于A.由题意可知P(BA2)=1-95%=5%, 故A错误：对于B,P(B)=P(A,)P(BIA:)+P(A)P(BIA2)+ P(A)P(BA2=0×10%+,6×5%+,x4%=16%=0.058,故B正 20 51 确：对于C,P(4)=0车=025，放C正确：对于D,P(M1B)= P(A:B) P(A)P(BIA) P(B)P(A)P(BIA)+P(A2)P(BIA2)+P(A)P(BIA) 20*10% 10%+2x5% 5 9 0*4% 品总放D正隐 变武调签4C解桥：P)=号P()=则P(=1-P( 不又P4+)=P()+P(国)-P(A,即宁子-P(丽. P)=7,故B错误P(AB)+P(AB)=P(A,P(AB)+日 1 P(AB)=- ,P(B1A)=P-车3 1 P(A)1 子，故A错误； 3 1 P(B1A)=P()=2=1,又P(B)= P(A)1 年P(B1A)=P(B,故C正 3 1 确：P(B)=P(AB)+P(AB),子=4+P(B),P(AB)=工】 1.1 ~P(丽+B)=P(丽)+P(B)=立+P(B),P(极+AB)=2+Z ,放D错误 7 变式训练5.BCD解析：对于A,因为P(B)=P(BIA)P(A)+ P(BIA)P(A),且0<P(A)<1,0<P(A)<1,所以P(B)<P(B|A)+ P(BIA),故A错误：对于B,P(A)P(BIA)P(CIAB)=P(A)· P(AB).PAC)=P(ABC),故B正确：对于C,当BSA时，P(AB)= P(A)P(AB) P(B,此时P(B1A=,故C正确：对于D,因为P(B1A)= P氏B1不，由条件概率公式可得PAB).PB,即P(AB)[1-P(A)] P(A)P(A) P(A)P(AB)=P(A)[P(B)-P(AB)],所以P(AB)=P(A)P(B),故D 正确. 变式训练6.BCD解析：对于A,A与B相互独立，则P(AB)= Pr=u=aPa-P4=号 11 15 9=9,A错误对于B,因为A与C互斥，所以ASC,所以P(C1A) 题·数学·20一第三章计数原理与概率统计学霸 第三章计数原理与概率统计 专题1排列组合与二项式定理 命题密钥 排列组合常以现实生活、社会热点为载体，二项式定理以展开二项式为主，还会涉及三项展 开，考查特定项、特定项的系数、二项式系数，同时会涉及赋值法的应用.这两个问题多为选择或 填空题，难度简单到中等，历年高考中都有考核 考点觉醒 常见方法 直接法、优先法、钢绑法、插空法、问接法、隔板法等 排列组合 常见问题 相邻与不相邻问题、至多至少问题、定序问题、分 组分配问题、涂色问题等 项式系 对称性、增减性 项式定理 数的性质 常见问题 展开式系数问题、二项式乘积问题、二项式问题等 实战演练 题组口排列组合 典型例题1.(2022·新高考全国Ⅱ)有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站 在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有 A.12种 B.24种 C.36种 D.48种 变式训练1.(2025·河南郑州模拟)中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.某校国学社 团准备开展关于“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”的讲座活动各一次，讲座次序要求“礼”不排在第一 也不排在最后，且“射”和“御”相邻，则不同的次序共有 A.288种 B.196种 C.96种 D.144种 变式训练2.(2025·湖南长沙月考)提供四种不同颜色的颜料给图中六个区域涂色， 要求每个区域涂一种颜色，有公共边的两个区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方 法共有 ( ) A.288种 B.296种 C.362种 D.384种 037 学霸高考·黑题数学 变式训练3.(2025·江西赣州月考)从1,3,5,7中任取2个数字，从0,2,4,6,8中任取2个数字， 组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有 A.252个 B.300个 C.324个 D.228个 变式训练4.(2025·安徽六安模拟)六安市旅游资源非常丰富，夏季到景点漂流是很多家庭的最佳 避暑选择.某家庭共6个人，包括4个大人，2个小孩，计划去霍山漂流.景点现有3只不同的船只可 供他们选择使用，每只船最多可乘3人，为了安全起见，小孩必须要大人陪同，则不同的乘船方式 共有 ( A.348种 B.288种 C.360种 D.60种 题组口二项式定理 典型例题2.(2025·北京)已知(1-2x)4=a。-2a,x+4a2x2-8a3x3+16a4x,则ao= :a1十a2+ a3+a4= 变式训练5.(2025·浙江杭州模拟)(2+2+y） 的展开式中，xy2的系数为 A.60 B.120 C.240 D.360 变式训练6.（多选）(2025·湖北黄冈月考)已知(1-2x)7=a+a1x+a2x2+…+a2x’,则下列结论正确 的是 ( ) 37-1 A.do=1 B.ao+a2+a+ao= 2 a a2 C. 学0 D.a1+2a2+3a3+…+7a2=-14 变式训练7.（多选）(2025·四川南充二模)数学家波利亚说过：为了得到一个方程，我们必须把同 一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系.根据波利亚的思想，由 恒等式(1+x)"·(1+x)"=(1+x)"(m,n∈N“)左右两边展开式x(其中r∈N”,r≤n,r≤m)系数相 同，可得恒等式CC+CC++CC=C:m,我们称之为范德蒙德恒等式，下列关于范德蒙德恒等 式说法正确的是 ( A.C.C=C B.CC+C3C++CC=C C.CRoCIo+CIoC++CC=C D.(C)2+(C2)2++(C)2=C.-1 变式训练8(2025·江苏南京模拟)在二项式(2)厂(neN)的展开式中，只有第五项的二项 式系数最大，则展开式中x的系数为 ,(用数字作答) 变式训练9.(2025·湖南邵阳模拟)已知(1+x)"+(1+x)m+…+(1+x)m(m∈N°)的展开式中x 的系数为126，则m= 变式训练10.(2025·浙江杭州月考)在(1+x)8的展开式中，有且仅有x项前的系数最大，则实 数a的取值范围是