第二章 专题7 数列中的新定义问题-【6星学霸·高考黑题】2026年高考数学二轮专项冲刺

学霸高考·黑题数学 专题7数列中的新定义问题 命题密钥 新定义问题实质上是多模块的综合题，2024年高考中的数列解答题，涉及的知识，点较为广 泛，不仅要求考生对数列的基本概念有深入的理解，还要求考生能够灵活运用各种数学方法进行 解题.在新定义问题的解题过程中，考生需要综合运用代数、几何、概率等多种数学知识进行解决 实战演练 典型例题(2024·新课标全国I)设m为正整数，数列a1,a2,“,a4m+2是公差不为0的等差数列，若 从中删去两项a,和a,(i)后剩余的4m项可被平均分为m组，且每组的4个数都能构成等差数列， 则称数列a1,a2,…,am2是(ij》-可分数列. (1)写出所有的(i),1≤i≤6，使数列a1,a2,…,a6是(i,)-可分数列； (2)当m≥3时，证明：数列a1,a2,…,a42是(2,13)-可分数列； (3)从1,2，…，4m+2中一次任取两个数i和j(i),记数列a1,a2,…,a2是(i,)-可分数列的概率 为P.,证明：P>g 变式训练1.(2025·河北邯郸一模)已知给定数列1{an}(n∈N·),从第二项起后项与前项作差，得 到新数列a2-a1,a-a2,…,a1-a.,定义这个新数列为数列{a,}的1-阶差数列，记为△a,=a1-a., 继续上述操作，得到新数列△a2-△a1,△a-△a2,…,△a1-△a.,称为{a.}的2-阶差数列，记为△2an= △an1-△an,一般地，对任意m∈N',△an=△-a1-△-a.,称数列{△"an}为数列{an}的m-阶差 数列 (1)写出数列1,2,8,22,47，…的2-阶差数列： (2)若数列{an}的首项a1=1,1-阶差数列△a.=2n,求{an}的通项公式； (3)若数列{bn}的首项b1=-7,且△2b.-△b1+b,n+22=0,求数列bn的最小值. 034 第二章数列学霸 变式训练2.(2025·安徽江南十校模拟)设集合M={aa=x2-y2,xeZ,y∈eZ.对于数列{an},如 果a,∈M(i=1,2,3,…),则称{an}为“平方差数列” (1)已知在数列{a.}中，a1=3,(n+1)a。-na+1=1.求数列{an}的通项公式，并证明数列{an}是“平方 差数列” (2)已知bn=2”,判断{bn}是否为“平方差数列”.并说明理由 (3)已知数列{cn}为“平方差数列”，求证：c,c∈M(i,j=1,2,3,…)。 变式训练3.(2025·河南郑州模拟)若对于任意的keN°，b为数列{a}中小于k的项的个数，则 称数列{bn}是{an}的“生成数列”. (1)分别写出数列1,0,3,4及2，√3,2,5的“生成数列”的前4项； (2)若数列{an}满足a.=2n,且{an}的“生成数列”为{b.},求b; (3)若{an}为等比数列，且a1=2,公比q=3,{a,}的“生成数列”为{bn},1b.}的“生成数列”为{c.}, 求cn 035 学霸高考·黑题数学 变式训练4.(2025·河南许昌模拟)设有穷数列{b,}的项数为m,若b,bn1-t=a(a为常数，且a≠0， i=1,2,3,…,m),则称该数列为等积数列，a叫做该数列的公共积 (1)若1，b2,b3,2,4是公共积为a的等积数列，求该数列的公共积a及b2,b; (2)若6，是公共积为a的等积数列，且bx1bs=ckeN”且k≤究，c为常数)，证明：当m=4r+ 2(r∈N)时，对任意给定的a,c,数列{bn}中一定存在相等的两项； (3)若{bn}是公共积为1的等积数列，且0<b:<b1(i=1,2,3,…,m-1),m是奇数，对任意的b, 6e[士m),都存在正整数ue[1,m],使得号-6，求证：6，是等比数列 变式训练5.(2025·河南周口模拟)已知数列{p,}和常数c存在以下关系：对He>0,3s∈N”,当 m时，l以，-e1<6,则称e为n}的极限，若数列的极限是5则称致列.为超极限数 列”.已知数列{an}满足a1=a2=1,a*2=an+a1,bn _d..ncN'. (1)写出{bn}的前5项； (2)证明：{bn}为“超极限数列”； (3)若n∈N”,Sn=a+a2+…+a,从S1,S2,…,Sn中任取一项，求该项能被9整除的概率 036②不存在，理由如下：由题意c1=en+(n+2-1)d。,即2=2”+(n+ 1)d,所以d,=二假设在数列1d,1中存在三项山.，d,山，（共中 n+1 、2达=mp成等比数列照每。·4即（名）·化简得 (+)厅(m+)(p+又因为m+p=2k,所以 45 2m*伊 4 224 +1)mg+m+p+ p+2冰得(+)2=卿+2k+1,所以2=mp,又因为m+p=2站，所以 45 (2)=仰，即(mp)2=0,所以mp,甲m=p=k,这与题设子眉.所 mp】 以在引d|中不存在3项d.,d,d(其中2k=m+p)成等比数列 专题7数列中的新定义问题 典型例题(1)解：设数列a1,a1,…,a4+2的公差为d,则d≠0.由于一个 数列同时加上一个数或者乘一个非零数后是等差数列，当且仅当该数 列是等差数列时成立，故我们可以对该数列进行适当的变形：= +1(k=1.2.…,4m+2),得到新数列a=(=1,2,4m+2).然 后对a,”,2进行相应的讨论即可.不妨设a:=(k=1,2,…, 4m+2),此后的讨论均建立在该假设下进行.回到原题，相当于从1,2 34,5,6中取出两个数i和(i),使得剩下四个数是等差数列.那么剩 下四个数只可能是1,2,3,4或2,3,4,5或3,4,5,6.所以所有可能的(i, )就是(5,6).(1,6)，(1,2). (2)证明：由于从数列1,2，…，4m+2中取出2和13后，剩余的4m个数 可以分为以下两个部分，共m组.使得每组成等差数列： ①1.4.7.10,3.6.9.12,5.8,11,141，共3组： 215,16.17,181,119,20.21.221,…,14m-1.4m,4m+1,4m+2,共 (m-3)组.（如果m-3=0.则急略） 故数列1.2，…，4m+2是(2.13)-可分数列 (3)证明：定义集合A=4k+1k=0,1,2,…,m=1,5,9,13,…,4m+ 1,B=4k+21k=0,1,2,…,m=2,6,10,14,…,4m+2. 下面证明，对1忘i<矿≤4m+2,如果下面两个命题同时成立，则数列1， 2,…,4m+2一定是(》-可分数列： 命题l:ieAjeB政ieB,JeA 命题2-i*3. 我]分两种情况证明这个结论 第一种情况：如果eA,j后B,且j-1≠3，此时设三4k1+1,j=4k+ 2,k1,k2e10,1,2,…,m.则由i可知46，+1<4+2，即->-4 故k3≥k.此时，由于从数列1,2，…，4m+2中取出=4k1+1和j=42+2 后，剩余的4m个数可以分为以下三个部分.共m组，使得每组成等差 数列： D11.2,3.4,5,6,7,8,…,4k1-3,4k1-2,4k1-1,4k11,共k1组： 2②14+2.4k1+3,4k1+4,4k1+5,14k1+6,4k1+7,4h1+8,4k1+9,…, 4k2-2,4k:-1,4k2,4k2+1川，共(k3-)组： 34+3,4k2+4,4k+5,4h1+6,14k,+7,4h,+8,43+9,4k2+10,+ 14m-1,4m,4m+1,4m+2,共(m-)组.（如果某一部分的组数为0.则 忽略)】 放此时数列1,2.…，4m+2是(1，)-可分数列。 第二种情况：如果ieB,j∈A,且广i≠3此时设i=4秘，+2，j=4格：+ 1 1,k1.点2e0,1,2,…,m则由i可知4+2<4h+L,即>4 故2>61.由于j-*3.故(4长2+1)-《4k,+2)3,从而-*1，这就意 味着k2-k1≥2此时，由于从数列1,2，…，4m+2中取出=4k1+2和三 4林：+1后，剩余的4m个数可以分为以下四个部分，共m组，使得每组 成等差数列： ①11,2,34,5,6,7,81，，41-3,46，-2,4-1,4h,共1组： 2141+1,3k1+k3+1,2h1+2k2+1,1+3k3+11,13k:+3+2,2k1+ 2k1+2,k1+3k2+2,4h2+2,共2组： 全体4h1+P,3k,+k2+p,2k,+23+P,k+3k2+p,其中P=3,4, …k21,共(6--2)组 ④14k2+3.4k2+4.4k2+5,4k2+6,4k2+7.4k2+8.462+9,42+101,…, 14m-1.4m,4m+1,4m+21,共(m-2)组.（如果某一标分的组数为0.别 忽略) 这里对2和3进行一下解释：将③中的每一组作为一个横排，排成一个 一学霸高考·黑 包含(-，-2)个行，4个列的数表以后，4个列分别是下而这些数： 4k+3,4k+4.…,3张1+：，3h1+k+3.3h1+k2+4,,2h1+2k3{, 2k,+2k+3.2k,+2k2+4,+,k+3k1,k+3k2+3,k+3h2+4,…,4k2 可以看出每列都是连续的若干个整数，它们再取并集以后，将取遍 461+1,461+2,…,4h2+21中除开五个集合41+1,4k1+2|,3k,+2 1,31+k+2,12k1+2k2+1,2+2k2+21,k1+3k3+1,k1+3h2+2{, 4k+1,4k,+2|中的十个元素以外的所有数.而这十个数中，除开已经 去掉的4k,+2和4私+1以外，剩余的八个数恰好就是②中出现的八个 数这就说明我们给出的分组方式满足要求，故此时数列1,2，…，4m+2 是(i,)-可分数列.至此，我们证明了：对1≤<对≤4m+2,如果前述命题 1和命题2同时成立，则数列1,2，…，4m+2一定是(i,》-可分数列.然 后我们来考虑这样的(，)的个数. 首先，由于A∩B=☑，A和B中各有(m+1)个元素，故满足命随1的(， 》总共有(m+1)之个：面如果i=3,假设eAeB,则可设i=4,+1, 户46+2.代人得(46+2)-(4+1)=3但这导致-61=2，矛质，所 以ieBjeA.设i=4k,+2j=4k+1,k1,e0,1,2,,m,则(46，+ 1)-(41+2)=3,即-，=1所以可能的(1，k)恰好就是(0,1)， (1,2),…,(m-1,m),对应的(i)分别是(2.5)，(6,9)，….(4m-2. 4m+1),总共m个.所以这(m+1)2个满足命题1的(i,》中，不满足命 题2的恰好有m个这就得到同时满足命题1和命题2的(i,)的个数 为(m+1)2-m.当我们从1,2，…，4m+2中一次任取两个数i和j(i<) 时.总的选取方式的个数等于4m+2(4m+1.(2m+1)(4m+1).而根 2 据之前的结论，使得数列a1,,m2是(i)-可分数列的(iJ)至少 有[(m+1)2-m]个.所以数列a1,42,…,a2是(i)-可分数到的概率P 1 (m+1)2-m m2+m+1 m2+m+4 一定满足P.产2m+1)(4m+(2m+1)(4m+1)(2m*1)(4m+2) 1)2 1 2(2m+1)(2m+1)8 变式训练1.解：(1)由题意，得△a,=2-1=1,da:=8-2=6,a1=22- 8=14,△0：=47-22=25，*：4201=6-1=5,4202=14-6=8,121=25- 14=11,…,所以2-阶差数列为5,8,11， (2)因为△，=a1-a.,又△a,=2n,所以a1-a,=2n,所以a:-a1=2 ay-a=4,“,a。-a-1=2(n-1),累加得a。-a1=2+4++2(n-1),即 a,-@1=n2-n,所以a,=m2-n+1. (3)因为426，=4b.1-△b。,及46-△b1+h.+2=0,得5.-b.=2 又4,4所以-2产，两边时猴2”，兰2 当≥2时会=（会）+（货会）小（会会）+ (会）片*24+2+2 2 1-2 2 ,所以6.=2r-9:2(a≥2neN）,当n=1时6，=-7也满足， 9 所以6.=2r-1-9·21(n∈N).令x=2-1,则f八x)=2x2-9x= 2(-）广g当：e()时属数单调适流当e (?)时，函数心)单网递，面-？2-引所 以2"=2，即当n=2时.b取得最小值为-10 变式训练2(1)解：由(n+1)a,-m1=1,变形可得-g。 n+l n 号告台片所以÷3(）（片 3,”·mn-m-1n (日）卢2期a,=2a+1因为a=2a+1=(a1-,且 题·数学·18一 1后Z,neZ,所以a。eM,所以数列|a,|是“平方差数列” (2)解：假设2”=x2y2=(x+y)(xy).因为x+y与xy同奇偶性若x+y 与x-y都是奇数.那么(x+y)(y)也是奇数，而2”是偶数.矛后，若x+ y与xy都是偶数，设x+y=2印，xy=24,则2”=4p网，即2m2=网.当n=1 时，22=2≠网P,9后2).所以6，=2”从，达1不是平方差数列 (3)证明：9eM,因为9eM,设e=号-，5∈M,设9=号- 则c9=(-)(-分)=(1*y)2-(x22)只因为11 高J2eZ,所以x+yeZ,x1+x2y1EZ,所以c,9台M. 变式训练3.解：(1)由生成数列的定义可知数列1.0.3,4的”生成数 列的前4项是1,2,2,3：数列2,3.2.5的生成数列“的前4项是 0.2.4,4 (2)信。1为2,4,6,8，…，则a.1中小于1的项的个数6，=0，小于2的 项的个数2=0，小于3的项的个数3=，小于4的项的个数b=1,小 于5的项的个数bs=2,小于6的项的个数bs=2.“,在{b|中，当n为 奇数时，设n=2k-1,k∈N,则小于(2k-1)的偶数有(k-1)个，所以 6,6-1号在6，中，当a为钙数时，设=2k后N则小于2达 n- 的偶数有（女-1）个所以6，=k一1=2，所拟么： 2:为奇数， - 2a为偶数 (3)因为an}为等比数列.且a1=2,公比9=3，所以a,=2×3下面我 们来证明：C=a因为6表示a。中小于去的项的个数，表示， 中小于(+1)的项的个数，所以易得b,≤+1，即0≤6，≤，≤b,至≤ b-1≤bn≤…，设n=,由6，<m,b1≥n,可得a,≥1，，<t+l.又因为 4。∈N”,所以an=1=e.所以c,=a.=2x3- 变式训练4.(1)解：1，b女2，b3,2,4为等积数列，÷a=1×4=4 .×2=u=4,b3×63=u=4,,b妇=2，b=±2 (2)证明：当m=4+2(rN·)时，：1b1是公共积为a的等积数列. babi2=a.bibac.a=c. 又：b1b2=a,b1h2=心=a,六b=b2,即原命题得证 (3)证明：设m=21+1(t∈N),:6,b2,b,,b2+1是公共积为1的等 积数列，且0<，<h,(i=1.23.,2),.1=1b.1=1.b1<h1<h< <b1b1<b2<b3<…<6,<61=1<b2<<2+…对任意的b,b （e[+1.2+1).都存在正整数，使得=6.(ue1,2+1]), 如…2.这(-)项均为6，中的项，由题可知.1 boz'bez'bes 63b44b5 b+26+2b-2 u<b必有6n tb5=b2…b的 b42b41,b2,,b24是公比为b2的等比数列6b24=1(i= 1 -_=b(ie1,2.3…,06 1.23.…,2+10616 是公比为b,.,的等比数列. 变式调练5.()解：a1==1,2=,+a1,6.4 -.nE N', .a3=a1ta1=2,a,=a3+02=3,a5=aa+3=5,46=5+ag=8,.b1=, 2 3 24=36,8 (2)证明b1a:a,n1+1 5-11 5-I b2 5-1 5(）x2】 b 2 5-11 而当 2 w5-1 2b+1 ba 2 11 32时，5+1≤24，心62。≤行，故 一学霸高考·黑 w5-1 5-1 2 /5-1 5-1 2 故 5-1 2 b.+1 3 5-1 b 2 -l 5-1 √5- b-1 b 2 2 w5-1 5-1 2 V5-1 5-I 3-5 2 13 2 Vs>0,要想使得 w5-1 2 <,只需（ <8,即n-1> 0g-6,只需取s= g」+2，其中g为lg号的整数 部分，此时n-1>og-1E,即 w5-1 .2 <,原命题得证 (3)解：当n≥2时，an=a1-a-1,放a=ana1-an14,=-an-a,+ a,a1,故a+a++n2=-a142ta-a+304+-ana.+na+1= a,1-l,则S,=a+a++2=a,a1,S被9整除，有3种情况：①a 被9整除：②a被9整除：③a,1都能被3整除第③种情况：若 a,0+1都能被3整除，则a4=1n能被3整除，则2，a-3…, a,能被3整除.显然错误，设a除以9的余数为r,将，，…，「。一 列出：1.1.2.3.5,8.4,3.7.1.8.0.8.8.7.6,4.1.5.6.2.8.1.0.1.1 …发现：(r1,)=(25,2m)=(1.1).再由10。的特点：a2=a,+ a1,可知r5,627,…,将会重复n上.…，3的排列次序.故 1rn是以24为周期的数列，在一个周期内，r=r24=0,即S,= u2,S2=a203S=a2y04,S4=245能被9整除，故所求概率为 41 246 第三章计数原理与概率统计 专题1排列组合与二项式定理 典型例题1，B解析：因为丙、丁要在一起，先把丙、丁捆绑，看成一个 元素，连同乙，戊看成三个元素排列，有3！种推列方式：为使甲不在两 端，只需甲在这三个元素的中间两个位置任选一个位置插人，有2种插 空方式：注意到丙，丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这 5名同学共有3！×2×2=24（种）不同的排列方式故选B. 变式训练1.D解析：依题意，“礼”不排在第一也不排在最后，且“射” 和“御”相邻的不同次序数为AAA号=144 变式训练2.D解析：首先4,5,6三个区城有A种涂法，当2号区域 和6号区域同色时，有A}×2×3=144(种)涂法：当2号区城与4号区域 同色时，有A3×2×3=144(种)涂法：当2号区风城与4号区城，6号以域 均不同色时，有A×2×2=96(种)涂法综上，共有384种涂法.故选D. 变式训练3.B解析：若四位数中含有数字0不含数字5，则选法是 CC4,可以组成四位数CCA=12×6=72(个)：若四位数中含有数字 5不含数字0，则选法是CC,可以组成四位数CCA}=18×6= 108(个)：若既含数字0，又含数字5，选法是CC,挂法是若0在个位 有A=6种，若5在个位，有2A好=4种，故可以组成四位数CC×(6+ 4)=120(个).根据加法原理，共有72+108+120=300（个）. 变式训练4.A解析：若6人乘坐3只船：先将4个大人分成2,1.1三 组有C=6种方法，然后将三组排到3只船有A}=6种方法，再将两个 小孩排到3只船有3×3-1=8（种）方法，所以共有6×6×8=288（种）方 法若6人乘坐2只船：共有×=60（种）方法.综上.共有28+60 348(种)方法 典型例题2.115解析：令x=0,则o=1.又(1-2x)4=e-21x+ 42r2-8a32+16x4.故(1-2x)=o+a1(-2x)+a2(-2x)2+ a3(-2x)3+a(-2x)4.令1=-2x.则(1+)4=a0+a11+a2t2+a12+a14,令 1=1,则te1+2+3+au=2',故a1*2+a3+4=15 变式训练5目解桥：要得到少这-项，相当于从6个含有2，是， 三项的因式+2y中的3个因式取，1个因式取2,2个因式取 题·数学·19一