第二章 专题5 数列与其他知识的结合-【6星学霸·高考黑题】2026年高考数学二轮专项冲刺

n为正偶数时，6，=b经Q=名6=(6，+6g+…+6,)+(6:+6++ 6)=[1+3++(2-1)]+(4+h+…+h)=1+2"-1）…2 2 一+(61+ 62*+b2-4)=4+(61+62+…+bw-1)=4"-1+Q-,所以当n≥2时. 0=0-1+4-1 (3)证明：当n=1时，01=b,+b2=2.由(2)知，当n≥2时，0.-Q。1= 4-1,0.=01+(Q2-Q1）+(03-Q2)+…+(0.-Q.-1)=2+4'+42++ 学后=2请是上式则Q学女所以 1(-1】 44 =3 =1 1 4 14 变式训练4.(1)解：设等差数列a,的公差为d因为4S,=a,“1,由 42=4,得4，+d=4,当n=2时.由4S2=a2·3,得4(41+a2)=43,得 4(a1+4)=4(a1+2d),得d=2.所以a1=2.所以0.=81+(n-1)d=2+ (N-1)×2=2n. (2)解：因为b是6.和6，b1的等差中项.所以2弘1=bn+bnb+1-又 数到侵号是首项为2.公比为2的等比数列：所以亡1=2以 =.即金6（化小a可知6=（化小a 2·(2m)=n·2,因为T.=1×22+2×23+3×2+…+(n-1)·2"+ #…2+1,所以2T=1×23+2×2+3×23++(m-1）·2+1+n·2*2,两式 相减得-T.=22+2+2++21-n·22,所以T,=(-1)·2*2+4 1 (3)证明：由(2)可得6,2+由于61+2产2+2 (兮)广号（兮）广门因为安安（兮）断 以M=}<名当>2时，<写（分广·（分）广… 传÷， 1 综上[-（行）广门≤<名成立 变式训练5.(1)解：若2是a和e的减比中项.侧a>4..a2+e2≥2ac> 8(当且仅当g=e时取等号），，a2+e2>8.即a2+2的取值范围是 (8,+x）. (2)①证明：√而b:是6+2和6.的减比中项，mb品1<b+2·6。.又m 为正数，4，为正项数列 √m+是a+2和n的等比中项ma2,=a2·an心a,为正项 数列， 2ma+1。==m. a…b1<0tb,p(at26n)'<albn2.√an2b是al 和b:的诚比中项. 2证明：b.严bbr1 6 0-l0g-2 又><>a.易得> Gn-2 0n+l be,8,0,有 be1-d1 du1 b22>m,.0< be1-det I b-a+0+…t<1++… 62nn2m<5s-0gt6-0 b+20w: 一学霸高考·黑 1- mm- 专题5数列与其他知识的结合 典型例题解：(1)由题意可知函数(x)的定义域为R,则「"(x)= (x2+2x-m)e',若函数f(x)=(x2-m)在x=0处的切线与直线y=-1 垂直，则厂‘(0)=-m=-1,解得m=1,所以f"(x)=(x2+2x-1),令 f'(x)>0.则x2+2x-1>0.解得x>√2-1或x<-√2-1：令f'《x)<0,则 x2+2x-1<0,解得-√2-1<x<2-1,所以函数八x)的单湖递增区间为 (-x,-V2-1).(2-1,+).单周递减区间为(-2-1,2-1). (2)构建g(x)=f八x)-+1=(x2-1)e2-r+1.则g'(x)=(x2+2x 1)-a.由题意可知(x)≥0对任意x∈(-1，+)恒成立，且g(0)= 0.则g'(0)=-1-=0,解得a=-1,若1=-1，则g(x)=(x2-1)2++1= (x+1)[(-1)e+1门，构建h(x)=(x-1)e+1.x>-1,则h'(x)=xe. 令'(x)>0.解得x>0:令'(x)<0.解得-1<x<0 可知h(x)在(-1,0)内单调递减，在(0，+)内单嗣递增，则h(x)≥ h(0)=0,即(x-1)e+1≥0对任意x后(-1，+)恒成立，且x+1>0对 任意x后(-1.+)恒成立，可知g(x)≥0对任意x后(-1，+)恒成 立，所以a=-1符合题意.综上所述，=-1. (3)由(1)可知了'(x)=(x2+2x-1)e2,根据求导法可设∫((x)= (x2+ax+b)e2,meN,其中1=2.b1=-1,则f(x)=(x2+anx+ b.)e'+(2xto.)e'=[x+(a.+2)xta.+b.Je',a=a+2.bm1=a+ 6。.可知数列|a,1是以首项为2.公差为2的等差数列.则a。=2+2(n- 1)=2n,对于b-1=a+bn,则b1-bn=2n,当n≥2时，bn=(6.-b-1)+ (6-1-6-2)++(62-b1)+6,=2(m-1)+2(n-2)++2-1=2n(0-1） 1=n2-n-1,且b1=-1符合上式，所以6n=n2-n-1,则f6>(x)= (x2+2x+n2--1)e,若对任意x∈(-1，+)，f1(x)>0恒成立，则 x2+2nx+n2-n-1>0对任意x∈(-1，+x)相成立，且F(x)=2+2x+ n2-n-1的图象开口向上，对称轴为x=-n≤-1，可知F(x)在(-1，+e) 内单调递增，期F(-1)=n2-3n≥0，解得n≥3，所以满足条件的正整数 n的最小值为3 变式训练1.(1)解：因为爪x)的定义域为(-1，+)，所以"(x)= x+1 1=当-1<0时)>0到在(-1.0)上单调递地，当o0时， f'(x)<0尺x)在(0，+∞)上单调递减，所以(x)在x=0时有最大值， 所以(x)m=0)=0,即x)的最大值为0 (2证期：（1)知，(*1)≤o-.所以h(2品)水2品 2 2n-3.2 2 所以 2n-12m-1 即a(2m-3)-n(2n-1)<2n所以n(2a-5)- 2 2 n(2n-3)<2-3…,h1-h3<-写，累加得-l血(2m-3)< 2.22. 2 73++,+…+2-3呱k1 11 3+5+…2m-32n(2m-30 (3)证明：因为41=a.+,所以1=2+ *2,得g +22a-2>2.…,->2.所以2-12(m-).即a2m-l.所 以3可所以c22…时i21,所以2-<2(a 1)+1+3+3…t2n3a<2m+3+3+…+2m-32m+2(2m-3. 所以2m-1<a:<2n+号h(2n-3)得证 变式训练2.(1)证明：因为在数列a.|中，a:=0,a2=4.且02 2n1-a.+2.所以a2-01-(a1-a)=2n1-an+2-a1-(a1 “,)=2,所以+1-，是首项为02-1=4.公差为2的等差数列 (2)解：由(1)得a1-。=4+2(n-1)=2n+2,则01-。+aw-4-1++ ,-4,=2n+2+2n++4-（2a24=n(n+3).所以1=na+3),即 2 0.=(n-1)(n+2)(n>1）,又a1=0符合an=(n-1)(+2),所以a. 题·数学·15一 -a2(a-2藏dd所 1,11 11 1 （证明：由(2可得元=改证名-名和即猛 1,1 I n (行）冷，1.构蓝话数如(） 11 .则士(） 2x2 ≤0，又因为f八1)=0 故当1时，加≤(）当且仅当=1时等号成立，所以 (）(日)立 变式训练3.解：(1)设等比数列an的公比为1，则由4ag=4m,e- 6a3+902=0,得a1ia1q1=41g7.a19-61i+91q=0.得41=1，q1=3 数列4.首项为1且公比为正数，即数列“。为“M-数列”， 20当1时.1524=2，当≥2时261色 4 b.b+1 ba-ibe 262625bb baba-t ,2h=2(5。-5)=b1-bn 老年 61-b。6.-b-1 b(B1-b),展开化简得61+bn1=26,心1b。是等差数列，故数列 1b.1的通项公式为b.=m 2设1c。I的公比为.存在“M-数列”1c.I(neN”),对任意正整数k, 当k≤m时，都有e≤6≤c成立，即≤k≤g对≤m恒成立， 当k=1时，9≥1，当=2时，2≤g≤2，当≥3时，两边取对数可得， 华h片对≤m有氧，即()血e()冷 x)=血(x≥3则”(e,当≥3时/'(x)<0,此时)华 避设当3时.(）号学≥.则 x-1 (x)= 产令ph则pe)号当≥3时， e'(x)<0,(x)为单湖递减函数，.(x)<1- -h3<0,即g(e) 0.g(x)在[3，+云)上单调递减，即当3≤k≤m时，（一） ()m m-1 Q其中2≤92下面求解不等式，≤化何， 得3hm-(m-)血320，令(m)=3m-(m-1)h3,则(m=3 m3,由k≥3得m≥3.进面h(m)<0,.h(m)在[3，+)上单调递域， 又由于h(5)=3m5-4ln3=m125-ln81>0,h(6)=31n6-5ln3= m216-ln243<0.故使得h(m)>0的最大整数m=5,此时g∈[3了， 5寸]，又[37,5年]C[2,2]当m=5时，满足题意综上所述，满足 题意的实数m的最大值为5. 变式训练4.证明：(1)已知ana1= 1 in ,即 一及 Csa cos da.1 cos d sin'dsel= 1 l-cos'datl =1 -,化简得 一=1.又 cos?a cos'd cos?d cos dar cosda 一=2，所以数列{一}是 是首项为2，公差为1的等差数列. cos'a 一学霸高考·黑 (2)(1)可知2-24(a-1)=a+1,所以ma= cos'd ntI'sin'=1- 场，0侣a-ea+11,所以8=宁g g:2+0g:2-log3+…+ogn-log（n+1)】=-2g2(n+1).于是 11,41= 4t=44=+(+2)=2'高 (信）片点风w n+1n+22n+2 6 (3)定义c0s%=1,原不等式即cwsa0c0sa1+60s1m2+…t mma,h子h子h片a>,下而证明ma1ma之 玩·n+ f八x)=x 2n1).则'(e)=1+号2.-)2 子三>0，于是) 在以1)上是瑞满数周为，受1，和（受）片 1)=0, 不等式(*)成立故原不等式成立 专题6数列的综合问题 典型例题1.解：(132=3a1+a3,3d=1+2d,解得1=d.5= .2,6,129 3,=3(a1+0=6d又7=6+b,+6,=+2a3S+打=6d 9 =21,即2f-7+3=0,解得d=3或d=(含去).=a+(a 1)d=3n(mN·) (2)6,1为等差数列.六2山=山，+山，即2：2+2 aa1 六6仁1）=61=，即a2-a,d+2d=0,解得a,=d或a,=2a 少1，a,>0.又5g-T0=99,由等差数列性质知，990-99%0=99. 甲w1201,即偏-2500，都释51支 a0=-50(会去）.当a=2d时，a0=a1+49d=51d=51.解得d=1,与db 矛精，无解：当a,=d时，0=+9=50=5L,解得d=行综上， 51 d= 50 变式训练1.证明：(1)由题设3，=m+”少，由=0，得6-氵 2 1 山又6，，6成等比数列好=，即(+受）) a(a+),化简得-2d=0d≠0.d=2m.因此对于所有的 .3d n∈NS=m（.2n=m,从而对于所有的k.EN,S4= 2 a(k)2=n25 (2)设数列1.的公差为山，则.=b,+(a-)d,即心=6，+(a n2te 1)d,aeN,代人Sn的表达式，整理得，对于所有的n■N有 B=-d-a+之4，D=c(4-6),期对于所有的neN有M Bm2+e1n=D,在上式中取n=1,2,3,4,.A+B+c1=8A+4B+241= 7A+3B+d1=0,① 27A+9B+3d1=64M+16B+4d,,从面有19A+5B+d1=0,2由23 214+5B+ad1=0,③ 题·数学·16第二章数列学丽 专题5数列与其他知识的结合 命题密钥 近年高考中，数列与其他知识的结合，特别是数列与不等式、函数、导数结合考查数列求和、 求最值、求范围以及恒成立与存在性问题，其难度较大，在选择、填空、解答中都有出现在2022年 新高考全国Ⅱ卷中，第22题就是数列与其他知识的结合，并借此完成数列不等式的证明， 考点觉醒 与函数结合求解某本量 与不等式结合求解数列的范围与最值 常见题型 与导数结合求解数列的范围与最值 数列与其他 与不等式结合证明恒成立、存在性问题 知识的结合 忽略n为正整数 常见误区 忽略最值的取等条件 实战演练 典型例题(2025·湖南常德一模)已知函数f代x)=(x2-m)e在x=0处的切线与直线y=x-1垂直. (1)求函数(x)的单调区间： (2)若f(x)≥ax-1对任意xe(-1,+e)恒成立，求实数a的值： (3)对于函数fx),规定：f'(x)=[fx)]'f2(x)=[f'(x)]',…f(x)=[f-(x)]'f(x)叫 做函数f(x)的n阶导数(n∈N·).若对任意x∈(-1，+)∫(x)>0恒成立，求满足条件的正 整数n的最小值 027 学霸高考·黑题数学 1 变式训练1.(2025·辽宁沈阳月考)已知函数f八x)=ln(x+1)-x,数列{an}满足a1=1,a+1=an+ n>2,ne正整数 (1)求f代x)的最大值： 11 2n-32h(2m-3); 2)求证3写…了 (3)求证：2n-1<a2<2n+。Hn(2n-3). 2 变式训练2.(2025·山西运城期末)在数列{an}中，a1=0,42=4,且a.2=2a1-an+2. (1)求证：{a1-an}是等差数列； (2)求数列 1 an+2 的前n项和T。: 028 第二章数列学翻 变式训练3.(2025·重庆南岸区月考)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M-数列”. (1)已知等比数列{a.}(neN”)满足aas=ao,a4-6a3+9a2=0,判断数列{an是否为“M-数列”.如 果是，说明理由。 (2)已知数对1aeN)满足6，=1名乙，其中8为数列1，的前项和 ①求数列{b,的通项公式； ②设m为正整数，若存在“M-数列”{cn}(n∈N”),对任意正整数k,当k≤m时，都有ce≤ b≤c41成立，求m的最大值 变式训练4(205·广东法江月考)在数0列1a,中，a-子.eo写).且m0 (1)证明：数列 cos'a, 是等差数列： (2)记么=g血，数列6，的前n项和为S,证明：名长三4<宁 (3)i证明：cosa1+cosa1cosa2+…+cosa.-1 cos a>ln(n+1). 029