第二章 专题4 数列与不等式(2)利用放缩法求解-【6星学霸·高考黑题】2026年高考数学二轮专项冲刺

(42-)(22+1)≤0，则2”≤4，即m≤-2m的取值花围是 (-m,-2]. 变式训练3.(1)证明：3na+1-6S。=n(n+1)(n+2)①，当n≥2 时，3(n-1)a,-6S-1=(n-1)n(n+1)②，式子①-②，化简得na1- （a+1)a,=n(n+1),两边同时除以a(n+1)得-品=1(n≥2. n+l n 3na1-6S=n(n+1)(n+2)中，令n=1得3a2-6S,=6,即3a2-601=6 又a1微=4宁号1，放对aeN÷1数列 (侣供}是首项为1，公差为1的等差数列 (2)解：由(1)得二=1+(n-1)×1=m,则a,=,设数列 {(-1)”·24,}的前n项和为T.,当n为偶数时，T.=2[-12+22-32+ …-(n-1)2+n2],n2-(n-1)2=2n-1,∴T。=2[3+7+…+(2n 1D门=2.3+2-少.子n(+1)=24n,当n为备数时，n1为佩数 2 T.=Ta1-2·(-1)(n+1)2=(n+1)2+n+1-2(n+1)2=-m2-m, 2- (3)解：设等比数列{b.的公比为g(g≠0)，，b1=1,∴，由8b2+2b4= b6→8q+2g3=g3→g=0或g=±2.又数列16.1是递增数列，9=2→ b=21.由(2)知，a,≥6。，即n2≥2"-1，令cn=n2-2-1,则dn= c1-c,=(n+1)2-2”-n2+2m1=2n+1-2,d1-d=2n+3-2”-(2n+ 1)+2-1=2-2m1,当n=1时，d2>d1,当n=2时，d2=d,当n≥3时， dn1<dn,即有d1<d=d,d>d4>d5>….又d1=2>0,d2=4=3>0,d4= 1>0,dy=-5<0,故当n≥5时，dn<0,q1c2<g3<c<6,c3>c6>c7> 又c1=0,66=62-2>0,c=72-20<0,a6>b6,当n≥7时，an<b,故使 得a,≥b。成立的最大整数n为6. 专题4数列与不等式(2)一利用放缩法求解 a+2d=4. 典型例题1.(1)解：由题意可得 +3=33品.解得80则数 2 (d=2, 列1a,的通项公式为a,=2n-2,其前n项和3，=0+2n2)0=n(n- 2 1),则n(n-1)+b。,n(n+1)+b。,(n+1)(n+2)+b。成等比数列，即 [n(m+1)+b.]2=[n(n-1)+b.]×[(n+1)(n+2)+6.],n2《n+1)2+ 2n(n+1)b.+b=n(n-1)(n+1)(n+2)+(n+1)(n+2)b.+n(n-1)b.+ 6乐，放6.=nnt)2-a(n-)(a+1)(a+2」 (a+0(a*2)+a(a-1)-2n(a+a(a+1). /n-1 ②证明：结合()中的通项公式可得=√公=√a了 √片a后标+后2-v),则6+6++6，<2x( 122 0)+2x(2-√万)+…+2(n-√n-T)=2Wn 变式训练1.(1)解：设等差数列1a,1的公差为d,由S3=a5,得3a1+ 3动=a,+4d,即2a,=4,由a=-2a,+,取a1,得a=2a+}=ad, 即ad解得4=4子所以a宁子 11 20,(0)知5x宁宁，所以区宁 2 兰因为，宁子学所以宁，所以区的前0项和 为20x,20x19x1105 42 42 2运：因为发言，所u安导6（信）】 >2,当=1时好16<2：当≥2时，房房 11 6216+ 6[(号）(}号)+（日）门小26c2综上可 一学霸高考·黑 翔11， …+好32 变式训练2(1)解28.=n2+5,即3,5n,当=1时，， 2 254=5=3当n≥2时，51=-25a=卫.，=及 12+5 S15n-1》25am-》=n+2,而4=3他满足上式6=2 2 2 （a到据80a26n S+4 n2+5m+4 2 (2)x2(n2)nt3 n2+5n+8 anb.(n+2)×nx2 (n+2)xnx2m-2+ 3n+8 4(n+2)-n 1 1 (n+2)xnx2 ()mx22 ()x2 -(合 111 .T= 1x203x22'2x24x2t3x25x2+ 1 nx2T-(n+2)x2T 71 1 1 (a+2)·2m421(a+1）·2（a+2)·2 11 4 (3)证明：由(1)可得c,= ,=。豆后·派+派++行 √+I(屠+√+I)+√(++I)-4R√+1 √k+I(E+√+I) （'+2-2派年2派-2F-0(keN), 店+I(E+√+I) 派√+I(g++I) 1 1 4 √R√+I√原+√+I eN()》 2 2(k+I-E)(keN”),.c1+cg++Cn=1+ 1.1 +… 2厚 1+1=2-3 h52+*-a可0+2,2m-22 2 226号 典型例题2()解：由o1=3a,+1得a1+分=3(，+分)所以 两宁}是等到首复方宁宁会批为 da+2 3所以a解得 （②运期：由（)知。宁，所以品因为当a>1时” a。3-1 1≥2·3-，所以 a12 a 3 宁号子k所以 3 31 13 an 2 变式训练3.(1)解：由b,为正整数n的最大奇因数，得61=1，b2=1, b63=3,b4=1,bs=5,b6=3,则a1=b1+b2=1+1=2,a2=b6+1=3+1=4,所 以等比数列a,}的公比为2，故等比数列|a,的通项公式为a.=2. (2)解：由bn为正整数n的最大奇因数，得当n为正奇数时，b,=n:当 题·数学·14一 n为正偶数时，6，=b号0=，=(6，+6++b1)+(6,+b,+…+ 6)=[1*3++(2°-1)]+(62+6++h)=1+2-1)…2 2 一+(61+ 62+…+b2-1)=4-1+(61+b2+…+b1)=4-1+Q1,所以当n≥2时， 0=Q-1+4-1. (3)证明：当n=1时，Q1=b1+b2=2,由(2)知，当n≥2时，Q。-Q1 41,0n=Q+(02-0）+(Q3-02)+…+(0。-Q-)=2+41+42+…+ 4,系02精足上式则Q女会所以 4 4 4 1 4 14 变式训练4.(1)解：设等差数列{a,}的公差为d因为4S。=aa1,由 a2=4,得a1+d=4,当n=2时.由4S2=a2·a3,得4(a1+a2）=4a3,得 4(a1+4)=4(a1+2d),得d=2.所以a1=2,所以an=a1+(n-1)d=2+ (n-1)×2=2n (2)解：因为b1是6.和b,b1的等差中项，所以2b1=bn+b,b又 0质-1，2（小112所以 数到侵是首项为2，公比为2的等比数列，所以公-1：2x 2.即令6（位小a可知6（低小 2·(2n)=n·21.因为T。=1×2+2×23+3×2+…+(n-1）·2"+ n·21,所以2T.=1×23+2×2+3×23+…+(n-1)·2m1+n·22,两式 相减得-T.=22+23+2+…+21-n·2+2,所以T=(-1)·2m+2+4 1 1 (3)证明：由(2)可得6=2由于6。严1+2产2+2方 1 ()”所以+x(》广+号 (合）广号-（合门因为这安（合广，所 以=名当≥2时，从<宁+（仔）+(}广+ 传门传 12 1 综上，子-（仔）广]≤M,<名立 变式训练5.(1)解：若2是a和e的减比中项，则ac>4,.a2+e2≥2ac> 8(当且仅当a=c时取等号)，a2+c2>8,即a2+c2的取值范围是 (8,+e). (2)①证明：Vmb1是b2和6，的减比中项，mb21<b2·6,又m 为正数山1为正项数列.心>。，。，>= ym4i是a2和a,的等比中项，心ma21=a2·a心a为正项 数列，a20====m，6 ab1<a1b2,即（an2b1)子<a1b2,小.√an2bn是a1 和b2的减比中项. ②证明：b,-bbr4 b 0。-1a。-2 4义b>a,:06>a≥1，易得2> 6?-3,61-a,即5？-3,2，由①，有 ba1-01 02a2>m,.0< bae1-anel b+1a11 26-a,+b1l<1t+ 602m881t60a2 一学霸高考·黑 1 1 1 mm m*1- 1m-1m-1 专题5数列与其他知识的结合 典型例题解：(1)由题意可知函数f(x)的定义域为R,则f"(x)= (x2+2x-m)e2,若函数八x)=(x2-m)e在x=0处的切线与直线y=x-1 垂直，则∫'(0)=-m=-1,解得m=1,所以'(x)=(x2+2x-1)e,令 f'(x)>0,则x2+2x-1>0,解得x>√2-1或x<-√2-1：令f'(x)<0,则 x2+2x-1<0,解得-√2-1<x<√2-1，所以函数f(x)的单调递增区间为 (-x,-√2-1)，(2-1，+∞)，单调递减区间为(2-1，√2-1) (2)构建g(x)=f(x)-ax+1=(x2-1)c-ax+1,则g'(x)=(x2+2x 1)c-a,由题意可知g(x)≥0对任意x∈(-1，+∞)恒成立，且g(0)= 0,则g'(0)=-1-a=0,解得a=-1.若a=-1,则g(x)=(x2-1)c+x+1= (x+1)[(x-1)e+1],构建h(x)=(x-1)e*+1,x>-1,则4'(x)=x6, 令h'(x)>0,解得x>0:令h'(x)<0,解得-1<x<0. 可知h(x)在(-1,0)内单调递减，在(0，+∞)内单调递增，则h(x)≥ h(0)=0,即(x-1)e+1≥0对任意xG(-1,+o)恒成立，且x+1>0对 任意xe(-1,+)恒成立，可知g(x)≥0对任意xe(-1,+x)恒成 立，所以a=-1符合题意.综上所述，a=-1. (3)由(1)可知f'(x)=(x2+2x-1)c2,根据求导法则可设∫(x)= (x2+a.x+b.)c,neN”,其中a1=2,b1=-l,则fa)(x)=(x2+ax+ b.)e+(2x+a)e=[x2+(a.+2)x+a+ba Je",a1=an+2,bm=a+ b。,可知数列|a,是以首项为2，公差为2的等差数列，则a,=2+2(n 1)=2n,对于b1=an+b。,则b1-bn=2n,当n≥2时，bn=(b。-b-1)+ (6-1-b.-2)t+(62-61)+b1=2(n-1)+2(n-2)++2-1=2n(n-l2 2 1=n2-n-1,且b1=-1符合上式，所以6n=n2-n-1,则fa(x)= (x2+2x+n2-n-1)e,若对任意xe(-1,+）f(x)>0恒成立，则 x2+2nx+n2-n-1>0对任意xe(-1,+)恒成立，且F(x)■x2+2x+ n2-n-1的图象开口向上，对称轴为x=-n≤-1，可知F(x)在(-1，+∞) 内单调递增，则F(-1)=n2-3n≥0，解得n≥3，所以满足条件的正整数 n的最小值为3. 变式训练1.()解：因为x)的定义域为(-1，+如)，所以"()x中 1行当-1<0时)>0到在(-1,0)上单调通说，当0时。 f'(x)<0八x)在(0，+∞)上单调递减，所以f(x)在x=0时有最大值， 所以/x)=f0)=0,即八x)的最大值为0. （2)适期：由(1)知，a(1≤a(-1,所以a(2品）水2品 2 .2 2 所以n2-2n即h(2n-3)-n(2a-<2所以h(2n-5 2 2 (2n-3)<2n-3,h1-h3<-行，累加得-n(2n-3)< -(号号子…2品)即时 .21 11 3+5+…t2n-32n(2m-3) (3)证明：因为a1=,+,所以1=+之+2，得21-a2 +232,a-a21>2,…,->2,所以-1>2(a-l),即a2m-1,所 以11 以2所以oc22n,吗-听2l,所以-1<2(a 1 1,1 1 11 0+135tt2nc2a+35+t2n32nt2h(2n-3 所以2n-l<a<2m+之h(2m-3)得证 变式训练2.(1)证明：因为在数列{a,|中，1=0，a2=4,且aw+2= 2a+1-a,+2,所以a+2-a1-(aa1-a)=2a1-an+2-a41-(a+1 a,)=2,所以11-，是首项为a-1=4,公差为2的等差数列. (2)解：由(1)得a+1-a,=4+2(n-1)=2n+2,则a1-an+an-a-1++ a-a,=2n+2+2n+…t4-a2a2+=n(n+3),所以a1=n(a+3),即 2 a。=(n-1)(n+2)(n>1),又a1=0符合an=(n-1)(n+2),所以a。= 题·数学·15第二章数列学霸 专题4数列与不等式(2)— 利用放缩法求解 命题密钥 数列放缩技巧是高考数学中的核心考点，尤其在数列与不等式相结合的复杂问题中更为凸 显.当前，这类问题的难度已趋于稳定，保持在中等偏难水平，解题的关键在于对数列通项公式 的灵活处理，特别是通过巧妙的变形来接近那些具有明确求和公式的数列类型.在此过程中，向 可裂项相消的数列和等比数列靠拢，成为了放缩策略中高级且有效的手段 考点觉醒 分式裂项放缩：比如a,=】 则可以将a放缩成 1 1 k∈N, 等可以裂项求和的式子 n(n+) (n-1)n+1) 裂项放缩 根式裂项放缩：比如a=六·则可以将放缩成 数列放缩 2(n+1-√n),2(n-√n-1)等式子 比如a,= 9"+m g>1,m>0),则有a,< 等比放缩 比如 g"-m (q-1g-g>L,0<m<g) 实战演练 题组。放缩为裂项法求和 典型例题1.（浙江高考)设等差数列{a.}的前n项和为S。,a=4,a4=S,数列1b}满足对 n∈N°，Sn+bn,Sn1+bn,Sn2+bn成等比数列. (1)求数列{an,{bn}的通项公式； (2)记c,26neN,证明：c,+c,<2,neN, 023 学霸高考·黑题数学 变式训练1.(2025·江苏八市三模)已知数列{a,}是等差数列，记其前n项和为S。,且S,=a5, 1 a2n=2a,+ (1)求数列{a,}的通项公式： (2)将数列{a}与{Sn}的所有项从小到大排列得到数列{b}. ①求{b}的前20项和： ②证明： 1,1.1 十 +…+,2<32 变式训练2.(2025·江苏泰州模拟)设数列{an}的前n项和为Sn,2Sn=n2+5n. (1)求{an}的通项公式： (2)设b,=n·2,求数列 S.+4 的前n项和Tn; (3)设cn Va,-2 求证：6t6e++c>2n- 2 024 第二章数列学霸 题组口放缩为等比数列求和 典型例题2.（全国高考）已知数列{a.}满足a1=1,a1=3a.+1. ()证明a,+是等比数列，并求a,的通项公式： 变式训练3.(2025·安徽淮南模拟)已知{a,}为等比数列，{bn为正整数n的最大奇因数，Q。= 26,且a1=6+b,a,=66+1 (1)求{an}的通项公式； (2)当n≥2时，求出Q.与Q.-1之间的数量关系； (3)求证名L 025 学霸高考·黑题数学 变式训练4.(2025·湖南长沙模拟)已知非零等差数列{a。}的前n项和为S.,且a2=4,a.· aa+1=4S. (1)求{a.}的通项公式； (2)已知正项数列6满足6，=行，且6是6，和6，的等差中项，求数列（公1小·a,的前n项 和T.; (3)在条件(2)下，记正项数列6，的前n项和为M,求证：号[-（兮）广]≤M,<石 变式训练5.(2025·河南郑州模拟)若b<ac,则称b是a和c的减比中项. (1)若2是a和c的减比中项，求a2+c2的取值范围. (2)已知数列{an}满足a1=1,a2=1,数列{bn}满足b,=2,b2=2,存在正数m>1,使√ma+1是ant2和 an的等比中项，且√mbn1是bn2和bn的减比中项，neN ①证明：√aa+2bn1是a1和bn2的减比中项； ②记数列 ba-a。 b+1-an+1 的前n项和为3，证明：5<二 026